专题09阿氏圆问题-【压轴必刷】2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案（解析版）.docx

1、【压轴必刷】2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案专题09阿氏圆问题解题策略模型建立：已知平面上两点A、B，则所有符合k（k0且k1）的点P会组成一个圆这个结论最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，称阿氏圆阿氏圆基本解法：构造三角形相似模型解读：如图1所示，O 的半径为 r，点 A、B 都在O 外，P 为O 上的动点， 已知 rkOB连接 PA、PB，则当“PAkPB”的值最小时，P 点的位置如何确定？1：连接动点至圆心0（将系数不为1的线段两端点分别与圆心相连接），即连接OP、OB；2：计算连接线段OP、OB长度；3：计算两线段长度的比值OPOB=k；4：在OB上截取一点C，使得OCOP=O

2、POB构建母子型相似：5：连接AC，与圆0交点为P，即AC线段长为PAK*PB的最小值本题的关键在于如何确定“kPB”的大小，（如图 2）在线段 OB上截取 OC 使 OCkr，则可说明BPO 与PCO 相似，即 kPBPC本题求“PAkPB”的最小值转化为求“PAPC”的最小值，即 A、P、C 三点共线时最小（如图 3），时AC线段长即所求最小值经典例题【例1】（2021全国九年级专题练习）如图1，在RTABC中，ACB90，CB4，CA6，圆C的半径为2，点P为圆上一动点，连接AP，BP，求：AP+12BP，2AP+BP，13AP+BP，AP+3BP的最小值【答案】37；237；2373；

3、237【分析】在CB上取点D，使CD=1，连接CP、DP、AD根据作图结合题意易证DCPPCB，即可得出PD=12BP，从而推出AP+12BP=AP+PD，说明当A、P、D三点共线时，AP+PD最小，最小值即为AD长最后在RtACD中，利用勾股定理求出AD的长即可；由2AP+BP=2(AP+12BP)，即可求出结果；在CA上取点E，使CE=23，连接CP、EP、BE根据作图结合题意易证ECPPCA，即可得出EP=13AP，从而推出13AP+BP=EP+BP，说明当B、P、E三点共线时，EP+BP最小，最小值即为BE长最后在RtBCE中，利用勾股定理求出BE的长即可；由AP+3BP=3(13AP

4、+BP)，即可求出结果【详解】解：如图，在CB上取点D，使CD=1，连接CP、DP、ADCD=1，CP=2，CB=4，CDCP=CPCB=12又DCP=PCB，DCPPCB，PDBP=12，即PD=12BP，AP+12BP=AP+PD，当A、P、D三点共线时，AP+PD最小，最小值即为AD长在RtACD中，AD=AC2+CD2=62+12=37AP+12BP的最小值为37；2AP+BP=2(AP+12BP)，2AP+BP的最小值为237=237；如图，在CA上取点E，使CE=23，连接CP、EP、BECE=23，CP=2，CA=6，CECP=CPCA=13又ECP=PCA，ECPPCA，EPA

5、P=13，即EP=13AP，13AP+BP=EP+BP，当B、P、E三点共线时，EP+BP最小，最小值即为BE长在RtBCE中，BE=BC2+CE2=42+(23)2=237313AP+BP的最小值为2373；AP+3BP=3(13AP+BP)，AP+3BP的最小值为32373=237【点睛】本题考查圆的基本性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理正确的作出辅助线，并且理解三点共线时线段最短是解答本题的关键【例2】（2022广东惠州一模）如图1，抛物线y=ax2+bx4与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为1,0，抛物线的对称轴是直线x=32(1)求抛物线的解析式；(2)若点P是

6、直线BC下方的抛物线上一个动点，是否存在点P使四边形ABPC的面积为16，若存在，求出点P的坐标若不存在，请说明理由；(3)如图2，过点B作BFBC交抛物线的对称轴于点F，以点C为圆心，2为半径作C，点Q为C上的一个动点，求24BQ+FQ的最小值【答案】(1)y=x23x4(2)P1,6或3,4(3)37【分析】（1）根据点A的坐标为1,0，抛物线的对称轴是直线x=32待定系数法求二次函数解析式即可，（2）先求得直线BC解析式，设Pm,m23m4，则Qm,m4，过点P作PQ轴交直线BC于点Q，根据S四边形ABPC=SABC+SBCP等于16建立方程，解一元二次方程即可求得m的值，然后求得P的坐

7、标，（3）在CB上取CE=22，过点E作EGOC，构造CQECBQ，则当F,Q,E三点共线时，取得最小值，最小值为FE，勾股定理解直角三形即可(1)解：抛物线y=ax2+bx4与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为1,0，抛物线的对称轴是直线x=32，C0,4，b2a=32ab4=0，解得a=1b=3， 抛物线解析式为：y=x23x4，(2)当y=0，即x23x4=0，解得x1=1,x2=4，B4,0，C0,4，设直线BC解析式为y=kx+b，4=b4k+b=0，解得k=1b=4，直线BC解析式为y=x4，设Pm,m23m4，过点P作PQ轴交直线BC于点Q，则Qm,m4，S四边形A

8、BPC=SABC+SBCP=124+14+12m4m2+3m+44=2m2+8m+10，四边形ABPC的面积为16， 2m2+8m+10 =16，解得m1=1,m2=3，P1,6或3,4，(3)如图，过点B作BFBC交抛物线的对称轴于点F，以点C为圆心，2为半径作C，x=32是抛物线的对称轴，yF=432=52F32,52 B4,0,C0,4，OB=4,OC=4，BC=42，OBC=45，BFBC，FBO=45，在CB上取CE=22，过点E作EGOC，交y轴于点G，交抛物线对称轴于点H，则CG= EG=22sin45=12，EH=3212=1FH=6，CQ=2,CE=22,BC=42，CECQ

9、=222=24,CQBC=242=24，QCE=BCQ，CQECBQ，EQBQ=CQCB=24，QE=24BQ，24BQ+FQ FE，当F,Q,E三点共线时，取得最小值，最小值为FE，EGFGEF=HE2+HF2=12+62=37则24BQ+FQ的最小值为37【点睛】本题考查了二次函数综合，相似三角形的性质与判定，掌握二次函数的性质与相似三角形的性质与判定是解题的关键【例3】（2019秋山西期末）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务已知平面上两点A、B，则所有符合k（k0且k1）的点P会组成一个圆这个结论最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，称阿氏圆阿氏圆基本解法：构造三角形相似【问题】如图1，在

10、平面直角坐标系中，在x轴，y轴上分别有点C（m，0），D（0，n），点P是平面内一动点，且OPr，设k，求PC+kPD的最小值阿氏圆的关键解题步骤：第一步：如图1，在OD上取点M，使得OM：OPOP：ODk；第二步：证明kPDPM；第三步：连接CM，此时CM即为所求的最小值下面是该题的解答过程（部分）：解：在OD上取点M，使得OM：OPOP：ODk，又PODMOP，POMDOP任务：（1）将以上解答过程补充完整（2）如图2，在RtABC中，ACB90，AC4，BC3，D为ABC内一动点，满足CD2，利用（1）中的结论，请直接写出AD+BD的最小值【分析】（1）在OD上取点M，使得OM：OPOP

11、：ODk，利用相似三角形的性质以及两点之间线段最短解决问题即可（2）利用（1）中结论计算即可【解答】解（1）在OD上取点M，使得OM：OPOP：ODk，又PODMOP，POMDOPMP：PDk，MPkPD，PC+kPDPC+MP，当PC+kPD取最小值时，PC+MP有最小值，即C，P，M三点共线时有最小值，利用勾股定理得（2）ACm4，在CB上取一点M，使得CMCD，的最小值为【例4】如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，OAB的顶点O，A，B均在格点上，点E在OA上，且点E也在格点上（I）的值为；（）是以点O为圆心，2为半径的一段圆弧在如图所示的网格中，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE，

12、旋转角为（090）连接EA，EB，当EA+EB的值最小时，请用无刻度的直尺画出点E，并简要说明点E的位置是如何找到的（不要求证明）通过取格点K、T，使得OH：OD2：3，构造相似三角形将EB转化为EH【分析】（1）求出OE，OB即可解决问题（2）构造相似三角形把EB转化为EH，利用两点之间线段最短即可解决问题【解答】解：（1）由题意OE2，OB3，故答案为：（2）如图，取格点K，T，连接KT交OB于H，连接AH交于E，连接BE，点E即为所求故答案为：通过取格点K、T，使得OH：OD2：3，构造相似三角形将EB转化为EH，利用两点之间线段最短即可解决问题培优训练一填空题（共13小题）1（2022

13、南召县开学）如图，在ABC中，A90，ABAC4，点E、F分别是边AB、AC的中点，点P是以A为圆心、以AE为半径的圆弧上的动点，则的最小值为 【分析】在AB上截取AQ1，连接AP，PQ，CQ，证明APQABP，可得PQPB，则PB+PCPC+PQ，当C、Q、P三点共线时，PC+PQ的值最小，求出CQ即为所求【解析】如图，在AB上截取AQ1，连接AP，PQ，CQ，点E、F分别是边AB、AC的中点，点P是以A为圆心、以AE为半径的圆弧上的动点，AP2，AQ1，PAQBAP，APQABP，PQPB，PB+PCPC+PQCQ，在RtACQ中，AC4，AQ1，QB，PB+PC的最小值，故答案为：2（2

14、021秋龙凤区期末）如图，在RtABC中，C90，AC9，BC4，以点C为圆心，3为半径做C，分别交AC，BC于D，E两点，点P是C上一个动点，则PA+PB的最小值为 【分析】在AC上截取CQ1，连接CP，PQ，BQ，证明ACPPCQ，可得PQAP，当B、Q、P三点共线时，PA+PB的值最小，求出BQ即为所求【解析】在AC上截取CQ1，连接CP，PQ，BQ，AC9，CP3，CP3，CQ1，ACPPCQ，PQAP，PA+PBPQ+PBBQ，当B、Q、P三点共线时，PA+PB的值最小，在RtBCQ中，BC4，CQ1，QB，PA+PB的最小值，故答案为：3（2022春长顺县月考）如图，在RtABC中

15、，ACB90，AC6，BC8，D、E分别是边BC、AC上的两个动点，且DE4，P是DE的中点，连接PA，PB，则PA+PB的最小值为 【分析】如图，在CB上取一点F，使得CF，连接PF，AF利用相似三角形的性质证明PFPB，根据PF+PAAF，利用勾股定理求出AF即可解决问题【解析】如图，在CB上取一点F，使得CF，连接PF，AFDCE90，DE4，DPPE，PCDE2，PCFBCP，PCFBCP，PFPB，PA+PBPA+PF，PA+PFAF，AF，PA+PB，PA+PB的最小值为，故答案为4（2021秋梁溪区校级期中）如图，O与y轴、x轴的正半轴分别相交于点M、点N，O半径为3，点A（0，

16、1），点B（2，0），点P在弧MN上移动，连接PA，PB，则3PA+PB的最小值为 【分析】在y轴上取点H（0，9），连接BH，通过证明AOPPOH，可证HP3AP，则3PA+PBPH+PB，当点P在BH上时，3PA+PB有最小值为HB的长，即可求解【解析】如图，在y轴上取点H（0，9），连接BH，点A（0，1），点B（2，0），点H（0，9），AO1，OB2，OH9，AOPPOH，AOPPOH，HP3AP，3PA+PBPH+PB，当点P在BH上时，3PA+PB有最小值为HB的长，BH，故答案为：5（2021碑林区校级模拟）如图，在ABC中，BC6，BAC60，则2AB+AC的最大值为 4【分

17、析】由2AB+AC2（AB+）得，再将AB+AE转化成一条线段BP，可证出P是定角，从而点P在PBC的外接圆上运动，当BP为直径时，BP最大解决问题【解析】2AB+AC2（AB+），求2AB+AC的最大值就是求2（AB+）的最大值，过C作CEAB于E，延长EA到P，使得APAE，BAC60，EA，AB+AB+AP，EC，PE2AE，由勾股定理得：PC，sinP，P为定值，BC6是定值，点P在CBP的外接圆上，AB+APBP，当BP为直径时，AB+AP最大，即BP，sinPsinP，解得BP2，AB+AP2，2AB+AC2（AB+AP）4，故答案为：46（2020武汉模拟）【新知探究】新定义：平

18、面内两定点A，B，所有满足k（k为定值）的P点形成的图形是圆，我们把这种圆称之为“阿氏圆”【问题解决】如图，在ABC中，CB4，AB2AC，则ABC面积的最大值为 【分析】以A为顶点，AC为边，在ABC外部作CAPABC，AP与BC的延长线交于点P，证明APCBPA，由相似三角形的性质可得BP2AP，CPAP，从而求出AP、BP和CP，即可求出点A的运动轨迹，再找出距离BC最远的A点的位置即可求解【解析】以A为顶点，AC为边，在ABC外部作CAPABC，AP与BC的延长线交于点P，CAPABC，BPAAPC，AB2AC，APCBPA，BP2AP，CPAP，BPCPBC4，2APAP4，解得：A

19、P，BP，CP，即点P为定点，点A的轨迹为以点P为圆心，为半径的圆上，如图，过点P作BC的垂线，交圆P与点A1，此时点A1到BC的距离最大，即ABC的面积最大，SABCBCA1P4故答案为：7（2020秋天宁区校级月考）如图，已知菱形ABCD的边长为8，B60，圆B的半径为4，点P是圆B上的一个动点，则PDPC的最大值为 2【分析】连接PB，在BC上取一点G，使得BG2，连接PG，DG，过点D作DHBC交BC的延长线于H利用相似三角形的性质证明PGPC，再根据PDPCPDPGDG，求出DG，可得结论【解析】连接PB，在BC上取一点G，使得BG2，连接PG，DG，过点D作DHBC交BC的延长线于

20、HPB4，BG2，BC8，PB2BGBC，PBGCBP，PBGCBP，PGPC，四边形ABCD是菱形，ABCD，ABCDBC8，DCHABC60，在RtCDH中，CHCDcos604，DHCDsin604，GHCG+CH6+410，DG2，PDPCPDPGDG，PDPC2，PDPC的最大值为28（2020溧阳市一模）如图，在O中，点A、点B在O上，AOB90，OA6，点C在OA上，且OC2AC，点D是OB的中点，点M是劣弧AB上的动点，则CM+2DM的最小值为 【分析】延长OB到T，使得BTOB，连接MT，CT利用相似三角形的性质证明MT2DM，求CM+2DM的最小值问题转化为求CM+MT的最

21、小值求出CT即可判断【解析】延长OB到T，使得BTOB，连接MT，CTOM6，ODDB3，OT12，OM2ODOT，MODTOM，MODTOM，MT2DM，CM+2DMCM+MTCT，又在RtOCT中，COT90，OC4，OT12，CT4，CM+2DM4，CM+2DM的最小值为4，答案为49如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC的中点，以B为圆心，BE为半径作B，点P是B上一动点，连接PD、PC，则PD+PC的最小值为 5【分析】如图，在BC上取一点T，使得BT1，连接PB，PT，DT证明PBTCBP，推出，推出PTPC，由PD+PCPD+PTDT5，由此可得结论【解析】如图，在BC上取一点

22、T，使得BT1，连接PB，PT，DT四边形ABCD是正方形，DCT90，CD4，CT3，DT5，PB2，BT1，BC4，PB2BTBC，PBTPBC，PBTCBP，PTPC，PD+PCPD+PTDT5，PD+PC的最小值为5，故答案为：510如图，扇形AOB中，AOB90，OA6，C是OA的中点，D是OB上一点，OD5，P是上一动点，则PC+PD的最小值为 【分析】如图，延长OA使AEOB，连接EC，EP，OP，证明OPEOCP推出，推出EP2PC，推出PC+PD（2PC+PD）（PD+PE），推出当点E，点P，点D三点共线时，PC+PD的值最小【解析】如图，延长OA使AEOB，连接EC，EP

23、，OP，AOOB6，C分别是OA的中点，OE12，OP6，OCAC3，且COPEOPOPEOCP，EP2PC，PC+PD（2PC+PD）（PD+PE），当点E，点P，点D三点共线时，PC+PD的值最小，DE13，PD+PEDE13，PD+PE的最小值为13，PC+PD的值最小值为故答案为：11如图所示的平面直角坐标系中，A（0，4），B（4，0），P是第一象限内一动点，OP2，连接AP、BP，则BP+的最小值是 【分析】如图，取点T（0，1），连接PT，BT利用相似三角形的性质证明PTPB，推出PB+PAPB+PTBT，求出BT，可得结论【解析】如图，取点T（0，1），连接PT，BTT（0，1

24、），A（0，4），B（4，0），OT1，OA4，OB4，OP2，OP2OTOA，POTAOP，POTAOP，PTPA，PB+PAPB+PT，BT，PB+PT，BP+APBP+PB的最小值为故答案为：12如图所示，ACB60，半径为2的圆O内切于ACBP为圆O上一动点，过点P作PM、PN分别垂直于ACB的两边，垂足为M、N，则PM+2PN的取值范围为 62PM+2PN6+2【分析】PM+2PN2（PM+PN），作MHPN，HPPM，确定HN的最大值和最小值【解答】解：作MHNP于H，作MFBC于F，PMAC，PNCB，PMCPNC90，MPN360PMCPNCC120，MPH180MPN60，H

25、PPMcosMPHPMcos60PM，PN+PMPN+HPNH，MFNH，当MP与O相切时，MF取得最大和最小，如图1，连接OP，OG，可得：四边形OPMG是正方形，MGOP2，在RtCOG中，CGOGtan602，CMCG+GM2+2，在RtCMF中，MFCMcosC（2+2）3+，HNMF3+，PM+2PN2（）2HN6+2，如图2，由上知：CG2，MG2，CM22，HM（22）3，PM+2PN2（）2HN62，62PM+2PN6+213如图，边长为4的正方形，内切圆记为圆O，P为圆O上一动点，则PA+PB的最小值为 2【分析】PA+PB（PA+PB），利用相似三角形构造PB【解答】解：设

26、O半径为r，OPrBC2，OBr2，取OB的中点I，连接PI，OIIB，O是公共角，BOPPOI，PIPB，AP+PBAP+PI，当A、P、I在一条直线上时，AP+PB最小，作IEAB于E，ABO45，IEBEBI1，AEABBE3，AI，AP+PB最小值AI，PA+PB（PA+PB），PA+PB的最小值是AI2故答案是2二解答题14（2022从化区一模）已知，AB是O的直径，AB，ACBC（1）求弦BC的长；（2）若点D是AB下方O上的动点（不与点A，B重合），以CD为边，作正方形CDEF，如图1所示，若M是DF的中点，N是BC的中点，求证：线段MN的长为定值；（3）如图2，点P是动点，且A

27、P2，连接CP，PB，一动点Q从点C出发，以每秒2个单位的速度沿线段CP匀速运动到点P，再以每秒1个单位的速度沿线段PB匀速运动到点B，到达点B后停止运动，求点Q的运动时间t的最小值【分析】（1）AB是O的直径，ACBC可得到ABC是等腰直角三角形，从而得道答案；（2）连接AD、CM、DB、FB，首先利用ACDBCF，CBFCAD，证明D、B、F共线，再证明CMB是直角三角形，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可得证；（3）“阿氏圆”的应用问题，以A为圆心，AP为半径作圆，在AC上取点M，使AM1，连接PM，过M作MHAB于H，连接BM交A于P，先证明PM，+BP最小，即是PM+BP

28、最小，此时P、B、M共线，再计算BM的长度即可【解析】（1）AB是O的直径，ABC90，ACBC，ABC是等腰直角三角形，CAB45，AB4，BCABsin454；（2）连接AD、CM、DB、FB，如图：ABC是等腰直角三角形，四边形CDEF是正方形，CDCF，DCFACB90，ACD90DCBBCF，又ACBC，ACDBCF（SAS），CBFCAD，CBF+ABC+ABDCAD+ABC+ABDDAB+CAB+ABC+ABDDAB+45+45+ABD，而AB是O的直径，ADB90，DAB+ABD90，CBF+ABC+ABD180，D、B、F共线，四边形CDEF是正方形，DCF是等腰直角三角形，

29、M是DF的中点，CMDF，即CMB是直角三角形，N是BC的中点，MNBC2，即MN为定值；（3）以A为圆心，AP为半径作圆，在AC上取点M，使AM1，连接PM，过M作MHAB于H，连接BM交A于P，如图：一动点Q从点C出发，以每秒2个单位的速度沿线段CP匀速运动到点P，再以每秒1个单位的速度沿线段PB匀速运动到点B，Q运动时间t+BP，AM1，AP2，ACBC4，又MAPPAC，MAPPAC，PM，+BP最小，即是PM+BP最小，此时P、B、M共线，即P与P重合，t+BP最小值即是BM的长度，在RtAMH中，MAH45，AM1，AHMH，AB4，BHABAH，RtBMH中，BM5，点Q的运动时

30、间t的最小值为515（2021渝中区校级自主招生）如图，在ABC 与DEF中，ACBEDF90，BCAC，EDFD，点D在AB上（1）如图1，若点F在AC的延长线上，连接AE，探究线段AF、AE、AD之间的数量关系，并证明你的结论；（2）如图2，若点D与点A重合，且AC3，DE4，将DEF绕点D旋转，连接BF，点G为BF的中点，连接CG，在旋转的过程中，求CG+BG的最小值；（3）如图3，若点D为AB的中点，连接BF、CE交于点M，CE交AB于点N，且BC：DE：ME7：9：10，请直接写出的值【分析】（1）过F作FHAB于H，过E作EGAB于G，结合K字型全等，等腰直角三角形，四点共圆即可得

31、到答案；（2）第二问考察隐圆问题与阿氏圆，取AB的中点O，连接OG，在OB上取OH，连接GH，构建相似，转化线段即可得到答案；（3）过点C作BF平行线，点F作BC平行线交于点G；过点G作GHBF于点H，过点K作KIFG，证明BDFCDE，设BC7t，则DE9t，ME10t，结合勾股定理、相似三角形及解直角三角形的知识进行计算【解析】（1）线段AF、AE、AD之间的数量关系：，证明如下：过F作FHAB于H，过E作EGAB于G，如图：FHAB，EGAB，EDF90，FHDDGE90，FDH90EDGDEG，且DFDE，FHDDGE（AAS），FHDGAD+AG，ACBEDF90，BCAC，EDFD

32、，FABFED45，点F、D、A、E四点共圆，FAEFDE90，EAGDFE45，FHAB，EGAB，BAC45，FAH和EAG为等腰直角三角形，AFFH，AEAG，AF（AD+AG）AD+AGAD+AE；（2）取AB的中点O，连接OG，在OB上取OH，连接GH，如图：G为BF的中点，O为AB中点，OG是ABF的中位线，OGAFDFDE2，AC3，ABAC6，OBAB3，而，又HOGGOB，HOGGOB，HGBG，要使CG+BG的最小，需CG+HG最小，当H、G、C三点共线时，CG+BG的最小，CG+BG的最小值是CH，如图：OCAB3，OH，CH，CG+BG的最小值是CH（3）过点C作BF平

33、行线，点F作BC平行线交于点G；过点G作GHBF于点H，过点K作KIFG；如图：BDCFDE90，BDC+CDFFDE+CDF，即BDFCDE，且CDBD，DEDF，BDFCDE（SAS），BFCE，DECDFB，DEC+DPE90，DPEMPF，DFB+MPF90，FME90由BC：DE：ME7：9：10，设BC7t，则DE9t，ME10t；EFDE9t，CGBF，FGBC，四边形BFGC为平行四边形，CEBFCG，ECGFME90，ECG为等腰直角三角形，CGE45GKH，GKH为等腰直角三角形，CDEGFE，DCEFGE，；RtMFE中，MFt，FKMKMFMEMF10tt，FGBC7t

34、，设GFH，KGINCD，RtFKI中，sin，GH，KIFK，sin，16（2021九龙坡区校级模拟）在ABC中，CAB90，ACAB若点D为AC上一点，连接BD，将BD绕点B顺时针旋转90得到BE，连接CE，交AB于点F（1）如图1，若ABE75，BD4，求AC的长；（2）如图2，点G为BC的中点，连接FG交BD于点H若ABD30，猜想线段DC与线段HG的数量关系，并写出证明过程；（3）如图3，若AB4，D为AC的中点，将ABD绕点B旋转得ABD，连接AC、AD，当AD+AC最小时，求SABC【分析】（1）通过作辅助线，构造直角三角形，借助解直角三角形求得线段的长度；（2）通过作辅助线，构

35、造全等三角形，设ACa，利用中位线定理，解直角三角形，用a的代数式表示CD和HG，即可得CD与HG的数量关系；（3）构造阿氏圆模型，利用两点之间线段最短，确定A（4）的位置，继而求得相关三角形的面积【解析】（1）过D作DGBC，垂足是G，如图1：将BD绕点B顺时针旋转90得到BE，EBD90，ABE75，ABD15，ABC45，DBC30，在直角BDG中有DG2，ACB45，在直角DCG中，CGDG2，BCBG+CG，ACBC；（2）线段DC与线段HG的数量关系为：HG，证明：延长CA，过E作EN垂直于CA的延长线，垂足是N，连接BN，ED，过G作GMAB于M，如图：END90，由旋转可知EB

36、D90，EDB45ENDEBD90，E，B，D，N四点共圆，BNEEDB45，NEB+BDN180BDC+BDN180，BCD45，BENBDC，BNE45BCD，在BEN和BDC中，BENBDC（AAS），BNBC，BAC90，在等腰BNC中，由三线合一可知BA是CN的中线，BACEND90，ENAB，A是CN的中点，F是EC的中点，G是BC的中点，FG是BEC的中位线，FGBE，FGBE，BEBD，FGBD，ABD30，BFG60，ABC45，BGF75，设ACa，则ABa，在RtABD中，AD，BDBE，FGBE，FG，GMAB，BGM是等腰三角形，MGMB，在RtMFG中，MFG60，

37、MFMG，MF，BFBM+MF，在RtBFH中，BFG60，FHa，HGFGFHa，又CD，HG；（3）设ABa，则BC，取BC的中点N，连接AD，AC，AN，连接DN，如图3，由旋转可知ABABa，又ABNCBA，ABNCBA，ANAC，根据旋转和两点之间线段最短可知，最小，即是AD+AN最小，此时D、A、N共线，即A在线段DN上，设此时A落在A处，过A作AFAB于F，连接AA，如图4，D，N分别是AC，BC的中点，DN是ABC的中位线，DNAB，ABAC，DNAC，AAFAADA90，四边形AFAD是矩形，AFAD，AFAD2，又ABAB4，设AFx，在直角三角形AFB中，AB2AF2+B

38、F2，4222+（4x）2，解得x此时SABCSABCSAABSAACABACABAFACAD44424（42）4417（2021沙坪坝区校级模拟）如图1，在四边形ABCD中，AC交BD于点E，ADE为等边三角形（1）若点E为BD的中点，AD4，CD5，求BCE的面积；（2）如图2，若BCCD，点F为CD的中点，求证：AB2AF；（3）如图3，若ABCD，BAD90，点P为四边形ABCD内一点，且APD90，连接BP，取BP的中点Q，连接CQ当AB6，AD4，tanABC2时，求CQ+BQ的最小值【分析】（1）如图1中，过点C作CHBD于H，设EHx利用勾股定理构建方程求出x，即可解决问题（2

39、）如图2中，延长AF到G，使得AFFG，连接DG，CG，延长GC交BD于T，过点C作CHBD于H想办法证明AEBADG（SAS），可得结论（3）如图3中，取AD的中点O，连接OP，OB，OC，取OB的中点J，连接QJ，CJ，过点C作CFAB于F，在JB上取一点T，使得JT，连接QT，TC想办法证明QJTBJQ，推出，推出QTBQ，推出CQ+BQCQ+QTCT，求出CT，可得结论【解答】（1）解：如图1中，过点C作CHBD于H，设EHxADE是等边三角形，ADDE4，AEDCEH60，CHE90，CHEHtan60x，CD2CH2+DH2，253x2+（x+4）2，4x2+8x90x或（舍弃），

40、CH，SBEC42解法二：过点B作BJAC交AC的延长线于J，过点D作DTAE于T证明BJDT，求出DT，即可解决问题（2）证明：如图2中，延长AF到G，使得FGAF，连接DG，CG，延长GC交BD于T，过点C作CHBD于HAFFG，CFFD，四边形ACGD是平行四边形，ACDG，GCAD，CAD+ADG180，ADE是等边三角形，AEAD，AEDADEEAD60，AEBADG120，CGDEAD60GDT，DGT是等边三角形，DGDT，CTECET60，CET是等边三角形，CTCE，CTECET60，CBCD，CHBD，BHDH，THEH，BTDE，BEDTDG，AEBADG（SAS），AB

41、AG2AF（3）解：如图3中，取AD的中点O，连接OP，OB，OC，取OB的中点J，连接QJ，CJ，过点C作CFAB于F，在JB上取一点T，使得JT，连接QT，TCABCD，BAD90，ADC90，CFAB，CFA90，四边形AFCD是矩形，ADCF4，tanCBA2，BF2，AB6，AF4，ADAF，四边形AFCD是正方形，BC2，CO2，OB4，CBCO，CFCD，CFBCDO90，RtCFBRtCDO（HL），BCFDCO，BCODCF90，BJJO，CJOB2，CT，BQQP，BJJO，QJOP，QJ22，TJJB22，QJ2JTJB，QJTQJB，QJTBJQ，QTBQ，CQ+BQC

42、Q+QTCT，CQ+BQ的最小值为18（2021全国九年级专题练习）如图，RtABC，ACB90，ACBC2，以C为顶点的正方形CDEF（C、D、E、F四个顶点按逆时针方向排列）可以绕点C自由转动，且CD2，连接AF，BD（1）求证：BDCAFC（2）当正方形CDEF有顶点在线段AB上时，直接写出BD22AD的值；（3）直接写出正方形CDEF旋转过程中，BD22AD的最小值【答案】（1）见解析；（2）2+1或2+5 ；（3）5【分析】（1）利用SAS，即可证明FCADCB；（2）分两种情况当点D，E在AB边上时和当点E，F在边AB上时，讨论即可求解；（3）取AC的中点M连接DM，BM则CM1，

43、可证得DCMACD，可得DM22AD，从而得到当B，D，M共线时，BD+22AD的值最小，即可求解【详解】（1）证明： 四边形CDEF是正方形，CFCD，DCFACB90，ACFDCB，ACCB，FCADCB（SAS）；（2）解：如图2中，当点D，E在AB边上时，ACBC2，ACB90，AB=ACsin45=22，CDAB，ADBD=ACsin45=2，BD+22AD=2+222=2+1；如图3中，当点E，F在边AB上时BDCFBCsin45=222= 2，ADBD2+AB210，BD+22AD2+2210=2+5，综上所述，BD22AD的值2+1或2+5；（3）如图4中取AC的中点M连接DM

44、，BM则CM1，CD2，CM1，CA2，CD2CMCA，CDCACMCD，DCMACD，DCMACD，DMADCDAC22，DM22AD，BD+22ADBD+DM，当B，D，M共线时，BD+22AD的值最小，最小值BM=CB2+CM2=5【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，锐角三角函数，熟练掌握相关知识点是解题的关键19（2022四川隆昌市蓝天育才学校一模）问题提出：如图，在RtABC中，C=90，CB=4，CA=6，C的半径为2，P为圆上一动点，连接AP、BP，求AP+12BP的最小值（1）尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图

45、，连接CP，在CB上取一点D，使CD=1，则CDCP=CPCB=12又PCD=BCP，所以PCDBCP所以PDBP=CDCP=12所以PD=12PB，所以AP+12BP=AP+PD请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP+12BP的最小值为_；（2）自主探索：在“问题提出”的条件不变的前提下，求13AP+BP的最小值；（3）拓展延伸：如图，已知在扇形COD中，COD=90，OC=6，OA=3，OB=5，P是CD上一点，求2PA+PB的最小值【答案】（1）37；（2）2337；（3）13【分析】（1）根据题意可知最小值为AD长度，利用勾股定理即可求出AD长度（2）连接CP，在CA上取一点D，使C

46、D=23，即可证明PCDACP，得到PD=13AP，即13AP+BP=PD+BP，所以13AP+BP的最小值为BD长度，利用勾股定理即可求出BD长度（3）延长OC到E，使CE=6，连接PE，OP，即可证明OAPOPE，得到EP=2PA，即2PA+PB=EP+PB，所以2PA+PB的最小值为BE长度，利用勾股定理即可求出BE长度【详解】（1）根据题意可知，当A、P、D三点共线时，AP+12BP最小，最小值=AD=CD2+AC2=12+62=37故答案为：37（2）连接CP，在CA上取一点D，使CD=23，则有CDCP=CPCA=13，PCD=ACP，PCDACP，得PDAP=CDCP=13，PD

47、=13AP，故13AP+BP=PD+BP，仅当B、P、D三点共线时，13AP+BP的最小值=BD=CD2+BC2=232+42=2337（3）延长OC到E，使CE=6，连接PE，OP，则OAOP=OPOE=12，AOP=POE，OAPOPE，OAOP=OPOE=APEP=12，EP=2PA，2PA+PB=EP+PB，仅当E、P、B三点共线时，EP+PB=BE=OE2+OB2=52+122=13，即2PA+PB的最小值为13【点睛】本题考查圆的综合，勾股定理，相似三角形的判定和性质根据阅读材料的思路构造出PCDACP和OAPOPE是解题的关键本题较难20（2019山东中考真题）如图1，在平面直角

48、坐标系中，直线y5x+5与x轴，y轴分别交于A，C两点，抛物线yx2+bx+c经过A，C两点，与x轴的另一交点为B（1）求抛物线解析式及B点坐标；（2）若点M为x轴下方抛物线上一动点，连接MA、MB、BC，当点M运动到某一位置时，四边形AMBC面积最大，求此时点M的坐标及四边形AMBC的面积；（3）如图2，若P点是半径为2的B上一动点，连接PC、PA，当点P运动到某一位置时，PC+12PA的值最小，请求出这个最小值，并说明理由【答案】（1）yx26x+5， B（5，0）；（2）当M（3，4）时，四边形AMBC面积最大，最大面积等于18；（3）PC+12PA的最小值为41，理由详见解析.【分析】

49、（1）由直线y5x+5求点A、C坐标，用待定系数法求抛物线解析式，进而求得点B坐标（2）从x轴把四边形AMBC分成ABC与ABM；由点A、B、C坐标求ABC面积；设点M横坐标为m，过点M作x轴的垂线段MH，则能用m表示MH的长，进而求ABM的面积，得到ABM面积与m的二次函数关系式，且对应的a值小于0，配方即求得m为何值时取得最大值，进而求点M坐标和四边形AMBC的面积最大值（3）作点D坐标为（4，0），可得BD1，进而有BDBP=BPAB=12，再加上公共角PBDABP，根据两边对应成比例且夹角相等可证PBDABP，得PDPA等于相似比12，进而得PD12AP，所以当C、P、D在同一直线上时

50、，PC+12PAPC+PDCD最小用两点间距离公式即求得CD的长【详解】解：（1）直线y5x+5，x0时，y5C（0，5）y5x+50时，解得：x1A（1，0）抛物线yx2+bx+c经过A，C两点1+b+c=00+0+c=5解得：b=6c=5抛物线解析式为yx26x+5当yx26x+50时，解得：x11，x25B（5，0）（2）如图1，过点M作MHx轴于点HA（1，0），B（5，0），C（0，5）AB514，OC5SABC12ABOC124510点M为x轴下方抛物线上的点设M（m，m26m+5）（1m5）MH|m26m+5|m2+6m5SABM12ABMH124（m2+6m5）2m2+12m1

51、02（m3）2+8S四边形AMBCSABC+SABM10+2（m3）2+82（m3）2+18当m3，即M（3，4）时，四边形AMBC面积最大，最大面积等于18（3）如图2，在x轴上取点D（4，0），连接PD、CDBD541AB4，BP2BDBP=BPAB=12PBDABPPBDABPPDAP=PDBP=12PD12APPC+12PAPC+PD当点C、P、D在同一直线上时，PC+12PAPC+PDCD最小CDOC2+OD2=52+42=41PC+12PA的最小值为41【点睛】此题主要考查二次函数综合，解题的关键是熟知二次函数的性质、圆的性质及相似三角形的判断与性质.21（2018广西柳州中考真题

52、）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A(3，0)，B两点（点B在点A的左侧），与y轴交于点C，且OB=3OA=3OC，OAC的平分线AD交y轴于点D，过点A且垂直于AD的直线l交y轴于点E，点P是x轴下方抛物线上的一个动点，过点P作PFx轴，垂足为F，交直线AD于点H（1）求抛物线的解析式；（2）设点P的横坐标为m，当FH=HP时，求m的值；（3）当直线PF为抛物线的对称轴时，以点H为圆心，12HC为半径作H，点Q为H上的一个动点，求14AQ+EQ的最小值【答案】（1）y=13x2+233x3；（2）3；（3）4174【分析】对于（1），结合已知先求出点B和点C的坐标，再利用待定系数法

53、求解即可；对于（2），在RtOAC中，利用三角函数的知识求出OAC的度数，再利用角平分线的定义求出OAD的度数，进而得到点D的坐标；接下来求出直线AD的解析式，表示出点P，H，F的坐标，再利用两点间的距离公式可完成解答；对于（3），首先求出H的半径，在HA上取一点K，使得HK=14，此时K（-738，-158）；然后由HQ2=HKHA，得到QHKAHQ，再利用相似三角形的性质求出KQ=14AQ，进而可得当E、Q、K共线时，14AQ+EQ的值最小，据此解答.【详解】（1）由题意A（3，0），B（33，0），C（0，3），设抛物线的解析式为ya（x+33）（x3），把C（0，3）代入得到a=13，

54、抛物线的解析式为y=13x2+233x3（2）在RtAOC中，tanOAC=OCOA=3，OAC60AD平分OAC，OAD30，ODOAtan301，D（0，1），直线AD的解析式为y=33x1，由题意P（m，13m2+233m3），H（m，33m1），F（m，0）FHPH，133m=33m1（13m2+233m3）解得m=3或3（舍弃），当FHHP时，m的值为3（3）如图，PF是对称轴，F（3，0），H（3，2）AHAE，EAO60，EO=3OA3，E（0，3）C（0，3），HC=（3）2+12=2，AH2FH4，QH=12CH1，在HA上取一点K，使得HK=14，此时K（783，158）HQ21，HKHA1，HQ2HKHA，HQAH=KHHQQHKAHQ，QHKAHQ，KQAQ=HQAH=14，KQ=14AQ，14AQ+QEKQ+EQ，当E、Q、K共线时，14AQ+QE的值最小，最小值=（738）2+（158+3）2=4174【点睛】本题考查了相似三角形对应边成比例、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似、待定系数法求二次函数的表达式、二次函数的图象与性质、数轴上两点间的距离公式，熟练掌握该知识点是本题解题的关键.