小学数学讲义秋季五年级超常第13讲定义新运算进阶超常体系.pdf

1、1第 9 级下 超常体系教师版第 13 讲五年级暑假分数加减五年级秋季循环小数五年级秋季定义新运算进阶五年级春季分数四则混合运算五年级春季比较与估算学会使用方程来解决定义新运算问题，加强分数运算的练习漫画释义知识站牌第十三讲定义新运算进阶2第 9 级下超常体系 教师版点头表示同意，摇头表示不同意；行人靠右行，这些都是我们生活中的规则，在数学中，同样也有一些约定的规则，也就是运算符号比如“”“”“”“”都是我们熟悉的运算符号但是有的地方会有不一样的规则，比如在英国等地行人是靠左行的，而数学里同样也可能会出现一些特殊的运算符号，比如我们规定表示选择两数中较大的一个，如 27=7相对于我们原本熟悉的

2、运算，这便是新运算今天我们就一起来学习定义新运算1、熟练掌握分数类型的定义新运算；2、掌握反解未知数类型的定义新运算；3、掌握和因倍结合的定义新运算；4、掌握找规律类型的定义新运算定义新运算是指用一个符号和已知运算表达式表示一种新的运算新定义的运算符号，如、等等，这些特殊的运算符号，表示特定的意义，是人为设定的解答这类题目的关键是理解新定义，严格按照新定义的式子代入数值（本质就是“照猫画虎”去模仿），把定义的新运算转化成我们所熟悉的四则运算，并计算准确定义新运算分类：1.直接运算型（照猫画虎）；2.反解未知数型（方程法）；3.观察规律型；4.其它类型综合下面通过几个实例加以说明如规定：abab

3、ab2424246 42424210这就是定义新运算中第一种题型直接运算照猫画虎型，规定新运算符号 的定义，符号前面数字为 a，符号后面数字为 b，模仿定义带入式子中算出答案定义新运算注意事项：新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序每个新定义的运算符号只能在本题中使用一般情况下规定的新运算对于我们熟悉的运算律（如交换律、结合律、分配律等）不成立，但也有成立的，这就要求我们去证明经典精讲课堂引入教学目标3第 9 级下 超常体系教师版第 13 讲1.已 知32abab，例 如，当6a，5b 时，653 6258 计 算：87 _【分析】102.规定2ababa，求：123 _;72 _【分析

4、】18,143.规定“”表示选择两数中较大数的运算，如：599 计算 10511 _【分析】114.已知125，3211，6422，11740；求86 _【分析】305.规定 2 3234,4 545678，求74_【分析】34模块 1：例 1-2，直接运算型模块 2：例 3-4，反解未知数型模块 3：例 5-8，数论及综合型设 a、b 都表示数，规定1123abab求 1123，1132；这个运算“”有交换律吗？求18 63 ，186 3；这个运算“”有结合律吗？如果已知 5533b，求b(学案对应：超常 1，带号 1)【分析】11111111132322334936知识点回顾例 1例题思路

5、4第 9 级下超常体系 教师版111111111322332663；没有；1111111318 63186311 31131232322 11111186 3186318 41841023233 没有；由题意得：151523325563210365bbbb我们规定：符号 表示选择两数中较大数的运算，例如：5 3=3 5=5，符号 表示选择两数中较小数的运算，例如：5335=3，计算：1523(0.6)(0.625)23353411(0.3)(2.25)996的结果是多少？【分析】15232531(0.6)(0.625)123353824341119312(0.3)(2.25)9963412将

6、4 个数 abcd、排成 2 行、2 列，两边各加一条竖直线记成abcd，定义=abadbccd，上述记号就叫做 2 阶行列式，若15214xx7，则 x _(学案对应：超常 2)【分析】177232852154204xxxxx7，1223x 例 3例 25第 9 级下 超常体系教师版第 13 讲对于非零自然数 a 和 b，规定符号 的含义是：a b=2mabab（m 是一个确定的整数）如果1 4=2 3，那么 3 4 等于_(学案对应：超常 3，带号 2)【分析】根据 1 4=2 3，得到14232 1 4223mm ，解出 m=6所以，634113423412 设 a 表示不超过a 的最大

7、整数，例如：11，0.20求 1 302303 30903090909090的值是多少？(学案对应：带号 3)【分析】原式001 1 122233329292930 312929230 1335两个不等的自然数 a 和b,较大的数除以较小的数,余数记为 a b,比如 5 2=1,7 254,6 82.(1)求1991 2000,(519)19,(19 5)5;(2)已知112x,而 x小于 20,求 x;(3)已知(19 )x 195,而 x 小于 50,求x.(学案对应：超常 4，带号 4)【分析】19912000=9;由 519=4,得(519)19=419=3;相信很多人都做过这么一道题

8、：如果 1=5,2=10,3=15,4=20,5=？第一次接触的人一定会脱口而出：25，这样的话就刚好落到了出题者的圈套中，因为一开始题目告诉了你 1=5，那么 5=1，你一定为你的上当而感到愤愤不平，这道题到底符不符合逻辑呢，按照规律来说 5=20 是推出来的答案，但是按照第一个条件来推断，5=1 又成立其实这里的“=”定义很模糊，因为如果是普通意义“=”的话，1 和 5 是不能建立相等的关系的，所以题目本身有问题如果把这里的“=”改成“”，道理就说通了，15,210,315,420,按照这个规律推下去 525，这里的应理解为只能从左到右才成立，并不像=一样，左=右也可以推出右=左，51 是

9、不成立的，所以答案应该是 525等大家到了高中进一步学习函数就会理解的更深刻.例 6例 4例 56第 9 级下超常体系 教师版由 195=4,得(195)5=45=1.(2)我们不知道 11 和 x 哪个大(注意,x11),即哪个作除数,哪个作被除数,这样就要分两种情况讨论.1)x11,这时 11 除 x 余 2,这说明 x 是 11 的倍数加 2,但x20,所以 x=11+2=13.因此(2)的解为 x=3,9,13.(3)这个方程比(2)又要复杂一些,但我们可以用同样的方法来解.用 y 表示 19x,不管 19 作除数还是被除数,19x 都比 19 小,所以 y 应小于 19.方程 y19

10、=5,说明 y 除 19 余 5,所以 y 整除 19-5=14,由于 y6,所以 y=7,14.当 y=7 时,分两种情况解 19x=7.1)x19,此时 19 除 x 余 7,x 是 19 的倍数加 7,由于 x50,所以 x=19+7=261927x =45.当 y=14 时,分两种情况解 19x=14.1)x19,此时 19 除 x 余 14,这就表明 x 是 19 的倍数加 14,因为 x50,所以 x=19+14=33.总之,方程(19x)19=5 有四个解,x=12,26,33,45.规定：A B 表示 A、B 中较大的数，A B 表示 A、B 中较小的数若（A 5B3)(B5A

11、 3)96，且 A、B 均为大于 0 的自然数，AB的所有取值为【分析】分类讨论，由于题目中所要求的定义新运算的符号是较大的数与较大的数，则对于 A 或者B 有3 类不同的范围，A 小于 3，A 大于等于 3，小于 5，A 大于等于 5对于 B也有类似，两者合起来共有 33=9 种不同的组合，我们分别讨论1)当 A3，B3，则（5+B）（5+A）=96=616=812，无解；2)当 3A5，B3 时，则有（5+B）（5+3）=96，显然无解；3)当 A5，B3 时，则有（A+B）（5+3）=96，则 A+B=12.所以有 A=10，B=2，此时乘积为 20 或者 A=11,B=1,此时乘积为

12、114)当 A3，3B5，有（5+3）（5+A）=96，无解；5)当 3A5，3B5，有（5+3）（5+3）=96，无解；6)当 A5，3B5，有（A+3）（5+3）=96，则 A=9.此时 B=3 后者 B=4则他们乘积有 27 与 36 两种；7)当 A3，B5 时，有（5+3）（B+A）=96此时 A+B=12A 与 B 的乘积有 11 与 20两种；8)当 3A5，B5，有（5+3）（B+3）=96此时有 B=9.不符；9)当 A5，B5，有（A+3）（B+3）=96=812则 A=5,B=9，乘积为 45所以 A 与 B 的乘积有 11,20,27，36,45 共五种定义新运算：24

13、mmnmn，那么 20122011201010.【分析】24mmnmn,当2n 时，122m因此只需要算 1102 ，因此答案为 2336例 7例 87第 9 级下 超常体系教师版第 13 讲1.定义新运算分类：直接运算型（照猫画虎）；反解未知数型（方程法）；观察规律型；其它类型综合2.定义新运算注意事项：新的运算不一定符合运算规律（如交换律、结合律、分配律等），特别注意运算顺序每个新定义的运算符号只能在本题中使用1.规定 11233*2234，112344*778910，那么，1143*25_【分析】题目中的新定义运算符号“*”表示连乘，“*”左边的数表示第一个因数，“*”右边的数表示因数的

14、个数，而这些因数的分子、分母分别是几个连续的自然数如 24*5表示 4 个数连乘，分子是2345，分母是5678 原式123412382345567352.如果 112332234，33456455678求 254358【分析】原式23455676156788910168附加题如图 2,一只甲虫从画有方格的木板上的 A 点出发，沿着一段一段的横线、竖线爬行到 B，图 1 中的路线对应下面的算式：121221216 .请在图 2 中用粗线画出对应于算式：212221 1 1 的路线BA图3图2ABBA图1答案：如图知识点总结8第 9 级下超常体系 教师版3.设*a b表示 a 的3 倍减去b 的

15、 2 倍，即*32a bab，例如，6*5362 .(1)计算：543*354；(2)已知：*(4*1)7x，求：x【分析】545417*32,35355 173173877*32854541010 4*1431 ，4*110,*107x,31027x,所以3910 x 4.符号“f”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下：10f，21f，32f，43f，122f ，133f ，144f ，155f ，利用以上规律计算：120102011ff _【分析】原式 2011200925.设 a,b 是两个非零的数,定义 a babba.(1)计算2 34 与23 4.(2)如果已知 a 是一个自然数

16、,且32a,试求出a 的值.【分析】(1)按 照 定 义2 32313326,3 434254312.于 是(2 3)41364=1341324745613424133126.2(34)=225252242512011225122252460012.(2)由已知得323aa若 a6,则 3a 2,从而323aa与矛盾.因此 a5,对 a=1,2,3,4,5 这 5 个可能的值,一一代入式中检验知,只有 a=3 符合要求.6.对所有的数,a b，把运算 ab 定义为 ababab，则方程13325x 的解是_【分析】1121332632335xxxx，214315x，75x 7.表格中定义了关于

17、“*”的运算，如 3*4=2.则2012(1 2)(1 2)*(1 2)*(1 2)_个*123411234224133314244321【分析】经查表，1 22，所以原式变为201222*2*2个22，2*24，2*2*24*23，2*2*2*23*21，2*2*2*2*22发现为周期为 4 的周期规律，20124503，没有余数，所以最后结果为周期中的第 4 个，9第 9 级下 超常体系教师版第 13 讲因此结果为 1.8.定义运算：aba bab，算式92010 2010 20102010 2010 共 颗“”的计算结果是【分析】2010201020102010 201020102010

18、22010201020102010220102010232010220102010201020103201020103420103找到了规律：有n 个 2010，就得 2010n现在有 9 颗就有 10 个 2010，所以结果是 2010201109.如22abab，且 111235x，那么 x _【分析】11112114741235265435125xxxx，45512x，2548x 1.对于任意的非零整数 x与 y 定义新运算“”：6=2xyx yxy,求 1125【分析】根据定义6=2xyx yxy于是有1136112255119253225102.设 a 和b 都是除 0 以外的数，若

19、规定baa bab，baabab，那么131.32425的值是多少？【分析】原式42131.32425131.32.5252.51.3131.32.525251312113家庭作业10第 9 级下超常体系 教师版3.对于两个数 a 与b，规定*2aba b，已知*(*10)xxx，那么 x _【分析】10*()21022102=10 xxxxxxxxx4.“*”表示一种运算符号，对于非零的 x,y,它的含义是：111xyxyxyA，已知1122 12 121 13A，求1998 1999【分析】根据题意得 12111,21 16,121 13221 16AAAA，所以1111200019981

20、998 19991998 199919981 199911998 1999199920001998 19992000399811998 1999200019980005.用 x 表 示 数 x 的 小 数 部 分，x 表 示x 的 整 数 部 分。如 2.30.3,2.32。若 15.3,ab 7.8,ab则_,_ab。【分析】根 据 题 意，b是 整 数，所 以15.3 ,ab小 数 部 分 是0.3，那 么7.8,7.80.37.5,ba b由此可得15.3 15.378.3ab，所以8.3,7.5ab。6.用 a*b 表示 a 和 b 中较大的数除以较小的数所得的余数.已知(18*c)*

21、18=4，并且 c 小于 30，c等于_【分析】由已知可得 18*c=22 或 14 或 7，因为 c 小于 30，所以满足条件的 c 只有 11 或 25.7.x、y 表示两个数，规定新运算“*”及“”如下：*xymxny，x ykxy，其中 m、n、k 均为自然数，已知 1*25，2*3464，求1 2*3的值.【分析】x、y 表示两个数，规定新运算“*”及“”如下：x*y=mx+ny，xy=kxy，其中 m、n、k 均为自然数，已知 1*2=5，（2*3）4=64，求（12）*3 的值.分析 我们采用分析法，从要求的问题入手，题目要求（12）*3 的值，首先我们要计算 12，根据“”的定

22、义：12=k12=2k，由于 k 的值不知道，所以首先要计算出 k 的值.k 值求出后，12 的值也就计算出来了，我们设 12=a.(12）*3=a*3，按“*”的定义：a*3=ma+3n，在只有求出 m、n 时，我们才能计算 a*3 的值.因此要计算（12）*3 的值，我们就要先求出 k、m、n 的值.通过 1*2=5 可以求出 m、n的值，通过（2*3）4=64 求出 k 的值.因为 1*2=m1+n2=m+2n，所以有 m+2n=5.又因为 m、n 均为自然数，所以解出：11第 9 级下 超常体系教师版第 13 讲12mn，223mn（舍去）31mn（1）当 m=1，n=2 时：（2*3

23、）4=（12+23）4=84=k84=32k有 32k=64，解出 k=2.（2）当 m=3，n=1 时：（2*3）4=（32+13）4=94=k94=36k有 36k=64，解出719k，这与 k 是自然数矛盾，因此 m=3，n=1，71 9k 这组值应舍去所以 m=1，n=2，k=2.（12）*3=（212）*3=4*3=14+23=10.8.定义新运算：239aabab，那么 20132012201165_.【分析】239aabab,当6b 时，163a 因此只需要算 153，因此答案为1132【超常班学案 1】对于非零自然数 a,b,定义新运算为1aabb，求 2(34)的值；若41.

24、35x则 x的值为多少？【分析】因为313414，所以212(34)=21=31141.354xx，14 1.355.4,4.4xx，所以 x 的值为 4.4【超常班学案 2】对于 a，b，c，d，规定2dabcdabc，已知 1232x，则x _【分析】2 1 223x 423236xxx【超常班学案 3】对于任意的非零整数 x与 y 定义新运算“”：x y=ymxyx26(其中 m 是一个确定的整数).如果 122，则 29=_【分析】已知 12=2，根据定义得超常班学案12第 9 级下超常体系 教师版12=226222216mm，于是有226m，解出1m 所以629272 91 2295

25、 【超常班学案 4】如有 a#b 新运算，a#b 表示 a、b 中较大的数除以较小数后的余数.例如；2#7=1，8#3=2，9#16=7，21#2=1.若（21#（21#x）=5，则 x 可以是_（x 小于 50）【分析】这是一道把数论、定义新运算、倒推法、解方程等知识结合在一起的综合题.可采用枚举与筛选的方法.第一步先把（21#x）看成一个整体 y.对于 21#y 5，这个式子，一方面可把 21 作被除数，则 y 等于（21-5）16 的大于 5 的因数，有两个解 8 与 16；另一方面可把 21 作除数，这样满足要求的数为 26，47，即形如 21N+5 这样的数有无数个.但必须得考虑，这

26、些解都是由 y 所代表的式子（21#x）运算得来，而这个运算的结果是必须小于其中的每一个数的，也就是余数必须比被除数与除数都要小才行，因此大于 21 的那些 y 的值都得舍去.现在只剩下 8，与 16.第二步求：（21#x）8 与（21#x）16.对于（21#x）8 可分别解得，把 21 作被除数时：x 13，把 21 作除数时为：x 29，50，形如 21N+8 的整数（N 是正整数）.对于（21#x）16，把 21 作被除数无解，21 作除数时同理可得：x 37，58所有形如 21N+16 这样的整数.（N 是正整数）.所以符合条件的答案是 13,29,37【超常 123 班学案 1】如果

27、规定运算*111a bab，那么下列式子中正确的有个*abca bac 1*1*1aaa a*0aa*ab ca bc【分析】令1abc，则左边1*22315，右边1*1 1*1221(221)6从而式不正确左边22121aaaa ，右边2111 121aaaa ，从而式正确*011 1aaa，从而式正确左边*1)(111111 11abcabc 1111abc右边111*1111abcabc，从而式正确【超常 123 班学案 2】对于任意数 x,y,定义一种运算“”，规定:xy=axbycxy,其中的,a b c 表示已知数,等式右边是通常的加、减、乘运算.又知道 12=3,23=4,xm=

28、x(m0),则 m 的数值是_。【分析】由题设的等式xy=axbycxy及xm=x(m0),得000abmcm,所以 bm=0,又m0,故 b=0.因此 xy=ax-cxy.由 12=3,23=4,得23264acac解得 a=5,c=1.所以 xy=5x-xy,令 x=1,y=m 得 5-m=1,故 m=4.123 班学案13第 9 级下 超常体系教师版第 13 讲【超常 123 班学案 3】已知 x、y 满足 2009xy，20.09xy；其中 x 表示不大于 x 的最大整数，x 表示 x 的小数部分，即 xxx，那么 x _【分析】根据题意，y 是整数，所以2009 xy也是整数，那么

29、0 xxx，由此可得20.09 20.09020.09yx，所以 20y，2009 2009201989xy【超常 123 班学案 4】定义新运算如下：,a b 为自然数 a,b 中的大数除以小数的余数如7,52，15,194按此规则，若3550 x，则,33,400 xx 中x的所有可能值的和为_.【分析】余数为 0，意味着两数成倍数关系分类讨论：情况 1：若3540 x，则33x 的余数与40 x的余数成倍数关系40 和 33差 7，和为 7的数中只有 1 和 6 成倍数关系，因此39x 情况 2：40 x 时，会出现除数为 0 的情况，不符合，舍去情况 3：4050 x时，33x 的余数与40 x 的余数成倍数关系，两个余数相差为 7，因此较小余数必为 7 的因数有余 1 和 7 两种情况因此41x 或47x 综上所述：所有可能值的和为 39+41+47=127