专题07 分式方程及其应用【八大题型】（举一反三）（解析版）.docx

1、专题07 分式方程及其应用【八大题型】【题型1 由分式方程的解求参数】2【题型2 解分式方程】4【题型3 由分式方程无解或存在增根求参数】4【题型4 由分式方程的取值范围求参数】7【题型5 由实际问题抽象出分式方程】9【题型6 分式方程的应用与函数的综合运用】11【题型7 中考最热考法之以真实问题情境为背景考查分式方程的实际应用】17【题型8 中考最热考法之以数学文化为背景考查分式方程的实际应用】21【知识点 分式方程及其应用】1.定义分母中含有未知数的方程叫做分式方程。2.分式方程的解法将分式方程化成整式方程（去分母，即等号两边同乘以最简公分母）；解整式方程（去括号；移项；合并同类项；系数化

2、为1或其它解法）；检验：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；若不等于零，就是原方程的根。3.分式方程与实际问题解有关分式方程的实际问题的一般步骤：第1步：审题。认真读题，分析题中各个量之间的关系。第2步：设未知数。根据题意及各个量的关系设未知数。第3步：列方程。根据题中各个量的关系列出方程。第4步：解方程。根据方程的类型采用相应的解法。第5步：检验。检验所求得的根是否满足题意。第6步：答。【题型1 由分式方程的解求参数】【例1】（2023浙江模拟预测）已知关于x的方程2kx+3x-1-7x2-x=4kx的方程恰好有一个实数解，求k的值及方程的解【答案】k=0,x=73 或k

3、=94，x=23；k=-14或x=4或k=2，x=14或k=74，x=87【分析】去分母，转化为整式方程，根据整式方程为一元一次方程，即k=0，为一元二次方程，即k0，分别求解而当方程为一元二次方程时，又分为=0 (方程有等根，满足方程恰好有一个实数解)，若0，则方程有两不等实根，且其中一个为增根，而增根只可能为1或0【详解】解：两边同乘x2-x,得2kx2+3-4kx+4k-7=0，若k=0，3x-7=0，x=73，若k0，由题意，知=3-4k2-8k4k-7=0，解得k1=94，k2=-14，当k1=94时，x1=x2=23，当k2=-14时，x1=x2=4，若方程有两不等实根，则其中一个

4、为增根，当x1=1时，k=2，x2=14，当x1=0时，k=74，x2=87【点睛】本题考查了分式方程的解，解一元二次方程关键是将分式方程转化为整式方程，根据整式方程的特点及题目的条件分类讨论【变式1-1】（2023山东淄博统考中考真题）已知x=1是方程m2-x-1x-2=3的解，那么实数m的值为（）A-2B2C-4D4【答案】B【分析】将x=1代入方程，即可求解【详解】解：将x=1代入方程，得m2-1-11-2=3解得：m=2故选：B【点睛】本题考查分式方程的解，解题的关键是将x=1代入原方程中得到关于m的方程【变式1-2】（2023黑龙江统考中考真题）下列分式方程中，解为x=-1的是（）A

5、4x-1=1xBx+1x2-1=0C2x-1+1x+2=0D2x+1-1x+2=0【答案】C【分析】根据方程解的意义，使方程左右两边相等的式子值叫方程的解，分别代入判断即可【详解】当x=-1时，A 4x-1=1x中，左边=-2，右边=-1，A不符合题意；Bx+1x2-1=0中，x2-1=0，分母等于0，分式无意义，B不符合题意；C 2x-1+1x+2=0中，左边=-1+1=0=右边，C符合题意；D 2x+1-1x+2=0中，分母x+1=0，D不符合题意故答案是：C【点睛】本题考查了分式方程的解，解决本题的关键是正确理解分式方程解的意义，做题时要考虑分母是否为0的情况【变式1-3】（2023重庆

6、渝中重庆巴蜀中学校考一模）若关于x的不等式组3x+54x+32x+12x+a2无解，且关于y的分式方程5-ay2-y-1=3y-2有整数解，则满足条件的所有整数a的和为（）A10B12C16D14【答案】B【分析】先求得不等式组中各不等式的解集，根据不等式组无解可求得a的取值范围，然后求得分式方程的解，根据解为整数，且y-20，即可求得满足条件的所有整数a的值【详解】3x+54x+32x+12x+a2解不等式，得x1解不等式，得xa-1因为关于x的不等式组3x+54x+32x+12x+a2无解，可得a-11解得a2解关于y的分式方程5-ay2-y-1=3y-2，得y=6a-16a-1为整数，a

7、2，6a-1-20,a=2或a=3或a=7满足条件的所有整数a的和=2+3+7=12故选：B【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组和解分式方程，牢记解一元一次不等式组和解分式方程的步骤是解题的关键【题型2 解分式方程】【例2】（2023河北统考中考真题）根据下表中的数据，写出a的值为 b的值为 x结果代数式2n3x+17b2x+1xa1【答案】 52 -2【分析】把x=2代入得2x+1x=a，可求得a的值；把x=n分别代入3x+1=b和2x+1x=1，据此求解即可【详解】解：当x=n时，3x+1=b，即3n+1=b，当x=2时，2x+1x=a，即a=22+12=52，当x=n时，2x+1x=1

8、，即2n+1n=1，解得n=-1，经检验，n=-1是分式方程的解，b=3-1+1=-2，故答案为：52；-2【点睛】本题考查了求代数式的值，解分式方程，准确计算是解题的关键【变式2-1】（2023四川中考真题）关于x的分式方程2x-1-1x+1=11-x的解是 【答案】x=-2【分析】把分式方程转化为整式方程即可解决问题【详解】解：2x-1-1x+1=11-x两边乘x+1x-1得到，2x+2-x-1=-x+1，解得x=-2，检验：把x=-2代入x+1x-1得：-2+1-2-1=30，x=-2是原方程的解故答案为：x=-2【点睛】此题考查解分式方程，解题的关键是熟练掌握解分式方程的步骤，注意解分

9、式方程必须检验【变式2-2】（2023西藏统考中考真题）解分式方程：xx+1-1=3x-1【答案】-12【分析】方程两边同时乘以x+1x-1，将分式方程化为整式方程，再求解即可【详解】xx+1-1=3x-1x+1x-1xx+1-1x+1x-1=3x-1x+1x-1x-1x-x+1x-1=3x+1x2-x-x2+1=3x+3-4x=2x=-12，经检验，x=-12是原方程的根，故原方程的解为：x=-12【点睛】本题考查了求解分式方程的知识，掌握相应的求解方程，是解答本题的关键注意：解分式方程时，要将所求的解代入原方程进行检验【变式2-3】（2023浙江嘉兴统考中考真题）小丁和小迪分别解方程xx-

10、2-x-32-x=1过程如下：小丁：解：去分母，得x-(x-3)=x-2去括号，得x-x+3=x-2合并同类项，得3=x-2解得x=5原方程的解是x=5小迪：解：去分母，得x+(x-3)=1去括号得x+x-3=1合并同类项得2x-3=1解得x=2经检验，x=2是方程的增根，原方程无解你认为小丁和小迪的解法是否正确？若正确，请在框内打“”；若错误，请在框内打“”，并写出你的解答过程【答案】都错误，见解析【分析】根据解分式方程的步骤判断小丁和小迪的解法是否正确，再正确解方程即可【详解】小丁和小迪的解法都错误；解：去分母，得x+(x-3)=x-2，去括号，得2x-3=x-2，解得，x=1，经检验：x

11、=1是方程的解【点睛】本题考查分式方程的解法，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键【题型3 由分式方程无解或存在增根求参数】【例3】（2023黑龙江统考中考真题）若分式方程xx-1-m1-x=2有增根，则m的值为（）A1B-1C2D-2【答案】B【分析】先化分式方程为整式方程，令分母x-1=0，代入整式方程计算m的值【详解】因为xx-1-m1-x=2，去分母得：x+m=2x-1，解得：m=x-2因为分式方程xx-1-m1-x=2有增根，所以x-1=0，即：x=1是方程增根，所以m=x-2=-1，故选B【点睛】本题考查了分式方程的增根问题，解题的关键是熟练掌握分式方程中关于增根的解题方法【变式3

12、-1】（2023河北石家庄校联考一模）小华想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚：?x-2+3=12-x.（1）她把这个数“？”猜成5，请你帮小华解这个分式方程；（2）小华的妈妈说：“我看到标准答案是：方程的增根是x=2，原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“？”代表的数是多少？【答案】（1）x=0;（2）原分式方程中“？”代表的数是-1.【分析】（1）“？”当成5，解分式方程即可，（2）方程有增根是去分母时产生的，故先去分母，再将x=2代入即可解答.【详解】（1）方程两边同时乘以(x-2)得5+3(x-2)=-1解得x=0经检验，x=0是原分式方程的解.（2）设？为m，方程两

13、边同时乘以(x-2)得m+3(x-2)=-1由于x=2是原分式方程的增根，所以把x=2代入上面的等式得m+3(2-2)=-1m=-1所以，原分式方程中“？”代表的数是-1.【点睛】本题考查了分式方程解法和增根的定义及应用.增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根.增根确定后可按如下步骤进行： 化分式方程为整式方程； 把增根代入整式方程即可求得相关字母的值【变式3-2】（2023黑龙江鸡西校考二模）若关于x的分式方程1x-2+ax-22-x=1有解，则a的取值范围是（）Aa32Ba-1Ca=-1Da32且a-1【答案】D【分析】先解分式方程得到-a+1x=-5，再根据分式方程有

14、解，进行求解即可【详解】解：1x-2+ax-22-x=1去分母得：1-ax-2=x-2，去括号得：1-ax+2=x-2，移项得：-ax-x=-2-2-1，合并同类项得：-a+1x=-5，关于x的分式方程1x-2+ax-22-x=1有解，a+10x-20，a+10-2a+1-5，a32且a-1，故选D【点睛】本题主要考查了分式方程有解的问题，正确解方程得到-a+1x=-5是解题的关键【变式3-3】（2023重庆九龙坡重庆市育才中学校联考二模）若关于y的分式方程2y+ay-4+2a4-y=5有解，且关于x的一元一次不等式组x+332+3x63x-2x+a有解且至多有2个整数解，则所有满足条件的整数

15、a的值之和是 【答案】26【分析】根据分式方程2y+ay-4+2a4-y=5有解，确定a8，根据x+332+3x63x-2x+a有解且至多有2个整数解，4a+226，确定计算即可【详解】解分式方程2y+ay-4+2a4-y=5，解得：y=20-a3，y4，a8，x+332+3x6的解集为x4；3x-2x+a的解集为xa+22，x+332+3x63x-2x+a有解且至多有2个整数解，4a+226，解得6a10，故a的整数解为7，8，9，10，a8，故符合题意a的整数解为7，9，10，7+9+10=26，故答案为：26【点睛】本题考查了解分式方程，不等式组的整数解，正确理解题意是解题的关键【题型4

16、 由分式方程的取值范围求参数】【例4】（2023黑龙江牡丹江统考中考真题）若分式方程ax+2=1-3x+2的解为负数，则a的取值范围是（）Aa-1且a-2Ba0且a-2Ca-2且a-3Da-1且a-3【答案】D【分析】直接解分式方程，进而得出a的取值范围，注意分母不能为零【详解】解：去分母得：a=x+2-3，解得：x=a+1，分式方程ax+2=1-3x+2的解是负数，a+10，x+20，即a+1+20，解得：a-1且a-3，故选：D【点睛】此题主要考查了分式方程的解，正确解分式方程是解题关键【变式4-1】（2023黑龙江鸡西校考模拟预测）若关于x的分式方程x+mx-2+2m2-x=3的解为正实

17、数，则实数m的取值范围是（）Am6且m1Bm3且m2Cm6Dm0，解得，m6，实数m的取值范围是：m6且m2故选：D【点睛】本题考查的是分式方程的解、一元一次不等式的解法，掌握解分式方程的一般步骤、分式方程无解的判断方法是解题的关键【变式4-2】（2023河北统考模拟预测）已知关于x的分式方程mx+6=1，对于方程的解，甲、乙两人有以下说法：甲：当m6时，方程的解是正数下列判断正确的是（）A只有甲对B只有乙对C甲、乙都对D甲、乙都错【答案】B【分析】首先解方程表示出分式方程的解，然后根据参数的取值范围求解即可【详解】mx+6=1去分母得，m=x+6，解得x=m-6，要使分式方程有解，x+60，

18、m-6+60，m0，当m4时，m-64-6，x-2，当m6时，m-66-6，x0，乙说法正确故选：B【点睛】本题考查分式方程含参数问题，解题的关键是熟练掌握分式方程的增根的定义：使分式方程的最简公分母等于0的根叫做分式方程的增根【变式4-3】（2023重庆统考中考真题）若关于x的不等式组x+23x2+14x+ax-1的解集为x-2且a1，从而可得-2x2+14x+ax-1，解不等式得：x-2，解不等式得：xx2+14x+ax-1的解集为x0且a+23-10，解得a-2且a1，-21.25人行道宽度设计达标【点睛】本题主要考查了二次函数的应用、待定系数法求二次函数解析式，二次函数图像上点的坐标特

19、征等知识点，正确求得函数解析式是解答本题的关键【变式6-2】（2023内蒙古统考中考真题）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗市场上豆沙粽礼盒的进价比肉粽礼盒的进价每盒便宜10元，某商家用2500元购进的肉粽和用2000元购进的豆沙粽盒数相同(1)求每盒肉粽和每盒豆沙粽的进价；(2)商家计划只购买豆沙粽礼盒销售，经调查了解到有A，B两个厂家可供选择，两个厂家针对价格相同的豆沙粽礼盒给出了不同的优惠方案：A厂家：一律打8折出售B厂家：若一次性购买礼盒数量超过25盒，超过的部分打7折该商家计划购买豆沙粽礼盒x盒，设去A厂家购买应付y1元，去B厂家购买应付y2元，其函数图象如图所示：分别求出y1，y2与

20、x之间的函数关系；若该商家只在一个厂家购买，怎样买划算？【答案】(1)每盒肉粽和每盒豆沙粽的进价分别为50元和40元(2)y1=32x（x0且x为整数）；y2=40x0x25且x为整数32x+300x25且x为整数；购买粽子礼盒少于75盒，去A厂家购买划算；购买粽子礼盒等于75盒，去A厂家或B厂家购买一样划算；购买粽子礼盒多于75盒，去B厂家购买划算【分析】（1）设每盒豆沙粽的进价为a元，则每盒肉粽的进价为a+10元，列分式方程求解即可；（2）根据售价与数量、单价间的关系即可列一次函数得解；由y1=y2得32x=28x+300，解得x=75，结合图象即可得解【详解】（1）解：设每盒豆沙粽的进价

21、为a元，则每盒肉粽的进价为a+10元2000a=2500a+10方程两边乘aa+10，得2000a+10=2500a解得a=40检验：当a=40时，aa+100a=40是原方程的解a+10=50答：每盒肉粽和每盒豆沙粽的进价分别为50元和40元（2）解：y1=4080%x=32x（x0且x为整数）当0x25且x为整数时，y2=40x当x25且x为整数时，y2=1000+40x-100070%=28x+300y2=40x0x25且x为整数32x+300x25且x为整数当x25且x为整数，y1=y2时32x=28x+300x=75由图象可知：购买粽子礼盒少于75盒，去A厂家购买划算；购买粽子礼盒等

22、于75盒，去A厂家或B厂家购买一样划算；购买粽子礼盒多于75盒，去B厂家购买划算【点睛】本题考查了求一次函数得解析式，分式方程的应用以及一次函数的图像及性质，正确找出等量关系列分式方程是解题的关键【变式6-3】（2023四川凉山统考一模）某班家委会讨论决定购买A，B两种型号的口罩供班级学生使用，已知A型口罩每包价格a元，B型口罩每包价格比A型少4元，180元钱购买的A型口罩比B型口罩少12包(1)求a的值(2)经与商家协商，购买A型口罩价格可以优惠，其中每包价格y（元）和购买数量x（包）的函数关系如图所示，B型口罩一律按原价销售求y关于x的函数解析式；若家委会计划购买A型、B型共计100包，其

23、中A型不少于30包，且不超过60包问购买A型口罩多少包时，购买口罩的总金额最少，最少为多少元？【答案】(1)10(2)y=100x30-0.1x+133050，购买A型口罩50包时，购买口罩的总金额最少，最少为700元【分析】（1）根据题意，可以得到相应的分式方程，从而可以得到a的值；（2）根据函数图象中的数据，可以得到y关于x的函数解析式；根据题意和中的结果，可以得到购买A型口罩多少包时，购买口罩的总金额最少，最少为多少元【详解】（1）解：由题意可得，180a-4-180a=12， 解得，a1=10,a2=-6， 经检验，a1=10,a2=-6是原分式方程的解，但a2=-6不符合题意，舍去，

24、a=10（2）解：由图象可得，当0x30时，y=10， 当30x50时，设y=kx+b，代入30,10,50,830k+b=1050k+b=8，得k=-0.1b=13，即当3050时，y=8，由上可得，y与x的函数关系式为y=100x30-0.1x+133050；设购买A型口罩x包，则购买B型口罩100-x包，购买的总金额为W元，当30x50时，W=x-0.1x+13+6100-x=-0.1x-352+722.5，当x=50时，W取得最小值，此时W=700，当500，W随着x的增大而增大，7000，当m52时，y随x的增大而减小，m55，当m=55时，W取最大，此时W=-10（55-52）2+

25、1440=1350当每个挂件售价定为55元时，每周可获得最大利润，最大利润是1350元【点睛】本题综合考查分式方程和二次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题关键【变式7-1】（2023山西吕梁统考一模）随着新能源汽车的普及，我国新能源汽车的保有量已经处于世界第一，解决汽车快速充电技术已经成为新能源汽车发展的主要研究方向，从2023年开始，4C甚至6C的快速充电方案已经开始逐步落地据测试数据显示，使用6C充电技术，每分钟充电量的续航里程（汽车所能行驶的路程）比采用4C技术提高了50%，若采用6C充电技术，续航里程480公里的充电时间，比采用4C充电技术续航里程400公里的充电时间节省2分钟，

26、求采用6C充电技术，每分钟充电量的续航里程为多少公里？【答案】60公里【分析】设采用4C充电技术，每分钟充电量的续航里程为x公里，则采用6C充电技术的续航里程为1+50%x公里，根据题意，列出分式方程，求解验根即可【详解】解：设采用4C充电技术，每分钟充电量的续航里程为x公里，则采用6C充电技术的续航里程为1+50%x公里，根据题意，得4801+50%x=400x-2，解得：x=40，经检验，x=40是原分式方程的解，当x=40时，1+50%x=60，答：采用6C充电技术，每分钟充电量的续航里程为60公里【点睛】本题考查了分式方程的实际应用，正确理解题意，找到等量关系，列出分式方程是解题的关键

27、【变式7-2】（2023云南昭通统考一模）瑞兔迎春，福满万家吉祥物“兔圆圆”拉开2023央视总台兔年春晚的帷幕竖直的耳朵、微昂的脑袋、挺起的胸脯等设计巧思，彰显出奋进向上的精气神，某商店用1500元购进了一批“兔圆圆”玩具，过了一段时间，又用3500元购进一批“兔圆圆”玩具，所购数量是第一次购进数量的2倍，但每个“兔圆圆”玩具的价格比第一次购进的价格贵了5元(1)商店第一次购进“兔圆圆”玩具多少个？(2)若该商店两次购进的“兔圆圆”玩具按相同的标价销售，全部售完后利润不低于1150元，则每个“兔圆圆”玩具的标价至少是多少元？【答案】(1)50个(2)41元【分析】（1）设商店第一次购进“兔圆圆

28、”玩具x个，则第二次购进2x个，然后根据每个“兔圆圆”玩具的价格比第一次购进的价格贵了5元列出方程进行求解即可；（2）设每个“兔圆圆”玩具的标价为m元，先求出两次一共购进“兔圆圆”玩具的个数，然后根据利润=售价销售量-成本列出不等式进行求解即可【详解】（1）解：设商店第一次购进“兔圆圆”玩具x个，则第二次购进2x个，根据题意，得1500x+5=35002x，解得x=50，经检验，x=50是原方程的根，且符合题意，答：商店第一次购进“兔圆圆”玩具50个；（2）解：设每个“兔圆圆”玩具的标价为m元，50+502=150（个），根据题意，得150m-1500-35001150，解得m41，每个“兔圆

29、圆”玩具的标价至少为41元【点睛】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意找到等量关系和不等关系是解题的关键【变式7-3】（2023河南安阳统考一模）京东发布的2023春节假期消费趋势显示：消费者春节期间购物品类更加多元，也在节日之外更“日常化”，其中预制菜成交额同比增长超6倍春节期间，某超市分别用2000元和1600元购进A，B两类同等数量的预制菜礼盒，已知B类预制菜礼盒每盒进价比A类预制菜礼盒每盒便宜20元，A，B两类预制菜礼盒每盒的售价分别是130元和120元(1)求A，B两类预制菜礼盒的进价各是多少元；(2)第一次进的货很快销售一空，该超市决定第二次购进

30、A，B两类预制菜礼盒共30盒，且购进的A类预制菜礼盒数量不少于B类预制菜礼盒数量的2倍，该超市第二次如何进货才能在销售完该次所进预制菜礼盒后，获得最大利润？并求出最大利润（此处指销售第二次所进预制菜礼盒的利润）【答案】(1)A，B两类预制菜礼盒的进价各是100元和80元；(2)购进A类预制菜礼盒20盒，则购进B类预制菜礼盒10盒，所获利润最大，最大利润为1000元【分析】（1）设每盒A类预制菜礼盒的进价是x元，则每盒B类预制菜礼盒的进价是x-20元，根据数量=总价单价，结合用2000元和1600元购进A，B两类同等数量的预制菜礼盒，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）设购

31、进A类预制菜礼盒m盒，总利润为w元，根据购进的A类预制菜礼盒数量不少于B类预制菜礼盒数量的2倍，求出m的取值范围，再表示出w与m的函数关系式，根据一次函数的增减性即可确定最大利润时进货方案，进一步求出最大利润即可【详解】（1）解：设每盒A类礼盒的进价是x元，则每盒B类礼盒的进价是x-20元，依题意得：2000x=1600x-20，解得x=100，经检验，x=100是原方程的解，且符合题意，x-20=80，答：A，B两类预制菜礼盒的进价各是100元和80元；（2）解：设购进A类预制菜礼盒m盒，则购进B类预制菜礼盒30-m盒，总利润为w元，根据题意得m230-m，解得m20，w=130-100m+

32、120-8030-m=-10m+1200，-100，w随着m的增大而减少，当m=20时，w取得最大值，最大值为1000元，30-20=10（盒），答：购进A类预制菜礼盒20盒，则购进B类预制菜礼盒10盒，所获利润最大，最大利润为1000元【点睛】本题考查了一次函数的应用，分式方程的应用，一元一次不等式的应用，解题关键是根据题意列出方程或不等式或函数解析式去求解【题型8 中考最热考法之以数学文化为背景考查分式方程的实际应用】【例8】（2023安徽校联考三模）我国古代著作四元玉鉴记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽

33、的价钱为6210文如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？【答案】46株【分析】根据单价=总价数量结合少拿一株椽后剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，即可得出关于x的分式方程，解之即可【详解】解：设6210文能买x株椽，依题意，得：3x-1=6210x，解得：x=46或x=-45（舍），经检验：x=46是原方程的解，6210文能买46株椽【点睛】本题考查了分式方程的实际应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键【变式8-1】（2023江西萍乡校考模拟预测）九章算术是我国古代著名的数学专著之一它总结了我国战国、秦汉时期的数学

34、成就其中有一题，原文：今有不善行者先行一十里，善行者追之一百里，先至不善行者二十里问善行者几何里及之大意为：现今有不善行者先走10里，善行者再按同路追赶不善行者，当善行者走到100里时，超过不善行者20里问：善行者走多少里时追上了不善行者？【答案】1003里【分析】设善行者走x里时就追上了不善行者，根据速度比等于路程比列出分式方程，解方程即可求解【详解】解：设善行者走x里时就追上了不善行者，根据题意，x-10x=100-10-20100解得x=1003.答：善行者走1003里时追上了不善行者.【点睛】本题考查了分式方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键【变式8-2】（2023山东统考中考真题

35、）欧拉是世界上著名的数学家、天文学家、物理学家在欧拉的著作代数引论中有这样一个有趣的题：两个农妇一共带了100个鸡蛋去集市，两人所带鸡蛋个数不等，但卖的钱数相同，第一个农妇说：“如果我有你那么多鸡蛋就可以卖15个克罗索（克罗索是古代欧洲的一种货币名称），”第二个农妇答道：“如果我有你那么多鸡蛋就只能卖得623个克罗索”(1)试问这两名农妇各带来多少个鸡蛋？(2)试问这两名农妇卖出的鸡蛋价格一样吗？【答案】(1)第一个农妇带了40个鸡蛋，第二个农妇带了60个鸡蛋(2)两个农妇卖出的鸡蛋价格不一样【分析】（1）根据两人卖鸡蛋的钱数相等，列分式方程求解（2）分别计算出单价比较【详解】（1）解：设第一

36、个农妇带来x个鸡蛋，第二个妇女带了（100x）个由题意得：15100-xx=623x100-x解得：x40，检验：当x40时，x（100x）0，符合题意100x60答：第一个农妇带了40个鸡蛋，第二个农妇带了60个鸡蛋（2）解：第一个农妇的鸡蛋价格为：15600.25（元），第二个农妇的鸡蛋价格为：62340=16（元）两个农妇卖出的鸡蛋价格不一样【点睛】本题考查列分式方程解应用题，理解题意列出方程是求解本题的关键【变式8-3】（2023下山西八年级统考阶段练习）张丘建，我国南北朝时期（约公元5世纪）著名的数学家，著有张丘建算经一次宴会上，张丘建出了一道题：“现有一只鹿向西跑，当猎人追至A处时

37、，与鹿所在的B处还差36步（古代：1里=300步）；鹿突然向北跑，此时骑马的猎人就沿着AD追去，追了50步至D处与鹿所在的位置C处还差10步（点A、C、D在同一直线上）如果此鹿不向北转，而继续向西跑，猎人需要追多远才能追上此鹿？”，已知单位时间内鹿跑的路程和猎人骑马追赶的路程的比值是定值，请解答这个问题【答案】如果此鹿不向北转，而继续向西跑，猎人需要追900步才能追上此鹿【分析】先求出BC的长, 设如果此鹿不向北转，而继续向西跑，猎人需要追x步才能追上此鹿,根据单位时间内鹿跑的路程和猎人骑马追赶的路程的比值是定值，列方程求解即可.【详解】解：由题意可知，AB=36步，AD=50步，CD=10步，且ABBC由勾股定理，得BC=AC2-AB2=602-362=48设如果此鹿不向北转，而继续向西跑，猎人需要追x步才能追上此鹿根据题意，列方程，得x-36x=4850解得x=900经检验，x=900是原方程的解，且符合题意答：如果此鹿不向北转，而继续向西跑，猎人需要追900步才能追上此鹿【点睛】此题考查了分式方程的应用，根据等量关系得出方程是解答本题的关键，注意分式方程一定要检验