专题04 三角函数（新定义）（解析版）.docx

1、专题04 三角函数（新定义）一、单选题1（2023秋山东临沂高一统考期末）我们学过度量角有角度制与弧度制，最近，有学者提出用“面度制”度量角，因为在半径不同的同心圆中，同样的圆心角所对扇形的面积与半径平方之比是常数，从而称这个常数为该角的面度数，这种用面度作为单位来度量角的单位制，叫做面度制.在面度制下，角的面度数为，则角的正弦值为（）ABCD【答案】D【分析】根据面度数的定义，可求得角的弧度数，继而求得答案.【详解】设角所在的扇形的半径为r，则，所以， 所以，故选：D2（2023秋江苏苏州高一统考期末）定义:正割，余割.已知为正实数，且对任意的实数均成立，则的最小值为（）A1B4C8D9【答

2、案】D【分析】利用已知条件先化简，分离参数，转化恒成立求最值问题【详解】由已知可得，即.因为，所以，则，当且仅当时等号成立,故，故选：D.3（2022全国高一专题练习）密位制是度量角的一种方法，把一周角等分为6000份，每一份叫做1密位的角在角的密位制中，单位可省去不写，采用四个数码表示角的大小，在百位数与十位数之间画一条短线，如7密位写成“0-07”，478密位写成“4-78”若，则角可取的值用密位制表示错误的是（）A12-50B2-50C13-50D32-50【答案】C【分析】根据同角三角函数的基本关系及二倍角公式求出，再根据所给算法一一计算各选项，即可判断；【详解】解：因为，即，即，所以

3、，所以，或，解得或对于A：密位制对应的角为，符合题意；对于B：密位制对应的角为，符合题意；对于C：密位制对应的角为，不符合题意；对于D：密位制对应的角为，符合题意；故选：C4（2022秋山东青岛高三山东省青岛第五十八中学校考阶段练习）计算器是如何计算，等函数值的呢？计算器使用的是数值计算法，其中一种方法是用容易计算的多项式近似地表示这些函数，通过计算多项式的值求出原函数的值，如，其中，英国数学家泰勒发现了这些公式，可以看出，右边的项用得越多，计算得出的和的值也就越精确.运用上述思想，可得到的近似值为（）A0.50B0.52C0.54D0.56【答案】C【分析】将化为，根据新定义，取代入公式中，

4、直接计算取近似值即可【详解】由题意可得，故，故选：5（2022春广东中山高二统考期末）密位制是度量角与弧的常用制度之一，周角的称为1密位.用密位作为角的度量单位来度量角与弧的制度称为密位制.在密位制中，采用四个数字来记角的密位，且在百位数字与十位数字之间加一条短线，单位名称可以省去，如15密位记为“0015”，1个平角3000，1个周角6000，已知函数，当取到最大值时对应的x用密位制表示为（）A1500B3500C4000D4500【答案】C【分析】利用导数研究在给定区间上的最大值，结合题设密位制定义确定取到最大时x用密位制.【详解】由题设，在时，在时，所以在上递增，在上递减，即，故取到最大

5、值时对应的x用密位制表示为4000.故选：C6（2022春云南昆明高二校考期末）在平面直角坐标系xOy中，P（x，y）（xy0）是角终边上一点，P与原点O之间距离为r，比值叫做角的正割，记作sec；比值叫做角的余割，记作csc；比值叫做角的余切，记作cot四名同学计算同一个角的不同三角函数值如下：甲：；乙：；丙：；丁：如果只有一名同学的结果是错误的，则错误的同学是（）A甲B乙C丙D丁【答案】D【分析】当甲错误时，乙一定正确，从而推导出丙、丁均错误，与题意不符，故甲一定正确；再由丙丁必有一个错误，得到乙一定正确，由此利用三角函数的定义能求出结果【详解】解：当甲：错误时，乙：正确，此时，r5k，y

6、3k，则|x|4k，（k0），或，丙：不正确，丁：不正确，故错误的同学不是甲；甲：，从而r5k，x4k，|y|3k，（k0），此时，乙：；丙：；丁：必有两个正确，一个错误，丙和丁应该同号，乙正确，丙和丁中必有一个正确，一个错误，y3k0，x4k0，故丙正确，丁错误，综上错误的同学是丁故选：D7（2023秋湖南邵阳高一统考期末）设，定义运算，则函数的最小值为（）ABCD【答案】B【分析】由定义先得出，然后分，两种情况分别求出的最小值，从而得出答案.【详解】由题意可得当时，即则，即此时当时，有最小值为 当时，即则，即此时，所以的最小值为故选：B8（2023秋浙江杭州高一浙江大学附属中学校考期末）正

7、割及余割这两个概念是由伊朗数学家阿布尔威发首先引入的定义正割，余割已知为正实数，且对任意的实数均成立，则的最小值为（）ABCD【答案】D【分析】由参变量分离法可得出，利用基本不等式可求得的取值范围，即可得解.【详解】由已知可得，可得，因为，则，因为，当且仅当时，等号成立，故.故选：D.9（2022春江西景德镇高二景德镇一中校考期中）对集合和常数，把定义为集合相对于的“正弦方差，则集合相对于的“正弦方差”为（）ABCD与有关的值【答案】C【分析】先确定集合相对于的“正弦方差”的表达式，再利用半角公式，两角和与差的余弦公式化简可得结果.【详解】由题知，集合相对于的“正弦方差”为把，代入上式整理得，

8、.故选：C.10（2022秋山东高三山东聊城一中校联考阶段练习）现有如下信息：（1）黄金分割比（简称：黄金比）是指把一条线段分割为两部分，较短部分与较长部分的长度之比等于较长部分与整体长度之比，其比值为（2）黄金三角形被誉为最美三角形，是较短边与较长边之比为黄金比的等腰三角形（3）有一个内角为的等腰三角形为黄金三角形，由上述信息可求得（）ABCD【答案】D【分析】如图作三角形，先求出，再求出的值.【详解】如图，等腰三角形，,，取中点连接.，由题意可得，所以，所以，所以.故选：D【点睛】关键点睛：解答本题的关键是构造一个恰当的三角形，再解三角形求解.11（2021秋四川巴中高一校联考期末）定义运

9、算，如果的图像的一条对称轴为满足等式，则取最小值时，函数的最小正周期为（）ABCD【答案】C【分析】根据，利用切化弦和同角三角函数关系转化成的二次方程，可求出的值，结合对称轴可求出，最后利用周期公式进行求解即可【详解】，因为，所以，即，所以，解得或（舍去），而，所以，即，而的图象的一条对称轴为，所以，即，解得，所以正数取最小值为，此时函数的最小正周期为故选：12（2020全国高三校联考阶段练习）对于集合，定义：为集合相对于的“余弦方差”，则集合相对于的“余弦方差”为（）ABCD【答案】B【解析】根据所给“余弦方差”定义公式，代入集合中的各元素，即可得的表达式，结合余弦降幂公式及诱导公式化简，即

10、可求解.【详解】由题意可知，集合相对于的“余弦方差”代入公式可得因为所以原式，故选：B.【点睛】本题考查了新定义应用，降幂公式及诱导公式化简三角函数式的应用，属于中档题.13（2020秋江西宜春高三奉新县第一中学校考阶段练习）已知函数的图象与直线的相邻交点间的距离为，若定义，则函数，在区间内的图象是ABCD【答案】A【分析】由题知，利用求出，再根据题给定义，化简求出的解析式，结合正弦函数和正切函数图象判断，即可得出答案.【详解】根据题意，的图象与直线的相邻交点间的距离为，所以 的周期为， 则， 所以，由正弦函数和正切函数图象可知正确.故选：A.【点睛】本题考查三角函数中正切函数的周期和图象，以

11、及正弦函数的图象，解题关键是对新定义的理解.14（2022春陕西延安高一校考阶段练习）对于函数，在使成立的所有常数中，我们把的最大值称为函数的“下确界”.若函数，的“下确界”为，则的取值范围是（）ABCD【答案】A【分析】由下确界定义，的最小值是，由余弦函数性质可得【详解】由题意，的最小值是，又，由，得，时，所以故选：A【点睛】本题考查新定义，由新定义明确本题中的下确界就是函数的最小值可通过解不等式确定参数的范围15（2020全国高一假期作业）如果函数在区间上是凸函数，那么对于区间内的任意，都有，若在区间上是凸函数，那么在中，的最大值是（）AB3CD【答案】D【分析】利用“凸函数”的定义得到恒

12、成立的不等式，利用三角形的内角和为，即可求出最大值【详解】因为在区间，上是“凸函数”，所以得即：的最大值是故选：D.【点睛】本题考查理解题中的新定义，并利用新定义求最值，还运用三角形的内角和二、多选题16（2022全国高一专题练习）定义：为集合相对常数的“余弦方差”.若，则集合相对的“余弦方差”的取值可能为（）ABCD【答案】ABC【分析】根据所给定义及三角恒等变换公式将函数化简，再根据的取值范围，求出的取值范围，再根据正弦函数的性质计算可得.【详解】解：依题意，因为，所以，所以，所以；故选：ABC17（2021秋全国高三校联考期中）数学中一般用表示a，b中的较小值，表示a，b中的较大值；关于

13、函数：；，有如下四个命题，其中是真命题的是（）A与的最小正周期均为B与的图象均关于直线对称C的最大值是的最小值D与的图象关于原点中心对称【答案】BD【分析】先求出，结合函数与的图象即可求解【详解】设则，函数与的大致图象如下所示：对A，由图知，与的最小正周期均为2；故A错误；对B，由图知，为函数与的对称轴，故B正确. 对C，由图知函数的值域为，函数的值域为，故C错误；对D，由图知，与的图象关于原点中心对称，故D正确；故选：BD.18（2022江苏高一专题练习）已知角和都是任意角，若满足，则称与“广义互余”若，则下列角中，可能与角“广义互余”的有（）ABCD【答案】AC【分析】由题可得，根据诱导公

14、式化简计算判断每个选项即可.【详解】若与广义互余，则，即又由，可得对于A，若与广义互余，则，由可得与可能广义互余，故A正确；对于B，若与广义互余，则，由可得，故B错误；对于C，综上可得，所以，由此可得C正确，D错误故选：AC19（2022春辽宁沈阳高一沈阳市第一二中学校考阶段练习）在数学史上，为了三角计算的简便并且更加追求计算的精确性，曾经出现过下列两种三角函数：定义为角的正矢，记作，定义为角的余矢，记作，则下列命题正确的是（）ABC若，则D函数的最大值为【答案】BC【分析】利用诱导公式化简可得A错误，B正确；化简已知等式得到，将所求式子化简为正余弦齐次式，由此可配凑出求得结果，知C正确；利用

15、诱导公式化简整理得到，由此可知最大值为，知D错误.【详解】对于A，A错误；对于B，B正确；对于C，C正确；对于D，当时，D错误.故选：BC.【点睛】关键点点睛：本题考查了三角函数的新定义的问题，解题关键是能够充分理解已知所给的定义，结合三角函数的诱导公式、正余弦齐次式的求解等知识来判断各个选项.20（2022秋河南濮阳高一濮阳一高校考期末）在数学史上，为了三角计算的简便并且更加追求计算的精确性，曾经出现过下列两种三角函数:定义为角的正矢，记作，定义为角的余矢，记作，则下列命题中正确的是（）A函数在上是减函数B函数的最小正周期为CD【答案】AC【分析】由余弦函数的单调性可判断A选项；验证得，可判

16、断B选项；由定义的诱导公式可判断C选项；取，代入验证可判断D选项.【详解】因为，而在上是增函数，所以函数在上是减函数，故A正确；函数，所以，所以B错误；，故C正确；取，所以，故D错误,故选：AC.【点睛】本题考查函数的新定义，三角函数的诱导公式，同角三角函数间的关系，余弦函数的性质，属于中档题.三、填空题21（2023高一课时练习）我们规定把叫做对的余弦方差，那么对任意实数B，B对的余弦方差是_【答案】#【分析】根据余弦方差的定义求得正确答案.【详解】依题意，B对的余弦方差是：.故答案为：22（2022全国高一专题练习）已知都是定义在上的函数，若存在实数，使得，则称是，在上生成的函数.若，以下

17、四个函数中：；.所有是在上生成的函数的序号为_.【答案】【分析】根据两角差的余弦公式、二倍角公式，结合题中定义逐一判断即可.【详解】.：，因此有，所以本函数是在上生成的函数；：，因此有，本函数是在上生成的函数；：，因此有，本函数是在上生成的函数；：，显然不存在实数，使得成立，因此本函数不是在上生成的函数，故答案为：23（2021春江苏淮安高一校联考阶段练习）形如的式子叫做行列式，其运算法则为，则行列式的值是_.【答案】【分析】根据新定义计算即可【详解】由题意故答案为24（2023高一课时练习）若两个函数的图象经过若干次平移后能够重合，则称这两个函数为“同形”函数给出下列四个函数：；其中“同形”

18、函数有_（选填序号）【答案】【分析】利用三角恒等变换转化函数解析式，对比各函数的最小正周期及振幅即可得解.【详解】由题意，四个函数的最小正周期均相同，但振幅相同的只有，所以“同形”函数有.故答案为：.25（2023高一课时练习）在直角坐标系中，横纵坐标均为整数的点叫格点.若函数的图像恰好经过个格点，则称函数为阶格点函数.在上，下列函数中，为一阶格点函数的是_.(选填序号)；【答案】【分析】根据题目定义以及各函数的图象与性质即可判断【详解】当时，函数，的图象只经过一个格点，符合题意；函数的图象只经过一个格点，符合题意；函数的图象经过七个格点，不符合题意故答案为：26（2022春河南商丘高一商丘市

19、第一高级中学校考开学考试）在平面直角坐标系中，已知任意角以坐标原点为顶点，轴的非负半轴为始边，若终边经过点，且，定义：，称“”为“正余弦函数”，对于“正余弦函数”，有同学得到以下性质：该函数的值域为；该函数的图象关于原点对称；该函数的图象关于直线对称；该函数为周期函数，且最小正周期为；该函数的递增区间为.其中正确的是_（填上所有正确性质的序号）【答案】.【详解】分析：根据“正余弦函数”的定义得到函数，然后根据三角函数的图象与性质分别进行判断即可得到结论详解：中，由三角函数的定义可知，所以，所以是正确的；中，所以，所以函数关于原点对称是错误的；中，当时，所以图象关于对称是错误的；中，所以函数为周

20、期函数，且最小正周期为，所以是正确的；中，因为，令，得，即函数的单调递增区间为，所以是正确的，综上所述，正确命题的序号为点睛：本题主要考查了函数的新定义的应用，以及三角函数的图象与性质的应用，其中解答中根据函数的新定义求出函数的表达式是解答的关键，同时要求熟练掌握三角函数的图象与性质是解答额基础，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题27（2015秋广东揭阳高一统考期中）定义一种运算，令，且，则函数的最大值是_【答案】【详解】试题分析：，0sinx1由题意可得，函数的最大值考点：三角函数的最值四、解答题28（2023春云南文山高一校考阶段练习）人脸识别技术在各行各业的应用改变着人类的

21、生活，所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别对象的身份，在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.若二维空间有两个点，则曼哈顿距离为：，余弦相似度为：，余弦距离为(1)若，求A，B之间的曼哈顿距离和余弦距离；(2)已知，若，求的值【答案】(1)，(2)【分析】（1）根据公式直接计算即可.（2）根据公式得到，计算得到答案.【详解】（1），故余弦距离等于；（2）；故，则.29（2023高一课时练习）知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化

22、与之类似，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系，我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对如图，在中，顶角的正对记作，这时容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的根据上述对角的正对定义，解下列问题：(1)的值为（）ABCD(2)对于，的正对值的取值范围是_(3)已知，其中为锐角，试求的值【答案】(1)B(2)(3)【分析】（1）在等腰中，取，利用正对的定义可得出的值；（2）在等腰中，取的中点，连接，则，推导出，结合正弦函数的基本性质可求得的取值范围；（3）利用同角三角函数的基本关系求出，利用二倍角公式可求得，由此可得出的值.【详解】（1）解：在等腰中，则为等边三角形，所以，

23、故选：B.（2）解：在等腰中，取的中点，连接，则，则，因为，则，故.故答案为：.（3）解：，则，所以，所以，因此，.30（2020秋全国高三校联考阶段练习）若函数，平面内一点坐标，我们称为函数的“相伴特征点”，为的“相伴函数”（1）已知，求函数的“相伴特征点”；（2）记的“相伴函数”为，将图象上所有点的纵坐标伸长到原来的倍（横坐标不变），再将所得图象上所有点横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再将所得的图象上所有点向右平移个单位长度，得到函数，作出在上的图象【答案】（1）；（2）作图见解析.【分析】（1）利用二倍角的降幂公式化简得出，由此可得出函数的“相伴特征点”的坐标；（2）由题中定义可得出，

24、利用三角函数图象变换得出，然后通过列表、描点、连线，可得出函数在区间上的图象.【详解】（1），故函数的“相伴特征点”为；（2）由题意可得，将函数图象上所有点的纵坐标伸长到原来的倍（横坐标不变），得到函数的图象，再将所得图象上所有点横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），可得到函数的图象，再将所得的图象上所有点向右平移个单位长度，可得到函数的图象，当时，列表如下：故函数在上的图象如下图所示.【点睛】本题考查三角函数的新定义、利用三角函数图象变换求解析式，同时也考查了五点作图法，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.五、双空题31（2022秋内蒙古包头高一统考期末）对任意闭区间，表示函数在区间上的最

25、大值，则_，若，则的值为_【答案】 1； 或【分析】由题可得，故1；对t分类讨论，利用正弦函数的性质得出符合条件的t即可.【详解】当时，当时，1；当，即时，这与矛盾，当且，即时，或，由可得，或，所以或，当，即时，这与矛盾；综上所述，的值为或.故答案为：1；或.32（2019秋北京海淀高三人大附中校考阶段练习）已知集合是满足下列性质的函数的全体，存在非零常数，对任意，有成立（1）给出下列两个函数：，其中属于集合的函数是_（2）若函数，则实数的取值集合为_【答案】 【分析】（1）根据集合的性质判断（2）根据集合的性质求解，由恒成立成立，只有，【详解】（1）若，则存在非零点常数，使得，则，对恒成立，这是不可能的，；若，则存在非零点常数，使得，则，对恒成立，；（2）函数，则存在非零点常数，使得，即，时，时，由知，因此要使成立，只有，若，则，若，则，即，综上实数的取值范围是故答案为：.【点睛】本题考查新定义问题，此类问题的特点是解决问题只能以新定义规则为依据，由新定义规则把问题转化，转化为熟悉的问题进行解决