【北京卷中考数学压轴题模拟预测】 专题2 几何综合 压轴大题模拟预测题强化训练（尖子生难题突破）解析版.docx

1、【北京卷中考数学压轴题模拟预测】专题2 几何综合压轴大题模拟预测题强化训练（尖子生难题突破）一、解答题1（2022北京西城一模）已知正方形ABCD，将线段BA绕点B旋转（），得到线段BE，连接EA，EC(1)如图1，当点E在正方形ABCD的内部时，若BE平分ABC，AB=4，则AEC=_，四边形ABCE的面积为_；(2)当点E在正方形ABCD的外部时，在图2中依题意补全图形，并求AEC的度数；作EBC的平分线BF交EC于点G，交EA的延长线于点F，连接CF用等式表示线段AE，FB，FC之间的数量关系，并证明【答案】(1)135，(2)作图见解析，45；【解析】【分析】（1）过点E作于点K，由正

2、方形的性质、旋转的性质及角平分线的定义可得，再利用等腰三角形的性质和解直角三角形可求出，继而可证明，便可求解；（2）根据题意作图即可；由正方形的性质、旋转的性质可得，再根据三角形内角和定理及等腰三角形的性质求出，即可求解；过点B作 垂足为H，由等腰三角形的性质得到 ，再证明 即可得到 ，再推出 为等腰直角三角形，即可得到三者之间的关系(1)过点E作于点K 四边形ABCD是正方形 BE平分ABC，AB=4，将线段BA绕点B旋转（），得到线段BE ， ，四边形ABCE的面积为 故答案为：135，(2)作图如下 四边形ABCD是正方形 由旋转可得， ，理由如下：如图，过点B作 垂足为H ，EBC的平

3、分线BF交EC于点G 为等腰直角三角形 即【点睛】本题属于四边形和三角形的综合题目，涉及正方形的性质、旋转的性质、角平分线的定义、等腰三角形的性质和判定、解直角三角形、全等三角形的判定与性质、三角形的内角和定理等，灵活运用上述知识点是解题的关键2（2022北京市第七中学一模）对于平面直角坐标系中的图形和点，给出如下定义：将图形绕点顺时针旋转90得到图形，图形称为图形关于点的“垂直图形”例如，图1中点为点关于点的“垂直图形”(1)点关于原点的“垂直图形”为点若点的坐标为，则点的坐标为_；若点的坐标为，则点的坐标为_；(2)，线段关于点的“垂直图形”记为，点的对应点为，点的对应点为F求点的坐标（用

4、含的式子表示）；若的半径为2，上任意一点都在内部或圆上，直接写出满足条件的的长度的最大值【答案】(1)（3，0）；（，3）(2)（3+a，3+a）；【解析】【分析】（1）根据“垂直图形”的定义解决问题即可（2）构造全等三角形，利用全等三角形的性质求解即可如图3中，观察图象可知，满足条件的点E在第一象限的O上求出点E的坐标即可解决问题(1)解：观察图像可知：点的坐标为（3，0）；观察图像可知：点A的坐标为（，3）；故答案为：（3，0）；（，3）；(2)解：如图2中，过点E作EPx轴于P，过点E作EHx轴于HEPG=EGE=GHE=90，E+PGE=90，PGE+EGH=90，E=EGH，EG=G

5、E，EPGGHE（AAS），EP=GH=3，PG=EH=a+3，OH=3+a，E（3+a，3+a）如图，观察图象可知，满足条件的点E在第一象限的O上E（3+m，3+m），OE=2，3+m=，m=，E（，），EE=【点睛】本题考查几何变换综合题，考查了旋转变换，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题3（2022北京二模）如图，在等边中，点是边的中点，点是直线上一动点，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，(1)如图1，当点与点重合时依题意补全图形；判断与的位置关系；(2)如图2，取的中点，写出直线与夹角的度数以及与

6、的数量关系，并证明【答案】(1)补全图形见解析；(2)直线与夹角的度数为，证明见解析【解析】【分析】（1） 依照题意画出图形即可；由旋转的性质可得，可证 AEC，可得，即可得结论；（2）通过证明CAE，可得， 即可求解(1)解：如图1所示：，理由如下：将线段绕点逆时针旋转，是等边三角形，是等边三角形，点是的中点，AEC，又，垂直平分，；(2)直线与夹角的度数为，理由如下：如图2，当点在线段上时，连接，延长交于，将线段绕点逆时针旋转，AGE是等边三角形，又点是的中点，是等边三角形，点是的中点，CAE，直线与夹角的度数为，当点在的延长线上时，如图3，连接，同理可求直线与夹角的度数为，当点在的延长线

7、上时，如图4，连接，延长交于，同理可求直线与夹角的度数为，综上所述：直线与夹角的度数为，【点睛】本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是证明三角形相似4（2022北京市第一六一中学分校一模）已知点P为线段AB上一点，将线段AP绕点A逆时针旋转60，得到线段AC；再将线段BP绕点B逆时针旋转120，得到线段BD；连接AD，取AD中点M，连接BM，CM(1)如图1，当点P在线段CM上时，求证：PM/BD；(2)如图2，当点P不在线段CM上，写出线段BM与CM的数量关系与位置关系，并证明【答案】(1)见解析(2)，理由见

8、解析【解析】【分析】（1）由旋转可得，是等边三角形，则，所以（2）延长至点，使得，连接，可证是等边三角形且点是的中点，则有，(1)解：由题意可得，且，是等边三角形，又，(2)解：猜想，理由如下：如图2，延长至点，使得，连接，四边形是平行四边形，是等边三角形，是等边三角形，【点睛】本题主要考查旋转的性质，全等三角形，等边三角形的性质与判定，平行四边形，解题的关键是构造合适辅助线5（2022北京海淀二模）在平面直角坐标系xOy中，对于线段MN，直线l和图形W给出如下定义：线段MN关于直线l的对称线段为MN（M，N分别是M，N的对应点）若MN与MN均在图形W内部（包括边界），则称图形W为线段MN关于

9、直线l的“对称封闭图形”(1)如图，点P（-1，0） 已知图形W1：半径为1的O，W2：以线段PO为边的等边三角形，W3：以O为中心且边长为2的正方形，在W1，W2，W3中，线段PO关于y轴的“对称封闭图形”是； 以O为中心的正方形ABCD的边长为4，各边与坐标轴平行若正方形ABCD是线段PO关于直线 y = x + b的“对称封闭图形”，求b的取值范围；(2)线段MN在由第四象限、原点、x轴正半轴以及y轴负半轴组成的区域内，且MN的长度为2若存在点Q（），使得对于任意过点Q的直线l，有线段MN，满足半径为r的O是该线段关于l的“对称封闭图形”，直接写出r的取值范围【答案】(1) ，；b的取值

10、范围是(2)【解析】【分析】（1）根据“对称封闭图形”的定义判断即可；记点P，O关于直线的对称点分别为，先求出直线、直线的的解析式，再根据图象找到当直线随着b的变化上下平移时的临界情况，解答即可；（2）根据题意，确定出当三角形MON为等腰直角三角形且MON=90时r最小，作MN关于直线的对称图形，用勾股定理求出的长度即可(1)解：线段PO关于y轴对称图形为线段，即线段在图形W内（包括边界），其中，P（-1，0），（0，1），故图形W1及W3，符合题意，故答案为：，记点P，O关于直线的对称点分别为，则直线垂直平分线段和，因此直线的解析式为，直线的解析式为，由于线段PO在x轴上，故关于直线的对称后

11、，x轴如图，当直线随着b的变化上下平移时，临界情况是：当点P对称后得到在上，即（1，）时，中点为（，0），此时；当点O对称后恰好为（2，2）时，中点为（1，1），此时.依题意，b的取值范围是(2)解：由题意知，当三角形MON为等腰直角三角形且MON=90时r最小，由Q点坐标知，Q点在直线上运动，作线段MN关于直线的对称图形，则r，取MN中点E，中点为G，连接EG交直线于F，连接，如图所示，MN=2，OE=1，设直线交坐标轴于P、S，则PS=8，OF=4，由对称知，EF=GF=5，由勾股定理得：，故答案为：【点睛】本题考查了新定义的问题，需要借助轴对称图形的性质、一次函数性质、勾股定理等知识点解

12、题解题关键是正确理解题意，作出符合题意的图形6（2022北京市十一学校模拟预测）已知，点是射线上一动点，以为边作，将射线绕点顺时针旋转，得到射线，点在射线上， (1)如图1，若，求的长（用含的式子表示）；(2)如图2，点在线段上，连接、添加一个条件：、满足的等量关系为_，使得成立，补全图形并证明【答案】(1)；(2)，补全图形及证明见解析.【解析】【分析】（1）如图，连接，过点作于点，由等腰三角形的三线合一的性质可得到，再根据条件可得到，然后在中，利用三角函数可求得，最后可得到的长；（2）添加条件为如图，延长到点，使，连接，过点分别作于点、于点，可证明四边形是矩形，由矩形的性质得到，然后在在中

13、，利用三角函数求得，接着利用证明可得到，从而推导出，再根据等腰三角形三线合一性质得到，从而得到结论(1)解：如图，连接，过点作于点，在中，(2)点在线段上，连接、添加一个条件：、满足的等量关系为，使得成立，补全图形如下，证明如下：延长到点，使，连接，过点分别作于点、于点，在中，四边形是矩形，在中，在和中，故答案为：【点睛】本题考查旋转变换，涉及旋转的性质、解直角三角形、全等三角形性质与判定、矩形的判定与性质、等腰三角形三线合一的性质等知识解题的关键是作辅助线，构造全等三角形和矩形7（2022北京西城二模）在平面直角坐标系中，对于线段AB与直线，给出如下定义：若线段AB关于直线l的对称线段为（，

14、分别为点A，B的对应点），则称线段为线段AB的“关联线段”已知点，(1)线段为线段AB的“关联线段”，点的坐标为，则的长为_，b的值为_；(2)线段为线段AB的“关联线段”，直线经过点，若点，都在直线上，连接，求的度数；(3)点，线段为线段AB的“关联线段”，且当b取某个值时，一定存在k使得线段与线段PQ有公共点，直接写出b的取值范围【答案】(1)2；-1(2)15(3)【解析】【分析】（1）由对称性质AB、AB关于直线l对称，所以AB=AB=2，由题意，得y=x+b，把AA的中点(，)代入y=x+b，求出b即可；（2）作C关于l的对称点C，连接O C，OA，OC，因为AB的对称点在l1上，所

15、以点C的对称点C在直线AB上，则可求出点C的坐标为（1，），继而可求得COK=60，再求出AOK=45，所以COA=COK -AOK =60-45=15，然后利用对称的性质得出COA=COA，即可求解；（3）当B与点Q重合时，求出b=2，再当A与点P重合时，求出b=，再由线段与线段PQ有公共点，即可得出b的取值范围(1)解：A（1，1），B（1，-1），AB=2，AB、AB关于直线l对称，AB=AB=2,由题意，得k=1，y=x+b，A、A关于直线l对称，直线l经过AA的中点，A（1，1），A（2，0），AA的中点为(,)，即(，)，把(，)代入y=x+b，得=+b，解得：b=-1，故答案为：

16、2,-1；(2)解：如图，作C关于l的对称点C，连接O C，OA，OC，由题意，得直线l解析式为：y=kx，设C关于l的对称点为C，OC=OC=2，AB关于l对称点AB在l1上，又l1经过点C，点C在直线AB上，A（1，1），B（1，-1），直线AB即是直线x=1，C横坐标为1，C纵坐标为,C（1，），tanCOK=，COK=60，A（1，1），OA=AK，AOK是等腰直角三角形，AOK=45，COA=COK -AOK =60-45=15，A、B、C关于直线l的对称点是A、B、C，COA=COA=15；(3)解：当B与点Q重合时，如图，则B（-3，3），设BB中点为K，则直线l经过点K，B（1

17、，-1），B（-3，3），K（-1，1），直线BB解析式为：y=-x，BBl，直线l解析式为y=x+b，把K（-1，1）代入，得b=2，当A与点P重合时，如图，则A（-3，0），设AA中点为K，则直线l经过点K，A（1，1），A（-3，0），K（-1，），直线AA解析式为：y=x+，AAl，直线l解析式为y=-4x+b，把K（-1，）代入，得b=，线段与线段PQ有公共点，【点睛】本题考查轴对称的性质，待定系数法求一次函数解析式，本题属一次函数综合题目，熟练掌握一次函数的图象性质、轴对称性质是解题的关键8（2022北京大兴二模）已知：如图，线段CD与AB相交于点O，以点A为中心，将射线AD绕点A

18、逆时针旋转交线段CD于点H(1)若，求证：；(2)请你直接用等式表示出线段CD，AD，BD之间的数量关系（用含的式子表示）【答案】(1)见解析(2)【解析】【分析】（1）证明，则，证明是等边三角形，则，由此可证；（2）过点作于，由等腰三角形三线合一可知，在中，利用三角函数用表示，从而表示出，结合即可得，之间的数量关系(1)证明：，即，即在与中，又，是等边三角形，又，(2)解：，理由如下：过点作于，又，【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，三角函数的应用，解决本题的关键是利用三角函数建立线段之间的数量关系9（2022北京市三帆中学模拟预测）在平面直角坐标系

19、xOy中，对于图形Q和P，给出如下定义：若图形Q上的所有的点都在P的内部或P的边上，则P的最小值称为点P对图形Q的广度如下图，AOB的度数为点O对线段AB的广度(1)已知点，在点，中，对线段ON的广度为60的点是_；(2)已知：点，直接写出点E对四边形ABCD的广度为_；已知直线上存在点F，使得点F对四边形ABCD的广度为45，求b的取值范围【答案】(1)，(2)90；【解析】【分析】(1)画出图形，作M2Gx轴，计算OM1N、OM2N、OM3N的正切值并判断角的大小，可得出结论；(2)由A(2,2)，B(2,2)，C(2,2)，D(2,2)，可得四边形ABCD为正方形，连结EA、ED，可得A

20、ED为90，据此即可解答；由题意可知，直线y=x经过点B、D，以点D为圆心，DA长为半径作圆D，则点C在圆D上，作经过点B、D的直线l：y=x，平移直线l到l1、l2的位置，l1经过点A、l2经过点C，与圆D分别交于点F1、F2，则在上任意一点F对四边形ABCD的广度为45，再把点A、C的坐标分别代入解析式，即可求得b的取值范围(1)解：如图：连接M1N，M2O，M2N，M3O，M3N，作轴于点G，则G(1,0)，OG=ON=1 点对线段ON的广度为60 点对线段ON的广度为60 点对线段ON的广度不为60故答案为：，(2)解：A(2,2)，B(2,2)，C(2,2)，D(2,2)四边形ABC

21、D是正方形，且各边与坐标轴垂直(或平行)如图，设AD交y轴于点I，则AIE=DIE=90E(0,4)，AI=EI=DI=2IEA=IED=45AED=90点E对四边形ABCD的广度为90故答案为：90如图：以点D为圆心，DA长为半径作圆D，则点C在圆D上作经过点B、D的直线l：y=x，平移直线l到l1、l2的位置，l1经过点A、l2经过点C，与圆D分别交于点F1、F2， 上任意一点F对四边形ABCD的广度为45当直线经过点A(-2,2)时，2=-2+b，解得b=4当直线经过点C(2,-2)时，-2=2+b，解得b=-4故b的取值范围为【点睛】此题重点考查正方形的判定与性质、等边三角形的性质、特

22、殊角的三角函数值，圆周角定理，求一次函数的解析式，解题的关键是正确理解题中所给的定义内容，并且正确地作出所需要的辅助线10（2022北京市三帆中学模拟预测）已知：如图所示绕点A逆时针旋转得到（其中点B与点D对应） (1)如图1，点B关于直线AC的对称点为，求线段与CD的数量关系；(2)当时，射线CB与射线ED交于点F，补全图2并求AFD【答案】(1)(2)补全图形见解析，【解析】【分析】(1) 连接，根据旋转的性质及点B关于直线AC的对称点为，可证得，据此即可求得；(2) 连接BD，设AB与DF交于点G，由旋转的性质可知：， 可求得，可证得，可得，可证得，据此即可求得(1)解：如图：连接 绕点

23、A逆时针旋转得到， 又点B关于直线AC的对称点为垂直平分 ， ， ，即 在与中 (2)解：如图：连接BD，设AB与DF交于点G由旋转的性质可知：， ， 又， 又 又 ，【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等边对等角，相似三角形的判定与性质，轴对称图形的性质，作出辅助线是解决本题的关键11（2022北京市第五中学分校模拟预测）如图，在ABC中，ABAC，BAC40，作射线CM，ACM80D在射线CM上，连接AD，E是AD的中点，C关于点E的对称点为F，连接DF(1)依题意补全图形；(2)判断AB与DF的数量关系并证明；(3)平面内一点G，使得DGDC，FGFB，求CDG的值【答

24、案】(1)作图见解析；(2)AB=DF，理由见解析；(3)CDG=40或120【解析】【分析】（1）根据中心对称的定义画出图形，如图所示；（2）由“SAS”可证AECDEF，可得AC=DF=AB；（3）由题意可得点G是以点D为圆心， DC为半径的圆上与以点F为圆心，FB为半径的圆的交点，同时在两个圆上，由“SSS”可证ABFDFG，可得BAF=FDG=140，即可求解，(1)解：如图1所示：(2)解：解：AB=DF，理由如下：E是A D的中点，.AE=DE， C关于点E的对称点为F， CE=EF，又AEC=FED， ( SAS)，AC=DF，AB=AC，AB=DF (3)如图2，连接AE=DE

25、， CE=EF，四边形ACDF是平行四边形，AF=CD， DF=AC=AB，ACM+CAF=180， CAF=180-80=100=CDF，BAF=.140， .DG1=DC，点G1在以点D为圆心，DC为半径的圆上，FG1=FB，点G1在以点F为圆心， FB为半径的圆上，AB=DF， AF=DG1， FB=FG1，BAF=FDG1= 140，CDG1=40，同理可证ABFODFG2，BAF=G2DF= 140，CDG2=360-100- 140=120，综上所述：CDG=40或120【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行四边形的判定和性质，确定点G的位置是本题的关键1

26、2（2022北京朝阳模拟预测）如图，RtABC和RtBDE重叠放置在一起，ABCDBE90，且AB2BC，BD2BE(1)观察猜想：图中线段AD与CE的数量关系是 ，位置关系是 ；(2)探究证明：把BDE绕点B顺时针旋转到图的位置，连接AD，CE，判断线段AD与CE的数量关系和位置关系如何，并说明理由；(3)拓展延伸：若BC，BE1，当旋转角ACB时，请直接写出线段AD的长度【答案】(1)AD2CE，ADCE(2)AD2CE，ADCE，见解析(3)4【解析】【分析】（1）根据相似三角形的判定定理得到BDEBAC，求得BDEA，得到DEAC，求得2，于是得到结论；（2）根据旋转的性质得到CBEA

27、BD，求得BCEBAD，得到，BECBDA，延长CE交AD于H，于是得到结论；（3）过D作DGAB于G，根据相似三角形的判定和性质定理以及勾股定理即可得到结论(1)AB2BC，BD2BE，2，ABCDBE90，BDEBAC，BDEA，DEAC，2，即AD=2CE，B90，ADCE，故答案为：AD2CE，ADCE；(2)AD2DE，ADCE，理由：把BDE绕点B顺时针旋转到图的位置，CBEABD，AB2BC，BD2BE2，BCEBAD，2，BECBDA，AD2CE，延长CE交AD于H，CEB+BEH180，BEH+BDA180，DHE+DBE180，DBE90，DHE90，CEAD；(3)如图，

28、过D作DGAB于G，由（2）知，BCEBAD，CBEABD，BC，BE1，AB，BD2，AC5，CBEACBABD，DGBABC90，ABCDGB，BG，DG，AG，AD4【点睛】此题主要考查了几何变换综合题，直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题关键13（2022北京北理工附中模拟预测）如图，在菱形ABCD中，E、F、G分别为边AB、AD、BC的中点，连接EF、FG、EG(1)求证：为直角三角形(2)连接ED，当，时，求ED的长【答案】(1)见解析(2)【解析】【分析】（1）根据菱形的性质可得ACBD，根据三角形中位线的性质可得EGAC，EFBD，可得 EG

29、EF，继而得证EGF为直角三角形；（2）根据已知条件可证EFBD，GOCD，EGAC，然后可证ADB=EFG，根据在RtAOD中，可求得，易证四边形EBGO是菱形，可求得，继而求得，然后在在RtEHD中，由勾股定理即可求得ED的长度(1)解：如图，分别连接AC、BD，四边形ABCD是菱形，ACBD，E、F、G分别为边AB、AD、BC的中点，EGAC，EFBD，ACBD，EGEF，GEF=90，EGF为直角三角形；(2)解：如图，设EG与BD的交点为H，AC与BD的交点为O，则点O也在EF上，连接ED和EO，由题意可得：点E、F、G、O分别是AB、AD、BC、BD的中点EFBD，GOCD，EGA

30、C且，EFG=BOG，BOG=BDC，又BDC=ADB，ADB=EFG，ACBD，AOD=90，在RtAOD中，设，由勾股定理得：,即：，解得：，易证四边形EBGO是菱形，在RtEHD中，由勾股定理得：，即：【点睛】本题主要考查了菱形的性质定理和判定定理、三角形的中位线、直角三角形的判断以及解直角三角形熟练掌握并能灵活运用相关定理是解题关键14（2022北京昌平模拟预测）两张宽度均为4的矩形纸片按如图所示方式放置(1)如图，求证：四边形ABCD是菱形(2)如图，点P在BC上，PFAD于F，若S四边形ABCD16，PB2，求BAD的度数；求DF的长【答案】(1)见解析(2)45；64【解析】(1

31、)如图1，过点D作DEAB于E，作DQBC于Q，则AEDCQD90，矩形纸片宽度均为4，DEDQ，又CDEADQ90，ADECDQ，在ADE和CDQ中，ADECDQ（ASA），ADCD，又ABCD，ADBC，四边形ABCD是平行四边形，四边形ABCD是菱形；(2)如图1，S四边形ABCD16，ABDE16，即AB416，AB4AD，BAD45；如图2，菱形ABCD中，ABBC4，而PB2，CP42，又PFAD，ADBC，PFBC，又PCGBAD45，PG42，FGPFPG4（42）64，又CDF45DGF，DFFG64【点睛】本题主要考查了菱形的判定，全等三角形的判定与性质，矩形的性质以及解直

32、角三角形的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形解题时注意：一组邻边相等的平行四边形是菱形15（2022北京十一学校一分校一模）在中，点D为线段AC上一点，将线段BD绕点B逆时针旋转90，得到线段BE，连接DE(1)请补全图形；写出CD，AD，ED之间的数量关系，并证明；(2)取AD中点F，连接BF、CE，猜想CE与BF的位置关系与数量关系，并证明【答案】(1)见解析；，证明见解析(2)位置关系：，数量关系：，证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意作图即可；连接，证明，可得，进而证明是直角三角形，从而得到，根据，即可证明；（2）如图，连接，过点作分别交于点，设与交于点，连接，设，则

33、，证明，可得，即可证明，根据全等的性质以及直角三角形斜边上的中线可得，即可得(1)如图，证明如下，如图，连接，依题意，是直角三角形，(2)位置关系：，数量关系：，理由如下，如图，连接，过点作分别交于点，设与交于点，连接，是的垂直平分线， ，设，则，是直角三角形， 是的中点，是的中点，由（1）可知，点是的中点，点是的中点，在和中，即，【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰三角形的性质与判定，三角形的内角和定理与三角形的外角性质，垂直平分线的性质，证明是解题的关键16（2022北京朝阳二模）在正方形ABCD中，E为BC上一点，点M在AB上，

34、点N在DC上，且，垂足为点F(1)如图1，当点N与点C重合时，求证：；(2)将图1中的MN向上平移，使得F为DE的中点，此时MN与AC相交于点H，依题意补全图2；用等式表示线段MH、HF，FN之间的数量关系，并证明【答案】(1)见解析(2)见解析；，见解析【解析】【分析】（1）利用正方形的性质证明，再证明，从而可得结论；（2）根据语句依次画图即可；如图，连接HB，HD，HE，证明， 再证明，可得结合，可得(1)证明：四边形ABCD是正方形，垂足为点F，即(2)补全图形如图所示，证明：如图，连接HB，HD，HE，F为DE的中点，且，四边形ABCD是正方形， 由（1）知，【点睛】本题考查的是全等三

35、角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线的应用，线段的垂直平分线的性质，正方形的性质，熟练利用正方形的性质确定全等三角形是解本题的关键17（2022北京北京二模）在中，D是的中点，E为边上一动点（不与点A，C重合），连接，将线段绕点B逆时针旋转得到线段，过点F作于点H，交射线于点G(1)如图1，当时，比较与的大小；用等式表示线段与的数量关系，并证明；(2)如图2，当时，依题意补全图2，用等式表示线段之间的数量关系【答案】(1)，；证明见解析(2)图见解析，【解析】【分析】（1）在线段上取点P，使得，连接，由四边形内角和360及，得到，再证明，得到（2）依据题意补全图，在AE延长线上取一点P，使

36、得AE=EP，连接BP，按照（1）中的方法证明，再运用勾股定理及中位线性质得到，(1)解：，理由如下：证明：如图，在线段上取点P，使得，连接D是中点，线段绕点B逆时针旋转得到线段，在四边形中，(2)解：补全图形，如图，理由如下：证明：如图，在AE延长线上取一点P，使得AE=EP，连接BP，线段绕点B逆时针旋转得到线段，又，在四边形中，D是中点，在与中，即，D是中点，即【点睛】本题考查了中位线性质，勾股定理以及全等三角形的证明，其中构造中位线从而证明相关三角形全等是解题的关键18（2022北京顺义二模）如图，在中，P，D为射线AB上两点（点D在点P的左侧），且，连接CP以P为中心，将线段PD逆时

37、针旋转得线段PE(1)如图1，当四边形ACPE是平行四边形时，画出图形，并直接写出n的值；(2)当时，M为线段AE的中点，连接PM在图2中依题意补全图形；用等式表示线段CP与PM之间的数量关系，并证明【答案】(1)画图见解析, 的值为 (2)画图见解 析；用等式表示线段 与 之间的数量 关系 ，证明见解析.【解析】【分析】（1）根据题意画出图形，根据平行四边形的性质即可求得的值；（2）根据题意补全图形，延长 至点 , 使 , 连接 、 交 于点 ，证明四边形 是平行四边形，进而可得, 即有 垂直平分 ，根据，即可求解(1)当四边形 是平行四边形时, 画出图形, 如图在 中, 四边形 是平行四边

38、形，即 的值为 45(2)当 时, 为线段 的中点, 在图2中依题意补全图形如下:用等式表示线段 与 之间的数量关系 , 证明如下:延长 至点 , 使 , 连接 、 交 于点 , 如图， 为线段 的中点， 四边形 是平行四边形，而 ，在 和 中，, 即有 垂直平分 ，而 ，【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，垂直平分线的性质与判定，三角形全等的性质与判定，综合运用以上知识是解题的关键19（2022北京昌平二模）如图，已知，是的平分线，点A是射线上一点，点A关于对称点在射线上，连接交于点，过点A作的垂线，分别交，于点，作的平分线，射线与，分别交于点，(1)依题意补全图形；求度数；（用含的式

39、子表示）(2)写出一个的值，使得对于射线上任意的点A总有（点A不与点重合），并证明【答案】(1)见解析，；(2)，证明见解析【解析】【分析】（1）在ON上取，根据垂线，角平分线的画法作图即可；求出，再证明即可；（2）证明为等腰直角三角形，再证明，得到，进一步得到，证明为等腰直角三角形，得到，即可得到(1)解：作图如下：，是的平分线，点A、关于对称，即，(2)解：当时，对任意的点A总有，理由如下：A、B关于OP对称，且OP平分，OP垂直平分AB，即，为等腰直角三角形，由（1）可知：，即，在和中，AQ平分，为等腰直角三角形，为等腰直角三角形，即【点睛】本题考查作图，角平分线，等腰直角三角形，三角形

40、全等的判定及性质，解题的关键是掌握角平分线的作法及性质，垂线的作法，等腰直角三角形的判定，三角形全等的判定及性质20（2022北京海淀二模）已知AB = BC，ABC = 90，直线l是过点B的一条动直线（不与直线AB，BC重合），分别过点A，C作直线l的垂线，垂足为D，E(1)如图1，当45ABD90时，求证：CE +DE =AD；连接AE，过点D作DHAE于H，过点A作AFBC交DH的延长线于点F依题意补全图形，用等式表示线段DF，BE，DE的数量关系，并证明；(2)在直线l运动的过程中，若DE的最大值为3，直接写出AB的长【答案】(1)见解析；补全图形见解析；线段DF，BE，DE的数量关

41、系为证明见解析；(2)【解析】【分析】（1）根据ASA证明ABD BCE，推出AD=BE，BD=CE，由此得到利用同角的余角相等推出ABD=DAF利用三角形外角性质推出HED=ADF进而证明ADF BEA得到DF=AE利用勾股定理证得，由此得到（2）当直线l在ABC外部时，由（1）知ABD BCE得到DE=DB+BE=DB+AD，设AD=x，则BE=x，DB=DE-BE=3-x，推出AB2=，根据函数的性质解答(1)证明： ABC=90， ABD+CBD=90 CEl， CEB=90 CBD+C=90 ABD=C ADl， ADB=90=CEB AB=BC， ABD BCE AD=BE，BD=

42、CE ， 补全图形如图：线段DF，BE，DE的数量关系为证明如下： AFBC， BAF+ABC=180 ABC=90， BAF=90 BAD+DAF=90 ADl， ADB=90 BAD+ABD=90 ABD=DAF DFAE于H， DHE=90 HDE+HED=90 ADE=ADF+HDE=90， HED=ADF 由（1）中全等，有AD=BE， ADF BEA DF=AE 在中， (2)当直线l在ABC外部时，由（1）知ABD BCE AD=BE，BD=CE，DE=DB+BE=DB+AD，设AD=x，则BE=x，DB=DE-BE=3-x，=当x=时，AB2有最小值，即AB=故当DE取最大值3

43、时，AB为【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，二次函数的性质，熟记全等三角形的判定与性质定理是解题的关键21（2022北京中国人民大学附属中学分校一模）如图，正方形ABCD中，P为BD上一动点，过点P作交CD边于点Q(1)求证：；(2)用等式表示PB、PD、AQ之间的数量关系，并证明；(3)点P从点B出发，沿BD方向移动，若移动的路径长为4，则AQ的中点M移动的路径长为 （直接写出答案）【答案】(1)见解析(2)(3)【解析】【分析】（1）过P点作 垂足分别为E、F，由正方形性质和同角余角相等，易证得： ，即可得证（2）延长FP，交AB于G，则 ，由等腰直角三角形和勾股定理以及

44、等量代换即可求得（3）根据题意，画出运动后的M点位置，再根据三角形中位线定理即可求得(1)证明：过P点作 垂足分别为E、F，正方形ABCD， ， ， ，则四边形PEDF为正方形， ， ， ， 在和中 ， ；，(2)延长FP，交AB于G，正方形ABCD， ， ， 为等腰直角三角形，正方形ABCD，四边形BGFC为矩形，四边形GAEP为矩形， ， 为等腰直角三角形， ，由（1）得，是等腰直角三角形， ，在直角三角形AGP中， ， ， ；(3)当P在B点时，Q应该在C点，所以M应与O点重合，所以当P移动使得BP=4时，OM即为AQ中点移动的距离，由（2）可得：CF=BG= ，正方形ABCD， ， O

45、是AC中点， ， ，在等腰三角形PCQ 中， ， ，O是AC中点，M是AQ中点， 【点睛】本题考查了正方形的性质与判定，矩形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，三角形中位线定理以及勾股定理，并且考查了等量代换和动点问题，综合掌握以上性质和判定，并能熟练运用是解题关键22（2022北京东直门中学模拟预测）在中，D为边BC上一动点，点E在边AC上，点D关于点B的对称点为点F，连接AD，P为AD的中点，连接PE，PF，EF(1)如图1，当点D与点B重合时，写出线段PE与PF之间的位置关系与数量关系；(2)如图2，当点D与点B，C不重合时，判断（1）中所得的关系是否仍然成

46、立？若成立，请给出证明，若不成立，请举出反例【答案】(1)，(2)成立，证明见解析【解析】【分析】（1）由题意知三点重合，则，含30的直角三角形中，由，可知，是的中位线，有，然后求出比值即可；（2）如图2，连接，作于，轴，过作交于，交于，由题意知，是的中位线，是等边三角形，四边形是矩形，设，则，在中，由勾股定理得，求出用表示的的值，在中，由勾股定理得，求出用表示的的值，在中，由勾股定理得，求出用表示的的值，求出可得的值，进而可得的值，根据与的数量关系判断与的位置关系即可(1)解：，理由如下：由题意知三点重合，为线段的中点是中点是的中位线，(2)解：，的关系仍成立证明：如图2，连接，作于，轴，过

47、作交于，交于，由题意知，是的中位线，是等边三角形，四边形是矩形，设，在中，由勾股定理得在中，由勾股定理得在中，由勾股定理得【点睛】本题考查了含30的直角三角形，中位线，勾股定理及勾股定理的逆定理，等边三角形、矩形的判定与性质等知识解题的关键在于表示出与的长度23（2022北京二模）在中，CD是AB边的中线，于E，连接CD，点P在射线CB上（与B，C不重合）(1)如果如图1，DE与BE之间的数量关系是_如图2，点P在线段CB上，连接DP，将线段DP绕点D逆时针旋转60，得到线段DF，连接BF，补全图2猜想CP、BF之间的数量关系，并证明你的结论(2)如图3，若点P在线段CB的延长线上，且，连接D

48、P，将线段DP绕点逆时针旋转得到线段DF，连接BF，请直接写出DE、BF、BP三者的数量关系（不需证明）【答案】(1)DE=BECP=BF(2)BF-BP=2DEtan【解析】【分析】(1) 利用60的角的正切值计算即可；利用旋转的性质,直角三角形的性质,证明CDPBDF即可；(2) 利用旋转的性质,直角三角形的性质,证明CDPBDF即可(1)DE与BE之间的数量关系是DE=BE理由如下：如图，B=60，tan60=，DE与BE之间的数量关系是DE=BE，故答案为：DE=BE CP、BF之间的数量关系是CP=BF理由如下：，CD是AB边的中线，CD=AD=DB，B=60，CDB是等边三角形，C

49、DB=60，根据旋转的性质，得PDF=60，DP=DF，CDB -PDB=PDF -PDB，CDP=BDF，CD=BD，DP=DF，CDPBDF，CP=BF(2)DE、BF、BP三者的数量关系是BF-BP=2DEtan理由如下：，CD是AB边的中线，CD=AD=DB，CDB=2，根据旋转的性质，得PDF=2，DP=DF，2+PDB=2+PDB，故CDB +PDB=PDF +PDB，CDP=BDF，CD=BD，DP=DF，CDPBDF，CP=BF，BF=BC+BP，CD=DB，BC=2CE=2BE，DEAC，EDB=，tan=，即BE=DE tan，BC=2BE=2 DE tan，BF-BP=2

50、DEtan【点睛】本题考查了含30角的直角三角形，特殊角的三角函数值，三角形全等的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握直径上全等的判定和性质，灵活运用锐角三角函数是解题的关键24（2022北京门头沟二模）我们规定：如图，点在直线上，点和点均在直线的上方，如果，点就是点关于直线的“反射点”，其中点为“点”，射线与射线组成的图形为“形”在平面直角坐标系中，(1)如果点，那么点关于轴的反射点的坐标为 ；(2)已知点，过点作平行于轴的直线如果点关于直线的反射点和“点”都在直线上，求点的坐标和的值；是以为圆心，为半径的圆，如果某点关于直线的反射点和“点”都在直线上，且形成的“形”恰好与有且只有两个交点

51、，求的取值范围【答案】(1)(2)，；或【解析】【分析】（1）由题知，与关于直线对称，由此求出的坐标；（2）由题可知，点与点的纵坐标相同，又点在直线上，由此可求出的坐标，从而确定直线的位置，计算的值；分析题意，可知“点”是直线与直线的交点，分析在什么位置时，“形”与恰有个交点，求出此时的取值范围即可(1)解：由题可知，点与点关于直线对称，且，故答案是：（3，3）；(2)解：由轴可知，点与点的纵坐标相同，又，将代入，得，解得，设点关于直线的“点”为，则点与点关于直线对称，点在直线上，由题可知，“点”是直线与直线的交点，点在直线上，设，则直线与直线关于直线对称，如图与关于直线对称，设的表达式为，当

52、直线与相切时，设切点为，则圆心的切点的距离为，整理得，此时直线与相切，关于的方程有唯一解，令，解得，当直线与相切时，直线的表达式为或联立，解得，；联立，解得，点到圆心的距离等于半径，且点在直线上，点是与直线的一个交点，且为两个交点中靠下方的交点，即“形”与有且仅有两个交点，分析图象可知，当且仅当或时符合题意或【点睛】本题考查了对称的性质，圆的性质，两点之间距离公式，一元二次方程的判别式，二元一次方程组与一次函数，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题的关键25（2022北京房山二模）对于平面直角坐标系中的图形和图形给出如下定义：在图形上存在两点A，B（点A，B可以重合），在图形上存在两点M，N，（点

53、M、N可以重合）使得，则称图形和图形满足限距关系(1)如图1，点，点P在线段上运动（点P可以与点C，E重合），连接线段的最小值为_，最大值为_；线段的取值范围是_；在点O，点D中，点_与线段满足限距关系；(2)在（1）的条件下，如图2，的半径为1，线段与x轴、y轴正半轴分别交于点F，G，且，若线段与满足限距关系，求点F横坐标的取值范围；(3)的半径为，点H，K是上的两个点，分别以H，K为圆心，2为半径作圆得到和，若对于任意点H，K，和都满足限距关系，直接写出r的取值范围【答案】(1)，；O(2)(3)【解析】【分析】（1）先根据、，得到OC=，OD=1，OE=1，DE=2，再在RtCOE中，利

54、用勾股定理求出，解该直角三角形即可求出OCE=30，OEC=60，利用垂线段最短和已经求出的角度即可求出OP、DP的最大值和最小值；根据上述的值结合限距关系的定义即可判断；（2）根据，再结合（1）中的结果有可求得GFO=ECO=30，OGF=OEC=60，设F点坐标为(a,0)，分线段FG在O内部、线段FG与O有交点和线段FG在O外部三种情况讨论，利用线段到圆上的最长距离不小于线段到圆上的最短距离的2倍来分别构建不等式即可求解；（3）如图，在不影响结论的情况下，设K、H的圆心在x轴上，且关于y轴对称，根据K、H满足限距关系，构建不等式即可求解(1)如图，连接OP、DP，、，OC=，OD=1，O

55、E=1，DE=OE+OD=2，在RtCOE中，OCE=30，OEC=60，当OPEC时，OP最小，在RtOPE中，即OP=，当P点与C点重合时，OP最大，且OP=OC=，同理可求出的DP的最小值为，最大值为2，即DP的取值范围为，OP的最小值刚好等于最大值的一半，而DP的最小值大于其最大值的一半，根据限距关系的定义可知，线段EC上存在两点M、N，满足OM=2ON，故点O与线段EC满足限距关系，故答案为：，；O；(2)，结合（1）中的结果有GFO=ECO=30，OGF=OEC=60，设F点的坐标为(a,0)，根据题意有a0，则有OF=a，分三种情况讨论：第一种情况FG在O内部，即时，如图，根据（

56、1）的方法可得O点到线段FG的最小值为：OFsinGFO=a，则O到线段FG的最小值为：1-a，最大值为1+a，线段FG与O满足限距关系，解得，此时a的取值范围为：，第二种情况，FG与O有交点，如图，根据限距关系的定义可知：此时线段FG与O必满足限距关系，随着FG向右平移的过程中，当F点与表示1的点重合时，FG开始与O有交点，此时OF与O的半径相等，即OF=1，则a=1；当FG与O相切时，此时圆心O到FG的距离为圆的半径1，此时OF=2，即OF=2，则a=2；当相切之后，若FG再往右继续平移，此时FG就在圆外，此时a的取值分为为：，第三种情况，当FG在O外部，即时，如图，根据（1）的方法可得O

57、点到线段FG的最小值为：OFsinGFO=a，则O到线段FG的最小值为：a-1，最大值为a+1，线段FG与O满足限距关系，解得，此时a的取值范围为：，综上所述：F横坐标的取值范围为：，；(3)不影响结论的情况下，设K、H的圆心在x轴上，且关于y轴对称，如图，由图可知K、H上的点相距的最近距离为，最远的距离为，K、H满足限距关系，解得，r的取值范围为：【点睛】本题属于圆的综合题，考查了解直角三角形、垂线段最短、直线与圆的位置关系、限距关系的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建不等式解决问题26（2022北京市燕山教研中心一模）对于平面直角坐标系中的线段，给出如下定义：若存在使得，则

58、称为线段的“等幂三角形”，点R称为线段的“等幂点”(1)已知在点中，线段的“等幂点”是_；若存在等腰是线段的“等幂三角形”，求点B的坐标；(2)已知点C的坐标为，点D在直线上，记图形M为以点为圆心，2为半径的位于x轴上方的部分若图形M上存在点E，使得线段的“等幂三角形”为锐角三角形，直接写出点D的横坐标的取值范围【答案】(1)，；或(2)或【解析】【分析】（1）根据定义求出三角形面积与OA2进行比较即可确定线段的“等幂点”；根据定义可得，然后求出边上的高为h，再结合OAB为等腰三角形即可求出点B的坐标；（2）设半圆与x轴交于G，H两点，过T作CH的平行线与半圆交于R，作CH的垂线交半圆于Q，直

59、线y=x-3与y轴交于N，设D（x，x-3），过D作y轴平行线，与过C作x轴平行线交于F，求出N(0，-3), H(3，0)，可证ONH为等腰直角三角形，点D运动分两种情况，分别求出对应的取值范围即可.(1)解：，=，P1是线段OA的“等幂点”=， P2不是线段OA的“等幂点”=，P3不是线段OA的“等幂点”=， P4是线段OA的“等幂点”是线段的“等幂点”的是，故答案为：；如图，是线段的“等幂三角形”，点，设中边上的高为h，点B在直线或上，又是等腰三角形，点B在半径为2的上，或在半径为2的上，或线段的垂直平分线上，综上，点B的坐标为或；(2)解：设半圆与x轴交于G，H两点，过T作CH的平行线

60、与半圆交于R，作CH的垂线交半圆于Q，直线y=x-3与y轴交于N，设D（x，x-3），过D作y轴平行线，与过C作x轴平行线交于F，当x=0时，y=-3,N(0，-3),当y=0时，x-3=0，x=3，H(3，0)，ON=3=OH，ONH为等腰直角三角形，OHN=ONH=45，点D运动分两种情况，第一种情况点D在射线CH，去掉线段CH部分运动，TCNH，OHN =45，TCH为等腰直角三角形，在RtTCH中TH=2，TC=CH=THsin45=2，QC=2，又因为ECD为锐角三角形，点E在上运动，点E到CD的距离h的范围是，CD=CFcos45=CF=(x-2)，线段的“等幂三角形”，SCDE=

61、CD2，h=2CD=2(x-2)，解得，点D在H右侧，x3，； 第二种情况点D在射线CU上，去掉线段CU部分运动，点E在上运动，又因为ECD为锐角三角形，GU=GHcos45=，线段的“等幂三角形”，SCDE=CD2，h=2CD=2(2-x)，则，解得，D的横坐标的取值范围为或【点睛】本题考查新定义问题，仔细阅读新定义，抓住三角形的高为底的二倍，涉及三角形面积，等腰三角形，线段垂直平分线，直线与圆的位置关系，锐角三角函数，列双边不等式，解不等式等知识，难度较大，综合较强，熟练掌握多方面知识才是解题关键27（2022北京朝阳一模）在平面直角坐标系中，对于直线，给出如下定义：若直线与某个圆相交，则

62、两个交点之间的距离称为直线关于该圆的“圆截距”(1)如图1，的半径为1，当时，直接写出直线关于的“圆截距”；(2)点M的坐标为，如图2，若的半径为1，当时，直线关于的“圆截距”小于，求k的取值范围；如图3，若的半径为2，当k的取值在实数范围内变化时，直线关于的“圆截距”的最小值为2，直接写出b的值【答案】(1)(2)或-b【解析】【分析】(1)直线与圆的交点分别为A(0，1)和B(-1，0)，则OA=OB=1，根据勾股定理计算即可(2) 根据圆的垂径定理，确定弦长为时，弦的位置，注意分类，确定直线的解析式，根据直线的增减性，确定k的范围分最短弦长2的弦在x轴上方和下方，两种情形求解(1)解：如

63、图1，直线的解析式为y=x+1，直线与y轴的交点为A(0，1)，与x轴的交点为B(-1，0)，的半径为1，圆O与y轴的正半轴交点为A(0，1)，与x轴的负半轴交点为B(-1，0)，直线关于该圆的“圆截距”为AB，OA=OB=1，AB=(2)如图2，设直线与y轴正半轴交点为A，且A(0，1)点M的坐标为，的半径为1，圆与x轴正半轴交点为B(2，0)，当时，直线的解析式为y=kx+1，当直线经过点B时，2k+1=0，解得k=；过点M作MFAB，垂足为F，OA=1，OB=2，AB=，sinABO=，MB=1，sinABO=，设直线AB与圆M的另一个交点为C，则BC=2BF=，关于的“圆截距”小于，k

64、的取值范围是；设直线AM与圆的一个交点为N，点A(0，1)，点M的坐标为，OA=OM，AMO=45，BMN=45，根据圆的对称性，直线AB和直线AD关于直线AN对称，此时ED=CB，DMN=45，DMB=90，D的坐标为(1，-1)，k+1=-1，解得k=-2，直线AD的解析式为y=-2x+1，关于的“圆截距”小于，k的取值范围是；综上所述，k的取值范围是或如图3，设圆M与x轴的正半轴交点为A,当AF=2时，作直线AB交y轴的正半轴于点B，此时b的值最大，过点M作MDAB，垂足为D，AF=2，AD=1，MA=2，DMA=30，BAO=60，OA=3，tanBAO=，OB=OAtan60=，此时

65、b的最大值为；设圆M与x轴的正半轴交点为A,当AF=2时，作直线AC交y轴的负半轴于点C，此时b的值最小，过点M作MEAC，垂足为E，AG=2，AE=1，MA=2，EMA=30，CAO=60，OA=3，tanCAO=，OC=OAtan60=，此时b的最小值为-；故b的取值范围-b【点睛】本题考查了了垂径定理，一次函数的解析式和性质，特殊角的三角函数值，勾股定理，熟练掌握圆的性质，灵活运用特殊角的三角函数值是解题的关键28（2022北京市第一六一中学分校一模）在平面直角坐标系xOy中，对于点P和图形W，如果线段OP与图形W无公共点，则称点P为关于图形W的“阳光点”；如果线段OP与图形W有公共点，

66、则称点P为关于图形W的“阴影点”(1)如图1，已知点A（1，3），B（1，1），连接AB在P1（1，4），P2（1，2），P3（2，3），P4（2，1）这四个点中，关于线段AB的“阳光点”是 ；线段A1B1AB，A1B1上的所有点都是关于线段AB的“阴影点”，且当线段A1B1向上或向下平移时，都会有A1B1上的点成为关于线段AB的“阳光点”，若，A1B1的长为4，且点A1在B1的上方，则点A1的坐标为 (2)如图2，已知点C（1，），C与y轴相切于点D，若E的半径为 ，圆心E在直线l：上，且E的所有点都是关于C的“阴影点”，求点E的横坐标的取值范围；(3)如图3，M的半径为3，点M到原点的距离

67、为5，点N是M上到原点距离最近的点，点Q和T是坐标平面的两个动点，且M上的所有点都是关于NQT的“阴影点”直接写出NQT的周长的最小值【答案】(1)P1，P4；(2，6)(2)(3)【解析】【分析】（1）根据定义即可直接判断；由线段A1B1AB，即得出，即可得出答案；（2）分两种极限状态求解：当E与y轴相切时，设切点为F，连接EF；当E与OI相切时利用切线的性质，锐角三角函数即可求解；（3）过点O作M的两条切线OH和OP，切点分别为H和P过点N分别作OP、OH的对称点，F、E，连接EF，NE，NF，设NE交OH于点G，NF交OP于点Q根据定义，切线的性质，锐角三角函数和轴对称的性质，且判断出E

68、F为NQT的周长的最小值即可求解(1)（1）与线段AB无公共点，与线段AB有公共点，与线段AB有公共点，与线段AB无公共点，关于线段AB的“阳光点”是P1，P4故答案为：P1，P4；线段A1B1AB，点A1在B1的上方，(2，6)故答案为：(2，6)；(2)根据两种极限讨论：当E与y轴相切时，设切点为F，连接EF，轴E的半径为，此时E点横坐标为；设直线l分别与x轴，y轴交于点G，H，连接CD，CO，过点O作C的另一条切线OI，切点为I，直线OI与直线l交于点J当E与OI相切时，过点E作轴于点K，如图，C与y轴相切于点D，轴C(1，)，C与OI相切于点I，直线l分别与x轴，y轴交于点G，H，G(

69、4，0)，H(0，)，即，E与直线OJ相切，且点J为切点，在中，此时E点横坐标为综上可知点E在l上情况的位置运动到情况的位置都符合题意，；(3)如图，过点O作M的两条切线OH和OP，切点分别为H和PM上的所有点都是关于NQT的“阴影点”，点Q在切线OP上，点T在切线OH上，由题意得：OM=5，MH=3，OH为M的切线，点N是M上到原点距离最近的点，ON=OM-MN=5-3=2如图，过点N分别作OP、OH的对称点，F、E，连接EF，NE，NF，设NE交OH于点G，NF交OP于点QNQ=QF，NT=TE，即EF为NQT的周长的最小值，ON=2，解得：，即NQT的周长的最小值为；【点睛】本题为圆的综

70、合题考查对新定义的理解，切线的应用，解直角三角形以及勾股定理等知识，为中考压轴题理解新定义，并利用数形结合的思想是解题关键29（2022北京房山一模）如图1，I与直线a相离，过圆心I作直线a的垂线，垂足为H，且交I于P，Q两点（Q在P，H之间）我们把点P称为I关于直线a的“远点”，把PQPH的值称为I关于直线a的“特征数”(1)如图2，在平面直角坐标系xOy中，点E的坐标为（0，4），半径为1的O与两坐标轴交于点A，B，C，D过点E作垂直于y轴的直线m则O关于直线m的“远点”是点_（填“A”，“B”，“C”或“D”），O关于直线m的“特征数”为_；若直线n的函数表达式为，求O关于直线n的“特征

71、数”；(2)在平面直角坐标系xOy、中，直线l经过点M（1，4），点F是坐标平面内一点，以F为圆心，为半径作F若F与直线l相离，点N（1，0）是F关于直线l的“远点”，且F关于直线l的“特征数”是，直接写出直线l的函数解析式【答案】(1)D；10； O关于直线n的“特征数”为6；(2)或【解析】【分析】（1）根据题干中“远点”及“特征数”的定义直接作答即可；过圆心O作OH直线n，垂足为点H，交O于点P、Q，首先判断直线n也经过点E（0，4），在中，利用三角函数求出EFO=60，进而求出PH的长，再根据“特征数”的定义计算即可；（2）连接NF并延长，设直线l的解析式为y=kx+b1,用待定系数法

72、得到，再根据两条直线互相垂直，两个一次函数解析式的系数k互为负倒数的关系可设直线NF的解析式为y=x+b2,用待定系数法同理可得，消去b1和b2，得到关于m、n的方程组；根据F关于直线l的“特征数”是，得出NA=，再利用两点之间的距离公式列出方程(m+1)2+n2=，把代入，求出k的值，便得到m、n的值即点A的坐标，再根据待定系数法求直线l的函数表达式注意有两种情况，不要遗漏(1)解：（1）O关于直线m的“远点”是点D，O关于直线m的“特征数”为=25=10；如下图：过圆心O作OH直线n，垂足为点H，交O于点P、Q，直线n的函数表达式为，当x=0时，y=4；当y=0时，x=，直线n经过点E（0

73、，4），点F（，0），在中，=，FEO=30，EFO=60，在中，HO=FO=2，PH=HO+OP=3，PQPH=23=6，O关于直线n的“特征数”为6；(2)如下图，点F是圆心，点是“远点”，连接NF并延长，则直线NF直线l，设NF与直线l的交点为点A（m，n），设直线l的解析式为y=kx+b1（k0）,将点与A（m，n）代入y=kx+b1中，-得：n-4=mk-k，又直线NF直线l，设直线NF的解析式为y=x+b2（k0）,将点与A（m，n）代入y=x+b2中，-得：-n=+，联立方程与方程，得：解得：，点A的坐标为（，）；又F关于直线l的“特征数”是，F的半径为，NBNA=，即2NA=，

74、解得：NA=，m-(-1)2+(n-0)2=()2，即(m+1)2+n2=18，把代入，解得k=-1或k=；当k=-1时，m=2，n=3，点A的坐标为（2，3），把点A（2，3）与点代入y=kx+b1中，解得直线l的解析式为；当k=时，m=，n=，点A的坐标为（，），把点A（，）与点代入y=kx+b1中，解得直线l的解析式为直线l的解析式为或【点睛】本题是一次函数与圆的综合题，考查了直线与圆的位置关系、一次函数的图象和性质、解直角三角形等，理解“远点”和“特征数”的意义，熟练掌握一次函数的图象和性质、两点之间距离公式、两条直线互相垂直的两个一次函数解析式中系数k互为负倒数的关系是解题的关键30

75、（2022北京顺义一模）在平面直角坐标系中，的半径为2对于直线和线段BC，给出如下定义：若将线段BC沿直线l翻折可以得到的弦（，分别是B，C的对应点），则称线段BC是以直线l为轴的的“关联线段”例如：在图1中，线段BC的是以直线l为轴的的“关联线段”(1)如图2，点，的横、纵坐标都是整数在线段，中，以直线l为轴的的“关联线段”是_；(2)ABC是边长为a的等边三角形，点，若BC是以直线l为轴的的“关联线段”，求a的值；(3)如果经过点的直线上存在以直线l为轴的的“关联线段”，直接写出这条直线与y轴交点的纵坐标m的取值范围【答案】(1)，(2)(3)或【解析】【分析】（1）根据定义作关于的对称点

76、，若线段是的弦，则再次对称（依题意定义）即为的弦，据此求解即可；（2）根据（1）的方法，根据等边三角形的对称性，可知轴，设交轴于点，交于点，解进而求得的长，即的值；（3）根据题意，作的切线，求得直线解析式，即可求得的取值范围(1)根据定义作关于的对称点，若线段是的弦，则再次对称（依题意定义）即为的弦，如图，是的弦，与关于轴对称，则是以直线l为轴的的“关联线段”故答案为：(2)如图，设1交轴于点，交于点，的半径为2,，则在中，所在直线是等边三角形的对称轴，则，在中，(3)如图，过点作的切线，与交于点，取的中点,连接，,的半径为2，是与的交点是等边三角形同理也是等边三角形是等边三角形设直线的解析式为，的解析式为解得直线的解析式为，的解析式为根据定义可知，经过点的直线上存在以直线l为轴的的“关联线段”，则直线与相交，或【点睛】本题考查了新定义问题，轴对称的性质，解直角三角形，圆的性质，待定系数法求解析式，等边三角形的性质，勾股定理，切线的性质，理解定义，将圆心对称是解题的关键