专题04 二次函数与实际应用（图形问题）-2022年中考数学之二次函数重点题型专题（全国通用版）（解析版）.docx

1、专题04 二次函数与实际应用（图形问题）1（20212022江苏工业园区九年级月考）如图，已知边长为4的正方形截去一角成为五边形，其中，在上的一点P，使矩形有最大面积，则矩形的面积最大值是_【答案】12【分析】延长NP交EF于G点，设PGx，则PN4x，利用平行线构造相似三角形，得出线段的比相等，从而表示矩形PNDM的长、宽，再表示矩形的面积，利用配方法求函数的对称轴，根据x的取值范围求最大值【详解】解：如图，延长NP交EF于G点，设PGx，则PN4x，PGBF，APGABF，即，解得AG2x，MPEGEA+AG2+2x，S矩形PNDMPMPN（2+2x）（4x）2x2+6x+82（x）2+，

2、（0x1）20，PGxBF1，抛物线开口向下，又PGxBF1，当x1时，函数有最大值为12故答案为：12【点睛】本题考查了二次函数的最值的运用关键是设线段的长，利用相似的性质表示矩形的面积，用二次函数的方法解题2（2021辽宁于洪中考二模）如图，要在夹角为30的两条小路与形成的角状空地上建一个三角形花坛，分别在边和上取点和点，并扎起篱笆将花坛保护起来（篱笆的厚度忽略不计）若和两段篱笆的总长为8米，则当_米时，该花坛的面积最大【答案】4【分析】设OP=x，则OQ=8-x，过点P作PMOQ,，由30角所对的直角边等于斜边的一半可得PM=，根据三角形面积公式可得面积关于OQ的二次函数，配方后即可求解

3、【详解】解：设OP=x，则OQ=8-x，过点P作PMOQ,交OQ于点M，如图， 函数图象开口向下，有最大值，为4，故当OP=4时，花坛的面积最大故答案为：4【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，利用面积法求出二次函数关系式是解答此题的关键3某校购买了一套乒乓球桌和自动发球机，侧面如图1所示，球台长度AB274cm，发球机紧贴球台端线点A处，高出球台的部分AC12cm，出球管道，若将水平状态的CD绕点C逆时针旋转45到CD的位置，发球机模式为“一跳球”，路线呈抛物线，离球台正中间的球网GH左侧72cm处到达最高点高出台面21cm，则_cm【答案】【分析】以AC为y轴，以AB为x轴，A为原点建立平

4、面直角坐标系，设抛物线最高点为N，对称轴MN与x轴交于M，则MN=21，根据题意写出抛物线解析式y=a（x65）2+21（a0），然后通过旋转求出D坐标，再把D坐标代入抛物线求出a，再令y=0解一元二次方程求出E对岸坐标即可【详解】解：以AC为y轴，以AB为x轴，A为原点建立平面直角坐标系，如图，设抛物线最高点为N，对称轴MN与x轴交于M，则MN=21，AB=274，GH是AB正中间，AH=AB=137，AM=AH-MH=13772=65，设抛物线为：y=a（x-65）2+21（a0），过D作DPx轴交CD于点Q，交x轴于点P，则CQD=APQ=90，旋转45，CD=，CQ=DQ=CDcosD

5、CD=5，DP=DQ+PQ=5+12=17，D（5，17）代入抛物线得：a（5-65）2+21=17，y=（x65）2+21，令y=0，则（x65）2+21=0，解得：x1=65+30，x2=65-30（舍去），E（65+30，0），EB=AB-AE=274-（65+30）=（209-30）（cm），故答案为：20930【点睛】本题考查二次函数的实际应用，关键是建坐标系通过题意画出二次函数的图象4（2020四川巴中中考真题）现有一“祥云”零件剖面图，如图所示，它由一个半圆和左右两支抛物线的一部分组成，且关于y轴对称其中半圆交y轴于点E，直径，；两支抛物线的顶点分别为点A、点B与x轴分别交于点C

6、、点D；直线BC的解析式为：则零件中BD这段曲线的解析式为_【答案】【分析】记AB与y轴的交点为F，根据图象关于y轴对称且直径AB2，OE2得出点B（1，1），由点B坐标求出直线BC解析式，据此得出点C坐标，继而得出点D坐标，将点D坐标代入右侧抛物线解析式ya（x1）2+1，求出a的值即可得出答案【详解】解：记AB与y轴的交点为F，AB2，且半圆关于y轴对称，FAFBFE1，OE2，则右侧抛物线的顶点B坐标为，将点代入得，解得，当时，解得，则，设右侧抛物线解析式为，将点代入解析式得，解得，故答案为：【点睛】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是根据轴对称图形的性质得出点B坐标及熟练运用待定系

7、数法求函数解析式5（2021浙江衢州市九年级期末）图1是一个高脚杯截面图，杯体CBD呈抛物线状（杯体厚度不计），点B是抛物线的顶点，AB9，EF2，点A是EF的中点，当高脚杯中装满液体时，液面CD4，此时最大深度（液面到最低点的距离）为10以EF所在直线为x轴，AB所在直线为y轴建立平面直角坐标系，求抛物线的解析式 _；将高脚杯绕点F缓缓倾斜倒出部分液体，当EFH30时停止，此时液面为GD，此时杯体内液体的最大深度为 _【答案】yx29 【分析】以A为原点，直线EF为x轴，直线AB为y轴，建立平面直角坐标系，由待定系数法求得抛物线的解析式；将高脚杯绕点F倾斜后，仍以A为原点，直线EF为x轴，直

8、线AB为y轴，建立平面直角坐标系，分别用待定系数法求得直线l的解析式和直线GD的解析式，过点M作MPl于点P，用三角函数求得液面GD到平面l的距离；过抛物线最低点Q作QL l，再将QL的解析式与抛物线的解析式联立，得出关于x的一元二次方程，由判别式求得q，最后用三角函数求得答案【详解】解：以A为原点，直线EF为x轴，直线AB为y轴，建立平面直角坐标系，如图：由题意得：A（0，0），B（0，9），C（2，19），D（2，19），设抛物线的解析式为：yax29，将D（2，19）代入得：19a(2)29，解得：a，yx29将高脚杯绕点F倾斜后，仍以A为原点，直线EF为x轴，直线AB为y轴，建立平面直

9、角坐标系，如图：由题意得：A（0，0），F（，0），E（，0），B（0，9），C（2，19），D（2，19），由题可知，直线l与x轴的夹角为30，GDl，l经过点F（，0），且EFH30，设直线l的解析式为：yxb，将F（，0）代入，解得b1，yx1，又GDl，kGDkl，设直线GD的解析式为yxp，将D（2，19）代入，解得p17，yx17，令x=0，y=17M（0，17），NF=，AN=AFtan30=1N（0，1），过点M作MPl于点P，EFH30，FAN90，ANF60，MPMNsin6017（1）9过抛物线最低点Q作QLl，L为QL于MP的交点，设直线QL的解析式为yxq，由得：5x

10、22x546q0，只有一个交点Q，0，1220（546q）0，q，ML（17）sin60故答案为：yx29，【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合并熟练掌握待定系数法、二次函数及解直角三角形等知识点是解题的关键6（20212022福建省福州九年级月考）如图，有长为21m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10m）围成中间隔有一道篱笆的长方形养鸡场，设养鸡场的宽为x m，面积为（1）y与x的函数关系为_，其中x的取值范围为_，函数图象的对称轴为_；（2）当养鸡场的面积为时，求养鸡场的宽；（3）求养鸡场面积的最大值【答案】（1），x7，；（2）养鸡场的宽为6m；（3）养鸡场的最大

11、面积是m2【分析】（1）由题意得：BC+3AB=21，即BC+3x=21，则BC=21-3x，即021-3x10，解得x7，而y=ABBC=x（21-3x）=-3x（x-7），即可求解；（2）由-3x（x-7）=18可得解；（3）由y=-3x（x-7）可求出面积最大值【详解】解：（1）由题意得：BC+3AB=21，即BC+3x=21，则BC=21-3x，而0BC10，即021-3x10，解得x7，而y=ABBC=x（21-3x）=-3x（x-7），即y=-3x（x-7）=（x7）；函数图象的对称轴为，故答案为：，x7，（2）根据题意得，解得，（不符合题意，舍去）所以，养鸡场的宽为6m；（3）由

12、（1）知，y=-3x（x-7）=，-30，故当时，y随x的增大而减小，x7故当时，y取得最大值为，即养鸡场的最大面积是m2【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用计算最大值问题常利用函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案7（2021湖北随州中考真题）如今我国的大棚（如图1）种植技术已十分成熟小明家的菜地上有一个长为16米的蔬菜大棚，其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在离地面高1米的墙体处，另一端固定在离地面高2米的墙体处，现对其横截面建立如图2所示的平面直角坐标系已知大棚上某处离地面的高度（米）与其离墙体的水平距离（米）之间的关系

13、满足，现测得，两墙体之间的水平距离为6米（1）直接写出，的值； 图2（2）求大棚的最高处到地面的距离；（3）小明的爸爸欲在大棚内种植黄瓜，需搭建高为米的竹竿支架若干，已知大棚内可以搭建支架的土地平均每平方米需要4根竹竿，则共需要准备多少根竹竿？【答案】（1），；（2）米；（3）352【分析】（1）根据题意，可直接写出点A点B坐标，代入，求出b、c即可；（2）根据（1）中函数解析式直接求顶点坐标即可；（3根据，先求得大棚内可以搭建支架的土地的宽，再求得需搭建支架的面积，最后根据每平方米需要4根竹竿计算即可【详解】解：（1）由题意知点A坐标为，点B坐标为，将A、B坐标代入得：解得：，故，；（2）由

14、，可得当时，有最大值，即大棚最高处到地面的距离为米；（3）由，解得，又因为，可知大棚内可以搭建支架的土地的宽为（米），又大棚的长为16米，故需要搭建支架部分的土地面积为（平方米）共需要（根）竹竿【点睛】本题主要考查根据待定系数法求函数解析式，根据函数解析式求顶点坐标，以及根据函数值确定自变量取值范围，掌握此题的关键是熟练掌握二次函数图像的性质8（2021江苏南通田家炳中学九年级月考）我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”如图所示，点、分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，已知点的坐标为，为半圆的直径，半圆圆心的坐标为，半圆半径为（1）求“蛋圆”抛物线部分的解析式及“蛋圆”的弦的长；（

15、2）已知点是“蛋圆”上的一点（不与点，点重合），点关于轴的对称点是点，若点也在“蛋圆”上，求点坐标；（3）点是“蛋圆”外一点，满足，当最大时，直接写出点的坐标【答案】（1）“蛋圆”抛物线部分的解析式为，CD的长；（2）E1(，1)，E2(，1)，E3(，1)，E4(，1)；（3）点P的坐标为（1，）【分析】（1）求出点A，B的坐标，运用待定系数法求出函数解析式；将x=0代入抛物线的解析式得y=-3，故此可得到DO的长，可得到AB的长，由M为圆心可得到MC和OM的长，然后依据勾股定理可求得OC的长，最后依据CD=OC+OD求解即可（2）假设点E在x轴上方的“蛋圆”上，EF与x轴交于点H，连接EM

16、由HM2+EH2=EM2，点F在二次函数y=x2-2x-3的图象上，可得方程组，以及对称性求解；（3）根据BPC=60保持不变，点P在一圆弧上运动和直径是最大的弦进行解答即可【详解】解：（1）圆心的坐标为，半圆半径为2A（-1，0），B（3，0）设“蛋圆”抛物线部分的解析式为 把A（-1，0），B（3，0），D（0，-3）代入解析式得， 解得， “蛋圆”抛物线部分的解析式为连接AC，BC，MC点D的坐标为（0，-3），OD的长为3A（-1，0），B（3，0）AO=1，BO=3，AB=4，M（1，0）MC=2，OM=1在RtCOM中，OC=CD=CO+OD=，即这个“蛋圆”被y轴截得的线段CD的

17、长（2）假设点E在x轴上方的“蛋圆”上，设E（m，n），则点F的坐标为（m，-n）EF与x轴交于点H，连接EMHM2+EH2=EM2，（m-1）2+n2=4，；点F在二次函数y=x2-2x-3的图象上，m2-2m-3=-n，解由组成的方程组得：；（n=0舍去）由对称性可得：；E1(，1)，E2(，1)，E3(，1)，E4(，1)（3）如图，BPC=60保持不变，因此点P在一圆弧上运动此圆是以K为圆心（K在BC的垂直平分线上，且BKC=120），BK为半径当BP为直径时，BP最大在中， ， 在中， 在RtPCR中， 点P的坐标为（1，）【点睛】本题考查的是圆与二次函数知识的综合运用，正确理解“蛋

18、圆”的概念、掌握圆周角定理、二次函数的图象和性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键，解答时，注意辅助线的作法要正确9（2021江苏泰州中考三模）某牧场准备利用现成的一堵“7”字型的墙面（如图中粗线表示墙面，已知，米，米）和总长为36米的篱笆围建一个“日”形的饲养场（细线表示篱笆，饲养场中间也是用篱笆隔开），如图，点可能在线段上，也可能在线段的延长线上（1）当点在线段上时，设的长为米，则_米（用含的代数式表示）；若要求所围成的饲养场的面积为66平方米，求饲养场的宽；（2）饲养场的宽为多少米时，饲养场的面积最大？最大面积为多少平方米？【答案】（1）；饲养场的宽为11米；（2）饲养场的宽为8米时，饲

19、养场的面积最大，最大面积为96平方米【分析】（1）根据矩形的性质求出GH和DB的长度，进而求出AD的长度，再根据篱笆总长度为36米，做减法即可求出DE的长度根据矩形的面积公式列出一元二次方程并求解即可（2）根据题意，对点F是在线段BC上还是在线段BC的延长线上进行分类讨论，然后根据矩形的面积公式列出饲养场BDEF的面积S与EF的长度x的关系式，再根据二次函数的性质求出当x为何值时，S取到最大值【详解】解：（1）饲养场BDEF是一个“日”形，四边形BDEF是由矩形BDGH和矩形FEGH组成的矩形DE=BF，DB=GH=EFEF=x，DB=GH=EF=x又AB=3，故答案为：（）要求所围成的饲养场

20、的面积为66平方米，解得，点在线段上，且BC=9，即解得x=11，即饲养场的宽为11米答：饲养场的宽为11米（2）设饲养场的面积为，的长为米当点在线段上时，根据（1）可得：，当时，有最大值，最大值为，且当时，随的增大而减小当点在线段上时，需满足，时，有最大值，最大值为（平方米）此时，满足点F在线段BC上当点在线段的延长线上时，设DE为y米，由（1）可得DB=GH=EF=x，DE=BF=y，BC=9，解得，当时，有最大值，最大值为（平方米）此时，满足点F在线段BC的延长线上，饲养场的宽为8米时，饲养场的面积最大，最大面积为96平方米答：饲养场的宽为8米时，饲养场的面积最大，最大面积为96平方米【

21、点睛】本题考查一元二次方程的应用和二次函数的应用，把实际问题抽象成数学问题并列出方程或关系式是解题关键，同时根据题目实际情况要注意分类讨论和实际意义10（2021湖北汉阳九年级月考）如图，学校计划建造一块边长为40m的正方形花坛ABCD，分别取四边中点E，F，G，H构成四边形EFGH，四边形EFGH部分种植甲种花，在正方形ABCD四个角落构造4个全等的矩形区域种植乙种花，剩余部分种草坪每一个小矩形的面积为xm2，已知种植甲种花50元/m2，乙种花80元/m2，草坪10元/m2，种植总费用为y元（1）求y关于x的函数关系式；（2）当种植总费用为74880元时，求一个矩形的面积为多少？（3）为了缩

22、减开支，甲区域改用单价为40元/m2的花，乙区域用单价为a元/m2（，且a为10的倍数）的花，草坪单价不变，最后种植费只用了55000元，求a的最小值【答案】（1）；（2）96m2；（3）50【分析】（1）E，F，G，H分别为正方形ABCD各边的中点，则四边形EFGH为正方形且S正方形EFGH=S正方形ABCD=402=800，进而求解；（2）令y=74880时，解得：x=96，即可求解；（3）由题意得80040+4xa+(800-4x)10=55000，即(a-10)x=3750，而设矩形的一条边为t，则另一条边为 20-t，可得x=t(20-t)=-t2+20t，当t=10时，xmax=1

23、00，故a47.5，即可求解【详解】解：（1）E，F，G，H分别为正方形ABCD各边的中点，四边形EFGH为正方形且S正方形EFGH=S正方形ABCD=402=800，y=80050+4x80+(800-4x)10=280x+48000；（2）当y=74880时，280x+48000=74880，解得：x=96，一个矩形的面积为96m2；（3）由题意得80040+4ax+(800-4x)10=55000，(a-10)x=3750，a=+10，设矩形的一条边为t m，则另一条边为(20-t)m，x=t(20-t)=-t2+20t=-(t-10)2+100，-10，当t=10时，xmax=100，

24、a47.5，又a80，且a为10的倍数，a的最小值为50【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案11（2021浙江南浔中考二模）南浔区某校增设拓展课程之“开心农场”，如图，准备利用现成的一堵“”字形的墙面（粗线表示墙面，已知，米，米）和总长为11米的篱笆围建一个“日”字形的小型农场（细线表示篱笆，小型农场中间也是用篱笆隔开），点可能在线段上（如图1），也可能在线段的延长线上（如图2），点在线段的延长线上（1）当点在线段上时，设的长为米，则_米（用含的代数式表示）；若要求所围成的小型农场的面积为9平方米，求的长；（2）

25、的长为多少米时，小型农场的面积最大？最大面积为多少平方米？【答案】（1）；3米；（2）当米时，最大为平方米【分析】（1）根据题意用篱笆总长度为11米，减去DF、GH、CE的长度，即可求得EF的长度；小型农场形状为矩形，面积，解出x的值即可；（2）设小型农场的面积为S，求出关于EF的长的函数关系式，根据二次函数的性质即可解答【详解】解（1），解得，点在线段上，舍去，（2）当点在线段上时，即，时，当时，最大为9 当点在线段的延长线上时，即时，当时，最大为综上所述，当时，最大为【点睛】此题主要考查的是二次函数的应用，一元二次方程的应用，掌握矩形的面积计算方法是解题的关键12如图，一小球M从斜坡OA上

26、的O点处抛出，球的抛出路线是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，斜坡可以用一次函数刻画若小球到达的最高的点坐标为（4，8），解答下列问题：（1）求抛物线的表达式；（2）小球落点为A，求A点的坐标；（3）在斜坡OA上的B点有一棵树，B点的横坐标为2，树高为4，小球M能否飞过这棵树？通过计算说明理由；（4）求小球M在飞行的过程中离斜坡OA的最大高度【答案】（1）y=-+8；（2）；（3）能，理由见解析；（4）【分析】（1）设抛物线解析式为y=a，把点A(0,0)代入解析式，确定a值即可；（2）求直线y=x与抛物线y=-+8的交点坐标即可；（3）计算当x=2时，抛物线的函数值，一次函数的函

27、数值，函数值的差为树高，与实际树高比较，大则飞过，否则，就是飞不过；（4）设小球M飞行到点D时，距离斜坡OA最高，设D（m，-+4m），过点D平行y轴的直线与OA交于点N，则点N（m，m），配方法确定抛物线的最值即可.【详解】解：（1）抛物线的顶点坐标为（4，8），设抛物线的解析式为y=a，把点A(0,0)代入解析式，得0=a，解得a= -，二次函数的解析式y=-+8=-+4x；（2）根据题意，得-+4x=x，解得=0（舍去），=7，当x=7时，y=x =，A(7， )；(3)当x=2时，=x=2=1，=-+4x =-+42= 6，-=6-1=54，小球M能飞过这棵树（4）设小球M飞行到点D时

28、，距离斜坡OA最高，设D（m，-+4m），过点D平行y轴的直线与OA交于点N，则点N（m，m），DN=-+4m-m=-+m= -+，m=时，DN有最大值，且为，小球M在飞行的过程中离斜坡OA的最大高度为【点睛】本题考查了抛物线的顶点式法求解析式，抛物线与一次函数交点坐标的确定，解一元二次方程，构造二次函数求最值，明确交点坐标意义，熟练解由解析式构成的一元二次方程，灵活构造二次函数，并求其最值是解题的关键13（2021河北中考真题）下图是某同学正在设计的一动画示意图，轴上依次有，三个点，且，在上方有五个台阶（各拐角均为），每个台阶的高、宽分别是1和15，台阶到轴距离从点处向右上方沿抛物线：发出一

29、个带光的点（1）求点的横坐标，且在图中补画出轴，并直接指出点会落在哪个台阶上；（2）当点落到台阶上后立即弹起，又形成了另一条与形状相同的抛物线，且最大高度为11，求的解析式，并说明其对称轴是否与台阶有交点；（3）在轴上从左到右有两点，且，从点向上作轴，且在沿轴左右平移时，必须保证（2）中沿抛物线下落的点能落在边（包括端点）上，则点横坐标的最大值比最小值大多少？（注：（2）中不必写的取值范围）【答案】（1），见解析，点会落在的台阶上；（2），其对称轴与台阶有交点；（3）【分析】（1）二次函数与坐标轴的交点坐标可以直接算出，根据点的坐标可以确定轴，利用函数的性质可以判断落在那个台阶上；（2）利用二

30、次函数图象的平移来求解抛物线，再根据函数的对称轴的值来判断是否与台阶有交点；（3）抓住二次函数图象不变，是在左右平移，要求点横坐标的最大值比最小值大多少，利用临界点法，可以确定什么时候横坐标最大，什么时候横坐标最小，从而得解【详解】解：（1）当，解得：，在左侧，关于对称，轴与重合，如下图：由题意在坐标轴上标出相关信息，当时，解得：，点会落在的台阶上，坐标为，（2）设将抛物线，向下平移5个单位，向右平移的单位后与抛物线重合，则抛物线的解析式为：，由（1）知，抛物线过，将代入，解得：（舍去，因为是对称轴左边的部分过），抛物线:，关于，且，其对称轴与台阶有交点（3）由题意知，当沿轴左右平移，恰使抛物线下落的点过点时，此时点的横坐标值最大；当，解得：（取舍），故点的横坐标最大值为：，当沿轴左右平移，恰使抛物线下落的点过点时，此时点的横坐标值最小；当，解得：（舍去），故点的横坐标最小值为：，则点横坐标的最大值比最小值大：，故答案是：【点睛】本题综合性考查了二次函数的解析式的求法及图象的性质，图象平移，抛物线的对称轴，解题的关键是：熟练掌握二次函数解析式的求法及图象的性质，通过已知的函数求解平移后函数的解析式