【小升初专项训练】07 方阵问题.docx

1、第7讲 方阵问题A 较易【例1】 1四年级的同学参加“六一”儿童节的团体操表演，每横排人数同样多，每竖排人数也同样多王箐的位置是从左数第10人，从右数第8人，从前数第9人，从后数第7人则参加表演的同学有（）人A272B255C245D210【考点】N6：方阵问题【分析】由“王箐的位置是从左数第10人，从右数第8人”条件，得知王箐所在的这一横排中有10+81=17人（10、8两个数字中都包括了王箐），即每横排有17人；同理得，每竖排有9+71=15人，这样用1715即可求出问题的答案了【解答】解：10+81=17（人）9+71=15（人）1715=255（人）故选：B【例2】 2一个正方形池塘的

2、边长是12米，要在池塘四周每隔2米栽一棵树，四个顶点各栽一棵，一共要栽（）棵树A30B28C26D24【考点】N6：方阵问题【专题】455：植树问题【分析】（1）先求出12里面有几个2，再加1就是每边最多栽的棵数；（2）再用每边栽的棵数44即可解答【解答】解：122+1=7（棵），744=24（盆），答：一共要栽24棵树故选：D【例3】 3（2015创新杯）三（2）班学生排成每行人数相同的队伍（正方形方阵），参加学校运动会入场式，梅红的位置从前数是第5个，从后数是第3个；从左数是第3个，从右数是第5个，那么该班有（）人参加入场式A64B63C56D49【考点】N6：方阵问题【分析】要解决这道题

3、我们需要两个条件：一：每行有多少人？5+3=8个，这时候梅红加了两次，所以每行应该有5+31人；二：队伍的行数？用同样的方法，共有5+31（人），最后用每行人数行数，即可【解答】解：（5+31）（5+31）来源:学科网ZXXK=77=49（人）答：该班有49人参加入场式故选：D【例4】 4（2014迎春杯）如图是由15个点组成的三角形点阵，在右图中至少去掉（）个点，就不会再出现以图中的点为顶点的正三角形了A6B7C8D9【考点】N6：方阵问题【专题】456：方阵问题【分析】设最小正三角形的边长为1，即两个相邻格点的距离为1，要使不会再出现以图中的点为顶点的正三角形，就必须使任何三个点都不能组成

4、正三角形，并且为使最少，尽量去掉公共点，据此解答即可【解答】解：设最小正三角形的边长为1，如图1所示，以A为顶点可以组成边长为4、3、2、1的等边三角形，所以A点必须去掉，同理B、C也必须去掉如图2所示（空白表示必须去掉的点），围成了四个边长为2的等边三角形和若干个边长为1的等边三角形，所以必须去掉O、D、E、F因此共去掉了7个点故选：B【例5】 5（2017中环杯）小明所在学校举办运动会，所有学生站成了一个1212的实心方阵，这个方阵的最外层有44人【考点】N6：方阵问题【分析】所有学生站成了一个1212的实心方阵，说明这个方阵的最外层每边有12人，然后根据最外层人数=每边人数44；代入数据

5、即可解答【解答】解：1244=484=44（人）答：这个方阵的最外层有 44人故答案为：44【例6】 6（2015迎春杯）小鱼老师站在一个9行9列的正方形队列中，她发现自己正前方有2个人；全体右转后，小鱼老师发现自己正前方变成了4个人；如果再全体右转，小鱼老师将发现自己正前方有6人【考点】N6：方阵问题【分析】对于小鱼老师来说，她连续向右转后，就相当于小鱼老师直接向后转，这样问题就简化为，小鱼老师后面有2个人，去掉小鱼老师自己，根据方阵问题的特点还有921=6人；据此解答即可【解答】解：921=6（人）答：如果再全体右转，小鱼老师将发现自己正前方有 6人故答案为：6【例7】 7（2015学而思

6、杯）为纪念中国人民抗日战争暨反法西斯战争胜利70周年，2015年9月3日在天安门广场举行了盛大的阅兵式受阅部队中有10个英模部队方队，已知每个英模部队方队有14排，每排25人那么，受阅的10个英模方队共有3500人【考点】N6：方阵问题【分析】每个英模部队方队有14排，每排25人，每个方队就有14个25人，用25乘上14求出每个方队的人数，再乘10，即可求出10个方队一共有多少人【解答】解：251410来源:Z.xx.k.Com=35010=3500（人）答：受阅的10个英模方队共有 3500人故答案为：3500【例8】 8（2014迎春杯）同学们排成一个方阵进行广播操表演小海的位置从前、从后

7、、从左、从右数都是第5个，参加广播操表演的共有81人【考点】N6：方阵问题【分析】小海的前后左右都是第5个，包括他自己在内，每行每列都是5+51=9人；这个方队组成的是一个实心方阵，是一个正方形，最外层每条边上都有9个人，根据实心方阵的总点数=每边点数每边点数，即可解答问题【解答】解：根据题干分析可得：5+51=9（人）99=81（人）答：参加广播操表演的共有81人故答案为：81【例9】 9（2014育苗杯）学校大楼前摆放了一个方阵花坛这个花坛的最外层每边各摆了10盆花，那么这个花坛最外层共摆了36盆花【考点】N6：方阵问题【专题】456：方阵问题【分析】这个方阵花坛的最外层每边有花盆10盆，

8、可以看做每边点数为10的方阵问题，根据最外层四周的总点数=每边点数44，即可解决问题【解答】解：1044=404=36（盆），答：最外层一共摆了36盆故答案为：36【例10】 10（2011走美杯）运动会入场式要求运动员排成9行9列的正方形方阵如果去掉2行2列，每个方阵减少32名运动员【考点】N6：方阵问题【分析】9行9列，共有99=81人，如果去掉2行2列，还剩92=7行，92=7列，还剩77=49（人），然后用总人数减去剩下的人数就是减少的人数【解答】解：92=7（人），99=81（人），77=49（人），8149=32（人）；答：每个方阵减少 32名运动员【例11】 11（2006希望杯

9、）希望小学举行运动会，全体运动员的编号是从1开始的连续整数，他们按图中实线所示，从第1行第1列开始，按照编号从小到大的顺序排成一个方阵小明的编号是28，他排在第3行第4列，则运动员共有144人【考点】N6：方阵问题【分析】由题意知小明排在28号，在第3行第4列，那么前两行共有284=24人，每行有242=12人，又前两行人数相同，则各为12人，又是方阵，则共有1212=144人【解答】解：28号在第3行第4列，那么前两行共有284=24人，每行有242=12人，又是方阵，则总人数为1212=144（人）故答案为：144【例12】 12军训的学生进行队列表演，排成了一个7行7列的正方形队列，如果

10、去掉一行一列，要去掉13人【考点】N6：方阵问题【分析】由题意知，我们直接利用“方阵问题”的基本公式即可解答【解答】解：721=13（人）故：此空为13【例13】 13（2016其他杯赛）要在一个正方形的花园四周的边上种树，每边都种10棵，并且四个角上都有种1棵，一共要准备36棵树苗【考点】N6：方阵问题【分析】根据方阵问题的公式：四周点数=（每边点数1）4，代入数据解答即可【解答】解：（101）4=94=36（棵）答：一共要准备36棵树苗故答案为：36【例14】 14（2016学而思杯）一群学生组成了一个两层空心方阵，在原有方阵的最外层再增加一层，增加 后的总人数为原来人数的两倍如果想让这个

11、三层空心方阵变成一个实心方阵，至少还需要再补充1名学生【考点】N6：方阵问题【分析】由题意，新增加最外层人数和原来两层人数和相等，根据最外层和第二层相差8，所以最内层为8名学生，则要想变成一个实心方阵，至少需要在中间补充1名学生【解答】解：在原有方阵的最外层再增加一层，增加后的总人数为原来人数的两倍，则新增加最外层人数和原来两层人数和相等，因为最外层和第二层相差8，所以最内层为8名学生，则要想变成一个实心方阵，至少需要在中间补充1名学生故答案为1【例15】 15（2015陈省身杯）阳光小学的学生在操场上排成一个实心正方形方阵已知方阵最外面一圈都是男生，向内相邻一圈都是女生，然后再向内相邻一圈都

12、是男生如此下去直到最里面一圈如果男生总数比女生总数多28人，那么整个方阵共有学生196 人【考点】N6：方阵问题【分析】根据方阵知识可知，相邻每边的人数相差2，所以相邻的内外圈相差24=8人，288=34人，所以最后一圈是男生有4人，这一圈外面还有32=6圈，所以最外圈有4+68=52人，然后根据等差数列公式即可求出总人数【解答】解：相邻的内外圈相差：24=8（人）因为288=34（人），所以最后一圈是男生有4人，这一圈外面还有32=6圈，所以最外圈有：4+68=52（人）（4+52）（6+1）2=5672=196（人）故答案为196【例16】 16（2015走美杯）某小学三年级的部分学生排成

13、一个实心正方形方阵，最外面3层有学生72人，这个方阵共有学生81人【考点】N6：方阵问题【分析】因为方阵中，从外向内每边的人数依次减少2人，所以依次相差：24=8人，82=16人，假设3层人数都和最外层人数相等，共有学生72+8+16=96人，所以最外层的人数是：963=32人，则每边的人数是：324+1=9人，然后根据“实心方阵：总人数=每边人数每边人数”解答即可【解答】解：（72+24+242）34+1=9634+1=324+1=9（人）99=81（人）答：这个方阵共有学生 81人故答案为：81【例17】 17（2015学而思杯）一个四层的空心方阵，如果最外层人数是最内层人数的2倍，那么，

14、这个空心方阵一共有144个人【考点】N6：方阵问题【专题】456：方阵问题【分析】在方阵问题中，相邻的里外两层每边的人数相差2人，所以四层的空心方阵最外层每边人数比最内层每边人数多：2（41）=6人，一共多64=24人，根据差倍公式可得最内层人数是：24（21）=24人，则最外层人数是：242=48人，最外层每边的人数是：（48+4）4=13人，然后再根据“空心方阵的总人数=（最外层每边的人数空心方阵的层数）空心方阵的层数4”解答即可【解答】解：最外层比最内层多：2（41）4=64=24（人）最内层人数是：24（21）=24（人）最外层人数是：242=48（人）最外层每边的人数是：（48+4）

15、4=13（人）总人数是：（134）44=916=144（人）答：这个空心方阵一共有 144个人故答案为：144【例18】 18（2014春蕾杯）有一队学生排成一个空心方阵，最外层是52人，最内层是28人，这队学生有160人【考点】N6：方阵问题【分析】此题为空心方阵问题，每相邻的两层相差8人，已知最外层有52人，最内层有28人，则方阵的层数：（5228）8+l=4（层）；最外层每边的人数524+1=14人，共52人，由此根据“空心方阵的总人数=（最外层每边的人数空心方阵的层数）空心方阵的层数4，”即可求出这个方阵的总人数【解答】解：方阵的层数：（5228）8+l=3+1=4（层）；最外层每边的

16、人数：524+1=13+1=14（人）；总人数：（144）44=1016=160（人）；答：这一队学生共有160人故答案为：160【例19】 19有若干盆鲜花摆成一个四层的中空方阵，最外层每边有12盆，一共摆了多少盆鲜花？【考点】N6：方阵问题【分析】由题意知，要求这个四层空心方阵一共摆了多少盆鲜花，就是求这个方阵的总点数；根据方阵问题中：空心方阵的总人数=（最外层每边的人数空心方阵的层数）空心方阵的层数4解答即可【解答】解：（124）44=816=128（盆）答：一共摆了128盆鲜花【例20】 20一队学生站成20行20列方阵，如果去掉4行4列，那么要减少多少人？【考点】N6：方阵问题【分析

17、】若干名运动员站成20行20列的方阵，现在去掉4行4列，现在是（204）行（204）列，然后根据“实心方阵：总人数=每边人数每边人数”求出原来和现在的总人数，再相减即可【解答】解答：204=16（人）2020=400（人）1616=256（人）400256=144（人）答：要减少144人【例21】 21晶晶用围棋子摆成一个三层空心方阵，最外一层每边有围棋子14个晶晶摆这个方阵共用围棋子多少个？【考点】N6：方阵问题【分析】根据方阵问题中：空心方阵的总人数=（最外层每边的人数空心方阵的层数）空心方阵的层数4解答即可【解答】解：（143）34=1134=132（个）答：晶晶摆这个方阵共用围棋子13

18、2个【例22】 22做少年广播体操时，某年级的学生站成一个实心方阵时（正方形队列）时，还多10人，如果站成一个每边多1人的实心方阵，则还缺少15人问：原有多少人？【考点】N6：方阵问题【分析】当扩大方阵时，需补充10+15=25（人），这25人应站在扩充的方阵的两邻边处，形成一层人构成的直角拐角补充人后，扩大的方阵每边上有（10+15+1）2=13（人）因此，扩大的方阵共有1313=169（人），去掉15人，就是原来人数【解答】解：扩大的方阵每边上有：（10+15+1）2=13（人）；原来人数：131315=154（人）；答：原来有154人【例23】 23棋子若干粒，恰好可排成每边8粒的正方形

19、，棋子的总数是多少？棋子最外层有多少粒？【考点】N6：方阵问题【分析】棋子排成每边8粒的正方形，即每排八粒，共八排，可见棋子总数是8个8粒，即88=64粒，最外层的棋子数可按公式：一周总点数=每边粒数44求得【解答】解：88=64（粒）844=324=28（粒）答：棋子共有64粒，最外层有28粒【例24】 24一些学生，如果排成三层空心方阵，则多24人，如果在中间空心部分接一层，则少8人，共有多少学生？【考点】N6：方阵问题【分析】由题意知，空心部分接的这一层的总人数是24+8=32人，进而求得其每边的人数是9人；由此可推出方阵的最外层每边人数是9+23=15人，之后就可根据“求多层空心方阵总

20、人数的公式”即可得到排成四层空心方阵需要的人数176人，实际还差8人，这样就可知道实际共有的学生人数了【解答】解：24+8=32（人）324+1=9（人）9+32=15（人）（154）44=176（人）1768=168（人）答：共有168人【例25】 25一个五层正方形空心花坛最里层每边摆5盆花，这个花坛共有多少盆花？【考点】N6：方阵问题【分析】由题意得空心花坛最外层每边摆的花盆数，即5+24=13盆；接着再根据“求多层空心方阵总盆数的公式”即可求得问题的答案【解答】解：5+2（51）=13（盆）（135）54=160（盆）答：这个花坛共有160盆花【例26】 26一座大型雕像周围用盆花摆了

21、一个4层的正方形花坛，这些盆花如果摆成两层的正方形花坛，最外一层的盆花数比摆成4层的最外一层盆花数每边多8盆问摆这个正方形花坛用了多少盆花？（用算术法解答）【考点】N6：方阵问题【专题】456：方阵问题【分析】在方阵问题中，相邻两边的点数相差2，所以4层方阵都比最里层每边多2、4、6盆，如果每层都相等，总共多（2+4+6）4=48盆；同理，由于摆成两层比摆成4层的最外一层盆花数每边多8盆，所以两层方阵最外层和4层方阵相比较，比最里层每边多6+8=14盆，另一层多142=12盆，总共多（12+14）4=104盆；这样根据盈亏问题可得4层方阵最里层有：（10448）（42）=28盆，则向外三层分别

22、是36、44、52盆，然后相加即可【解答】解：根据分析可得，（2+4+6）4=124=48（盆）6+8=14（盆）142=12（盆）（12+14）4=264=104（盆）（10448）（42）=562=28（盆）28+24=36（盆）36+24=44（盆）44+24=52（盆）28+36+44+52=160（盆）答：摆这个正方形花坛用了160盆花【例27】 27四年级参加军训的学生排成一个方阵进行汇报演习，这个方阵最外层每边有15名学生（1）最外层一共有多少名学生？（2）这个方阵一共有多少名学生？【考点】N6：方阵问题【专题】456：方阵问题【分析】（1）根据公式：最外层人数=每边人数44；代

23、入数据即可解答（2）根据公式：实心方阵中总人数=每边人数每边人数；代入数据即可解答【解答】解：（1）1544=604来源:学.科.网=56（名），1515=225（名），答：最外层一共有56名学生，这个方阵一共有225名学生【例28】 28在正方形毛巾四周绣花，四个顶点各有一朵，如果每边都绣有5朵花，毛巾四周一共绣了多少朵花？（先在图中用“”画一画，再算一算）【考点】N6：方阵问题【专题】456：方阵问题【分析】本题看作一个空心方阵问题，利用方阵最外层四周点数=每边点数44计算出最外层四周点数即可【解答】解：画图如下：544=204=16（朵）答：毛巾四周一共绣了16朵花【例29】 29育才小

24、学有学生420人，排成了一个三成的空心方阵，这个方阵的最外层每边有多少人？【考点】N6：方阵问题【专题】456：方阵问题【分析】由题意知，这是一个三层空心方阵，已知共有学生420人，要求最外层每边有多少名学生，据方阵问题中：空心方阵的总人数=（最外层每边的人数空心方阵的层数）空心方阵的层数4，可得出：最外层每边人数=总人数4层数+层数，据此解答即可【解答】解：42043+3=35+3=38（人）答：这个方阵的最外层每边38人【例30】 30工人叔叔排成一个空心方阵，最外层共有68人，最内层共有44人，工人叔叔一共有多少人？【考点】N6：方阵问题【专题】456：方阵问题【分析】根据公式：空心方阵

25、的总人数=（最外层每边的人数空心方阵的层数）空心方阵的层数4，层数=（最外层每边的人数内层每边的人数）2+1，代入数据解答即可【解答】解：684+1=18（人）444+1=12（人）（1812）2+1=4（层）（184）44=1444=224（人）答：工人叔叔一共有224人【例31】 31同学们做操，无论是每行6人，还是每行8人或9人，都刚好能排成一个完整的长方形方阵，已知做操人数在100到200人之间做操的一共有几人？【考点】N6：方阵问题【专题】456：方阵问题【分析】求这个班学生的总人数，根据题意，也就是求6、9和8的公倍数，但数量在100到200人之间即可【解答】解：因为9=33，6=

26、32，8=222，所以6、8和9的最小公倍数是：33222=72，因为72的2倍是144，在100到200人之间，符合题意，所以做操的一共有72人答：做操的一共有72人【例32】 32参加军训的学生排成了一个正方形队列进行表演，如果这个队列横竖各增加一排，还需要补充21人参加队列表演的学生有多少人？【考点】N6：方阵问题【专题】456：方阵问题【分析】先求出现在最外层每边的人数：（21+1）2=11（人），然后根据“中实方阵的总人数=每边的人数每边的人数”，求出原来参加队列表演的师生有多少人即可，列式为：111121=100（人）【解答】解：（21+1）2=11（人），111121=12121

27、=100（人）；答：原来参加队列表演的师生有100人【例33】 33如图是一个五边形点阵，它的中心点算是第一层，第二层每边两个点（五边形顶点为相邻两边共用）第三层每边三个点若此点阵共有100层，试求出点阵中点的总数【考点】N6：方阵问题【专题】456：方阵问题【分析】第一层有1个点，第二层有5个点，第三层有10个点，第四层有15个点，第n（第一层除外）层就用（n1）5个点，那么除了第一层剩下的部分是一个公差是5的等差数列，由此求出2100这99层的数量和，再加上1个即可【解答】解：第一层有1个点，第二层有5个点，第三层有10个点，第四层有15个点，第n（第一层除外）层就用（n1）5个点，第10

28、0层有（1001）5=495个点（5+495）992+1=24750+1=24751（个）答：点阵中点的总数是24751【例34】 34用若干枚棋子摆成一个正方形，最外层共有60枚这个正方形共用棋子多少枚？【考点】N6：方阵问题【专题】456：方阵问题【分析】已知正方形最外层摆满需60枚棋子，根据方阵中“每边的枚数=四周的枚数4+1”可求得最外层每边摆了多少枚棋子，内部全部摆满，则形成一个实心方阵，要求共需多少棋子，用每边棋子数每边棋子数=总棋子数解答即可【解答】解：604+1=16（枚）1616=256（枚）答：这个正方形共用棋子256枚【例35】 35有一个站了3层人的“中空方阵”最外层每

29、边站10人算一算：全阵共站了多少人？【考点】N6：方阵问题【专题】456：方阵问题【分析】根据公式“空心方阵的总人数=（最外层每边的人数空心方阵的层数）空心方阵的层数4，”即可求出这个方阵的总数【解答】解：（103）34=734=84（人）答：全阵共站了84人【例36】 36做广播操时，某年级排成了25人一行的正方形方阵，这个方阵共有多少人？最外层共有多少人？【考点】N6：方阵问题【专题】456：方阵问题【分析】根据公式：中实方阵的总人数=每边的人数每边的人数，四周的人数=（每边的人数1）4，代入数据解答即可【解答】解：2525=625（人）（251）4=96（人），答：这个方阵共有625人，

30、最外一层共有96人【例37】 37同学们进行广播操比赛，五、六年级学生排成一个正方形方阵，最外层共有80名学生，最外层每边各有多少名学生？整个方阵一共有多少名学生？【考点】N6：方阵问题【专题】456：方阵问题【分析】由于四个顶点上的人属于相邻的两个边公共的人，所以每边的人数是：804+1=21（名），因此这个方阵共有学生2121=441（名），据此解答【解答】解：804+1=21（名）2121=441（名）答：最外层每边各有21名学生，整个方阵一共有441名学生【例38】 38某班同学在军训队列表演中恰好站成一个88的方阵，若让这些同学在一条250米长的笔直的马路上站岗，以一端开始每隔5米站

31、一个人，则站满之后还剩下多少人？【考点】N5：植树问题；N6：方阵问题【专题】456：方阵问题【分析】站成一个88的方阵，则共有88=64人，由于两端都站，所以250米长的马路包括2505=50个5米长的段（间隔数），所以站岗需要50+1=51人，站满后还剩下6451=13人【解答】解：88=64（人），2505=50（个），50+1=51（人），来源:学科网ZXXK剩下：6451=13（人）；答：站满后还剩下13人【例39】 39（2017学而思杯）艺术节上，同学们用64盆花排出一个两层空心方阵，后来又决定在外面增加一层成为三层方阵，至少需要多少盆花？【考点】N6：方阵问题【专题】456：方

32、阵问题【分析】由于方阵相邻两层每边相差2盆，共相差8盆，所以用（64+8）2可求得两层空心方阵的最外层有多少盆，再加上8盆就是在外面增加一层需要的盆数【解答】解：（64+8）2+8=722+8=36+8=44（盆）答：至少需要44盆花【例40】 4096名少先队员进行团体操表演，排成了一个四层的空心方阵，最外层每边有多少人？【考点】N6：方阵问题【专题】456：方阵问题【分析】由题意知，这是一个4层空心方阵，已知共有学生96人，要求最外层每边有多少名学生，据方阵问题中：空心方阵的总人数=（最外层每边的人数空心方阵的层数）空心方阵的层数4，可得出：最外层每边人数=总人数4层数+层数，据此解答即可

33、【解答】解：9644+4=6+4=10（人），答：这个方阵的最外层每边10人【例41】 41运动会的表演方队由306名同学组成，怎样站队才能使每行人数每列人数尽可能的接近？【考点】N6：方阵问题【专题】456：方阵问题【分析】要使每行人数每列人数尽可能的接近，把306人分解成两个数的乘积，这两个数越接近即可【解答】解：306=1718所以这个方阵每行17人，每列18人即可答：这个方阵每行17人，每列18人【例42】 42在一个合唱队中在前面看小明的位置是（9，7），在后面看的位置看是（3，5），请你算一算这个合唱队共有多少人【考点】N6：方阵问题【专题】48L：传统应用题专题【分析】在前面看的

34、位置是（9，7），从前面数她是第9列，第7行；向后转再看，位置是（3，5），她就是第3列，第5行；那么一共就有9+31=11列，7+51=11行；总人数就是1111=121（人）【解答】解：（9+31）（7+51）=1111=121（人）；答：这个合唱队共有121人【例43】 43一个正方形大舞台周长是120米，在4个角上都摆上一盆花，每条边上都摆了11盆花每盆花之间相距多少米？【考点】N6：方阵问题【专题】456：方阵问题【分析】此题属于空心方阵问题，根据四周点数=每边点数44求出一共有几盆花，然后用正方形的周长除以盆数即可解答【解答】解：120（1144）=12040=3（米）答：每盆花之

35、间相距3米【例44】 44学校举行队列比赛吋，四年级6个班排成一个大方阵，最外层每边有20人，一周一共有76人次外层每边有多少人？次外层一周共有多少人？【考点】N6：方阵问题【专题】456：方阵问题【分析】（1）在方阵问题中相邻的两层每边的点数相差2，由于最外层每边有20人，则次外层每边有：202=18（人）；（2）根据四周的人数=（每边的人数1）4，可得次外层一周共有：（181）4=68（人），据此解答即可【解答】解：（1）202=18（人）（2）（181）4=174=68（人）答：次外层每边有18人，次外层一周共有68人【例45】 45果园正方形池塘边要种柳树，每边栽6棵，最多栽多少棵？【

36、考点】N6：方阵问题【专题】456：方阵问题【分析】根据题意，在一个正方形池塘栽树，每边栽6棵，乘上边数4，即，64=24棵，因为4个角都不栽树，这时就最多【解答】解：64=24（棵）答：最多栽24棵【例46】 46将棋子排成正方形，甲乙两儿童自其外周起，轮流取一周，结果甲比乙多得24粒，求棋子总数【考点】N6：方阵问题【专题】456：方阵问题【分析】因棋子排成的是正方形，所以最里面的方阵有4粒棋子，根据方阵的特点，每外层棋子比内层棋子多8粒，每条外边比内边多2粒，根据甲比乙多得了24粒，可求出甲拿了几层，据此可求出总层数，进而求出最外层的粒数，然后求出棋子总数即可【解答】解：248=3（层）

37、32=6（层）2+（61）2=2+52=12（粒）1212=144（粒）答：棋子总数是144粒【例47】 47花坛里前、后、左、右都种了8棵柳树，一共种了多少棵柳树？【考点】N6：方阵问题【专题】456：方阵问题【分析】花坛里前、后、左、右都种了8棵柳树，说明每条边上都种了8棵柳树，把它看作一个空心方阵，那么一共种了844棵柳树【解答】解：844=324=28（棵）答：一共种了28棵柳树【例48】 48一个实心方阵，最外层共有44人请问：（1）这个方阵共有多少人？（2）要让这个方阵减少一半，一共减少了多少人？【考点】N6：方阵问题【专题】456：方阵问题【分析】（1）因为方阵的四个角上都是重复

38、的，方阵的四个角上都是重复了一次，所以计算时要减去，算每边人数时，先用总数加上4，所以每边上有（44+4）4=12人；（2）减少一半就是由原来的12行12列，减少到6行6列，6行6列就是66=36人，进而算出减少的即可【解答】解：（1）（44+4）4=12（人）1212=144（人）答：这个方阵共有144人（2）减少一半就是6行6列，14466=14436=108（人）答：一共减少了108人【例49】 49用红、绿两种颜色的小正方形瓷砖铺成一块正方形墙面，由外到内算起，这个墙面最外层铺的是红色瓷砖，第二层是绿色瓷砖，第三层是红色瓷砖，第四层是绿色瓷砖这样依次铺下次，一共使用了400块瓷砖请问：

39、这个墙面上哪种颜色的瓷砖更多？两种瓷砖相差多少块？【考点】N6：方阵问题【专题】456：方阵问题【分析】一共使用了400块瓷砖，而2020=400，说明该方阵是20行20列，因为是方阵，所以相邻的两层每边相差2块，每层相差8块，说明红色的瓷砖多从最外层开始每两层相差8块，那么共5个两层，所以相差40块【解答】解：因为：2020=400块所以该方阵是20行20列10层红色，10层绿色，而且从最外层起，相邻的红色瓷砖比与之相邻的绿色瓷砖多：24=8块85=40块答：这个墙面上红颜色的瓷砖更多，两种瓷砖相差40块【例50】 50一个正方形方队，外层有100人，问此方队共有多少人？【考点】N6：方阵问

40、题【专题】456：方阵问题【分析】由于四个顶点上的人属于相邻的两个边公共的人，所以每边的人数是：1004+1=26（人），因此这个方队共有2626=676（人），据此解答【解答】解：1004+1=26（人），2626=676（人），答：这个方队共有676人B 中等【例51】 1（2012华罗庚金杯）小虎在1919的围棋盘的格点上摆棋子，先摆成了一个长方形的实心点阵然后再加上45枚棋子，就正好摆成边不变的较大的长方形的实心点阵那么小虎最多用了（）枚棋子A285B171C95D57【考点】N6：方阵问题【专题】456：方阵问题【分析】45=145=315=59，既然是长方形，145这种不用考虑，所

41、以长方形不变的这条边长，可能是：3、5、9、15这四种要使用最多棋子，则不变的边长只能是15，棋盘最长是19格，因此最终的较大点阵是1519=285枚棋子【解答】解：45=145=315=59既然是长方形，145这种不用考虑，所以长方形不变的这条边长，可能是：3、5、9、15这四种，要使用最多棋子，则不变的边长只能是15，棋盘最长是19格，因此最终的较大点阵是：1519=285（枚）；故选：A【例52】 2（2015育苗杯）用同一规格的瓷砖铺一块正方形地面，铺的要求如图所示，正方形地面的两条对角线都用黑色，其余地方铺白色，而且黑色的瓷砖用了1001块，那么白色的瓷砖共用了250000块【考点】

42、N6：方阵问题【分析】一条对角线上的块数等于正方形边长上的块数，由于两条对角线上的中心共用一块，所以，正方形边长上的块数是（1001+1）2=501块，利用实心方阵总点数=每边点数每边点数，先求得黑白瓷砖的总块数为501501=251001块，然后用总块数减去黑色的瓷砖即为白色的瓷砖，据此解答即可【解答】解：每条边上的瓷砖块数为：（1001+1）2=501（块）黑白色瓷砖之和为：501501=251001（块），所以白色瓷砖的块数为：2510011001=250000（块）答：白色的瓷砖共用了250000块故答案为：250000【例53】 3（2014希望杯）体操表演者排成每一横行和每一竖列中

43、的人数相同的方阵，每个方阵最外一圈有16人，若四个这样的方阵恰好可以并成一个大方阵，则大方阵的最外一圈有36人【考点】N6：方阵问题【专题】456：方阵问题【分析】由于四个顶点上的人属于相邻的两个边公共的人，所以每边的人数是：164+1=5（人），因此每个方阵共有学生55=25（人），四个这样的方阵恰好可以并成一个大方阵，则大方阵的总人数为254=100（人），因为100=1010，所以每行就有10人，最外圈的人数就是1044=36（人）据此解答【解答】解：164+1=5（人）55=25（人）254=100（人）1044=36（人）答：大方阵的最外一圈有36人故答案为：36【例54】 4（20

44、13走美杯）如图：40个点组成一个两层的中空方阵，请去掉两个点，并用直线将其余的点连成两个大小相同的正方形【考点】N6：方阵问题【分析】可以去掉最外层相对的两个角上的点，然后用直线将其余的点连成两个大小相同的正方形；据此解答即可【解答】解：【例55】 5（2013春蕾杯）一群解放军战士排成一个三层空心方阵多出9人，如果在空心部分再增 加一层，还差7人，这群战士共有105人【考点】N6：方阵问题【专题】456：方阵问题【分析】由题意可知，增加的一层需要9+7=16人，设此层每边为A人，可得16=（A4）44，求得A=5，则最外层人数为5+32=11人，所以总数=（113）34+9=105人，据此

45、解答【解答】解：设此层每边为A人，由题意可得：16=（A4）44，16A=80， A=5，则最外层人数为5+32=11人，总人数：（113）34+9，=834+9，=105（人），答：这群战士共有105人故答案为：105【例56】 6（2012其他模拟）有士兵若干人，排成实心长方阵不足17人，若长、宽各少1人就余12人，已知长比宽多6人，那么士兵有199人【考点】N6：方阵问题【专题】456：方阵问题【分析】设长x人 那么宽有x6人，那么原来总人数就可以表示为：x（x6）17人；后来长、宽各减少1人后分别是：（x1）人，（x61）人，总人数又可以表示为：（x1）（x61）+12人，根据总人数不

46、变，列出方程出长的人数，进而求出宽的人数和总人数【解答】解：设长x人，那么宽有x6人，由题意得：x（x6）17=（x1）（x61）+12， x26x=x28x+7+29， 2x=36， x=18；士兵人数：18（186）17，=181217，=21617，=199（人）；答：士兵有199人故答案为：199【例57】 7（2012其他模拟）游行队伍中，手持鲜花的少先队员在一辆彩车四周围成了一个空心方阵，最外面每边 13人，最内层每边7 人，那么彩车周围的少先队员有144人【考点】N6：方阵问题【专题】456：方阵问题【分析】先算出中空边长数：72=5（人），然后根据公式“外层边长数2中空边长数2

47、=实面积数”代入数据求出总人数，列式为：13252=144（人）；据此解答【解答】解：根据分析可得，72=5（人），13252=16925，=144（人）；答：彩车周围的少先队员有144人故答案为：144【例58】 8（2012其他模拟）有学生若干人，如果排成实心方阵，则不足14人；如果每边少排1人，就余41人，那么学生一共有770人【考点】N6：方阵问题【专题】456：方阵问题【分析】如果每边少排1人，就相当于原来减少两个边的人数，根据盈亏问题可以求出原来两个边的人数：14+41=55人，那么原来方阵每个边的人数是：（55+1）2=28（人）；再根据中实方阵的总人数=每边的人数每边的人数，求

48、出总人数，列式为：2828=784（人），然后减去14人，就是实有人数【解答】解：根据分析可得，（14+41+1）2=28（人）；282814，=78414，=770（人），答：学生一共有770人故答案为：770【例59】 9（2012其他模拟）今有棋子若干枚，它们恰好可以排成一个外层每边10枚棋子的4层空心方阵，那么这些棋子的总数是多少？最外层共有棋子36枚【考点】N6：方阵问题【专题】456：方阵问题【分析】根据公式“空心方阵的总人数=（最外层每边的人数空心方阵的层数）空心方阵的层数4，”求出这个方阵的总数；外层每边10枚，一共是104=40枚棋子，但是4个角上都多算了一次，再减去4就是最

49、外层的棋子数【解答】解：（104）44，=644，=96（枚）；1044，=404，=36（枚）；答：那么这些棋子的总数是96枚，最外层共有棋子36枚故答案为：36【例60】 10（2012其他模拟）有一体育馆，地面想要铺瓷砖，排成空心方阵，外层每边26块，内层每边20块，一共使用了352块【考点】N6：方阵问题【专题】456：方阵问题【分析】此题为空心方阵问题，每相邻的两层相差8块，最外层一共有2644=100块，最内层一共有2044=76块；（10076）8=3个间隔，所以这是一个4层的中空方阵，则中间的2层分别是：76+8=84块；84+8=92块，由此即可求出这个方阵中一共使用了多少块

50、【解答】解：最外层一共有：2644=100（块），最内层一共有：2044=76（块），（10076）8=3个间隔，所以这是一个4层的中空方阵，则中间的2层分别是：76+8=84（块），84+8=92（块），所以方阵中一共有：100+92+84+76=352（块）；答：这个空心方阵一共使用了352块故答案为：352【例61】 11（2011其他模拟）888个同学排成一个方阵做操从前面往后数，小明是第15个；从左面往右数，小明是第30个那么从后面往前数，小明是第10个【考点】N6：方阵问题【专题】456：方阵问题【分析】888=8337 由小明的位置来看，方阵的长大于30，宽大于15，所以方阵的长

51、为37，宽为83=24 那么从后往前数2415+1=10，即从后往前数，小明是第10个，据此即可解答问题【解答】解：888=8337 由小明的位置来看，方阵的长大于30，宽大于15，所以方阵的长为37，宽为83=24，那么从后往前数2415+1=10，即从后往前数，小明是第10个答：从后面往前数，小明是第 10个故答案为：10【例62】 12（2010华罗庚金杯）一个8行n列的阵列队伍，如果排成若干个15行15列的方阵，还余下3人，一人举旗，2人护旗则n最小等于141【考点】N6：方阵问题【专题】456：方阵问题【分析】根据题干分析可得，这个方阵的人数是8的倍数，一个小方阵有1515=225人

52、，设有k个方阵，那么8n=225k+3，则225k+3应该是8的倍数，考虑除以8的余数，k最小为5，n最小为141【解答】解：设有k个方阵，那么8n=225k+3，当k=1时，225+3=228，不是8的倍数；不符合题意；当k=2时，2252+3=453，不是8的倍数，不符合题意；当k=3时，2253+3=678，不是8的倍数，不符合题意；当k=4时，2254+3=903，不是8的倍数，不符合题意；当k=5时，2255+3=1128，是11288=141；答：k最小为5时，n最小为141故答案为：141【例63】 13（2008走美杯）100位同学都面向主席台，排成l0行10列的方阵小明在方阵

53、中，他的正左方有2位同学，正前方有4位同学若整个方阵的同学向右转，则小明的正左方有4 位同学，正前方有7 位同学【考点】N6：方阵问题【专题】464：图形与位置【分析】根据题意，并结合方位可知：小明的正左方有2位同学，正前方有4位同学，那么他的正右方有7个同学，正后方有5个同学；现在小明向右转，转动之后他现在的正左方是原来的正前方，现在的正前方是原来的正右方；由此解答即可【解答】解：小明的正左方有2位同学，正前方有4位同学那么他的正右方有7个同学，正后方有5个同学现在小明向右转，转动之后他现在的正左方是原来的正前方有4个同学，现在的正前方是原来的正右方有7个同学；故答案为：4，7【例64】 1

54、4做广播体操时，某年级的学生站成一个实心方阵时（正方形队列）还多10人，如果站成一个每边多1人的实心方阵，则还缺少15人，原来有154人【考点】N6：方阵问题【分析】当扩大方阵时，需补充10+15=25（人），这25人应站在扩充的方阵的两邻边处，形成一层人构成的直角拐角补充人后，扩大的方阵每边上有（10+15+1）2=13（人）因此，扩大的方阵共有1313=169（人），去掉15人，就是原来人数【解答】解：扩大的方阵每边上有：（10+15+1）2=13（人）原来人数：131315=154（人）答：原来有154人故答案为：154【例65】 15四年级同学参加体操表演，先排成每边16人的实心方阵队

55、形，后来又变成一个四层空心方阵，这个中空方阵最外层有76人【考点】N6：方阵问题【分析】我们先据“排成每边16人的实心方阵”条件求得参加表演的总人数为162=256人；再结合公式“多层空心方阵总人数=（最外层每边人数空心方阵的层数）空心方阵层数4”即可求得“变成一个4层的空心方阵后最外层每边的人，进而也就能求出最外层的人数了”【解答】解：162=25625644+4=20（人）（201）4=76（人）答：这个中空方阵最外层有76人【例66】 16在一个正方形的菜地四周围篱笆，每个顶点插一根，每两根篱笆之间的距离相等，每边有12根篱笆，四周一共围了44根篱笆【考点】N6：方阵问题【分析】利用方阵

56、问题：最外层四周点数=每边点数44计算出最外层四周的根数即可【解答】解：根据分析可得，1244来源:学#科#网=484=44（根）答：四周一共围了44根篱笆故答案为：44【例67】 17有一个240人排成的5层空心方阵，再增加24人在内部，就可以使该方阵变成一个6层空心方阵【考点】N6：方阵问题【专题】456：方阵问题【分析】由题意知，这是一个5层空心方阵，已知共有学生240人，可以先求出最外层每边有多少名学生，据方阵问题中：空心方阵的总人数=（最外层每边的人数空心方阵的层数）空心方阵的层数4，可得出：最外层每边人数=总人数4层数+层数，又因为每相邻的两层中，每边人数相差2人，据此即可求出第6

57、层每边人数，再利用四周的人数=（每边的人数1）4即可求出第6层的人数，据此解答即可【解答】解：24045+5，=12+5，=17（人），1722222=7（人），（71）4=24（人），答：再增加24人在内部，就可以使该方阵变成一个6层空心方阵故答案为：24【例68】 18多思乐学联盟组织学生参加方阵列队表演，若每班60人，这个方阵至少要有4个班的同学参加；若每班70人，这个方阵至少要有3个班的同学参加那么，组成这个方阵的人数是196【考点】N6：方阵问题【专题】456：方阵问题【分析】（1）如果每班60人，至少要4个班，是240人，这意思是3个班不够，就是说180人不够；180人方阵人数24

58、0人；（2）如果每班70人，至少是3个班，是210人，也同样说明是两个班不够，就是说140人是不够的；140人方阵人数210人；解上面两个就是：180人方阵人数210人（3）方阵总人数=每边人数每边人数，所以方阵总人数是一个完全平方数，由此即可解答【解答】解：如果每班60人：603=180（人），604=240（人），由此可得：180人方阵人数240人；如果每班70人：702=140（人），703=210（人），由此可得：140人方阵人数210人；用数轴表示为：所以方阵的总人数应为：180人方阵人数210人，方阵总人数=每边人数每边人数，所以方阵总人数是一个完全平方数，180与210之间的完全

59、平方数是142=196，答：这个方阵中的总人数是196人故答案为：196【例69】 19有若干名战士，恰好组成一个八列长方形队列若在队列中再增加120人或从队列中减去120人后，都能组成一个正方形队列原长方形队列共有136名战士【考点】N6：方阵问题【专题】456：方阵问题【分析】可设原有战士8n人，8n+120=a2，8n120=b2，则存在a2b2=240，根据奇偶性相同，即可求得a、b的值，进一步求得n的值【解答】解：设原有战士8n人，8n+120=a2，8n120=b2，则存在a2b2=240，即（a+b）（ab）=240但a+b与ab的奇偶性相同，且a、b都为偶数，故a+b=120，

60、ab=2，于是a=61，b=59（不合题意舍去）；a+b=60，ab=4，于是a=32，b=28，则8x=904因为904120=784，784为28的平方，即28行28列，与题意不符，即不是在原8列的方阵中减去120，而是减去120再排成队列，所以904不符条件，应舍去；a+b=40，ab=6，于是a=23，b=17（不合题意舍去）；a+b=30，ab=8，于是a=19，b=11（不合题意舍去）；a+b=24，ab=10，于是a=17，b=7（不合题意舍去）；a+b=20，ab=12，于是a=16，b=4，则8x=136；a+b=16，ab=15，于是a=15.5，b=0.5（不合题意舍去）

61、故原长方形队列共有136名战士故答案为：136【例70】 20明明用围棋子摆成一个三层空心方阵，如果最外层每边有围棋子15个，明明摆这个方阵最里层一周共有40个棋子摆这个三层空心方阵共用了144个棋子【考点】N6：方阵问题【专题】456：方阵问题【分析】由于方阵每减少一层，每边的围棋子数减少2个，所以这个方阵最里层每边有：1522=11个，那么明明摆这个方阵最里层一周共有：（111）4=40（个）；根据公式：空心方阵的总点数=（最外层每边的点数空心方阵的层数）空心方阵的层数4，可得：（153）34=144（个）；据此解答【解答】解：根据分析可得，1522=11（个），（111）4=40（个）；

62、（153）34，=1212，=144（个）；答：明明摆这个方阵最里层一周共有40个棋子摆这个三层空心方阵共用了144个棋子故答案为：40，144【例71】 21红星小学五年级学生军训，排成一个三层空心方阵，最外层每边有20名学生，那么这个三层空心方阵共有学生204人【考点】N6：方阵问题【专题】456：方阵问题【分析】由题意知，这是一个三层空心方阵，最外层每边有20名学生，要求这个三层空心方阵共有学生多少人，就是求这个方阵的总点数；根据方阵问题中：空心方阵的总人数=（最外层每边的人数空心方阵的层数）空心方阵的层数4解答即可【解答】解：（203）34，=1734，=204（人）；答：这个三层空心

63、方阵共有学生204人故答案为：204【例72】 22甲、乙两同学按先后顺序（甲先乙后）摆放棋子，要求摆成实心正方形方阵由于每人手里一次只能拿10个棋子，故每次每人放10个现已知最后一次甲仍然放了10个，而乙放的不足10个如果他们共摆放了3000多个棋子，那么他们摆放的棋子共有3136个【考点】N6：方阵问题【专题】456：方阵问题【分析】由于中实方阵棋子的总个数=每边的个数每边的个数，即是一个平方数；又因为542=2916，552=3025，562=3136，而甲先乙后，最后结束的是乙，拿的次数应是偶数次而不是奇数次，所以那么他们摆放的棋子共有3136个【解答】解：由于中实方阵棋子的总个数是一

64、个平方数；又因为542=29163000，552=3025，562=3136，而甲先乙后，最后结束的是乙，拿的次数应是偶数次而不是奇数次，3025（10+10）=1515（个），最后放的是甲，不合题意；3136（10+10）=15616（个），最后一个周期：甲放10，乙方6个，符合题意；所以那么他们摆放的棋子共有3136个【例73】 23方阵形桃园共10层，最里层共种16棵树，若每棵桃树结桃子60千克，那么这桃园共收桃31200千克【考点】N6：方阵问题【专题】456：方阵问题【分析】“最里层共种16棵树，”先根据每边棵数=（空心方阵的四周棵数+4）4，计算出最内层每边棵数是：（16+4）4=

65、5棵，因为每相邻的两层每边点数相差是2，所以最外层每边棵数是：5+29=23棵，由此再根据关系式：中空方阵的桃树总棵数=（每边棵数层数）层数4来解答在本题中，层数是10，每边棵数是23，把这两个数据代入并计算即可求出桃树的总棵数，再乘以60就是桃子的总重量【解答】解：最内层每边棵数是：（16+4）4=5（棵），所以最外层每边棵数是：5+29=23（棵），（2310）104，=13104，=520（棵），52060=31200（千克），答：这个桃园共结桃子31200千克故答案为：31200【例74】 24某班抽出一些学生参加2004年“六一”国际儿童节队列表演如果排成一个正方形方阵（实心），就多

66、出7人；如果每行每列都增加一排，就少4人这些学生的人数是32【考点】N6：方阵问题【分析】根据题干可知，每行每列都增加一排实际就是增加了7+4=11人，由此即可求得原来每行每列的人数为：（111）2=5人，所以原来的正方形方阵有：55=25人，由此即可求出这些学生的总数【解答】解：（111）2=5（人），55+7=32（人），答：这些学生数是32人故答案为：32【例75】 25（2013学而思杯）一队战士排成一个三层空心方阵多出16人，如果在空心部分再增加一层又缺28人，这队战士共有多少人？【考点】N6：方阵问题【专题】456：方阵问题【分析】由题意可知，增加的一层需要16+28=44人，设此

67、层每边为A人，可得44=（A1）4，求得A=12，则最外层人数为12+32=18人，因为空心方阵的总人数=（最外层每边的人数空心方阵的层数）空心方阵的层数4，据此解答【解答】解：设此增加的层每边为A人，由题意可得：16+28=（A1）4 44=4A=4 4A=48 A=12则最外层每边人数为12+32=18人，总人数：（183）34+16=1512+16=180+16=196（人）答：这队战士共有196人【例76】 26（2012其他杯赛）在一个正方形的池塘四边上种树，每边种10棵（四个角上都种一棵），四边一共种了多少棵？【考点】N6：方阵问题【专题】456：方阵问题【分析】四周植树时，如果每

68、个角处都植树，那么正好围成了一个空心方阵，此时四周点数之和=每边点数44，由此即可解答【解答】解：1044=404=36（棵）答：四边一共种了36棵【例77】 27（2010两岸四地）为了迎接3.15，光明社区居委会打算从林场采购一些小树苗居委会李大妈发现，林场的一些小树苗排成一个三层的空心方阵，最里层每条边有6棵树李大妈将这些小树苗全部买下来，发动小区居民将这些树苗种在小区南边的一条马路上，这条马路长400米，只在马路的一侧种树，并且两头都种，每隔5米种一棵那么，最后还剩多少棵小树苗？【考点】N5：植树问题；N6：方阵问题【专题】456：方阵问题【分析】由题意知，这是一个三层空心方阵，最里层

69、每条边有6棵树，因为每相邻的两层之间每边上都是相差2棵树，所以最外层每边有6+2+2=10棵树，根据方阵问题中：空心方阵的总人数=（最外层每边的人数空心方阵的层数）空心方阵的层数4即可求得树苗的总棵数；再根据两头都种的植树问题，用间隔数+1求得在马路的一侧种树需要的棵数，最后二者相减就是还剩的棵数；据此解答即可【解答】解：最外层每边有6+2+2=10棵树，树苗总数：（103）34=84（棵），马路植树的棵数：4005+1=81（棵），还剩：8481=3（棵），答：最后还剩3棵小树苗【例78】 28（2006中环杯）有360个棋子，将它们围成正方形（空心或实心的），请写出四种不同的摆法，并求四种

70、情况下最外层每边棋子各是多少？【考点】N6：方阵问题【专题】456：方阵问题【分析】由题意，共有360个棋子，将它们围成正方形（空心的），可围成一层、两层、三层、五层的正方形空心方阵，根据“相邻两层点数相差8个，相邻两层边点数相差2个，以及总点数4+1=每边点数”解答即可【解答】解：第一种情况：围成一层的正方形空心方阵，最外层每边棋子是：3604+1=91个；第二种情况：围成两层的正方形空心方阵，最外层每边棋子是：（360+8）24+1=47个；第三种情况：围成三层的正方形空心方阵，最外层每边棋子是：（3603+8）4+1=33个；第四种情况：围成五层的正方形空心方阵，最外层每边棋子是：（36

71、05+16）4+1=23个【例79】 29（1992华罗庚金杯）如图，这是一个围棋盘，还有一堆围棋子，将这堆棋子往棋盘上放，当按格点摆成某个正方阵时，尚多余12枚棋子，如果要将这个正方阵改摆成每边各加一枚棋子的正方阵，则差9枚棋子才能摆满问：这堆棋子原有多少枚？【考点】N6：方阵问题【专题】489：棋盘中的数学专题【分析】由题意，当按格点摆成某个正方阵时，尚多余12枚棋子，如果要将这个正方阵改摆成每边各加一枚棋子的正方阵，则差9枚棋子才能摆满，即两次摆法相差12+9=21枚棋子，用（211）2即可求得原来正方阵的每边的点数，再据“每边的点数每边的点数=中实方阵的总点数”求得原正方阵的棋子数后再

72、加12枚即可【解答】解：12+9=21（枚），（211）2=10（枚），1010+12=112（枚），答：这堆棋子原有112枚【例80】 30在一个正方形池塘周围种树，每条边上种10棵，四个角都要种一棵，需要准备多少棵树？【考点】N6：方阵问题【分析】把树看作方阵中的点，每条边上种10棵，那么根据“最外层四周点数=每边点数44”代入数据解答即可【解答】解：1044=36（棵）答：四个角都要种一棵，需要准备36棵树【例81】 31一个实心方阵，最外层共有44人请问：（1）这个方阵共有多少人？（2）要让这个方阵总人数减少一半，一共减少了多少人？【考点】N6：方阵问题【分析】（1）因为方阵的四个角上

73、都是重复的，方阵的四个角上都是重复了一次，所以计算时要减去，算每边人数时，先用总数加上4，所以每边上有（44+4）4=12人；（2）减少一半就是由原来的12行12列，减少到6行6列，6行6列就是66=36人，进而算出减少的即可【解答】解：（1）（44+4）4=12（人）1212=144（人）答：这个方阵共有144人（2）减少一半就是6行6列，14466=14436=108（人）答：一共减少了108人【例82】 32为庆祝“六一”，同学们排成每行人数相同的鲜花队，小华的位置从左数第2个，从右数第4个；从前数第3个，从后数第5个鲜花队共多少人？【考点】N6：方阵问题【分析】要解决这道题我们需要两个

74、条件：一：每行有多少人？2+4=6，这时候小华加了两次，所以每行应该有2+41人；二：队伍的行数？用同样的方法3+51（人），最后用每行人数行数，即可【解答】解：每行的人数：2+41=5（人），队伍的行数：3+51=7（行），总人数：57=35（人）；答：鲜花队共有35人【例83】 33三（4）班排成每行人数相同的队伍入场参加校运动会，梅梅的位置从前数是第6个，从后数是第5个；从左数、从右数都是第3个三（4）班共有学生多少人？【考点】N6：方阵问题【分析】要解决这道题我们需要两个条件：一：每行有多少人？3+3=6，这时候梅梅加了两次，所以每行应该有3+31=5（人）；二：队伍的列数？用同样的方

75、法：6+51=10（人），最后用每行人数列数即可【解答】解：3+31=5（人）6+51=10（人）510=50（人）答：三（4）班共有学生50人【例84】 34同学们排队跳舞，每行、每列人数同样多小红的位置无论从前数从后数，从左数还是从右数起都是第4个跳舞的共有多少人？【考点】N6：方阵问题【分析】根据小红的位置可以分析：小红的前后左右都有3个人，即小红被重复计算了1次，4+41=7人；这个方队组成的是一个实心方阵，是一个正方形，最外层每条边上都有7个人，根据实心方阵的总点数=每边点数每边点数，即可解答问题【解答】解：4+41=7（人），77=49（人），答：跳舞的共有49人【例85】 35一

76、个正方形实心方阵，最外层总共72人，这个方阵共有多少人？【考点】N6：方阵问题【分析】根据最外层人数=每边人数44，先求出这个方阵的每边人数，再利用实心方阵总点数=每边点数每边点数即可计算这个方阵的总人数【解答】解：最外层每边人数：（72+4）4=764=19（人）；1919=361（人）；答：这个方阵共有361人【例86】 36如图，用10枚棋子可以摆出一个正三角形点阵，每边4枚棋子；如图，用9枚棋子可以摆出一个正方形点阵，每边3枚棋子今有一堆棋子，棋子总数小于200，用这堆棋子摆出一个尽可能大的正三角形点阵，结果多出13枚；而若用这堆棋子去摆某个正方形点阵，则还差11枚问这堆棋子共有多少枚

77、？【考点】N6：方阵问题【分析】我们可据“用这堆棋子摆成边长尽可能大的正三角形点阵，结果多出13枚”，得知：正三角形点阵每边上的棋子不少于13枚，所以这堆棋子数必定大于：1+2+3+12+13+13=104：再结合“而用这堆棋子摆某个正方形点阵，则还差11枚”知：这堆棋子数是在104+11=115，115+14=129，129+15=144，144+16=160，160+17=177，177+18=195（总数小于200）中能成完全平方数的数减掉11的数【解答】解：1+2+3+12+13=104（枚）104+11=115不是完全平方数，不行；若115+14=129，129+15=144，144

78、+16=160，160+17=177，177+18=195中只有129+15=144是完全平方数，符合要求；14411=133（枚）答：这堆棋子共有133枚【例87】 37国庆节期间，园林工人把40盆花排成二层中空方阵，这一方阵的外层每边摆多少盆？【考点】N6：方阵问题【分析】此题为空心方阵问题，每相邻的两层相差8人，根据和差公式可求出最外层有（40+8）2=24（盆）；由此根据“每边的点数=四周的点数4+1，”这一方阵的外层每边摆多少盆【解答】解：（40+8）2=482=24（盆）244+1=7（盆）答：这一方阵的外层每边摆7盆【例88】 38学校进行课间操比赛，高年级同学恰好可以排成一个实

79、心方阵，可学校操场较小，只好横竖各减少一排，这样就减少了23个人，问这个学校高年级有多少个学生？【考点】N6：方阵问题【分析】根据题意减少23人，使横竖各减少一排；由于在角上有一人即属于行又属于列，所以原来最外层的每边有：（23+1）2=12人，这个学校高年级的总人数就是1212=144（人）【解答】解：（23+1）2=242=12（人）1212=144（人）或 （231）2+1=12（人）1212=144（人）答：这个学校高年级有144个学生【例89】 39一队战士排成中空方阵，最外层的人数为44人，最内层的人数为28人，这方阵共有多少人？【考点】N6：方阵问题【分析】此题为空心方阵问题，每

80、相邻的两层相差8人，已知最外层有44人，最内层有28人，则方阵的层数：（4428）8+l=3（层）；最外层每边的人数444+1=12人；由此根据“空心方阵的总人数=（最外层每边的人数空心方阵的层数）空心方阵的层数4，”即可求出这个方阵的总人数【解答】解：方阵的层数：（4428）8+l=3（层）；最外层每边的人数：444+1=12（人）；总人数：（123）34=108（人）；答：这方阵共有108人【例90】 40有学生若干人，排成5层的中空方阵，最外层每边人数是12人，问有多少学生？【考点】N6：方阵问题【分析】本题可根据关系式：中空方阵的总人数=（每边人数层数）层数4来解答在本题中，层数是5，

81、每边人数是12，把这两个数据代入并计算即可【解答】解：（125）54=754=140（人）答：有140个学生【例91】 41学生参加体操表演，排成一个方队，外层共100人，参加体操表演的有多少人？【考点】N6：方阵问题【分析】根据“每边的人数=四周的人数4+1”求出每边的人数，再根据“中实方阵的总人数=每边的人数每边的人数”解答即可【解答】解：1004+1=25+1=26（人）2626=676（人）答：参加体操表演的有676人【例92】 42运动会上，五年级学生排成了一个方队（横竖行人数相等），已知最外层有60人，这个方队共有多少人？【考点】N6：方阵问题【分析】先根据每边人数=（最外层人数+

82、4）4，求出每边人数，再利用实心方阵的总人数=每边人数每边人数即可解答【解答】解：每边人数是：（60+4）4=15+1=16（人）所以方队的总人数是：1616=256（人）答：这个方队共有256人【例93】 43在学校的运动会上，同学们集体表演一个节目，站成了一个空心的正六边形阵列，与图中的阵列类似从外向内一共8层，依次站着两层六年级的同学，两层五年级的同学，两层四年级的同学以及两层三年级的同学已知参加表演的六年级同学有126名，请问：（1）最外层有多少人？（2）现在阵列中一共有多少人？（3）如果想要一、二年级的同学把这个空心阵列填满，还需要多少人？【考点】N6：方阵问题【专题】456：方阵问

83、题【分析】（1）相邻两边的人数相差1，所以相邻的两圈的人数相差6，因为六年级同学有126名，站了两层，所以根据和差问题的解答方法即可求出最外层有多少人：（126+6）2=66（人）；（2）最外层有66人，最内层有666（81）=24（人），然后根据高斯求和公式解答即可；（3）如果想要一、二年级的同学把这个空心阵列填满，里面空缺的最外一层有246=18（人），最里面有6人，有（186）6+1=3层，然后根据高斯求和公式解答，最后加上最中心的一人即可【解答】解：（1）（126+6）2=1322=66（人）； 答：最外层有66人（2）最内层有666（81）=6642=24（人）（24+66）82=9

84、04=360（人）；答：现在阵列中一共有360人（3）里面空缺的最外一层有246=18（人），最里面有6人，有（186）6+1=3（层），（18+6）32+1=36+1=37（人）答：如果想要一、二年级的同学把这个空心阵列填满，还需要37人【例94】 44费叔叔把一些树苗栽种成一个尽量大的实心方阵，结果还多出了6棵树苗，后来又运来了34棵树苗，恰好能补成一个更大的实心方阵，那么后来的方阵最外层每边有多少棵树？【考点】N6：方阵问题【专题】456：方阵问题【分析】根据“结果还多出了6棵树苗，后来又运来了34棵树苗，恰好能补成一个更大的实心方阵，”可知增加了6+34=40棵，那么后来的方阵最外层就

85、有40棵，然后根据每边的棵数=外层的总棵数4+1解答即可【解答】解：（6+36）4+1=10+1=11（棵）答：后来的方阵最外层每边有11棵树【例95】 45如图，一块绿地由3块相同的等边三角形草地和一个水池构成，现在要在草地上种花，要求在草地与草地的公共点处种上花（即图中的A、B、C点），且每块草地上的花朵排成一个三角形实心点阵，每块草地上最外层的每条边上有10朵花请问：整个绿地一共要种多少朵花？【考点】N6：方阵问题【专题】456：方阵问题【分析】先看每个等边三角形草地种花的棵数：1+2+3+10=（1+10）102=55（棵），再乘3求出总棵数，然后再减去图中的A、B、C点重复计算的棵数

86、即可【解答】解：1+2+3+10=（1+10）102=55（棵）5533=1653=162（棵）答：整个绿地一共要种162朵花【例96】 46二年级舞蹈队为全校做健美操表演，组成一个正方形队列，后来由于表演的需要，又增加一行一列，增加的人正好是17人，原来准备参加健美操表演的有多少人？【考点】N6：方阵问题【专题】456：方阵问题【分析】先求出现在最外层每边的人数：（17+1）2=9（人），然后根据“中实方阵的总人数=每边的人数每边的人数”，求出原来参加队列表演的师生有多少人即可，列式为：（91）（91）=64（人）【解答】解：（17+1）2=182=9（人）；（91）（91）=88=64（人

87、）答：原来准备参加健美操表演的有64人【例97】 47某校四年级学生排成了一个正方形的方阵参加学校广播操比赛，由于人数太多，所以去掉了一行一列，这样去掉了29人请问原来有多少人？【考点】N6：方阵问题【专题】456：方阵问题【分析】根据题干，去掉一行一列共去掉了29人，那么原来的方阵的每边人数是（29+1）2=15人，据此利用每边人数每边人数即可求出总人数【解答】解：（29+1）2=15（人）1515=225（人） 答：原来有225人【例98】 48游戏队伍中，手持鲜花的少先队员在一辆彩车四周围成了每边两层的方阵最外面一层每边13人，彩车周围的少先队员至少有多少人？【考点】N6：方阵问题【专题

88、】456：方阵问题【分析】最外层每边人数是13人，则每少一层，每边人数就少2人，即内层每层每边人数为11人；则由外到内第一层共有（131）4=48人，第二层共有（111）4=40人，据此即可解答【解答】解：最外层每边人数是13人，则每少一层，每边人数就少2人，即内层每层每边人数为11人；所以最外层共有（131）4=48（人），第二层共有（111）4=40（人），48+40=88（人），答：彩车周围的少先队员至少有88人【例99】 49在一次团体操表演中，有一个中空方阵最外层有64人，最内层有32人，参加团体操表演的共有多少人？【考点】N6：方阵问题【专题】456：方阵问题【分析】因为每相邻的两

89、层相差8人，据此可以求出这个方阵的层数是（6432）8+1=5层，又因为最外层每边人数=最外层人数4+1，据此再利用空心方阵的总人数=（最外层每边的人数空心方阵的层数）空心方阵的层数4，即可求出总人数【解答】解：这个方阵的层数是（6432）8+1=5（层），最外层每边人数是：644+1=17（人），总人数是：（175）54，=1220，=240（人），答：参加体操表演的一共有240人【例100】 50正方形舞厅四周均匀地装彩灯，如果四个角都装一盏，且每边12盏，那么这个舞厅四周共装彩灯多少盏？练一练：一个由圆片摆成的中实方阵，最外一层有12个圆片，把4个这样的中实方阵拼成一个大的中实方阵，那么

90、最外层应该有多少个圆片？【考点】N6：方阵问题【专题】456：方阵问题【分析】（1）根据方阵最外层总点数=每边点数44，代入数据计算即可解答；（2）根据方阵最外层每边点数=（总点数+4）4，可以求出小方阵的每边有（12+4）4=4个圆片，则4个这样的小方阵拼成一个大方阵后，每边是4+4=8个圆片，再利用方阵最外层总点数=每边点数44，即可解答问题【解答】解：（1）1244=484=44（盏）答：这个舞厅四周共装彩灯44盏（2）（12+4）4=164=4（个）4+4=8（个）844=324=28（个）答：最外层应该有28个圆片C 较难【例101】 1（2017华罗庚金杯）有11个正方形方阵，每个

91、都有相同数量的士兵组成，如果加上1名将军，就可以组成一个大的正方形方阵原来的一个正方形方阵里最少要有9名士兵【考点】N6：方阵问题；P1：最大与最小【分析】本题考察方阵问题【解答】解：由题，设原来的一个正方形方阵有a名士兵，则a和11a+1是一个完全平方数，当a=1时，11a+1=12，不符合题意；当a=4时，11a+1=45，不符合题意；当a=9时，11a+1=100，符合题意，所以原来的一个正方形方阵里最少要有9名士兵【例102】 2（2007小机灵杯）一个正方形队列，如果减少一横行和一竖行，要减少21人，问原正方形队列有121人【考点】N6：方阵问题【专题】456：方阵问题【分析】根据正

92、方形队列减少一横行和一竖行，要减少21人，知道（21+1）2就是原正方形队列一行的人数，由此即可求出原正方形队列的人数【解答】解：（21+1）2，=222，=11（人），1111=121（人），答：原正方形队列有121人故答案为：121【例103】 3中空方阵最外层36人，最内层12人，将这一方队改排一列纵队，前后两人相距1.5米（包括每人所占空间），这列队伍长142.5米【考点】N6：方阵问题；OK：格点面积（毕克定理）【分析】此题为空心方阵问题，每相邻的两层相差8人，已知最外层有36人，最内层有12人，则方阵的层数：（3612）8+l=4（层）；最外层每边的人数364+1=10人；由此根据

93、“空心方阵的总人数=（最外层每边的人数空心方阵的层数）空心方阵的层数4，”即可求出这个方阵的总人数，再根据植树问题，进一步解答即可【解答】解：方阵的层数：（3612）8+l=3+1=4（层）最外层每边的人数： 364+1=9+1=10（人）总人数：（104）44=616=96（人）队伍长：1.5（961）=142.5（米）答：这列队伍长142.5米故答案为：142.5【例104】 4六年一班开展植树活动，如果每行、每列的棵数相等，那么树苗将多出25棵；如果每行、每列都增植1棵，树苗将多出6棵六年一班打算种下106棵树【考点】N6：方阵问题【分析】先求出多出一组一列后多出几棵树，然后分析这几棵树

94、的组成，得到原来是几组几列【解答】解：256=19（棵）（191）2=9（棵）99+25=106（棵）故填106【例105】 5参加小学生运动会团体操的运动员排成一个正方形队列，如果要使这个正方形队列减少一行和一列，则要减少33人参加团体操表演的运动员有289人【考点】N6：方阵问题【分析】我们据已知条件和公式“去掉一行一列的总人数=原来每边人数21”，可得到排成的这个正方形队列的每边的人数是17人，之后再由求实心方阵总人数公式即可得到了问题答案【解答】解：（33+1）2=17（人）172=289（人）答：参加团体操表演的运动员有289人【例106】 6一块正方形苗圃种满了树苗后来又补种了19

95、棵，使横、竖各增加了一排，原来正方形苗圃中有81棵树苗【考点】N6：方阵问题【专题】456：方阵问题【分析】由题意知，后来又补种了19棵，使横、竖各增加了一排，即补种的19棵只是外层两条边上的总棵数，它只比相应的里层两边上的棵数多1，由此可用（191）2=9（棵）求得原来正方形苗圃中每边上的棵数，进而求得原来正方形苗圃中树苗的总棵数；据此解答【解答】解：（191）2=9（棵），99=81（棵）；答：原来正方形苗圃中有81棵树苗故答案为：81【例107】 7（2008走美杯）边长为5的正方形，被分割成55个小方格每个小方格上堆放边长为1cm的正方体积木，个数如下图所示在每个积木外露的面上贴一张红

96、纸，其它面（与其它积木块或方格纸相接的面）不贴共贴147张红纸恰贴3张红纸的有15块积木【考点】N6：方阵问题【分析】（1）按顶面和侧面分类，顶面共25张；侧面按四个方向每行每列计数，共计122张，总数：25+122=147（张）将图形四周各加5格，格内均填入0原图形中6行、6列，每个相邻两数的差（大数减小数），60个差的和为122（2）顶面贴纸四周有2个露面或顶面未贴纸四周有3个露面的积木为恰好贴3张红纸的积木个数如下图，共15块【解答】解：按顶面和侧面分类，顶面共25张；侧面按四个方向每行每列计数，共计122张，总数：25+122=147（张）将图形四周各加5格，格内均填入0原图形中6行、

97、6列，每个相邻两数的差（大数减小数），60个差的和为122 （2）顶面贴纸四周有2个露面或顶面未贴纸四周有3个露面的积木为恰好贴3张红纸的积木个数如上图，共15块故答案为：147张、15块【例108】 8（2012其他模拟）明明用棋子摆了一个五层图形，每两层棋子的个数相差5，最内层用了18个棋子，问一共用了多少个棋子？【考点】N6：方阵问题【专题】456：方阵问题【分析】因为每两层棋子的个数相差5，一共是5层，所以相差的总数为：5+52+53+54，再求出5个18是多少，最后相加即可【解答】解：185+（5+52+53+54），=90+50，=140（个），答：一共用了140个棋子【例109】

98、 9学校开联欢晚会，要在正方形的操场四周装彩灯，四个角都装一盏，每边装7盏，那么一共要准备多少盏彩灯？【考点】N6：方阵问题【分析】利用方阵最外层四周点数=每边点数44计算出一共要准备彩灯的盏数即可【解答】解：474=284=24（盏）答：一共要准备24盏彩灯；【例110】 10某部队有解放军战士若干人，正好排成一个方阵，若将此方阵改排成长方阵，因而减少6行，同时各行均增加10人问战士人数是多少？【考点】N6：方阵问题【分析】我们由“减少6行，排成方长阵各行增加10人”，得知：6行的人数与长方阵中10列的人数相等；又因长方阵中每列的人数=原正方阵每列人数6，所以这10列人数比原正方阵10列人数

99、少了610=60人由盈亏问题可知，这些人可站成原正方形阵的6行或10行少60人，可求得原方阵每行有60（106）=15人，之后便可求出战士的人数【解答】解：610=60（人）60（106）=15（人）152=225（人）答：战士人数是225人【例111】 11用绿白两种颜色的小正方形瓷砖400块铺成一块正方形墙面，这个墙面最外一周铺的是白色瓷砖，由外到里的第二周是绿色瓷砖，第三周是白色瓷砖，第四周又是绿色瓷砖，这样依次下去问这个墙面上绿色瓷砖共有多少块？【考点】N6：方阵问题【分析】我们据“用400块小正方形瓷砖铺成一块正方形墙面“得出“正方形墙面最外面一圈（即第一圈）的每边需用20块瓷砖；之

100、后可推知：第二圈每边需用202=18块瓷砖，依次为16、144、2块共有202=10圈，其中绿色瓷砖所铺的几圈每边对应为18，14，10，6，2块（最后一圈为绿色，且为实心）这样由“方阵问题的公式”便可得出绿色瓷砖的砖数【解答】解：400=2020，正方形墙面第一圈每边有20块（白色）用绿色瓷砖的第一圈每边有：202=18（块），则它的第二至第五圈每边分别是14、10、6、2块所用绿色瓷砖共计：1844+1444+1044+644+22=180（块）答：这个墙面上绿色瓷砖共有180块【例112】 12有一队学生，排成中空方阵，最外层的人数共56人，最内层的人数共32人，这一队学生共有多少人？【

101、考点】N6：方阵问题【分析】此题为空心方阵问题，每相邻的两层相差8人，已知最外层有56人，最内层有32人，则方阵的层数：（5632）8+l=4（层）；最外层每边的人数564+1=15人；由此根据“空心方阵的总人数=（最外层每边的人数空心方阵的层数）空心方阵的层数4，”即可求出这个方阵的总人数【解答】解：方阵的层数：（5632）8+l=4（层）；最外层每边的人数：564+1=15（人）；总人数：（154）44=176（人）；答：这一队学生共有176人【例113】 13有一个正方形池塘，四个角上都栽1棵树，如果每边栽6棵，四边一共栽多少棵树？练一练：有100个少先队员参加广播操比赛，十人一行，排成

102、了一个正方形队这个正方形四周站了多少个少先队员？【考点】N5：植树问题；N6：方阵问题【专题】455：植树问题；456：方阵问题【分析】（1）根据题意，在一个正方形池塘栽树，每边栽6棵，乘上边数4，即，64=24棵，因为4个角都栽一棵树，每个角的树都多数了一次，再减去4即可（2）根据题干分析可得，这个正方形方阵的每边人数是10人，根据方阵最外层总人数=每边人数44计算即可解答【解答】解：（1）644，=244，=20（棵）答：塘边一共栽了20棵（2）1044，=404，=36（人），答：正方形四周站了36人【例114】 14某学校三年级举行方阵队列表演四二班的同学排成了8行8列如果去掉1行1列

103、，要去掉多少人？还剩多少人？【考点】N6：方阵问题【专题】456：方阵问题【分析】由题意知，每行每列都有8个人，而这一行一列必有一个人是重复的，所以减少的人数是821=15（人），用总人数（88）减去要去掉的人数就是还剩下的人数；据此解答【解答】解：减少的人数：821=15（人），还剩的人数：8815=49（人）；答：如果去掉一行一列，则要去掉15人，还剩49人【例115】 15有若干盆鲜花摆成一个四层的中空方阵，最外层每边有12盆，一共摆了多少盆鲜花？【考点】N6：方阵问题【专题】456：方阵问题【分析】由题意知，摆成的是一个四层的中空方阵，最外层每边有12盆，由于相邻两层每边相差2个，则由

104、外向里的两层每边分别是（122）个、（1222）个、（1223）个，根据“四周的盆数=（每边的盆数1）4”可分别求得这四层鲜花的盆数，再相加就是所用的总盆数，据此解答【解答】解：最外层：（121）4=44（盆），第二层：（1221）4=36（盆），第三层：（12221）4=28（盆），第四层：（12231）4=20（盆），一共摆了：44+36+28+20=128 （盆）；答：一共摆了128盆鲜花【例116】 16小美用棋子摆了一个空心方阵，最外每边摆30颗棋子，一共摆了5层，那么这个方阵一共用了多少颗棋子？【考点】N6：方阵问题【专题】456：方阵问题【分析】利用空心方阵公式：（最外边数一层数

105、）层数4=总数；据此即可解答问题【解答】解：棋子总数：（305）54，=2520，=500（颗）答：一共用了500颗棋子【例117】 17学校组织一次团体操表演，把男生排列成一个实心方阵，又在这个实心方阵四周站一排女生女生有72人参加表演，男生有多少人？【考点】N6：方阵问题【分析】根据题干可得：此题是一个实心方阵问题，这个方阵的四周总点数为72，由此可以求得每边点数为：724+1=19，由此可得这个实心方阵的总点数为：1919=361，那么减去最外层的女生人数，即可得出男生人数【解答】解：每边点数为：724+1，=18+1，=19（人），总点数为：1919=361（人），男生人数为：3617

106、2=289（人），答：男生有289人【例118】 18小强用棋子排成了一个每边11枚的中空方阵，共2层，求这个方阵共用多少枚棋子？【考点】N6：方阵问题【分析】此题为空心方阵问题，空心方阵每边点数为11，那么第2层的每边点数就是112=9，由此利用四周点数之和=每边点数44即可解答【解答】解：1144=444=40（枚），（112）44=364=32（枚），40+32=72（枚），答：这个方阵共有72枚棋子【例119】 19在正方形的广场四周装彩灯，四个角上都装一盏，每边装25盏，问这个广场一共需装彩灯多少盏？【考点】N6：方阵问题【分析】这个问题可以看做是空心方阵问题：根据四周点数之和=每边

107、点数44即可计算所需要的彩灯盏数【解答】解：2544，=1004，=96（盏）；答：这个广场一共需要彩灯96盏【例120】 20（2013小机灵杯）有若干名学生，恰好组成一个八列长方形方阵如果在队列中再增加120人或从队列中减去120人，都能组成一个方形方阵，那么原长方形方阵中有多少名学生呢？【考点】N6：方阵问题【专题】456：方阵问题【分析】可设原有战士8n人，8n+120=a2，8n120=b2，则存在a2b2=240，根据奇偶性相同，即可求得a、b的值，进一步求得n的值【解答】解：设原有战士8n人，8n+120=a2，8n120=b2，则存在a2b2=240，即（a+b）（ab）=24

108、0但a+b与ab的奇偶性相同，且a、b都为偶数，故a+b=120，ab=2，于是a=61，b=59（不合题意舍去）；a+b=60，ab=4，于是a=32，b=28，则8x=904因为904120=784，784为28的平方，即28行28列，与题意不符，即不是在原8列的方阵中减去120，而是减去120再排成队列，所以904不符条件，应舍去；a+b=40，ab=6，于是a=23，b=17（不合题意舍去）；a+b=30，ab=8，于是a=19，b=11（不合题意舍去）；a+b=24，ab=10，于是a=17，b=7（不合题意舍去）；a+b=20，ab=12，于是a=16，b=4，则8x=136；a+

109、b=16，ab=15，于是a=15.5，b=0.5（不合题意舍去）故原长方形队列共有136名战士【例121】 21如图，这是一些棋子摆成的正三角形点阵，和“空心方阵”类似，也可以有“空心三角阵”（1）如果有一个5层的空心三角阵，最外层每边有20个棋子，那么一共有多少枚棋子？（2）如果一个空心三角阵共有294枚棋子，那么它最多有多少层？（3）如果一个空心三角阵共有294枚棋子，不止一层，那么它的最外层最多有多少枚棋子？【考点】N6：方阵问题【专题】456：方阵问题【分析】（1）根据空心三角阵的特点可知，相邻两层的点数相差9个，然后根据每层点的个数=每边的个数33代入数据求出最外层的点数，然后根据

110、等差数列解答即可；（2）最里层的个数6开始，要使一个空心三角阵的层数最多，要从里面第二层6+9=15个计数，设一共有n层，公差为9，然后根据等差数列解答即可；（3）要使它的最外层最多，必须层数最少，因为294是偶数，所以从外向内依次减少的总枚数必须是偶数，即9、9+92=27、9+92+93=54，其中最少的是54，所以共有4层时，它的最外层最多；然后再进一步解答即可【解答】解：（1）2033=57（枚）579（51）=21（枚）（57+21）52=7852=195（枚）答：一共有195枚棋子（2）设一共有n层，15n+n（n1）92=2943n2+7n196=0解得：n=7答：它最多有7层（

111、3）因为294是偶数，所以从外向内依次减少的总枚数必须是偶数，即9、9+92=27、9+92+93=54，其中最少的是54，所以共有4层时，它的最外层最多；所以最外层最多有：（294+54）4=87（枚）答：它的最外层最多有87枚棋子【例122】 22阿奇用一些棋子摆成了一个两层的空心方阵，后来他又多摆上去28个棋子，使得图形变成一个三层的空心方阵，开始时阿奇可能摆了多少个棋子？【考点】N6：方阵问题【专题】456：方阵问题【分析】由题意知，组成一个新的三层空心方阵有两种情况，即单层空心方阵可以放在双层空心方阵的里面，也可以放在双层空心方阵的外面如果放在里面，那么原有棋子（28+8）+（28+

112、8+8）=80枚；如果放在外面，那么原有棋子（288）+（2888）=32枚据此解答【解答】解：如果单层空心方阵放在双层空心方阵的里面，那么原有棋子（28+8）+（28+8+8）=80枚；如果单层空心方阵放在双层空心方阵的外面，那么原有棋子（288）+（2888）=32枚；所以原来用了80枚棋子或32枚棋子；答：他原来用了棋子80枚或32枚【例123】 23阳光小学的学生在操场上排成一个方阵，方阵的行距和列距都相等，已知方阵最外面一圈都是男生，往内一圈都是女生，然后是男生如此下去直到最里面，如果男生总数比女生总数多52人，那么共有学生多少人？【考点】N6：方阵问题【专题】456：方阵问题【分析

113、】根据方阵知识可知，相邻每边的人数相差2，所以相邻的内外圈相差24=8人，528=64（人），所以最后一圈是男生有4人，这一圈外面还有62=12圈，所以最外圈有4+128=100人，然后根据等差数列公式即可求出总人数【解答】解：相邻的内外圈相差：24=8（人）因为528=64（人）所以最后一圈是男生有4人，这一圈外面还有62=12圈，所以最外圈有：4+128=100（人）（4+100）（12+1）2=104132=676（人）答：共有学生676人【例124】 24某班同学在军训队列表演中恰站成一个双层空心方阵，外层的每边站了9名同学若让这个班同学在一条250米长的笔直马路上站岗，从一端开始每隔

114、5米站一人，则站满之后还剩下多少人？【考点】N6：方阵问题【专题】456：方阵问题【分析】双层空心方阵的内层每边应站92=7人，故该班共有（91）+（71）4=56人，由于两端都站，所以250米长的马路包括255=50个5米长的段（间隔数），所以站岗需要50+1=51人，站满后还剩下5651=5人【解答】解：方阵的内层每边站92=7人，（91）+（71）4=56（人），2505=50（个），50+1=51（人），剩下：5651=5（人）；答：满后还剩下5人【例125】 25小美将一些纸鹤摆成一个空心的方阵已知最外层她摆了44只纸鹤，最内层摆了20只纸鹤那么，小美摆完这个方阵一共用了多少只纸鹤？【考点】N6：方阵问题【专题】456：方阵问题【分析】此题为空心方阵问题，每相邻的两层相差8只纸鹤，已知最外层她摆了44只纸鹤，最内层摆了20只纸鹤，则方阵的层数：（4420）8+l=4（层）；由此即可求出这个方阵的纸鹤总数【解答】解：方阵的层数：（4420）8+1，=248+1，=3+1，=4（层）；纸鹤的总数：204+8+82+83，=80+8+16+24，=88+16+24，=104+24，=128（只）答：小美摆完这个方阵一共用了128只纸鹤