专题 方程思想在勾股定理中的应用（原卷版）.docx

1、 八年级下册数学第十七章 勾股定理专题 方程思想在勾股定理中的应用题型一 利用直角三角形三边的和差倍分关系求边长【例题1】在RtABC中，C90，A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a：b3：4，c10，则ABC的面积为（）A24B12C28D30【变式1-1】直角三角形的斜边为20cm，两直角边之比为3：4，那么这个直角三角形的周长为（）A27cmB30cmC40cmD48cm【变式1-2】在ABC中，C90，a+c32，a：c3：5，则ABC的周长为 【变式1-3】（2022春天门校级月考）一直角三角形的一直角边长为6，斜边长比另一直角边长大2，则该三角形的面积为（）A8B10C24D

2、48【变式1-4】已知直角三角形的斜边为2，周长为2+6则其面积是（）A12B1C62D2【变式1-5】（2022秋遂川县期末）如图，在ABC中，C90，BC=42，AB3AC，求AC的长【变式1-6】（2022春虞城县期中）在RtABC中，C90，A、B、C的边分别为a、b、c，（1）若a：b3：4，c15，求a，b的值（2）若ca4，b16，求a的值【变式1-7】如图，点C为线段AB上一点，将线段CB绕点C旋转，得到线段CD，若DAAB，AD1，BD=17，则BC的长为 【变式1-8】（2021秋重庆期中）如图，RtABC中，CAB90，ABD是等腰三角形，ABBD4，CBBD，交AD于E

3、，BE1，则AC 【变式1-9】（2021春盘龙区期末）如图，在矩形ABCD中，AB4，BC8，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE垂直AC交AD于点E，则DE的长是（）A3B5C2.4D2.5【变式1-10】（2021秋建湖县期末）如图，在ABC中；ABAC，BC13，D是AB上一点，BD5，CD12（1）求证：CDAB；（2）求AC长题型二 利用公共边相等结合勾股定理列方程求长度【例题2】（2022秋南京期末）如图，在ABC中，ADBC，交BC于点D，AB17，AC10（1）若CD6，则AD ，BD ；（2）若BC20，求CD的长【变式2-1】如图，在锐角ABC中，已知AB15，BC1

4、4，AC13，ADBC于D点，求AD的长【变式2-2】已知在ABC中，D是BC的中点，DEBC，垂足为D，交AB于点E，且BE2AE2AC2（1）求A的度数；（2）若DE3，BD4，求AE的长【变式2-3】如图，在ABC中，AC=61，BC13，AD、CE分别是ABC的高线与中线，点F是线段CE的中点，连接DF，若DFCE，则AB（）A10B11C12D13【变式2-4】（2021秋浑南区期末）如图，四边形ABCD，ABBC，ABCD，ABBC4，CD2，点F为BC边上一点，且CF1，连接AF，DGAF垂足为E，交BC于点G，则BG的长为 【变式2-5】如图，ABC90，AB6cm，AD24c

5、m，BC+CD34cm，C是直线l上一动点，请你探索当C离B多远时，ACD是一个以CD为斜边的直角三角形？【变式2-6】（2022秋南海区期末）如图，在ABC中，ABBC10，AC210，ADBC，垂足为D（1）求证：B2CAD（2）求BD的长度；（3）点P是边BC上一点，且点P到边AB和AC的距离相等，求点P到边AB距离题型三 翻折问题中的方程思想【例题3】如图，在RtABC中，BAC90，AB6，AC8，D为AC上一点，将ABD沿BD折叠，使点A恰好落在BC上的E处，则折痕BD的长是（）A5B34C3 5D61【变式3-1】如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC6cm、BC8cm，现将A

6、BC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则CD的长为（）A154cmB254cmC74cmD无法确定【变式3-2】如图，在RtABC中，B90，AB4，BC3，延长BC至E，使得CEBC，将ABC沿AC翻折，使点B落点D处，连接DE，则DE的长为（）A95B125C165D185【变式3-3】如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，4），B（3，0），连接AB将AOB沿过点B的直线折叠，使点A落在x轴上的点A处，折痕所在的直线交y轴正半轴于点C，则点C的坐标为 【变式3-4】（2022秋沙坪坝区期末）如图，ABC是将长方形ABCD沿着AC折叠得到的若AB4，BC6，则OD的长为 【变式3-5】

7、如图，四边形OABC是一张放在平面直角坐标系中的长方形纸片，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA10，OC8，在OC边上取一点D，将纸片沿AD翻折，使点O落在BC边上的点E处（1）求CE的长；（2）求点D的坐标【变式3-6】（2022秋锦江区校级期中）如图，长方形OABC在平面直角坐标系中，A（6，0），B（6，2），折叠长方形使得点C与点A重合，折痕交BC于点D、交OA于点E，点O的对应点为F（1）求点D的坐标；（2）求折痕DE的长度题型四 实际问题中的方程思想【例题4】（2022秋兴化市期末）如图是一个长方形的大门，小强拿着一根竹竿要通过大门他把竹竿竖放，发现竹竿比大

8、门高1尺；然后他把竹竿斜放，竹竿恰好等于大门的对角线的长已知大门宽4尺，请求出竹竿的长【变式4-1】（2021秋源城区月考）学校运动场上垂直竖立的旗杆的顶端A系有一根升旗用的绳子，绳子垂直到地面时还剩1米长在地面（如图），小芳为了测量旗杆AB的高度，将绳子拉直，使绳子的另一端C刚好着地（如图）量得BC=5米，求旗杆AB的高度【变式4-2】（2022秋运城期末）如图，AOB=90，OA18cm，OB6cm，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着AO方向匀速滚向点O，机器人立即从点B出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路

9、程BC是多少？【变式4-3】（2021春绥宁县期末）如图，AB为一棵大树，在树上距地面10m的D处有两只猴子，它们同时发现地面上C处有一筐水果，一只猴子从D处向上爬到树顶A处，然后利用拉在A处的滑绳AC滑到C处，另一只猴子从D处先滑到地面B，再由B跑到C，已知两猴子所经过的路程都是15m，求树高AB【变式4-4】（2022春昆玉市期末）如图，有一只小鸟在一棵高13m的大树树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树12m，高8m的一棵小树树梢上发出友好的叫声，它立刻以2m/s的速度飞向小树树梢，那么这只小鸟至少几秒才可能到达小树和伙伴在一起？【变式4-5】（2021秋双塔区校级期中）如图所示的是一个拉箱的示

10、意图，箱体长AB65cm，拉杆最大伸长距离BC35cm，在箱体的底端装有一圆形滚轮，其直径为6cm当拉杆拉到最长时，滚轮的圆心在图中的A处，当拉杆全部缩进箱体时，滚轮圆心水平向右平移55cm到A处请求点C离地面的距离（假设点C的位置保持不变）【变式4-6】（2022秋抚州期末）长清的园博园广场视野开阔，阻挡物少，成为不少市民放风筝的最佳场所，某校七年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度CE，他们进行了如下操作：测得水平距离BD的长为15米；根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为25米；牵线放风筝的小明的身高为1.6米（1）求风筝的垂直高度CE；（2）如果小明

11、想风筝沿CD方向下降12米，则他应该往回收线多少米？【变式4-7】（2022秋佛山校级期末）铁路上A，B两站（视为直线上的两点）相距25km，C，D为两村庄（视为两个点），DAAB于点A，CBAB于点B（如图），已知DA10km，CB15km，现在要在铁路AB上建一个土特产收购站E，使得C，D两村庄到收购站E的直线距离相等，请求出收购站E到A站的距离【变式4-8】（2021秋叙州区期末）“村村通”公路是我国的一项重要的民生工程，如图，A，B，C三个村都分别修建了一条互通公路，其中ABBC，现要在公路BC边修建一个景点M（B，C，M在同一条直线上），为方便A村村民到达景点M，又修建了一条公路AM

12、，测得AC13千米，CM5千米，AM12千米（1）判断ACM的形状，并说明理由；（2）求公路AB的长【变式4-9】（2022春江津区期中）中菲黄岩岛争端持续，我海监船加大黄岩岛附近海域的巡航维权力度如图，OAOB，OA36海里，OB12海里，黄岩岛位于O点，我国海监船在点B处发现有一不明国籍的渔船，自A点出发沿着AO方向匀速驶向黄岩岛所在地点O，我国海监船立即从B处出发以相同的速度沿某直线去拦截这艘渔船，结果在点C处截住了渔船（1）请用直尺和圆规作出C处的位置；（2）求我国海监船行驶的航程BC的长【变式4-10】（2022秋广陵区校级期末）如图，有一架秋千，当它静止在AD的位置时，踏板离地的垂直高度为0.6m，将秋千AD往前推送3m，到达AB的位置，此时，秋千的踏板离地的垂直高度为1.6m，秋千的绳索始终保持拉直的状态（1）根据题意，BF m，BC m，CD m；（2）根据（1）中求得的数据，求秋千的长度（3）如果想要踏板离地的垂直高度为2.6m时，需要将秋千AD往前推送 m