专题1.7 全等三角形几何模型（一线三垂直）（分层练习）（综合练）-2023-2024学年八年级数学上册全章复习与专题突破讲与练（浙教版）.docx

1、专题1.7 全等三角形几何模型（一线三垂直）（分层练习）（综合练）“一线三垂直”模型，是初中几何图形中的最重要模型，一般只要图形中出现一线三垂直或二垂或一垂图形，不管它是出现在全等图形中，还是在以后学习的相似图形中，函数图形中，它的辅助线、解题思路过程基本固定，一定要熟悉它的变化及用法。“三垂直模型”是一个应用非常广泛的模型，它可以应用在三角形，矩形，平面直角坐标系，网格，一次函数，反比例函数，三角函数，二次函数以及圆等诸多的中考重要考点之中，所以掌握好这一模型会使你在中考中技高一筹。其基本图形如下：拓展：当一线三垂直模型中三垂直改成三等角时，同样成立一、单选题1一天课间，顽皮的小明同学拿着老

2、师的等腰直角三角板玩，不小心将三角板掉到两根柱子之间，如图所示，这一幕恰巧被数学老师看见了，于是有了下面这道题：如果每块砖的厚度a8cm，则DE的长为（） A40cm B48cm C56cm D64cm2如图，ACCE，ACE90，ABBD，EDBD，AB6cm，DE2cm，则BD等于（） A6cm B8cm C10cm D4cm3如图，在ABC中，ABAC9，点E在边AC上，AE的中垂线交BC于点D，若ADEB，CD3BD，则CE等于（） A3 B2 C D4如图，于点E，于点D，则 的长是（） A8 B4 C3 D25如图，中， BP平分ABC， APBP于P，连接PC，若的面积为3.5c

3、m2，的面积为4.5cm2，则的面积为(). A0.25cm2 B0.5 cm2 C1cm2 D1.5cm26如图，中，点在的边上，以 为直角边在同侧作等腰直角三角形，使，连接，若，则与的数量关系式是（） A B C D7课间，小聪拿着老师的等腰直角三角板玩，不小心掉到两墙之间(如图)，ACB90，ACBC，从三角板的刻度可知AB20cm，小聪想知道砌墙砖块的厚度(每块砖的厚度相等)，下面为砌墙砖块厚度的平方的是（） Acm2 Bcm2 Ccm2 Dcm2二、填空题8如图，已知ABC是等腰直角三角形，ACB90，ADDE于点D，BEDE于点E，且点C在DE上，若AD5，BE8，则DE的长为 9

4、如图，一个等腰直角三角形ABC物件斜靠在墙角处（O90），若OA50cm，OB28cm，则点C离地面的距离是 cm 10如图，线段AB=8cm，射线ANAB，垂足为点A，点C是射线上一动点，分别以AC，BC为直角边作等腰直角三角形，得ACD与BCE，连接DE交射线AN于点M，则CM的长为 11如图，在四边形中，点是上一点，连接、，若， ，则的长为 12如图，在中，过点作，且，连接，若，则的长为 13如图，在中，以为腰作等腰直角三角形和等腰直角三角形连接 为边上的高线，延长交于点N，下列结论：（1）；（2）；（3）；（4），其中正确的结论有 (填序号) 14如图所示，中，直线l经过点A，过点B作

5、于点E，过点C作于点F若，则 15如图，且，且，请按照图中所标注的数据计算FH的长为 三、解答题16已知：如图，ABBD，EDBD，C是BD上的一点，ACCE，ABCD，求证：BCDE 17王强同学用10块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（），点在上，点和分别与木墙的顶端重合（1）求证：；（2）求两堵木墙之间的距离 18如图，于点A，D是线段AB上的点，(1) 判断与的数量关系为 ，位置关系为 (2) 如图2，若点D在线段的延长线上，点F在点A的左侧，其他条件不变，试说明（1）中结论是否成立，并说明理由 19如图，已知：在中，直线经过

6、点，（1）当直线绕点旋转到图（1）的位置时，求证：；（2）当直线绕点旋转到图（2）的位置时，求证：；（3）当直线绕点旋转到图（3）的位置时，试问、具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系：_ 20（1）如图1，已知中，90，直线经过点直线，直线，垂足分别为点求证：（2）如图2，将（1）中的条件改为：在中，三点都在直线上，并且有请写出三条线段的数量关系，并说明理由21问题1：在数学课本中我们研究过这样一道题目：如图1，ACB90，ACBC，BEMN，ADMN，垂足分别为E、D图中哪条线段与AD相等？并说明理由问题2：试问在这种情况下线段DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出来，不需要说明理

7、由问题3：当直线CE绕点C旋转到图2中直线MN的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并说明理由22如图（1）AB9cm，ACAB，BDAB，ACBD7cm，点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动，它们运动的时间为t（s）（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t1时，ACP与BPQ是否全等，请说明理由；（2）在（1）的前提条件下，判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，并证明；（3）如图（2），将图（1）中的“ACAB，BDAB”为改“CABDBA50”，其他条件不变设点Q的运动速度为xcm/s，是否存在实

8、数x，使得ACP与BPQ全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由23阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，ABC中，A90，B30，点D，E分别在AB，BC上，且CDE90当BE2AD时，图1中是否存在与CD相等的线段？若存在，请找出并加以证明，若不存在，说明理由小明通过探究发现，过点E作AB的垂线EF，垂足为F，能得到一对全等三角形（如图2），从而将解决问题请回答：（1）小明发现的与CD相等的线段是 （2）证明小明发现的结论24过正方形（四边都相等，四个角都是直角）的顶点作一条直线（1）当不与正方形任何一边相交时，过点作于点，过点作于点如图（1），请写出，之间的数量关系

9、，并证明你的结论（2）若改变直线的位置，使与边相交如图（2），其它条件不变，的关系会发生变化，请直接写出，的数量关系，不必证明；（3）若继续改变直线的位置，使与边相交如图（3），其它条件不变，的关系又会发生变化，请直接写出，的数量关系，不必证明参考答案1C【分析】由等腰直角三角形的性质可得ACB90，ACCB，因此可以考虑证明ACD和CBE全等，可以证明DE的长为7块砖的厚度的和解：由题意得ADCCEBACB90，ACCB，ACD90BCECBE，在ACD和CBE中，ACDCBE（AAS），CDBE3a，ADCE4a，DECD+CE3a+4a7a，a8cm，7a56cm，DE56cm，故选C【

10、点拨】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的性质与判定条件2B【分析】根据题意证明即可得出结论解：ABBD，EDBD，ACE90，在和中，故选：B【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理以及性质定理是解本题的关键3A【分析】根据等腰三角形的性质得到BC，推出BADCDE，根据线段垂直平分线的性质得到ADED，根据全等三角形的性质得到CDAB9，BDCE，即可得到结论解：ABAC9，BC，ADEB，BAD180BADB，CDE180ADEADB，BADCDE，AE的中垂线交BC于点D，ADED，在ABD与DCE中，ABDDCE（

11、AAS），CDAB9，BDCE，CD3BD，CEBD3故选：A【点拨】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的性质，属于基础题4C【分析】根据已知条件，观察图形得，然后证后求解解：，于，于，又，故选：C【点拨】本题考查了直角三角形全等的判定方法；题目利用全等三角形的判定和性质求解，发现并利用，是解题的关键5C【分析】延长AP，交BC于点D，则可证ABPDBP，可得AP=DP，ABP与DBP的面积相等，则PCD与ACP的面积相等，然后得到PAC的面积.解：如图，延长AP，交BC于点D，BP平分ABC，ABP=DBP，BP=BP，APB=DPB=90，ABPDBP，AP=DP

12、，PCD与ACP底边相等，高相同，；故选择：C.【点拨】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的面积的应用，注意：等底等高的三角形的面积相等6B【分析】作EFAC，垂足为F，根据全等的条件可得，DBCEDF，可得CD=EF=m，SBDE+ SBDC+ SADE，可得出m+n=5解：解：作EFAC，垂足为FEFD=BDC+DBC=90三角形是等腰直角三角形，EDB=90，EDF+BDC=90，EDF=DBC在DBC和EDF中 DBCEDF（AAS）CD=EF=m,AC=3,AD=AC-CD=3-mSBDE+ SBDC+ SADE =化简得：，n是的斜边，m是直角边n-m0故答案选：B【点拨】本

13、题主要考查了构造三角形全等，割补法求面积，因式分解，解决本题的关键是构造全等三角表示出面积7A【分析】设每块砖的厚度为xcm，则AD=3xcm，BE=2xcm，然后证明DACECB得到CD=BE=2xcm，再利用勾股定理求解即可解：设每块砖的厚度为xcm，则AD=3xcm，BE=2xcm，由题意得：ACB=ADC=BEC=90，ACD+DAC=ACD+BCE=90，DAC=ECB，又AC=CB，DACECB（AAS），CD=BE=2xcm，故选A【点拨】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的性质与判定条件813【分析】先根据ADDE，BEDE，A

14、DC=CEB=90，则DAC+DCA=90，ABC是等腰直角三角形，ACB=90，可得AC=CB，推出DAC=ECB，即可证明DACECB得到CE=AD=5，CD=BE=8，由此求解即可解：ADDE，BEDE，ADC=CEB=90，DAC+DCA=90，ABC是等腰直角三角形，ACB=90，DCA+BCE=90，AC=CBDAC=ECB，DACECB（AAS），CE=AD=5，CD=BE=8，DE=CD+CE=13，故答案为：13【点拨】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，垂线的定义，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的性质与判定条件928【分析】作CDOB于点D，依据AAS证明,GMF，

15、再根据全等三角形的性质即可得到结论解：过点C作CDOB于点D，如图， 是等腰直角三角形AB=CB， 又 在和中， 故答案为：28【点拨】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、三角形全等的判定与性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解答本题的关键104cm.【分析】过点E作EFAN于F，先利用AAS证出ABCFCE，从而得出AB=FC=8cm，AC=FE，然后利用AAS证出DCMEFM,从而求出CM的长.解：过点E作EFAN于F，如图所示ANAB，BCE和ACD为等腰直角三角形，BAC=BCE=ACD=CFE =90，BC=CE，AC=CDABC+ACB=90，FCE+ACB =90，ABC =FC

16、E，在ABC和FCE中ABCFCEAB=FC=8cm，AC=FECD= FE在DCM和EFM中DCMEFMCM=FM=FC=4cm.故答案为：4cm.【点拨】此题考查的是全等三角形的判定及性质，掌握用AAS证两个三角形全等是解决此题的关键.1110【分析】先证明，再证明，即可作答解：，又，故答案为：10【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的外角的性质等知识，掌握三角形的判定与性质是解答本题的关键123【分析】过点作交延长线于点，先证明，则，然后根据求即可解：过点作交延长线于点，则DMC=90=ABC，故填【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定与性质以及三角形的面积，正确作出辅助线、

17、构造全等三角形证得成为解答本题的关键13（1）（3）（4）【分析】根据，利用同角的余角相等即可判断（1）；过E作于点H，过F作，交的延长线于点G，利用K字型全等，易证，从而判断（2）；同理可证，可得，再证，即可判断（4）；最后根据，结合全等三角形即可判断（3）解：为边上的高，故(1)正确；如图所示，过E作于点H，过F作，交的延长线于点G，为等腰直角三角形，在与中，与不全等，故（2）错误；同理可证，又，在和中，故（4）正确；，故（3）正确；综上：正确的有（1）（3）（4）故答案为：（1）（3）（4）【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定定理和性质，掌握K字型全等，作出辅

18、助线构造全等三角形是解题的关键147【分析】根据全等三角形来实现相等线段之间的关系，从而进行计算，即可得到答案；解：BEl，CFl，AEB=CFA=90EAB+EBA=90又BAC=90，EAB+CAF=90EBA=CAF在AEB和CFA中AEB=CFA，EBA=CAF，AB=AC，AEBCFAAE=CF，BE=AFAE+AF=BE+CFEF=BE+CF，；故答案为：7【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，余角的性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的证明三角形全等1518【分析】由，可以得到，而，由此可以证明，进而得出，即可得出解： 且， ， 同理证得得 故， 故答案为：18【点拨】

19、本题考查的是全等三角形的判定的相关知识，关键是根据全等三角形的对应边相等解答16见分析【分析】根据直角三角形全等的判定方法，ASA即可判定三角形全等解：证明：ABBD，EDBD，ACCE（已知）ACEBD90（垂直的意义）BCA+DCE+ACE180（平角的意义）ACE90（已证）BCA+DCE90（等式性质）BCA+A+B180（三角形内角和等于180）B90（已证）BCA+A90（等式性质）DCEA （同角的余角相等）在ABC和CDE中，ABCCDE（ASA）BCDE（全等三角形对应边相等）【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质；熟练掌握三角形全等的判定定理是解题的关键17（1）证明见分

20、析；（2）两堵木墙之间的距离为【分析】（1）根据同角的余角相等可证，然后利用AAS即可证出；（2）根据题意即可求出AD和BE的长，然后根据全等三角形的性质即可求出DC和CE，从而求出DE的长解：（1）证明：由题意得：，在和中，；（2）解：由题意得：，答：两堵木墙之间的距离为【点拨】此题考查的是全等三角形的应用，掌握全等三角形的判定及性质是解决此题的关键18(1)，；(2)成立，见分析【分析】（1）根据题意可直接证明，即可得出结论；（2）仿照（1）的证明过程推出，即可得出结论（1）解：由题意，在与中，在中，综上可知，；（2）解：成立，理由如下： ，在和中，即，；（1）中结论仍然成立【点拨】本题考

21、查全等三角形的判定与性质，以及直角三角形两锐角互余等，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键19（1）见分析；（2）见分析；（3）DE=BE-AD【分析】（1）由已知推出ADC=BEC=90，因为ACD+BCE=90，DAC+ACD=90，推出DAC=BCE，根据AAS即可得到答案；（2）结论：DE=AD-BE与（1）证法类似可证出ACD=EBC，能推出ADCCEB，得到AD=CE，CD=BE，即可得到答案（3）结论：DE=BE-AD证明方法类似解：（1）证明：如图1，ADDE，BEDE，ADC=BEC=90，ACB=90，ACD+BCE=90，DAC+ACD=90，DAC=BCE，在ADC和

22、CEB中，ADCCEB（AAS）；（2）如图2，BEEC，ADCE，ADC=BEC=90，EBC+ECB=90，ACB=90，ECB+ACE=90，ACD=EBC，在ADC和CEB中，ADCCEB（AAS），AD=CE，CD=BE，DE=EC-CD=AD-BE（3）DE=BE-AD；如图3，ACB=90，ACD+BCE=90ADMN，BEMN，ADC=CEB=90，ACD+DAC=90，DAC=ECB，在ACD和CBE中，ACDCBE（AAS），AD=CE，CD=BE，DE=CD-CE=BE-AD【点拨】本题主要考查了余角的性质，全等三角形的性质和判定等知识点，能根据已知证明ACDCBE是解此

23、题的关键，题型较好，综合性比较强20（1）证明见分析；（2），证明见分析【分析】（1）利用已知得出CAE=ABD，进而利用AAS得出则ABDCAE，即可得出DE=BD+CE；（2）根据BDA=AEC=BAC，得出CAE=ABD，在ADB和CEA中，根据AAS证出ADBCEA，从而得出AE=BD，AD=CE，即可证出DE=BD+CE；解：（1）DE=BD+CE理由如下：BD，CE，BDA=AEC=90又BAC=90，BAD+CAE=90，BAD+ABD=90，CAE=ABD在ABD和CAE中，ABDCAE（AAS）BD=AE，AD=CE，DE=AD+AE，DE=CE+BD；（2），理由如下：BD

24、A=AEC=BAC，DBA+BAD=BAD+CAE，CAE=ABD，在ADB和CEA中，ADBCEA（AAS），AE=BD，AD=CE，BD+CE=AE+AD=DE；【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质综合中的“一线三等角”模型：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等也考查了等边三角形的判定与性质21问题1，ADEC，证明见分析；问题2：DE+BEAD；问题3：DEAD+BE，证明见分析【分析】（1）由已知推出ADC=BEC=90，因为ACD+BCE=90，DAC+ACD=90，推出DAC=BCE，根据AAS即可得到ADCCEB，即可得

25、出AD=EC；（2）由（1）得到AD=CE，CD=BE，即可求出答案；（3）与（1）证法类似可证出ACD=EBC，能推出ADCCEB，得到AD=CE，CD=BE，即可得到DE、AD、BE之间的等量关系解：（1）ADEC；证明：ADMN，BEMN，ADCBEC90，ACB90，ACD+BCE90，DAC+ACD90，DACBCE，ADCBEC，ACBC，ADCCEB，ADEC；（2）DE+BEAD；由（1）已证ADCCEB，ADEC，CD=EB，CE=ADCE=CD+DE=BE+DE=AD即DE+BEAD；（3）DEAD+BE证明：BEBC，ADCE，ADC90，BEC90，EBC+ECB90，

26、ACB90，ECB+ACD90，ACDCBE，ADCBEC，ACBC，ADCCEB，ADCE，CDBE，CD+CEDC，DEAD+BE【点拨】此题主要考查了邻补角的意义，全等三角形的性质和判定等知识点，能根据已知证出符合全等的条件是解此题的关键，题型较好，综合性比较强22（1）ACP与BPQ全等，理由见分析；（2）PCPQ，证明见分析；（3）存在，当t1s，x2cm/s或ts，xcm/s时，ACP与BPQ全等【分析】（1）利用定理证明；（2）根据全等三角形的性质判断线段和线段的位置关系；（3）分，两种情况，根据全等三角形的性质列式计算解：（1）ACP与BPQ全等，理由如下：当t1时，APBQ2

27、，则BP927，BPAC，又AB90，在ACP和BPQ中，ACPBPQ（SAS）；（2）PCPQ，证明：ACPBPQ，ACPBPQ，APC+BPQAPC+ACP90CPQ90，即线段PC与线段PQ垂直；（3）若ACPBPQ，则ACBP，APBQ，92t7，解得，t1（s），则x2（cm/s）；若ACPBQP，则ACBQ，APBP，则2t9，解得，t（s），则x7（cm/s），故当t1s，x2cm/s或ts，xcm/s时，ACP与BPQ全等【点拨】本题考查的是全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、注意分类讨论思想的灵活运用是解题的关键23（1）DE；（2）见分析.【分析】（

28、1）、（2）：如图2，作EFAB，垂足为F由题意可证得ACDDFE，由此可得 CD=DE，故小明分析的与CD相等的线段是线段DE.解：（1）DE；故答案为DE；（2）证明：作EFAB，垂足为F则BFEDFE90ACDEADC+CDEADEDFE+FED，ADCFEDBFE90，B30，BE2FEBE2AD，FEAD在FED和ADC中， FEDADC（ASA）DECD【点拨】本题考查了30的直角三角形的性质以及全等三角形的判定及性质，解题的关键是掌握灵活运用30的直角三角形的性质以及全等三角形的判定及性质.24(1)，证明见分析；(2)；(3)【分析】（1）根据同角的余角相等可证，再证，根据全等三角形的对应边相等进行代换即可；（2）根据同角的余角相等可证，再证，根据全等三角形的对应边相等进行代换即可；（3）根据同角的余角相等可证，再证，根据全等三角形的对应边相等进行代换即可解：（1），证明：四边形是正方形，又，在和中，（2），理由是：四边形是正方形，又，在和中，EF=AF-AE=BE-DF（3），理由是：四边形是正方形，又，在和中，EF=AE-AF=DF-BE【点拨】本题考查的是三角形全等的判定和性质，掌握三角形的判定方法及能利用同角的余角相等证明是关键