专题08平面向量（教师版含解析）备战2021年高中数学联赛之1981-2020年高中数学联赛一试试题分专题训练.docx

1、备战2021年高中数学联赛之历年真题汇编(1981-2020)专题08平面向量历年联赛真题汇编1【2005高中数学联赛(第01试)】空间四点A，B，C，D满足|AB|=3，|BC|=7,|CD|=11,|DA|=9，则ACBD的取值( )A只有一个B有两个C有四个D有无穷多个【答案】A【解析】因为AB2+CD2=32+112=130=72+92=BC2+DA2，由AB+BC+CD+DA=0得AB+CD=-(BC+DA)，两边平方得ABCD=BCDA，故ABCD=-ADBC，于是ACBD=(AB+BC)(BC+CD)=(AB+BC+CD)BC+ABCD=ADBC+ABCD=0.ACBD只有一个值

2、0，故选A.2【2004高中数学联赛(第01试)】设点O在ABC内部，且有OA+2OB+3OC=0，则ABC的面积与AOC的面积的比为( )A2B32C3D53【答案】C【解析】解法一如图，设D，E分别是AC，BC边的中点，则OA+OC=2OD 2(OB+OC)=4OE 由式与得OA+2OB+3OC=2(OD+2OE)=0，即OD与OE共线，且|OD|=2|OE|，所以SAECSAOC=32，所以SABCSAOC=322=3.故选：C.解法二OA+2OB+3OC=0，则OA+2(OA+AB)+3(OA+AC)=2AB+6OA+3AC=0，所以(2AB+6OA+3AC)AC=0，则|ABAC|=

3、3|OAAC|，所以SABC=SAEC.引申如果题目条件是OA+OB+OC=0，熟悉物理的人很容易看出OA,OB,OC可以看成是3个两两成120的同等大小的力.如果我们把OB延长1倍，OC延长2倍，不就照样可以用这种物理方法解决本道题了吗?另外，我们可以将问题推广至三维情形：点O在四面体ABCD内，有OA+2OB+4OC+5OD=0，VABCD:VOBCD=？实际上，向量前面的系数无关紧要，可以取负数，无理数，并不妨碍此题的简单本质.解决此类问题，下面的结论是关键：设C是AB上一点，则OC=sOB+(1-s)OA，其中s=ACAB.3【2020高中数学联赛A卷(第01试)】在椭圆中,A为长轴的

4、一个端点,B为短轴的一个端点, F1,F2为两个焦点.若AF1AF2+BF1BF2=0,则|AB|F1F2|的值为.【答案】22【解析】不妨设的方程为x2a2+y2b2=1(ab0),A(a,0),B(0,b), F1(-c,0), F2(c,0),其中c=a2-b2.由条件知AF1AF2+BF1BF2=(-c-a)(c-)+(-c2+b2)=a2+b2-2c2=0.所以|AB|F1F2|=a2+b22c=2c22c=22.4【2020高中数学联赛B卷(第01试)】在凸四边形ABCD中, BC=2AD点P是四边形ABCD所在平面上一点,满足PA+2020PB+PC+2020PD=0.设s,t分

5、别为四边形ABCD与PAB的面积,则ts= .【答案】3372021【解析】不妨假设AD=2,BC=4.记M,N,X,Y分别是AB,CD,BD,AC的中点,则M,X,Y,N顺次共线并且MX=XY=YN=1.由于PA+PC=2PY,PB+PD=2PX,故结合条件可知PY+2020PX=0.故点P在线段XY上且PX=12021.设A到MN的距离为h,由面积公式可知ts=SPABSABCD=PMhMN2h=PM2MN=1+1202123=3372021.5【2019高中数学联赛A卷(第01试)】平面直角坐标系中，e已是单位向量，向量a满足ae=2，且|a|25|a+te|对任意实数t成立，则|a|的

6、取值范围是 .【答案】5,25【解析】不妨设e=(1,0).由于ae=2，可设a=(2,s)，则对任意实数t，有4+s2=|a|25|a+te|=5(2+t)2+s2，这等价于4+s25|s|，解得|s|1,4，即s21,16.于是|a|=4+s25,25.6【2019高中数学联赛B卷(第01试)】若平面向量a=2m,-1与b=2m-1,2m+1垂直，其中m为实数，则a的模为 .【答案】10【解析】令2m=t，则t0.条件等价于t(t-1)+(-1)2t=0，解得t=3.因此a的模为32+(-1)2=10.7【2018高中数学联赛A卷(第01试)】设O为ABC的外心，若AO=AB+2AC，则s

7、inBAC的值为 .【答案】104【解析】不失一般性，设ABC的外接圆半径R=2.由条件知，2AC=AO-AB=BO 故AC=12BO=1.取AC的中点M，则OMAC，结合知OMBO，且B与A位于直线OM的同侧.于是cosBOC=cos90+MOC=-sinMOC=-MCOC=-14.在BOC中，由余弦定理得BC=OB2+OC2-2OBOCcosBOC=10，进而在ABC中，由正弦定理得sinBAC=BC2R=104.8【2015高中数学联赛(第01试)】在矩形ABCD中，AB=2，AD=1，边DC上(包含点D，C)的动点P与CB延长线上(包含点B)的动点Q满足|DP|=|BQ|，则向量PA与

8、向量PQ的数量积PAPQ的最小值为 .【答案】34【解析】不妨设A(0，0)，B(2，0)，D(0，1).设P的坐标为(t，1)(其中0t2)，则由|DP|=|BQ|得Q的坐标为(2，t)，故PA=(-t,-1)，PQ=(2-t,-t-1),因此PAPQ=(-t)(2-t)+(-1)(-t-1)=t2-t+1=t-122+3434，当t=12时(PAPQ)min=34.9【2013高中数学联赛(第01试)】在平面直角坐标系xOy中，点A，B在抛物线y2=4x上，满足OAOB=-4，F是抛物线的焦点，则SOFASOFB= .【答案】2【解析】点F坐标为(1，0).设Ax1,y1,Bx2,y2，则

9、x1=y124,x2=y224,故-4=OAOB=x1x2+y1y2=116y1y22+y1y2，即116y1y2+82=0，故y1y2=-8，SOFASOFB=12|OF|y112|OF|y2=14|OF|2y1y2=2.10【2012高中数学联赛(第01试)】设P是函数y=x+2x(x0)的图像上任意一点，过点P分别向直线y=x和y轴作垂线，垂足分别为A，B，则PAPB的值是 .【答案】-1【解析】解法一设Px0,x0+2x0，则直线PA的方程为y-x0+2x0=-x-x0，即y=-x+2x0+2x0，由y=xy=-x+2x0+2x0得Ax0+1x0,x0+1x0，又B0,x0+2x0，所

10、以PA=1x0,-1x0,PB=-x0,0，故PAPB=1x0-x0=-1.解法二如图，设Px0,x0+2x0x00，则点P到直线xy=0和y轴的距离分别为|PA|=x0-x0+2x02=2x0，|PB|=x0.因为O，A，P，B四点共圆(O为坐标原点)，所以APB=-AOB=34，故PAPB=|PA|PB|cos34=-1.11【2007高中数学联赛(第01试)】在ABC和AEF中，B是EF的中点，AB=EF=1，BC=6，CA=33，若ABAE+ACAF=2，则EF与BC的夹角的余弦值等于 .【答案】23【解析】因为ABAE+ACAF=2，所以AB(AB+BE)+AC(AB+BF)=2，即

11、AB2+ABBE+ACAB+ACBF=2，因为AB2=1，ACAB=33133+1-362331=-1，BE=-BF，所以1+BF(AC-AB)-1=2，即BFBC=2，设EF与BC的夹角为，则有|BF|BC|cos=2，即3cos=2，所以cos=23.12【2016高中数学联赛(第01试)】在ABC中，已知ABAC+2BABC=3CACB，求sinC的最大值.【答案】73【解析】由数量积的定义及余弦定理知，ABAC=cbcosA=b2+c2-a22，同理得，BABC=a2+c2-b22,CACB=a2+b2-c22.故已知条件化为b2+c2-a2+2a2+c2-b2=3a2+b2-c2，即

12、a2+2b2=3c2.由余弦定理及基本不等式，得cosC=a2+b2-c22ab=a2+b2-13a2+2b22ab=a3b+b6a2a3bb6a=23，所以sinC=1-cos2C73.等号成立当且仅当a:b:c=3:6:5.因此sinC的最大值是73.优质模拟题强化训练1已知向量OAOB，且|OA|=|OB|=24若t0,1，则|tAB-AO|+|512BO-(1-t)BA|的最小值为( )A2193B26C242D24【答案】B【解析】作正方形OACB，连接对角线AB，令D、E分别为对角线AB、边OB上一点，使得tAB-AO=OD，512BO-(1-t)BA=DE，EB=10，OD=DC

13、.故|tAB-AO|+|512BO-(1-t)BA|=|DE|+|DC|EC|=26.2设a、b为两个相互垂直的单位向量,已知OP=a,OQ=b,OR=ra+kb,若PQR为等边三角形，则k、r的取值为( )Ak=r=-132Bk=-132,r=132Ck=r=132Dk=132，r=-132【答案】C【解析】注意到|PQ|=|QR|=|PR|r2+(k-1)2=(r-1)2+k2=2r=k=132.选C.3已知点P、Q在ABC内，且PA+2PB+3PC=2QA+3PB+5PC=0，则|PQ|AB|等于().A130B131C132D133【答案】A【解析】由题设知SBCP:sCAP:sABP

14、=1:2:3，SBCQ:SCAQ:SABQ=2:3:5，故sABP=SABQ=SABC2，所以PQ/AB. 又SBCP=SABC6,SBCQ=SABC5，故|PQ|AB|=15-16=130.故答案为A4ABC的三边长分别为AB=a，BC=b，CA=c若c=a2-2+b2-2a=b2-3+c2-3b=c2-4+a2-4，则ABBC，BCCA，CAAB中小于0的个数为()A3B2C1D0【答案】A【解析】如图，以a为斜边、2为直角边作RtABE；以b为斜边、BE为直角边作RtBCE，使EC在AE的延长线上则CA=a2-2+b2-2=c同理，作RtCBF、RtCAF、RtACD、RtABD，使CF

15、=3，AD=2，有AB=b2-3+c2-3=a，BC=c2-4+a2-4=b可见，图所得到的ABC就是已知三角形(全等)，这个三角形的三条高线为AD=2，BE=2，CF=3由三角形面积公式有ABCF=BCAD=CABE=2SABC则AB=2SABCCF=23SABC，BC=2SABCAD=SABC，CA=2SABCBE=2SABC从而，ABC中的最大角为ABC由余弦定理得cosABC=AB2+BC2-CA22ABBC=3120可见，ABC为锐角，ABC为锐角三角形，得ABBC=abcos(-ABC)0同理，BCCA0，CAAB0，则k21,x1+x2=-8k.设点B(0,b),MN中点为C(-

16、4k,-4k2+2).由(BM+MN2)MNBCMNb=-4k2-2CAAB.则( ).AOAOBOAOCOBOC.BOAOBOBOCOAOC.COBOCOAOCOAOBDOAOCOBOCOAOB【答案】A【解析】设ABC的外接圆半径为R.则OAOB=R2cos2C,OBOC=R2cos2A,OAOC=R2cos2B.又由BCCAAB，可知sinAsinBsinC0.故1-2sin2A1-2sin2B1-2sin2C，即cos2Acos2BOAOCOBOC.8已知空间四边形ABCD,AB=a,BC=b,CD=c,DA=d.则ACBD=( ).A12(a2+b2+c2+d2)B-12(a2+b2

17、+c2+d2)C12(a2+c2-b2-d2)D12(b2+d2-a2-c2)【答案】D【解析】ACBD=(AB+BC)(BC+CD)=BC2+ABBC+BCCD+CDAB=BC2+(AB+BC+CD)2-AB2-BC2-CD22=BC2+(-DA)2-AB2-BC2-CD22=BC2+DA2-AB2-CD22=b2+d2-a2-c22.故答案为D9设P为ABC所在平面内一动点.则使得PAPB+PBPC+PCPA取得最小值的点P是ABC的( ).A外心B内心C重心D垂心【答案】C【解析】注意到PAPB+PBPC+PCPA=PA(PA+AB)+(PA+AB)(PA+AC)+(PA+AC)PA=3

18、PA2+2(AB+AC)PA+ABAC=3(PA+AB+AC3)2-(AB+AC)23+ABAC当PA=AB+AC3，即P为ABC的重心时，式取得最小值-(AB+AC)23+ABAC.故答案为C10设椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的一个焦点为F，点P在y轴上，直线PF交椭圆于点M、N、PM=1MF,PN=2NF,则实数1+2=( )A-2b2a2B-b2a2C-2a2b2D-a2b2【答案】C【解析】不妨设F(c,0)，记P(0,p)、M(x,y)，设PM=MF，即(x,y-p)=(c-x,-y)，解得x=c1+，y=p1+，代入椭圆方程整理得b42+2a2b2+a2b2-a2p2=0，

19、故1+2=-2a2b2.故答案为C11已知点P在ABC内，且满足AP=13AB+14AC，设PBC、PCA、PAB的面积依次为S1、S2、S3，则S1:S2:S3=_【答案】5:4:3 【解析】因为AP=13AB+14AC=13(PB-PA)+14(PC-PA)，所以5PA+4PB+3PC=0，所以S1:S2:S3=5:4:312设H是ABC的垂心，且3HA+4HB+5HC=0，则cosAHB=_.【答案】-66【解析】题设得tanA3=tanB4=tanC5=.再由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC，得=15，tanC=5.故cosAHC=-cosC=-66.故答案为-6

20、613ABC的三边分别为a、b、c，点O为ABC的外心，已知b2-2b+c2=0，那么BCAO的取值范围是_ .【答案】(-14,2)【解析】延长AO交ABC的外接圆于D，得到BCAO=AOAC-AOAB=12ADAC-12ADAB=12(b2-c2)=(b-12)2-14.因为c2=-b2+2b0，所以b(0，2)，故BCAO(-14,2).故答案为：(-14,2)14设正六边形ABCDEF的边长为1，则(AB+DC)(AD+BE)=_ .【答案】3【解析】如图所示，建立平面直角坐标系设C(1，0)，则B(12,32),A(-12,32)，D(12,-32),E(-12,-32).于是AB+

21、DC=(1,0)+(12,32)=(32,32)，AD+BE=(1,-3)+(-1,-3)=(0,-23)，于是(AB+DC)(AD+BE)=(32,32)(0,-23)=-3.故答案为：-315在平面上，AB1AB2，|OB1|=|OB2|=1，AP=AB1+AB2，若|OP|12，则|OA|的取值范围是_.【答案】(72,2【解析】因为AB1AB2,AP=AB1+AB2则AB1PB2为矩形,以AB1所在直线为x轴,以AB2为y轴建立平面直角坐标系.如下图所示:设AB1=m,AB2=n,O(x,y) 则A(0,0),B1(m,0),B2(0,n),P(m,n)因为|OB1|=|OB2|=1所

22、以(x-m)2+y2=1x2+(y-n)2=1 变形可得(x-m)2=1-y2(y-n)2=1-x2因为|OP|12,即(x-m)2+(y-n)214由以上两式可得1-x2+1-y274因为(x-m)20,(y-n)20,即1-y20,1-x20所以y21,x21则x2+y22综上可知74x2+y22因为|OA|=x2+y2所以72|OA|2,即|OA|(72,2故答案为: (72,216已知为ABC的内心，且5IA=4(BI+CI).记Rr分别为ABC的外接圆内切圆半径，若r=15，则R=_ .【答案】32【解析】解法一：如图，取BC的中点D，依题意，有5IA=-4(IB+IC)=-8ID.

23、所以AID三点共线，AB=AC.由r=ID=15，知IA=24.作IEAB于E，则IE=ID=15，sinBAD=1524=58,cosBAD=398,tanBAD=539.所以BC=2BD=2ADtanBAD=239539=1039.又sinBAC=sin2BAD=258398=53932.所以2R=BCsinBAC=103932539=64,R=32.解法二：依题意，有5IA+4IB+4IC=0.由三角形内心的向量表示：若abc分别为ABC的内角ABC的对边，I为ABC的内心，则aIA+bIB+cIC=0.可得，a：b：c=5：4：4，设a=10k，则b=c=8k.作ADBC于D，则AD=

24、39k，SABC=12BCAD=539k2.又r=15，SABC=12(AB+BC+CA)r=13kr，因此，k=1315539=39.又sinB=ADAB=398，所以2R=bsinB=8ksinB=839839=64,R=32.故答案为：3217已知向量a,b,c满足|a|:|b|:|c|=1:k:3(kZ+)，且b-a=2(c-b)，若为a,c的夹角，则cos=_ .【答案】-112【解析】因为b-a=2(c-b)，所以b=13a+23c，所以b2=19a2+49c2+49ac.因为|a|=|b|:|c|=1:k:3，所以k2=19+4+43cos(2,6).又因为kZ+，所以k=2，所

25、以cos=-112.故答案为：-11218在直角坐标系xOy中，已知三点A(a,1)，B(2,b)，C(3,4).若OA与OB在OC方向上的射影相同，则3a-4b=_.【答案】2【解析】解法1 向量OA、OB在OC方向上的射影分别为OAOC|OC|、OBOC|OC|.依题意得OAOC=OBOC，即3a+4=6+4b.故3a-4b=2.解法2因为向量OA与OB在OC方向上的射影相同，所以，ABOC，即ABOC=0.故3(2-a)+4(b-1)=0，即3a-4b=2.19如图，在边长为2的正六边形ABCDEF中，动圆Q的半径为1，圆心在线段CD(含端点)上运动，P为Q上及内部的动点，设向量APmA

26、B+nAF(m、nR).则mn的取值范围是_.【答案】2，5【解析】由已知得APAB=4m-2n，APAF=-2m+4n则m+n=12(APAB+APAF)=12AP(AB+AF)=14APAD.注意到，APAD等于AP在AD方向的投影乘以|AD|(|AD|=4).当点Q在点c处、点P在BC上时，AP在AD方向的投影最短为2；当点Q在点D处、点P在AD上时，AP在方向的投影最长为5.综上，m+n2，5 故答案为2，520在ABC中，BAC=60，BAC的平分线AD交BC于D，且有AD=14AC+tAB若AB=8，则AD=_【答案】63 【解析】过点D作DEAB交AC于点E，DFAC交AB于点F，由题设AD=14AC+tAB=AE+AF，所以AE=14AC，AE=13EC，AF=tAB因此AEEC=13=BDCD=BFFA=ABAC，所以AC=24，FA=3BF=34AB，因此t=34所以|AD|2=|14AC+34AB|2=(14AC+34AB)(14AC+34AB)=116|AC|2+916|AB|2+616ACAB=108由此得AD=63