专题04“一线三垂直”模型及其变形的应用（知识解读）-备战2023年中考数学《重难点解读•专项训练》（全国通用）.docx

1、专题04 “一线三垂直”模型及其变形的应用（知识解读）【专题说明】一线三垂直问题，通常问题中有一线段绕某一点旋转90，或者问题中有矩形或正方形的情况下考虑，作辅助线，构造全等三角形形或相似三角形，建立数量关系使问题得到解决。【方法技巧】模型1 “全等型”一线三垂直模型如图一，D=BCA=E=90，BC=AC。 结论：RtBDCRtCEA 图1 应用：（1）通过证明全等实现边角关系的转化，便于解决对应的几何问题；（2）平面直角坐标系中有直角求点的坐标，可以考虑作辅助线构造“三垂直”作辅助线的程序：过直角顶点再直角外部作水平线或竖直线，过另外两个顶点向上述直线作垂线段，即可得到“三垂直”模型。如下

2、图所示 模型2 “相似型”一线三垂直模型如图，（一线三直角） 应用：（1）“相似型”三垂直基本应用（2） 平面直角坐标系中构造“相似型”三垂直。作辅助线方法和模型1一样（3）平面直角坐标系中运动成直角【典例分析】【应用1 “全等型”三垂直基本应用】【典例1】在ABC中，ACB90，ACBC，直线MN经过点C，且ADMN于D，BEMN于E（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：ADCCEB；DEAD+BE；（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由【变式1-1】如图，ACCE，ACE90，ABBD，EDBD，AB6cm，DE2

3、cm，则BD等于（）A6cmB8cmC10cmD4cm【变式1-2】在ABC中，BAC90，ABAC，直线l经过点A，过点B、C分别作l的垂线，垂足分别为点D、E（1）特例体验：如图，若直线lBC，ABAC，分别求出线段BD、CE和DE的长；（2）规律探究：（）如图，若直线l从图状态开始绕点A旋转（045），请探究线段BD、CE和DE的数量关系并说明理由；（）如图，若直线l从图状态开始绕点A顺时针旋转（4590），与线段BC相交于点H，请再探线段BD、CE和DE的数量关系并说明理由；（3）尝试应用：在图中，延长线段BD交线段AC于点F，若CE3，DE1，求SBFC【应用2 平面直角坐标系中构造

4、“全等型”三垂直】【典例2】已知：在平面直角坐标系中，A为x轴负半轴上的点，B为y轴负半轴上的点（1）如图1，以A点为顶点、AB为腰在第三象限作等腰RtABC，若OA2，OB4，求C点的坐标；（2）如图2，若点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，m），点D的纵坐标为n，以B为顶点，BA为腰作等腰RtABD当B点沿y轴负半轴向下运动且其他条件都不变时，整式4m+4n9的值是否发生变化？若不发生变化，请求出其值；若发生变化，请说明理由；（3）如图3，若OAOB，OFAB于点F，以OB为边作等边OBM，连接AM交OF于点N，若ANm，ONn，请直接写出线段AM的长【变式2-1】如图所示，在平面直

5、角坐标系中，等腰RtABC的直角顶点C在x轴上，点A在y轴上，若点B坐标为（6，1），则点A坐标为（）A（4，0）B（5，0）C（0，4）D（0，5）【变式2-2】如图，在PMN中，PMPN，PMPN，P（0，2），N（2，2），则M的坐标是（）A（2，0）B（2，0）C（2，0）D（4，0）【应用3 “相似型”三垂直基本应用】【典例3】已知矩形ABCD的一条边AD8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处如图，已知折痕与边BC交于点O，连接AP、OP、OA（1）求证：；（2）若OP与PA的比为1：2，求边AB的长【变式3】如图，在矩形ABCD中，E，F，G分别在AB，BC，CD上

6、，DEEF，EFFG，BE3，BF2，FC6，则DG的长是（）A4BCD5【应用4 平面直角坐标系中构造“相似型”三垂直】【典例4】如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线ykx+2与y轴交于点A，与x轴交于点B，且OB2OA（1）如图1，求直线的解析式；（2）如图2，点P在第三象限的直线AB上，点C在点A上方的y轴上，连接PC、BC，PC交x轴于点N，且tanAPC，设点P的横坐标为t，ABC的面积为S，求S与t的函数关系；（3）如图3，在（2）的条件下，点D在y轴的负半轴上，点E为AB的中点，连接DE、PD，ADON，当PDEPCD时，求点D的坐标【变式4】（2022禅城区二模）如图

7、，抛物线经过原点O，对称轴为直线x2且与x轴交于点D，直线l：y2x1与y轴交于点A，与抛物线有且只有一个公共点B，并且点B在第四象限，直线l与直线x2交于点C（1）连接AD，求证：ADAC（2）求抛物线的函数关系式（3）在直线l上有一点动点P，抛物线上有一动点Q，当PBQ是以PQ为斜边的等腰直角三角形时，直接写出此时点P的坐标【应用5平面直角坐标系中运动成直角】【典例5】如图，已知抛物线yx2+与x轴交于点A、B，与y轴交于点C（1）则点A的坐标为 ，点B的坐标为 ，点C的坐标为 ；（2）设点P（x1，y1），Q（x2，y2）（其中x1x2）都在抛物线上，若x1+x21，请证明：y1y2；（

8、3）已知点M是线段BC上的动点，点N是线段BC上方抛物线上的动点，若CNM90，且CMN与OBC相似，试求此时点N的坐标【变式5】（2022碑林区校级四模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线C1：yax2+bx+c交x轴于点A（5，0），B（1，0），交y轴于点C（0，5）（1）求抛物线C1的表达式和顶点D的坐标（2）将抛物线C1关于y轴对称的抛物线记作C2，点E为抛物线C2上一点若DOE是以DO为直角边的直角三角形，求点E的坐标专题04 “一线三垂直”模型及其变形的应用（知识解读）【专题说明】一线三垂直问题，通常问题中有一线段绕某一点旋转90，或者问题中有矩形或正方形的情况下考虑，作辅助线，构

9、造全等三角形形或相似三角形，建立数量关系使问题得到解决。【方法技巧】模型1 “全等型”一线三垂直模型如图一，D=BCA=E=90，BC=AC。 结论：RtBDCRtCEA 图1 应用：（1）通过证明全等实现边角关系的转化，便于解决对应的几何问题；（2）平面直角坐标系中有直角求点的坐标，可以考虑作辅助线构造“三垂直”作辅助线的程序：过直角顶点再直角外部作水平线或竖直线，过另外两个顶点向上述直线作垂线段，即可得到“三垂直”模型。如下图所示 模型2 “相似型”一线三垂直模型如图，（一线三直角） 应用：（1）“相似型”三垂直基本应用（3） 平面直角坐标系中构造“相似型”三垂直。作辅助线方法和模型1一样

10、（3）平面直角坐标系中运动成直角【典例分析】【应用1 “全等型”三垂直基本应用】【典例1】在ABC中，ACB90，ACBC，直线MN经过点C，且ADMN于D，BEMN于E（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：ADCCEB；DEAD+BE；（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由【解答】（1）证明：ACD+BCE90DAC+ACD90，DACBCE又ACBC，ADCBEC90，ADCCEBADCCEB，CDBE，ADCEDECE+CDAD+BE（2）ADCCEB成立，DEAD+BE不成立，此时应有DEADBE证明：ACD+

11、BCE90DAC+ACD90，DACBCE又ACBC，ADCBEC90，ADCCEBCDBE，ADCEDEADBE【变式1-1】如图，ACCE，ACE90，ABBD，EDBD，AB6cm，DE2cm，则BD等于（）A6cmB8cmC10cmD4cm【答案】B【解答】解：ABBD，EDBD，BDACE90，BAC+ACB90，ACB+ECD90，BACECD，在RtABC与RtCDE中，RtABCRtCDE（AAS），BCDE2cm，CDAB6cm，BDBC+CD2+68cm，故选：B【变式1-2】在ABC中，BAC90，ABAC，直线l经过点A，过点B、C分别作l的垂线，垂足分别为点D、E（1

12、）特例体验：如图，若直线lBC，ABAC，分别求出线段BD、CE和DE的长；（2）规律探究：（）如图，若直线l从图状态开始绕点A旋转（045），请探究线段BD、CE和DE的数量关系并说明理由；（）如图，若直线l从图状态开始绕点A顺时针旋转（4590），与线段BC相交于点H，请再探线段BD、CE和DE的数量关系并说明理由；（3）尝试应用：在图中，延长线段BD交线段AC于点F，若CE3，DE1，求SBFC【解答】解：（1）在ABC中，BAC90，ABAC，ABCACB45，lBC，DABABC45，CAEACB45，DABABD45，EACACE45，ADBD，AECE，ABAC，ADBDAECE

13、1，DE2；（2）（）DEBD+CE理由如下：在RtADB中，ABD+BAD90，BAC90，BAD+CAE90，ABDCAE，在ABD和CAE中，ABDCAE（AAS）；CEAD，BDAE，DEAE+ADBD+CE（）DEBDCE理由如下：在RtADB中，ABD+BAD90，BAC90，BAD+CAE90，ABDCAE，在ABD和CAE中，ABDCAE（AAS）；CEAD，BDAE，DEAEADBDCE（3）由（2）可知，ABDCAE，DEAEADBDCEBACADB90，ABDFBA，AB：FBBD：AB，CE3，DE1，AEBD4，AB5BFSBFCSABCSABF523【应用2 平面直

14、角坐标系中构造“全等型”三垂直】【典例2】已知：在平面直角坐标系中，A为x轴负半轴上的点，B为y轴负半轴上的点（1）如图1，以A点为顶点、AB为腰在第三象限作等腰RtABC，若OA2，OB4，求C点的坐标；（2）如图2，若点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，m），点D的纵坐标为n，以B为顶点，BA为腰作等腰RtABD当B点沿y轴负半轴向下运动且其他条件都不变时，整式4m+4n9的值是否发生变化？若不发生变化，请求出其值；若发生变化，请说明理由；（3）如图3，若OAOB，OFAB于点F，以OB为边作等边OBM，连接AM交OF于点N，若ANm，ONn，请直接写出线段AM的长【解答】解：（1）

15、如图1，过点C作CQOA于点Q，AQC90ABC等腰直角三角形，ACAB，CAB90，ACQBAOAQCBOA（AAS），CQAO，AQBOOA2，OB4，CQ2，AQ4，OQ6，C（6，2）（2）整式4m+4n9的值不会变化理由如下：如图2，过点D作DPOB于点P，BPD90，ABD等腰Rt，ABBD，ABDABO+OBD90，ABOBDP，AOBBPD（AAS），AOBP，BPOBPOm（n）m+n，A（2，0），OA2，m+n2，当B点沿y轴负半轴向下运动时AOBPm+n2，4m+4n949，整式4m+4n9 的值不变，为（3）AM2m+n证明：如图3，在MA上截取MGON，连接BG，O

16、BM是等边三角形，BOBMMO，OBMOMBBOM60，AOMO，ABM105，HOM30，OAOB，OAOMBMOANAMO15，BAM30，BMA45，OFAB，AOF45，AOFBMAANOBGM（AAS），BGANONMG，GBMOAN，GBM15，ABG902BGAG，2ANAG，AGAMGM，2AN+ONAM，即AM2m+n【变式2-1】如图所示，在平面直角坐标系中，等腰RtABC的直角顶点C在x轴上，点A在y轴上，若点B坐标为（6，1），则点A坐标为（）A（4，0）B（5，0）C（0，4）D（0，5）【答案】D【解答】解：作BDx轴于D，B（6，1），BD1，OD6，ABC是等腰

17、直角三角形，ACBC，ACB90，ACO+BCD90，ACO+OAC90，BCDOAC，AOCBDO，ACOCBD（AAS），OCBD1，CDOA5，A（0，5），故选：D【变式2-2】如图，在PMN中，PMPN，PMPN，P（0，2），N（2，2），则M的坐标是（）A（2，0）B（2，0）C（2，0）D（4，0）【答案】D【解答】解：过点N作NDy轴于点D，P（0，2），N（2，2），OP2，OD2，DN2，PD4，PMPN，MPN90，MPO+DPN90，又DPN+PND90，MPOPND，又MOPPDN90，MOPPDN（AAS），OMPD4，M（4，0），故选：D【应用3 “相似型”三

18、垂直基本应用】【典例3】已知矩形ABCD的一条边AD8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处如图，已知折痕与边BC交于点O，连接AP、OP、OA（1）求证：；（2）若OP与PA的比为1：2，求边AB的长【解答】（1）证明：由折叠的性质可知，APOB90，APD+OPC90，四边形ABCD为矩形，DC90，POC+OPC90，APDPOC，OCPPDA，；（2）解：OCPPDA，OP与PA的比为1：2，AD8，PC4，设ABx，则DCx，APx，DPx4，在RtAPD中，AP2AD2+PD2，x282+（x4）2，解得：x10，AB10【变式3】如图，在矩形ABCD中，E，F，G分

19、别在AB，BC，CD上，DEEF，EFFG，BE3，BF2，FC6，则DG的长是（）A4BCD5【解答】解：EFFG，EFB+GFC90，四边形ABCD为矩形，ABC90，ABCD，GFC+FGC90，EFBFGC，EFBFGC，BE3，BF2，FC6，CG4，同理可得DAEEBF，AE，BAAE+BE+3，DGCDCG4故选：B【应用4 平面直角坐标系中构造“相似型”三垂直】【典例4】如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线ykx+2与y轴交于点A，与x轴交于点B，且OB2OA（1）如图1，求直线的解析式；（2）如图2，点P在第三象限的直线AB上，点C在点A上方的y轴上，连接PC、BC

20、，PC交x轴于点N，且tanAPC，设点P的横坐标为t，ABC的面积为S，求S与t的函数关系；（3）如图3，在（2）的条件下，点D在y轴的负半轴上，点E为AB的中点，连接DE、PD，ADON，当PDEPCD时，求点D的坐标【解答】解：（1）直线ykx+2与y轴交于点A，与x轴交于点B，令x0，则y2，点A的坐标为（0，2），OA2，OB2OA，OB4，B（4，0），将（4，0）代入ykx+2得：04k+2，解得：k，直线的解析式为：y；（2）过点A作EAAB交PC于点E，过E点作EGy轴，垂足为G，过点P作PFy轴，垂足为F，PAE90，PAF+EAG90，PAF+APF90，APFEAG，E

21、GAAFP90，AEGPAF，tanAPC，设P（t，），则PFt，AF，AG，EG，点A的坐标为：（0，2），E（），设PE的解析式为：yax+b，由P（t，），E（）可得：，解得：，C（0，2），AC22，BO4，St，（3）作EFDE交PD于F，过点E作EGy轴于点G，作FHEG于H，由（2）得直线PC的解析式：yx+（2），PCO45，ONOC2，ADON2，D（0，），PDEPCD45，DEGEFH（AAS）EGFH2，DGEH1，F（），设PD的解析式为：ymx+n，由P（t，）、D（0，）可得：，解得：，PD的解析式为：y，把点F（3+）代入y得：t16，t22（舍去），D（0，

22、3）【变式4】（2022禅城区二模）如图，抛物线经过原点O，对称轴为直线x2且与x轴交于点D，直线l：y2x1与y轴交于点A，与抛物线有且只有一个公共点B，并且点B在第四象限，直线l与直线x2交于点C（1）连接AD，求证：ADAC（2）求抛物线的函数关系式（3）在直线l上有一点动点P，抛物线上有一动点Q，当PBQ是以PQ为斜边的等腰直角三角形时，直接写出此时点P的坐标【解答】解：（1）如图1，过点C作CEy轴于点E，则AECDOA90，直线y2x1与y轴交于点A，与直线x2交于点C，A（0，1），C（2，5），E（0，5），OA1，OD2，CE2，AE4，AECDOA，AECDOA，CAEAD

23、O，ADO+DAO90，CAE+DAO90，DAC180（CAE+DAO）1809090，ADAC（2）设抛物线的函数关系式为yax2+bx，对称轴为直线x2，2，b4a，yax24ax，由ax24ax2x1，整理得ax2+（24a）x+10，直线y2x1与抛物线有且只有一个公共点B，（24a）24a0，解得：a1，a21，当a时，抛物线解析式为yx2x，联立得x2x2x1，解得：x1x22，B（2，3）与点B在第四象限矛盾，故a不符合题意，舍去，当a1时，yx24x，联立得x24x2x1，解得：x1x21，B（1，3），点B在第四象限符合题意，a1，该抛物线的函数关系式为yx24x（3）如图

24、2，过点B作BQAB交抛物线于点Q，作GHx轴交y轴于点G，过点Q作QHGH，则AGBBHQABQ90，ABG+QBHABG+BAG90，QBHBAG，ABGBQH，设Q（t，t24t），A（0，1），B（1，3），AG2，BG1，BHt1，QHt24t+3，解得：t1（舍去）或t，BH1，QH（）24+3，过点B作EFy轴，过点P1作P1EEF，过点P2作P2FEF，PBQ是以PQ为斜边的等腰直角三角形，P1BBQP2B，P1BE+EBQEBQ+QBH90，P1BEQBH，BEP1BHQ90，BEP1BHQ（AAS），EP1QH，BEBH，P1（，），同理可得：P2（，），综上，点P的坐标为

25、P1（，），P2（，）【应用5平面直角坐标系中运动成直角】【典例5】如图，已知抛物线yx2+与x轴交于点A、B，与y轴交于点C（1）则点A的坐标为 ，点B的坐标为 ，点C的坐标为 ；（2）设点P（x1，y1），Q（x2，y2）（其中x1x2）都在抛物线上，若x1+x21，请证明：y1y2；（3）已知点M是线段BC上的动点，点N是线段BC上方抛物线上的动点，若CNM90，且CMN与OBC相似，试求此时点N的坐标【解答】（1）证明：当x0时，y2，点C（0，2），当y0时，x2+0，解得：x1或x4，点A（1，0），B（4，0）（2）证明：由题意得：y1y2x12+x1+2（x22+x2+2）x2

26、2x12+x1x2（x2+x1）（x2x1）+（x1x2），x1+x21，y1y2x1x2，又x1x2，y1y2（3）解：设直线BC的解析式为ykx+b，则，解得：，直线BC的解析式为yx+2，如图，过点N作NGy轴于点G，过点M作MHGN于点H，则CGNH90，GNC+GCN90，CNM90，GNC+HNM90，GCNHNM，CNGNMH，设点N的坐标为（n，），则GNn，GC，当NCMOCB时，OB4，OC2，CN：MNOC：OB1：2，NH2CG2（）n2+3n，HM2NG2n，GHGN+NHn+（n2+3n）n2+4n，yMGC+COMH+22nn2n+2，点M的坐标为（n2+4n，n

27、2n+2），点M在直线BC上，（n2+4n）+2n2n+2，解得：n0（舍去）或，点N坐标为（，）；当NCMOBC时，OB4，OC2，CN：MNOB：OC2：1，NHCG（）n2+n，HMGNn，GHGN+NHn+（n2+n）n2+n，yMGC+COMH+2nn2+n+2，点M的坐标为（n2+n，n2+n+2），（n2+n）+2n2+n+2，解得：n0（舍去）或n3，点N坐标为（3，2），综上所述，点N的坐标为（，）或（3，2）【变式5】（2022碑林区校级四模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线C1：yax2+bx+c交x轴于点A（5，0），B（1，0），交y轴于点C（0，5）（1）求抛物线C

28、1的表达式和顶点D的坐标（2）将抛物线C1关于y轴对称的抛物线记作C2，点E为抛物线C2上一点若DOE是以DO为直角边的直角三角形，求点E的坐标【解答】解：（1）将点A（5，0），B（1，0），C（0，5）代入yax2+bx+c，解得，yx2+6x+5，yx2+6x+5（x+3）24，顶点D（3，4）；（2）设抛物线C2上任意一点（x，y），则（x，y）关于y轴对称的点为（x，y），点（x，y）在抛物线C1上，抛物线记作C2的解析式为yx26x+5，设E（t，t26t+5），过点D作DGx轴交于点G，过点E作EHx轴交于点H，DOE90，GOD+HOE90，GOD+GDO90，HOEGDO，GDOHOE，DG4，GO3，HEt2+6t5，OHt，t4或t，E（4，3）或E（，）