【机构秘籍】小学奥数题库《几何》-直线型-毕克定理-0星题（含解析）全国通用版【唯一店：教师学科网资料】.docx

1、几何-直线型几何-毕克定理-0星题课程目标知识点考试要求具体要求考察频率毕克定理B1.了解格点图形的概念。2.熟悉毕克定理并且能够应用毕克定理解决相关的格点面积。少考知识提要毕克定理 概念格点多边形：多边形的边必须是直线段，顶点要在格点上 正方形格点和毕克定理一张由水平线和垂直线组成的方格纸，我们把水平线和垂直线的交点称为“格点”水平线和垂直线围成的每个小正方形称为“面积单位”毕克定理： S=N+L2-1 其中，N 表示多边形内部格点数，L 表示多边形边界上的格点数，S 表示多边形的面积 三角形毕克定理 S=(N+L2-1)2=2N+L-12 其中，N 表示多边形内部格点数，L 表示多边形边界

2、上的格点数，S 表示多边形的面积精选例题毕克定理 1. 如下图所示，网格中每个小正方格的面积都为 1 平方厘米小明在网格纸上画了一匹红鬃烈马的剪影（马的轮廓由小线段组成，小线段的端点在格子点上或在格线上），则这个剪影的面积为 平方厘米【答案】56.5【分析】通过分割和格点面积公式可得小马总面积为 56.5 个正方形，即面积为 56.5 平方厘米 2. 如图相邻两个格点间的距离是 1，则图中阴影三角形的面积为 【答案】1211【分析】连接 AD、CD、BC则可根据格点面积公式，可以得到 ABC 的面积为：1+42-1=2,ACD 的面积为：3+32-1=3.5,ABD 的面积为：2+42-1=3

3、.所以BO:OD=SABC:SACD=2:3.5=4:7,所以SABO=44+7SABD=4113=1211. 3. 如图，水平相邻和竖直相邻的两个格点间的距离都是 1，则图中阴影部分的面积是 【答案】17【分析】根据毕克定理，正方形格点图算面积：面积=内部点+边界点2-1.内部点：8 个；边界点：20 个；所以面积：8+202-1=17. 4. 在平面上，用边长为 1 的单位正方形构成正方形网格，顶点都落在单位正方形的顶点（又称为格点）上的简单多边形叫做格点多边形最简单的格点多边形是格点三角形，而除去三个顶点之外内部或边上不含格点的格点三角形称为本原格点三角形如右图所示的格点三角形 BRS每

4、一个格点多边形都能够很容易地划分为若干个本原格点三角形那么，右图中的格点六边形 EFGHKB 可以划分为 个本原格点三角形【答案】36【分析】根据格点面积公式：格点多边形面积=多边形内部格点数+多边形一周的格点数2-1,可得面积：15+82+1=18,每个本原格点三角形最小面积是1112=12,所以可以划分为本原格点三角形的个数为1812=36(个). 5. 下图中正六边形的面积为 24 平方米，其中 A、B、C 都是所在边的中点，D 是 BC 的三等分点，阴影部分的面积是 平方米【答案】5【分析】将六边形分割为三角形格点，如上图所示，正六边形被分成 24 个面积为 1 平方米的正三角形，根据

5、毕克公式，内部点 n=2，边上点 b=3，则阴影的面积为：(2+32-1)2=5（平方米） 6. 图中由 16 个 11 的小正方形组成，图中 ABC 的面积是 【答案】7【分析】法一：毕克定理由正方形格点下的毕克定理可知：面积=内点数+边点数2-1.那么 ABC 的面积为：6+42-1=7.法二：图形分割ABC 和另外三个边外的三角形恰好组成一个正方形；因此 ABC 的面积为：44-(422)-(232)-(412)=7. 7. 如图，相邻两个格点的距离都是 1，“乡村小屋”的面积是多少？【答案】18【分析】方法一：利用割补，图形是由 18 个单位正方形组成的，所以面积是 18方法二：利用毕

6、克定理，N:9 个，L:20 个，S=9+202-1=18 8. 如图，如果每个小等边三角形的面积都是 1 平方厘米四边形 ABCD 和三角形 EFG 的面积分别是多少平方厘米？【答案】20 平方厘米，10 平方厘米【分析】四边形 ABCD 中，N:9 个，L:4 个，毕克定理可知S四边形ABCD=9+42-12=20(平方厘米);在三角形 EFG 中，N:4 个，L:4 个，S三角形EFG=4+42-12=10(平方厘米). 9. 如图，已知相邻两个格点距离为 1，计算这个格点多边形的面积是多少？【答案】10【分析】方法一：利用割补三角形包含在 46 的长方形中，所以利用整体减部分，所以图中

7、三角形面积是 46-242-242-262=10方法二：利用毕克定理，N:8 个，L:6 个，S=8+62-1=1010. 已知相邻两个格点距离为 1，求下列各个格点多边形的面积是多少？【答案】15；20【分析】利用毕克定理，图（1）N:10 个，L:12 个，面积是 10+122-1=15；图（2）N:16，L:10，面积是 16+102-1=2011. 如图，计算图形面积是多少？（每相邻三个点“”或“”成面积为 1 的等边三角形）【答案】12【分析】方法一：利用分割法，将原四边形分割成两个三角形 ABC 和 ABD，ABC 是单位三角形 CEF 面积的 4 倍，从而面积是 4同理 ABD

8、的面积是单位三角形 CEF 的 8 倍，所以面积是 8，因此四边形面积是 4+8=12方法二：利用三角形毕克定理：S=N+L2-12，N:5 个，L:4 个，所以面积是 5+42-12=1212. 计算图形面积是多少？（每相邻三个点“”或“”成面积为 1 的等边三角形）【答案】24【分析】利用毕克定理N:8 个，L:10 个，S=8+102-12=2413. 如图，是一个漂亮礼盒的平面图，已知相邻两个格点距离为 1，请求出图形的面积是多少？【答案】21【分析】方法一：利用割补，图中长方形的面积是 26=12，左边三角形我们可以把它包含在一个 44 的方阵中如下左图，用总面积减去其他三角形的面积

9、，所以左边三角形面积是 44-342-122-242=5，右边三角形同理包含在一个 45 的长方形中，所以右边三角形的面积是 45-1+542-412-412=4，所以礼盒的总面积是 12+5+4=21方法二：利用毕克定理，略14. 计算下面各图形面积是多少？（每相邻三个点“”或“”成面积为 1 的等边三角形）【答案】22；23【分析】利用毕克定理图（1），N:7 个，L:10 个，S=7+102-12=22；图（2），N:5，L:15，S=5+152-12=2315. 已知相邻两个格点距离为 1，分别计算图中两个格点多边形的面积是多少？【答案】9；10【分析】方法一：利用割补左图包含在 34

10、 的长方形中，所以利用整体减部分，所以左图面积是 34-132-132=9；右图包含在 44 的正方形中，所以右图的面积是 44-212-112-332=10方法二：利用毕克定理，在左图中 N:6 个，L:8 个，左图的面积是 S=6+82-1=9；在右图中 N:6 个，L:8 个，右图的面积是 S=6+102-1=1016. 如图，水平方向和竖直方向上相邻两点之间的距离都是 m，若四边形 ABCD 的面积是 23，求五边形 EFGHI 的面积【答案】28【分析】根据毕克定理：S=a+b2-1,有(10+52-1)m2=23,有m2=2;所以五边形 EFGHI 的面积是(12+62-1)2=2

11、8.17. 如图，每个小正方形的面积均为 2 平方厘米阴影多边形的面积是多少平方厘米？【答案】19 平方厘米【分析】阴影部分的面积为：7+72-12=19(平方厘米)18. 下图是由 8 个边长为 1 厘米的正方形所组成，共有 15 个格点请以这 15 个格点中的 3 个为顶点作一个面积为 3.5 平方厘米的三角形【答案】【分析】方法一：总面积为 118=8（平方厘米），所以需要去掉 8-3.5=4.5（平方厘米），如上图所示，图中三角形 ABC 的面积是 3.5 平方厘米方法二：根据格点图形面积的计算公式，三角形的面积是 3.5 平方厘米，则三角形的边上和内部应该各有三个格点，同样能作出如图

12、所示图形19. 求下列格点多边形的面积（每相邻三个点“”或“”成面积为 1 的等边三角形）【答案】19；19；18；21【分析】方法一：分割法，略方法二：毕克定理，图（1）N:7 个，L:7 个，S=7+72-12=19；图（2）N:8 个，L:5 个，S=8+52-12=19；图（3）N:7 个，L:6 个，S=7+62-12=18；图（4）N:8 个，L:7 个，S=8+72-12=2120. 如图，如果每一个小三角形的面积是 1 平方厘米，那么四边形 ABCD 的面积是多少平方厘米？【答案】20【分析】方法一：正三角形方形格点阵中多边形面积公式：(2N+L-2)单位正三角形面积其中 N

13、为图形内格点数，L 为图形周界上格点数有 N=9，L=4，所以用粗线围成的图形的面积为：(92+4-2)1=20(平方厘米).方法二：如下图，我们先数出粗实线内完整的小正三角形有 10 个，而将不完整的小正三角形分成 4 部分计算，其中 部分对应的平行四边形面积为 4，所以 部分的面积为 2，、 部分对应的平行四边形面积分别为 2，8，6，所以 、 部分的面积分别为 1，4，3所以粗实线内图形的面积为10+2+1+4+3=20(平方厘米).21. 如图，计算各个格点多边形的面积是多少？（水平方向或竖直方向的两个相邻格点距离是 1）【答案】16；15；10；15；12【分析】图（1），是正方形数

14、格点距离边长是 4，所以面积为 44=16(单位面积)；图（2），长方形长是 5，宽是 3，所以面积为 53=15(单位面积)；图（3），三角形的面积是 542=10(单位面积)；图（4），平行四边形面积是 53=15(单位面积)；图（5），梯形面积是 3+532=12(单位面积)22. 如图，有 21 个点，每相邻三个点成“”或“”，所形成的三角形都是等边三角形计算三角形 ABC 的面积是多少？【答案】10【分析】方法一：利用割补，将 ABC 分割成四个三角形，易得 SDEF=1，SACD=2，SAEB=3，SFBC=4，所以 SABC=1+2+3+4=10方法二：毕克定理，N:4 个，L:

15、4 个，所以 SABC=4+42-12=1023. 如图，每一个小方格的面积都是 1 平方厘米，那么用粗线围成的图形的面积是多少平方厘米？【答案】6.5【分析】方法一：正方形格点阵中多边形面积公式：(N+L2-1)单位正方形面积，其中 N 为图形内格点数，L 为图形周界上格点数有 N=4，L=7，则用粗线围成图形的面积为：(4+72-1)1=6.5(平方厘米)方法二：如下图，先求出粗实线外格点内的图形的面积，有=32=1.5=22=1=22=1=22=1=22=1=22=1还有三个小正方形，所以粗实线外格点内的图形面积为1.5+l+1+1+1+1+3=9.5,而整个格点阵所围成的图形的面积为 16，所以粗线围成的图形的面积为：16-9.5=6.5(平方厘米).24. 如图，中相邻两个格点的距离都是 1，图中三个图形的面积分别是多少？【答案】3；11；5.5【分析】方法一：利用割补，第一个图“喇叭”的面积是 3；第二个图“狗”的面积是 11；第三个图“猫”的面积是 5.5方法二：利用毕克定理，S=N+L2-1用 N 表示多边形内部格点，L 表示多边形周界上的格点，S 表示多边形面积内部点边上点正方形个数喇叭080+82-1=3狗2202+202-1=11猫0130+132-1=5.525. 计算下图面积并完成表格（每个小正方形面积是 1）【答案】见解析【分析】