专题02 直线与平面所成角（线面角)（含探索性问题）(典型题型归类训练)(解析版）.docx

1、专题02 直线与平面所成角（线面角)（含探索性问题）(典型题型归类训练)目录一、必备秘籍1二、典型题型2题型一：求线面角2题型二：已知线面角求参数10题型三：求线面角最值（范围）19三、专项训练27一、必备秘籍1、斜线在平面上的射影：过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足及斜足的直线叫做斜线在平面内的射影.注意：斜线上任意一点在平面上的射影一定在斜线的射影上.如图，直线是平面的一条斜线，斜足为，斜线上一点在平面上的射影为，则直线是斜线在平面上的射影.2、直线和平面所成角：（有三种情况）（1）平面的斜线与它在平面内的射影所成的锐角，叫这条直线与这个平面所成的角。由定义可知：斜线与平面所成角的

2、范围为；（2）直线与平面垂直时，它们的所成角为；（3）直线与平面平行（或直线在平面内）时，它们的所成角为0.结论：直线与平面所成角的范围为.3、向量法设直线的方向向量为，平面的一个法向量为，直线与平面所成的角为，则，.二、典型题型题型一：求线面角1（2223上河南模拟预测）在三棱台中，平面ABC，(1)证明：平面平面；(2)记的中点为M，过M的直线分别与直线，交于P，Q，求直线PQ与平面所成角的正弦值【答案】(1)证明见解析(2)0【详解】（1）取AC的中点D，则AD与平行且相等，可得四边形为平行四边形，则有，又，故又，AC，平面，故平面，又因为平面，故，又因为，平面，故平面， 而平面，故平面

3、平面；（2）以A为原点，所在方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，则， 设平面的法向量为，则，即，取，则设，则，由题意知P，M，Q三点共线，可设，则，解得，故， 则，故， 即平面，故所求线面角的正弦值为02（2223上河南模拟预测）已知中，将沿折起，使点A到点处，(1)证明：平面平面；(2)求直线与平面所成角的余弦值【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）证明：因为，可得，又因为，所以， 即，又，且平面，则平面， 因为平面，所以， 又因为，即，因为，且平面，所以平面，又因为平面，故平面平面（2）解：以为坐标原点，以DE，DB所在直线为x轴、y轴，以垂直于平面

4、ABC的直线为z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则， 在直角三角形中，则，由（1）知平面，则为平面的法向量，且， 设直线CD与平面所成角的角为，则，故直线CD与平面所成角的余弦值为3（2324柳州模拟预测）如图，三棱柱的底面是正三角形，侧面是菱形，平面平面，分别是棱的中点.(1)证明：平面；(2)若，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）取的中点，连接，因为分别是棱的中点，则，四边形为平行四边形，所以，平面，平面，平面；（2）在平面中过点作于，连接，平面平面，平面平面，平面，由菱形，得，因为点为的中点，故以为原点，分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系：则，所以

5、，设平面的法向量为，则有，解得，令，得，设直线与平面所成角为，则，综上，直线与平面所成角的正弦值为.4（2324上南充模拟预测）如图所示，在圆锥中，为圆锥的顶点，为底面圆圆心，是圆的直径，为底面圆周上一点，四边形是矩形(1)若点是的中点，求证：平面；(2)若，求直线与平面所成角的余弦值【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）分别是中点，连接，则，平面平面，则平面，四边形是矩形，同理有平面，又，平面，故平面平面，又平面，故平面.（2）解法一：在圆锥中，平面，平面则平面平面，平面平面，作于点，连接，则面是在平面上的射影，是直线与平面所成的角，在直角三角形中，则，平面，则平面，在直角三角形中，则

6、，在直角三角形中，故，即直线与平面所成角的余弦为.解法二：在圆锥中，平面，在直角三角形中，则，在直角三角形中，则，建立如图所示的空间直角坐标系，则，设是平面的法向量，则，令得，设直线与平面所成角为，则，.5（2324上浙江一模）如图，多面体中，四边形为正方形，平面平面，与交于点(1)若是中点，求证：；(2)求直线和平面所成角的正弦值【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）因为四边形为正方形，所以，因为平面平面，平面平面，所以平面，又因为平面，所以，连接，则，在中，所以，因为，平面，且，从而平面，又平面，所以，因为，平面，且，所以平面，又平面，所以，又因为，所以，又是中点，所以，因为，平面，

7、且，所以平面，又因为平面，所以（2）由（1）知，平面，且，以为坐标原点，分别以、所在的直线为、轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则、，则，由得，所以，所以，设面的法向量为，由得，取，则，设直线和平面所成角为，则，所以直线和平面所成角的正弦值为题型二：已知线面角求参数1（2223下抚顺模拟预测）如图，在几何体ABCDEF中，平面ABC，侧面ABFE为正方形，M为AB的中点，(1)证明：；(2)若直线MF与平面DME所成角的正弦值为，求实数的值【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）因为CD平面ABC，所以平面ABC，因为侧面ABFE为正方形，所以平面ABC，又平面ABC，所以，因为，所以，又

8、平面ABFE，所以平面ABFE，又平面ABFE，所以，因为平面ABC，平面ABC，所以，又平面CDM，所以平面CDM，又平面CDM，所以（2）由（1）可知，M为AB的中点，所以取的中点为N，连接MN，则，因为平面ABC，所以平面ABC以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系则M（0，0，0），F（1，0，2），所以，设平面DME的法向量为，由得，取，则，设直线MF与平面DME所成角为，则，由题意可知，解得（负值舍去），故实数的值为2（2223下江苏一模）在三棱柱中，平面平面，侧面为菱形，是的中点.(1)求证：平面；(2)点在线段上（异于点，），与平面所成角为，求的值.【答案

9、】(1)证明见解析(2)【详解】（1）因为侧面为菱形，所以为边长为的等边三角形，作交于点，则点为的中点，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，平面，可得，又，平面，可得平面，因为平面，所以，因为侧面为菱形，所以，平面，所以平面；（2）由（1）知，平面，取做的中点，连接，则，所以平面，以为原点，所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则，设，可得，所以，设平面的一个法向量为，则，即，令，可得，可得，解得舍去，或，所以.3（2223下广州三模）如图，四棱锥的底面为正方形，平面，分别是线段的中点，是线段上的一点. (1)求证：平面平面；(2)若直线与平面所成角的正弦值为，且点不是线段的中点，求三棱

10、锥体积.【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）连接，分别是线段的中点，底面四边形为正方形，平面，平面，又，平面，平面，平面，又平面，平面平面.（2）以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，则，设，则，设平面的一个法向量为，则，令，解得：，；设直线与平面所成角为，解得：或（舍），平面，平面，；，平面，平面，到平面的距离为，.4（2223厦门模拟预测）筝形是指有一条对角线所在直线为对称轴的四边形如图，四边形为筝形，其对角线交点为，将沿折到的位置，形成三棱锥(1)求到平面的距离；(2)当时，在棱上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由【答案

11、】(1)1(2)存在；或【详解】（1）因为，所以不可能为四边形的对称轴，则为四边形的对称轴，所以垂直平分，所以平面平面所以平面所以到平面的距离（2）存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为过作平面，所以两两垂直.以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系由（1）得平面平面，因为所以设，设平面的法向量，所以令，则，所以平面的一个法向量，设直线与平面所成角为，所以或，所以存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为或5（2223万州模拟预测）如图1所示，在四边形中，为上一点，将四边形沿折起，使得，得到如图2所示的四棱锥(1)若平面平面，证明：；(2)点是棱上一动点，且直线与平面所成角的正弦值为，

12、求【答案】(1)证明见解析；(2).【详解】（1）在图1中，因为，所以，又，所以，因为，所以，故，在图2中，因为，平面，平面，所以平面，因为平面，平面平面，所以；（2）由（1）知，平面，平面,所以平面，又平面，所以平面平面，故以为坐标原点，分别为轴， 在平面内过点作的垂线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，因为，平面AEB平面BCE，且，所以点在平面的射影为中点，故，设，则，设平面的法向量为，则，即，不妨令，则，所以为平面的一个法向量因为直线与平面所成角的正弦值为，所以，整理得，解得或（舍），所以为中点，所以.6（2223下荆门模拟预测）在三棱柱中，四边形是菱形，平面平面，平面与平面的交线为

13、.(1)证明：；(2)已知上是否存在点，使与平面所成角的正弦值为？若存在，求的长度；若不存在，说明理由.【答案】(1)证明见解析(2)存在，【详解】（1）因为四边形为菱形，所以，又因为平面平面，平面平面平面，所以平面，又平面，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以.（2）上存在点，使与平面所成角的正弦值为，且.理由如下：取中点，连接，因为，所以，又，所以为等边三角形，所以，因为，所以，又平面平面，平面平面平面，所以平面，以为原点，以方向分别为轴，轴，轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，.因为平面平面，所以平面，又平面，平面平面，所以，假设上存在一点，使与平面所成角的正弦值为，设，则，所以，设

14、为平面的一个法向量，则，即，令，则，可取，又，所以，即，解得，此时；因此上存在点，使与平面所成角的正弦值为，且.题型三：求线面角最值（范围）1（2223下乐山三模）在直三棱柱中，点P满足，其中，则直线AP与平面所成角的最大值为（）ABCD【答案】B【详解】分别取中点,则,即平面,连接,因为,所以,分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系,由已知,则,因为，易知平面的一个法向量是，设直线AP与平面所成角为，则，所以时，即的最大值是故选：B2（2122下山东模拟预测）如图，C是以为直径的圆O上异于A，B的点，平面平面为正三角形，E，F分别是上的动点.(1)求证：；(2)若E，F分别是的中点且异面直线与

15、所成角的正切值为，记平面与平面的交线为直线l，点Q为直线l上动点，求直线与平面所成角的取值范围.【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）证明：因为C是以为直径的圆O上异于A，B的点，所以，又平面平面，且平面平面平面，所以平面平面.所以（2）由E，F分别是的中点，连结，所以，由（1）知，所以，所以在中，就是异面直线与所成的角.因为异面直线与所成角的正切值为，所以，即又平面平面，所以平面，又平面，平面平面，所以所以在平面中，过点A作的平行线即为直线l.以C为坐标原点，所在直线分别为x轴，y轴，过C且垂直于平面的直线为z轴，建立空间直角坐标系，设.因为为正三角形所以，从而由已知E，F分别是的中点

16、，所以则，所以，所以，因为，所以可设，平面的一个法向量为，则，取，得，又，则.设直线与平面所成角为，则.所以直线与平面所成角的取值范围为.3（2021下渝中阶段练习）如图，在三棱台中，底面是边长为2的正三角形，侧面为等腰梯形，且，为的中点（1）证明：；（2）记二面角的大小为，时，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围【答案】（1）证明见解析；（2）【详解】（1）证明：如图，作的中点，连接，在等腰梯形中，为，的中点，在正中，为的中点，平面，平面，又平面，（2）解：平面，在平面内作，以为坐标原点，以，分别为，轴正向，如图建立空间直角坐标系，为二面角的平面角，即，设平面的法向量为，则有，即，则可取，又

17、，设直线与平面所成角为，4（2223河南二模）如图所示，正六棱柱的底面边长为1，高为，为线段上的动点.(1)求证：平面；(2)设直线与平面所成的角为，求的取值范围.【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）连接，.在正六棱柱中，因为底面为正六边形，所以，因为平面，平面，所以平面.因为，所以四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面，又，所以平面平面，因为为线段上的动点，所以平面，所以平面.（2）取的中点为Q，连接，.因为底面边长为1，所以，因为，所以，所以.易得，所以平面，所以，因为，所以平面，即为平面的一个法向量.连接，以为坐标原点，所在直线分别为x，y，z轴建立空间坐标系，则，所以

18、，所以，.设（），所以，则，因为，所以，所以的取值范围是.5（2223海口模拟预测）如图，四棱锥中，平面平面.(1)证明：平面平面；(2)若，与平面所成的角为，求的最大值.【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）证明：过点A作于，因为平面平面，平面平面，所以平面，又平面，所以，由，可知，而，平面所以平面，因为平面，所以平面平面（2）法1：由（1）知平面，平面，所以，又，所以，所以，所以，由平面ABCD，所以平面如图建立空间直角坐标系，则，设，平面的一个法向量为，所以，即， 得 令，得，所以，显然，当时，取最小值， 综上，当时，的最大值为法2：设点到平面的距离为，因为，平面，所以平面，所以点

19、A到平面的距离也为，由（1），平面，所以，又，所以，所以，所以，所以，由（1），平面，所以，由，在四边形中，当时，取最小值，此时四边形显然为矩形，所以的最大值为三、专项训练一、单选题1（2223下乐山三模）在直三棱柱中，点P满足，其中，则直线AP与平面所成角的最大值为（）ABCD【答案】B【详解】分别取中点,则,即平面,连接,因为,所以,分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系,由已知,则,因为，易知平面的一个法向量是，设直线AP与平面所成角为，则，所以时，即的最大值是故选：B2（2324上亳州阶段练习）将边长为1的正方形及其内部绕旋转一周形成圆柱，如图，长为，长为，其中与C在平面的同侧，则直线与

20、平面所成的角的正弦值为（）ABCD【答案】D【详解】由题意，如图所示，建立空间直角坐标系则，平面的一个法向量为，设直线与平面所成的角为，故选：D3（2324上泰安阶段练习）三棱柱的侧棱与底面垂直，N是BC的中点，点P在上，且满足，当直线PN与平面ABC所成的角最大时的正弦值为（）ABCD【答案】D【详解】如图，以AB，AC，分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则，平面ABC的一个法向量为，设直线PN与平面ABC所成的角为，当时，此时角最大故选：D4（2223上江西阶段练习）如图，在长方体中，为线段上的动点，当直线与平面所成角的正弦值取最大值时，（）ABCD【答案】D【详解】建立如图所示空间

21、直角坐标系，设则设平面的法向量为则即令则设直线与平面所成角为，则当时，最大，故选:D.二、填空题5（2223上厦门期末）正方体中，E为线段的中点，则直线与平面所成角的正弦值为 【答案】【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图，设正方体的棱长为2，则;；设平面的一个法向量为，则，令，则.设直线与平面所成角为，则.故答案为：.6（2324上济宁阶段练习）已知正方体的棱长为1，H为棱上的动点，若平面，则直线CD与平面所成角的正弦值的取值范围为 【答案】【详解】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系.则、，设点，其中.则，因为平面，所以为平面的一个法向量，设直线

22、与平面所成的角为，.所以，直线与平面所成角的正弦值的取值范围为.故答案为：.7（2122全国单元测试）如图所示，在正方体中，AB3，M是侧面内的动点，满足，若AM与平面所成的角，则的最大值为 .【答案】【详解】解：如图，以为原点建立空间直角坐标系，则，设，则，因为，所以，所以，则，因为平面，所以即为AM与平面所成角，即，则，所以当时，取得最大值.故答案为：.8（2223上宁波阶段练习）已知圆柱中，点在圆上，点、在圆上，且满足，则直线与平面所成角的正弦值的最大值为 .【答案】【详解】取中点，则， 以点为坐标原点，为轴，为轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则、，设平面的法向量为，则，取，则，则，设

23、，直线的方向向量为，所以直线与平面所成角的正弦值为，即直线与平面所成角的正弦值的最大值为.故答案为：.9（2122下绵阳期末）在正方体中，点在侧面(包括边界)上运动，满足记直线与平面所成角为，则的取值范围是 【答案】【详解】如图建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则，由题可设，则，即，点在上，又，平面的一个法向量可取，又，即的取值范围是.故答案为：.三、解答题10（2122下山东模拟预测）如图，C是以为直径的圆O上异于A，B的点，平面平面为正三角形，E，F分别是上的动点.(1)求证：；(2)若E，F分别是的中点且异面直线与所成角的正切值为，记平面与平面的交线为直线l，点Q为直线l上动点，求

24、直线与平面所成角的取值范围.【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）证明：因为C是以为直径的圆O上异于A，B的点，所以，又平面平面，且平面平面平面，所以平面平面.所以（2）由E，F分别是的中点，连结，所以，由（1）知，所以，所以在中，就是异面直线与所成的角.因为异面直线与所成角的正切值为，所以，即又平面平面，所以平面，又平面，平面平面，所以所以在平面中，过点A作的平行线即为直线l.以C为坐标原点，所在直线分别为x轴，y轴，过C且垂直于平面的直线为z轴，建立空间直角坐标系，设.因为为正三角形所以，从而由已知E，F分别是的中点，所以则，所以，所以，因为，所以可设，平面的一个法向量为，则，取，得

25、，又，则.设直线与平面所成角为，则.所以直线与平面所成角的取值范围为.11（2021下渝中阶段练习）如图，在三棱台中，底面是边长为2的正三角形，侧面为等腰梯形，且，为的中点（1）证明：；（2）记二面角的大小为，时，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围【答案】（1）证明见解析；（2）【详解】（1）证明：如图，作的中点，连接，在等腰梯形中，为，的中点，在正中，为的中点，平面，平面，又平面，（2）解：平面，在平面内作，以为坐标原点，以，分别为，轴正向，如图建立空间直角坐标系，为二面角的平面角，即，设平面的法向量为，则有，即，则可取，又，设直线与平面所成角为，12（2223河南二模）如图所示，正六棱柱

26、的底面边长为1，高为，为线段上的动点.(1)求证：平面；(2)设直线与平面所成的角为，求的取值范围.【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）连接，.在正六棱柱中，因为底面为正六边形，所以，因为平面，平面，所以平面.因为，所以四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面，又，所以平面平面，因为为线段上的动点，所以平面，所以平面.（2）取的中点为Q，连接，.因为底面边长为1，所以，因为，所以，所以.易得，所以平面，所以，因为，所以平面，即为平面的一个法向量.连接，以为坐标原点，所在直线分别为x，y，z轴建立空间坐标系，则，所以，所以，.设（），所以，则，因为，所以，所以的取值范围是.13（

27、2223海口模拟预测）如图，四棱锥中，平面平面.(1)证明：平面平面；(2)若，与平面所成的角为，求的最大值.【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）证明：过点A作于，因为平面平面，平面平面，所以平面，又平面，所以，由，可知，而，平面所以平面，因为平面，所以平面平面（2）法1：由（1）知平面，平面，所以，又，所以，所以，所以，由平面ABCD，所以平面如图建立空间直角坐标系，则，设，平面的一个法向量为，所以，即， 得 令，得，所以，显然，当时，取最小值， 综上，当时，的最大值为法2：设点到平面的距离为，因为，平面，所以平面，所以点A到平面的距离也为，由（1），平面，所以，又，所以，所以，所以

28、，所以，由（1），平面，所以，由，在四边形中，当时，取最小值，此时四边形显然为矩形，所以的最大值为14（2324上沈阳阶段练习）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，且M是的中点，.(1)求证：平面；(2)求与平面所成角的余弦值.【答案】(1)证明见解析；(2).【详解】（1）平面，平面，又四边形是矩形，则，、平面，平面，平面PAD，又M是PD的中点，则，而，、平面，所以平面；（2）由题易知：两两互相垂直，以A为空间坐标系的原点，分别为轴建立空间直角坐标系，则，故，设平面MBC法向量为，则，即，令，则，即，而，则，设MA与平面MBC所成角为，则，所以.15（2324上东莞阶段练习）如图1，梯形中

29、，过分别作，垂足分别为，已知，将梯形沿折起，得空间几何体，如图2(1)在图2中，若，证明：平面(2)在图2中，若，在线段上求一点，使与平面所成角的正弦值最大，并求出这个最大值【答案】(1)证明见详解(2)点与点重合；【详解】（1）由已知四边形是正方形，且边长为，在图2中，,又，,平面,平面,则平面,又平面,所以,又,平面,平面,所以平面.（2）在图2中，平面,平面,则平面，在梯形中，过点作,交于点连接,由题意得又,根据勾股定理可得,则过作交于点,可知两两垂直，以为坐标原点，以分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，则设平面的一个法向量为，则，取，得设，则，设与平面所成角为，则故当，即时，点

30、与点重合时，有最大值，且此时最大值为.16（2324上河东期中）如图，在四棱线中，底面为矩形，平面，点是棱的中点(1)求证：平面；(2)设的中点为，点在棱上（异于点），且，求直线与平面所成角的正弦值【答案】(1)证明见详解(2)【详解】（1）连接，设和交点为，连接，因为底面为矩形，所以为中点，又点是棱的中点，所以为中位线，又因为平面，平面，所以平面；（2）由题可知，平面，所以，又底面为矩形，所以，故互相垂直，以方向为轴，方向为轴，方向为轴建立空间直角坐标系，设，易得，故，又，故，化简得，即，故，所以，所以，设平面的法向量为，由得，令得，设直线与平面所成角的正弦值为，与夹角为，则，所以直线与平面

31、所成角的正弦值为17（2324上广东阶段练习）已知正方形的边长为4（图1），、分别为、的中点，以为棱将正方形折成如图所示的二面角，且，点是线段上的动点（图2）(1)若为的中点，为的中点（图3），证明：直线平面；(2)是否存在点，使得直线与平面所成的角为；若存在，求此时点到平面的距离，若不存在，说明理由【答案】(1)证明见解析；(2)是靠近或的四等分点，此时点到平面的距离为.【详解】（1）若是中点，连接交于，为的中点，又为矩形，易知是中点，由，则是平行四边形，又为的中点，所以为中位线，即，由面，面，故直线平面；（2）若为中点，作面，构建空间直角坐标系，设，则，所以，令是面一个法向量，则，若，则，

32、所以，则，当，则，故；当，则，故；综上，是靠近或的四等分点，此时点到平面的距离为.18（2324上西青阶段练习）四棱柱中，底面，为的中点(1)求证：；(2)求面与面夹角的余弦值(3)设点在线段上，且直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长【答案】(1)证明见解析(2)(3)【详解】（1）证明：以为原点，以为轴，以为轴，以为轴，建立空间直角坐标系，为中点，（2）设平面的法向量，取，得设平面的法向量，取，得设面与面所成角为则面与面所成角的余弦值为（3）设点，点在线段上，直线与平面所成角的正弦值为，平面的法向量，解得，或（舍），线段的长为19（2324上温州阶段练习）已知几何体，如图所示，其中四边形A

33、BCD，CDGF，ADGE均为正方形，且边长均为1，点M在棱DG上(1)求证：；(2)是否存在点M，使得直线MB与平面BEF所成的角为？若存在，确定点M的位置；若不存在，请说明理由【答案】(1)证明见解析(2)存在；【详解】（1）因为四边形、均为正方形，则两两互相垂直，以为坐标原点，为轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系，则，设，可得，因为，所以.（2）由（1）知：，设平面的法向量，则，令，则，可得，假设存在点，使得直线与平面所成的角为，则，可得，解得：，又因为在棱上，则，所以，故当点在棱上，且时，直线与平面所成的角为.20（2324上湖南阶段练习）如图，在三棱锥中，平面平面，.(1)求证：；(2)若，是线段上的一点，若直线与平面所成角的正弦值为，求的长.【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）证明：取的中点，连接，如图所示，因为，是的中点，所以，又因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，因为平面，所以，又因为，且平面，所以平面，因为平面，所以.（2）解：设的中点为，则，又，所以，以为坐标原点，以，所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则，设，则，设平面的一个法向量为，则，令，解得，所以，又由，所以，解得或（舍去），所以点为的中点，因为，所以.