专题06 直角三角形的边角关系（考点清单9个考点）（解析版）.docx

1、专题06 直角三角形的边角关系（考点清单）【考点1】锐角三角函数的相关概念 【考点2】特殊角的三角函数值【考点3】同角的三角函数关系 【考点4】互余的三角函数关系【考点5】解直角三角形 【考点6】解直角三角形的应用【考点7】解直角三角形的应用-坡度坡角 【考点8】 解直角三角形应用-仰角俯角问题 【考点9】 解直角三角形应用-方向角问题 【考点1】锐角三角函数的相关概念 1如图，在RtABC中，C90，AB5，AC3，则sinB等于（）ABCD【答案】D【解答】解：在RtABC中，C90，AB5，AC3，sinB，故选：D2如图，在RtABC中，C90，AC1，BC2，那么cosA的值为（）A

2、B2CD【答案】C【解答】解：在RtABC中，C90，AC1，BC2，由勾股定理，得AB由锐角的余弦，得cosA故选：C3在RtABC中，各边都扩大5倍，则锐角A的正切函数值（）A不变B扩大5倍C缩小D不能确定【答案】A【解答】解：锐角三角函数值随着角度的变化而变化，而角的大小与边的长短没有关系，因此锐角A的正切函数值不会随着边长的扩大而变化，故选：A4在RtABC中，C90，则AB25，则BC（）A24B20C16D15【答案】D【解答】解：RtABC中，C90，AB25，BC15故选：D5在RtABC中，C90，AC2，BC5，那么cosA的值是（）ABCD【答案】B【解答】解：在RtAB

3、C中，C90，AC2，BC5，由勾股定理，得AB，由锐角的余弦，得cosA故选：B6在 RtABC中，C90，a，b，c分别表示A，B，C 的对边，那么下列结论中错误的是（）AabcotABacsinACDbatanB【答案】A【解答】解：由锐角三角函数的定义可知sinA，cosA，cotA，tanB，acsinA，c，a，batanB，故A选项不符合题意故选：A7由小正方形组成的网格如图，A，B，C三点都在格点上，则ABC的正切值为（）ABCD【答案】C【解答】解：如图，作CDAB于点D，则CD，BD2，故tanABC，故选：C【考点2】特殊角的三角函数值8sin45的值是（）A1BCD【答

4、案】C【解答】解：由特殊角的三角函数值可知，sin45故选：C9tan60的值是（）ABC1D【答案】D【解答】解：tan60的值是，故选：D【考点3】同角的三角函数关系 10在ABC中，A90，则cosC的值是（）ABCD【答案】B【解答】解：在ABC中，A90，sin2C+cos2C1，+cos2C1，解得：cosC或cosC（舍去），cosC的值是，故选：B11已知，则cosA（）ABCD【答案】C【解答】解：tanA，tanA，则sinAcosA，sin2A+cos2A1，cos2A1，解得cosA又0A90，cosA0，cosA故选：C12在RtABC中，C90，sinA，则tanA

5、（）ABCD【答案】D【解答】解：C90，sin2A+cos2A1；cosA，tanA故选：D【考点4】互余的三角函数关系13在RtABC中，C90，则tanA（）ABCD【答案】A【解答】解：在RtABC中，C90，sinB，设AC3x，AB5x，BC4x，tanA故选：A14在RtABC中，C90，则tanB等于（）ABCD【答案】C【解答】解：在RtABC中，C90，cosA，tanB，a2+b2c2，cosA，设b2x，则c3x，axtanB故选：C15在RtABC中，C90，sinA，则cosB的值为（）ABCD【答案】C【解答】解：在RtABC中，故选：C16在ABC中，C90，s

6、inB，则tanA（）ABCD【答案】B【解答】解：C90，sinB，令AC4x，则AB5x，BC3x，tanA故选：B17在RtABC中，C90，cosA，则tanB的值为（）ABCD【答案】D【解答】解：在RtABC中，C90，cosA，可设ACx，则AB3x，由勾股定理得，BC2x，tanB，故选：D18在直角ABC中，C90，BC3，sinA，求tanB为（）ABCD【答案】D【解答】解：在直角ABC中，C90，BC3，sinA，AB5，AC4，tanB，故选：D19在ABC中，若，则C的度数是（）A45B60C75D105【答案】C【解答】解：|cosA|+2（1tanB）20，co

7、sA0，2（1tanB）20，cosA，tanB1，A60，B45，C180AB75，故选：C【考点5】解直角三角形20如图，将ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则tanA的值是（）ABC2D【答案】B【解答】解：如图：连接BD，由题意得：AD222+228，BD212+122，AB212+3210，AD2+BD2AB2，ABD是直角三角形，ADB90，在RtABD中，AD2，BD，tanA，故选：B21如图，在ABC中，AC2，B45，C30，则BC的长度为（）AB2C1+D3【答案】C【解答】解：过A作ADBC于D，ADBADC90在RtADC中，C30，A

8、C2，ADAC1，CD，在RtADB中，B45，AD1，BDAD1，BCBD+CD1+故选：C22计算：cos30tan60cos245+tan45【答案】2【解答】解：cos30tan60cos245+tan45（）2+1+11+1223如图，已知在RtABC中，C90，sinABC，点D在边BC上，BD4，连接AD，tanDAC（1）求边AC的长；（2）求tanBAD的值【答案】（1）6；（2）【解答】解：（1）设AC3m，BD4，BCCD+BDC90，sinABC，tanDAC，CD2m，4m2m+4，解得m2，AC3m6；（2）作DEAB于点E，由（1）知，AB5m10，AC6，BD4

9、，解得DE，AC6，CD2m4，C90，AD2，AE，tanBAD，即tanBAD的值是24如图，RtABC中，C90，cosA，D是边AC的中点，联结BD（1）已知BC，求AB的长；（2）求cotABD的值【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）RtABC中，cosA，ACABAC2+BC2AB2，AB2+2AB2AB3或3（3不合题意舍去）AB3（2）过点D作DEAB，垂足为E由（1）知AB3，ACAB2D是边AC的中点，CDADAC1，SBCDSABDCDBC1.ABDEDE在RtDAE中，AE，BE3在RtDBE中，cotABD25已知：如图，在ABC中，ABAC15，tanA求：（1

10、）SABC；（2）B的余弦值【答案】（1）90；（2）【解答】解：（1）过点C作CDAB，垂足为D，在RtABC中，tanA，设CD4k，则AD3k，AC5k，AC15，5k15，k3，AD9，CD12，SABCABCD151290，SABC90；（2）在RtBCD中，BDABAD1596，CD12，BC6，cosB，B的余弦值为26综合与实践：在学习解直角三角形）一章时，小邕同学对一个角的倍角的三角函数值与这个角的三角函数值是否有关系产生了浓厚的兴趣，并进行研究【初步尝试】我们知道：tan60，tan30发现：tanA 2tan（填“”或“”）【实践探究】在解决“如图1，在RtABC中，C9

11、0，AC2，BC1，求tan的值”这一问题时，小邕想构造包含A 的直角三角形，延长CA到点D，使DAAB，连接BD，所以可得DBAC，问题即转化为求D的正切值，请按小邕的思路求tan 的值【拓展延伸】如图2，在RtABC中，C90，AC3，tan A请模仿小邕的思路或者用你的新思路，试着求一求tan2A的值【答案】【初步尝试】，；【实践探究】2；【拓展延伸】【解答】解：【初步尝试】tan60，tan30，发现结论：tanA2tan（），故答案为：，；【实践探究】在RtABC中，C90，AC2，BC1，AB，如图1，延长CA至D，使得DAAB，ADAB，DABD，BAC2D，CDAD+AC2+，

12、tan（）tanD；【拓展延伸】如图2，作AB的垂直平分线交AC于E，连接BE，则BEC2A，AEBE，AABERtABC中，C90，AC3，tanABC1，AB，设AEx，则EC3x，在RtEBC中，x2（3x）2+1，解得x，即AEBE，EC，tan2AtanBEC【考点6】解直角三角形的应用27电线杆AB直立在水平的地面BC上，AC是电线杆AB的一根拉线，测得BC5，ACB52，则拉线AC的长为（）ABC5cos52D【答案】B【解答】解：ABC90，ACB52，BC5，cos52，AC故选：B28如图，要焊接一个等腰三角形钢架，钢架的底角为28，高CD长为3米，则斜梁AC的长为（）A3

13、sin28mB mC mD m【答案】B【解答】解：因为等腰三角形钢架，钢架的底角为28，高CD长为3米，所以AC米，故选：B29如图，一座金字塔被发现时，顶部已经荡然无存，但底部未受损已知该金字塔的下底面是一个边长为140m的正方形，且每一个侧面与地面成60角，则金字塔原来高度为（）A140mBCD【答案】B【解答】解：如图：该金字塔的下底面是一个边长为140m的正方形，BC14070（m），ACBC，ACB90，在RtABC中，ABC60，ACBCtan6070（m），则金字塔原来高度为70m，故选：B29.（2023春红旗区校级期末）超速行驶是引发交通事故的主要原因上周末，小威等三位同学

14、在幸福大道段，尝试用自己所学的知识检测车速，观测点设在到公路l的距离为100m的P处这时，一辆红旗轿车由西向东匀速驶来，测得此车从A处行驶到B处所用的时间为3s，并测得APO60，BPO45，（1）求AP的长？（2）试判断此车是否超过了80km/h的限制速度？（1.732）【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）由题意知：PO100米，APO60，BPO45，在直角三角形BPO中，BPO45，BOPO100m，在直角三角形APO中，APO60，AOPOtan60100m，APm；（2）由题意知：PO100米，APO60，BPO45，在直角三角形BPO中，ABAOBO（100100）73米，从A

15、处行驶到B处所用的时间为3秒，速度为73324.3米/秒87.6千米/时80千米/时，此车超过每小时80千米的限制速度【考点7】解直角三角形的应用-坡度坡角 30如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为30的斜坡，从A滑行至B，已知AB100m，则这名滑雪运动员的高度下降了 50米【答案】50【解答】解：在RtABC中，B30，AB100m，则ACAB50（m），故答案为：5031如图是拦水坝的横断面，斜坡AB的水平宽度为12米，斜面坡度为1：2，则斜坡AB的长为6m【答案】见试题解答内容【解答】解：斜面坡度为1：2，AC12m，BC6m，则AB（m）故答案为：6m32为增强体质，小明和小强相约周末去

16、登山，小明同学从北坡山脚C处出发，小强同学同时从南坡山脚B处出发，如图所示已知小山北坡长为240米，坡度，南坡的坡脚是45（出发点B和C在同一水平高度，将山路AB、AC看成线段）（1）求小山南坡AB的长；（2）如果小明以每分钟24米的速度攀登，小强若要和小明同时到达山顶A，求小强攀登的速度（结果保留根号）【答案】（1）小山南坡AB的长为120米；（2）小强若要和小明同时到达山顶A，小强攀登的速度为12米/分【解答】解：（1）过点A作ADBC，垂足为D，山坡AC的坡度，在RtADC中，tanACD，ACD30，AC240米，ADAC120（米），在RtABD中，ABD45，AB120（米），小山

17、南坡AB的长为120米；（2）AC240米，小明到达山顶A需要的时间10（分），AB120米，小强攀登的速度12（米/分），小强若要和小明同时到达山顶A，小强攀登的速度为12米/分33速滑运动受到许多年轻人的喜爱，如图，四边形BCDG是某速滑场馆建造的滑台，已知CDEG，滑台的高DG为6米，且坡面BC的坡度为1：1，为了提高安全性，决定降低坡度，改造后的新坡面的坡度CAG37（参考数据：sin37，cos37，tan37）（1）求新坡面AC的长；（2）原坡面底部BG的正前方10米处（EB10米）是护墙EF，为保证安全，体育管理部门规定，坡面底部至少距护墙7米，请问新的设计方案是否符合规定，试说

18、明理由【答案】（1）10米；（2）新的设计方案符合规定，理由见解答【解答】解：（1）如图，过点C作CHBG，垂足为H，新坡面AC的坡度为CAG37，tanCAH，CHDG6米，AH8（米），AC10（米），答：新坡面AC的长为10米；（2）新的设计方案不符合规定理由如下：坡面BC的坡度为1：1，BHCH6米，ABAHBH862（米），AEEBAB1028（米）7（米），新的设计方案符合规定【考点8】 解直角三角形应用-仰角俯角问题 34（2023农安县一模）如图所示，塔底B与观测点A在同一水平线上为了测量铁塔的高度，在A处测得塔顶C的仰角为，塔底B与观测点A的距离为80米，则铁塔的高BC为（）

19、A80sin米B米C80tan米D米【答案】C【解答】解：根据题意得：，BCtanAB80tan（米）故选：C35（2023光明区二模）在综合实践课上，某班同学测量校园内一棵树的高度如图，测量仪在A处测得树顶D的仰角为45，在C处测得树顶D的仰角为37（点A、B、C在同一条水平主线上），已知测量仪的高度AECF1.65米，AC28米，则树BD的高度是（）【参考数据：sin370.60，cos370.80，tan370.75】A12米B12.65米C13米D13.65米【答案】D【解答】解：连接EF交BD于点M，则EFBD，AEBMCF1.65，EFAC28设DMx米，在RtDEM中，DEM45

20、，EMDMx，MF28x在RtDFM中，DFM37，即：，解得x12，即DM12BDDM+BM12+1.6513.65（米）树BD的高度约为13.65米故选：D36（2023黄州区校级二模）如图，社小山的东侧炼A处有一个热气球，由于受西风的影响，以30m/min的速度沿与地面成75角的方向飞行，20min后到达点C处，此时热气球上的人测得小山西侧点B处的俯角为30，则小山东西两侧A，B两点间的距离为 600【答案】600【解答】解：如图，过点A作ADBC，垂足为D，在RtACD中，ACD753045，AC3020600（米），ADACsin45300（米）在RtABD中，B30，AB2AD60

21、0（米）故答案为：60037（2023市中区校级模拟）小明同学想利用刚学的三角函数知识测量一栋教学楼的高度，如图，他在A处测得教学楼顶B点的仰角为45，走7m到C处测得B的仰角为55，已知O、A、C在同一条直线上求教学楼OB的高度（参考数据：sin550.82，cos550.57，tan551.43，结果精确到0.1m）【答案】23.3米【解答】解：在RtAOB中，A45，则OAOB，AC7米，OC（OB7）米，在RtCOB中，BCO55，tanBCO，1.43，解得：OB23.3，答：教学楼OB的高度约为23.3米38（2023振兴区校级一模）如图，一座山的一段斜坡BD的长度为400米，且这

22、段斜坡的坡度i1：3（沿斜坡从B到D时，其升高的高度与水平前进的距离之比）已知在地面B处测得山顶A的仰角（即ABC）为30，在斜坡D处测得山顶A的仰角（即ADE）为45求山顶A到地面BC的高度AC是多少米？【答案】40+40m【解答】解：过点D作DHBC于H，设AExm这段斜坡的坡度i1：3，DH：BH1：3在RtBDH中，DH2+（3DH）24002，DH40（m），则BH120（m）在RtADE中，ADE45，DEAExm又HCED，ECDH，HCxm，EC40m，在RtABC中，tan30，解得x40，ACAE+EC（40+40）m故山顶A到地面BC的高度AC是（40+40）m39（20

23、23开平市二模）如图所示，建筑物MN一侧有一斜坡AC，在斜坡坡脚A处测得建筑物顶部N的仰角为60，当太阳光线与水平线夹角成45时，建筑物MN的影子的一部分在水平地面上MA处，另一部分影子落在斜坡上AP处，已知点P的距水平地面AB的高度PD5米，斜坡AC的坡度为（即tanPAD），且M，A，D，B在同一条直线上（测倾器的高度忽略不计，结果保留根号）（1）求此时建筑物MN落在斜坡上的影子AP的长；（2）求建筑物MN的高度【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）如图，作PHMN于H则四边形PDMH是矩形tanPAD，PD5，AD15，PA5（米），此时建筑物MN落在斜坡上的影子AP的长为5米（2）N

24、PH45，PHN90，PNHNPH45，NHPH，设NHPHx米，则MN（x+5）米，AM（x15）米，在RtAMN中，tan60，MNAM，x+5（x15）解得x（10+25）（米），MNx+5（10+30）米【考点9】 解直角三角形应用-方向角问题 40（2023龙凤区校级模拟）如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60方向，与灯塔P的距离为30海里的A处，轮船沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30方向上的B处，则此时轮船所在位置B处于灯塔P之间的距离为30海里【答案】见试题解答内容【解答】解：由题意可得：B30，AP30海里，APB90，故AB2AP60（海里），则此时轮船所在位

25、置B处与灯塔P之间的距离为：BP30（海里）；故答案为：30海里41.（2023临高县模拟）如图，一艘渔船位于小岛B的北偏东30方向，距离小岛20千米的点A处，它沿着点A的南偏东15的方向航行（1）填空：ABE60度，BAC45度；（2）渔船航行多远时距离小岛B最近？（结果保留根号）（3）渔船到达距离小岛B最近点后，按原航向继续航行10千米到点C处时突然发生事故，渔船马上向小岛B上的救援队求救，问救援队从B处出发沿着哪个方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是多少？（结果精确到1千米，参考数据1.41，1.73，2.45）【答案】（1）60；45；（2）渔船航行10km时，距离小岛B最近；（3

26、）救援队从B处出发沿着南偏东45方向航行到达事故地点航程最短，最短航程约为28km【解答】解：（1）如图：由题意得：FBA30，DAC15，FBAD，BADFBD30，BACBAD+DAC45，由题意得：FBE90，ABEFBEFBA60，故答案为：60；45；（2）过点B作BGAC，垂足为G，在RtABG中，AB20km，BAC45，AGABcos452010（km），渔船航行10km时，距离小岛B最近；（3）如图：在RtABG中，AB20km，BAC45，BGABsin452010（km），ABG90BAC45，由题意得：CG10km，在RtBGC中，tanGBC，GBC60，BC2028（km），ABF30，CBH180ABFABGCBG45，救援队从B处出发沿着南偏东45方向航行到达事故地点航程最短，最短航程约为28km