【备战2022】北京中国人民大学附中高考数学（题型预测 范例选讲）综合能力题选讲 第18讲 直线与二次曲线（含详解）.docx

1、直线与二次曲线题型预测直线与圆锥曲线的位置关系，是高考考查的重中之重主要涉及弦长、弦中点、对称、参量的取值范围、求曲线方程等问题解题中要充分重视韦达定理和判别式的应用解题的主要规律可以概括为“联立方程求交点，韦达定理求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”范例选讲例1已知双曲线G的中心在原点，它的渐近线与圆相切过点作斜率为的直线，使得和交于两点，和轴交于点，并且点在线段上，又满足（）求双曲线的渐近线的方程；（）求双曲线的方程；（）椭圆的中心在原点，它的短轴是的实轴如果中垂直于的平行弦的中点的轨迹恰好是的渐近线截在内的部分，求椭圆的方程讲解：（）设双曲线的渐近线的方程为：，则由渐近线与圆相切可得

2、：所以，双曲线的渐近线的方程为：（）由（）可设双曲线的方程为：把直线的方程代入双曲线方程，整理得则 （） ，共线且在线段上， ，即：，整理得：将（）代入上式可解得：所以，双曲线的方程为（）由题可设椭圆的方程为：下面我们来求出中垂直于的平行弦中点的轨迹设弦的两个端点分别为，的中点为，则两式作差得：由于，所以，所以，垂直于的平行弦中点的轨迹为直线截在椭圆S内的部分又由题，这个轨迹恰好是的渐近线截在内的部分，所以，所以，椭圆S的方程为：点评：解决直线与圆锥曲线的问题时，把直线投影到坐标轴上（也即化线段的关系为横坐标（或纵坐标）之间的关系）是常用的简化问题的手段；有关弦中点的问题，常常用到“设而不求”

3、的方法；判别式和韦达定理是解决直线与圆锥曲线问题的常用工具）例2设抛物线过定点，且以直线为准线（）求抛物线顶点的轨迹的方程；（）若直线与轨迹交于不同的两点，且线段恰被直线平分，设弦MN的垂直平分线的方程为，试求的取值范围讲解：（）设抛物线的顶点为，则其焦点为由抛物线的定义可知：所以，所以，抛物线顶点的轨迹的方程为： （）因为是弦MN的垂直平分线与y轴交点的纵坐标，由MN所唯一确定所以，要求的取值范围，还应该从直线与轨迹相交入手显然，直线与坐标轴不可能平行，所以，设直线的方程为，代入椭圆方程得：由于与轨迹交于不同的两点，所以，即（）又线段恰被直线平分，所以，所以，代入（）可解得：下面，只需找到与

4、的关系，即可求出的取值范围由于为弦MN的垂直平分线，故可考虑弦MN的中点在中，令，可解得：将点代入，可得：所以，从以上解题过程来看，求的取值范围，主要有两个关键步骤：一是寻求与其它参数之间的关系，二是构造一个有关参量的不等式从这两点出发，我们可以得到下面的另一种解法：解法二设弦MN的中点为，则由点为椭圆上的点，可知：两式相减得：又由于，代入上式得：BB又点在弦MN的垂直平分线上，所以，所以，由点在线段BB上（B、B为直线与椭圆的交点，如图），所以，也即：所以，点评：解决直线和圆锥曲线的位置关系问题时，对于消元后的一元二次方程，必须讨论二次项系数和判别式，有时借助图形的几何性质更为方便涉及弦中点问题，利用韦达定理或运用平方差法时（设而不求），必须以直线与圆锥曲线相交为前提，否则不宜用此法从构造不等式的角度来说，“将直线的方程与椭圆方程联立所得判别式大于0”与“弦MN的中点在椭圆内”是等价的