专题10 类比归纳专题：一元二次方程的解法与配方法的应用之十大类型(解析版).docx

1、专题 10 类比归纳专题：一元二次方程的解法与配方法的应用之十大类型【考点导航】目录【典型例题】.1【类型一 形如(x+m)2=n(n0)的方程可用直接开平方法】.1【类型二 当二次项系数为 1，且一次项为偶数，可用配方法】.3【类型三 若方程移项后一边为 0，另一边能分解成两个一次因式的积，可用因式分解】.8【类型四 所有一元二次方程均可用公式法求解】.11【类型五 一元二次方程的特殊解法十字相乘法】.18【类型六 一元二次方程的特殊解法换元法】.20【类型七 完全平方式中的配方】.23【类型八 判断代数式的正负或求最值】.26【类型九 比较两个代数式的大小】.31【类型十 利用配方法构造非

2、负数求值】.33 【典型例题】【类型一 形如(x+m)2=n(n0)的方程可用直接开平方法】1（2023 秋河南平顶山九年级统考期末）方程214x的根为（）A122xx B13x，21x C123xx D11x ，23x 【答案】D【分析】直接开方法解方程即可【详解】214x 12x 解得11x ，23x 故选：D【点睛】此题考查一元二次方程的解法，解题关键是直接开方会得到正负两个值，然后分别求解即可 2（2022 秋陕西西安九年级校考阶段练习）方程2(26)x 的根是【答案】162x，262x ，【分析】利用直接开平方法可得方程的解【详解】解：原方程两边直接开平方可得：26x 或者26x ，

3、162x，262x ，故答案为：162x，262x 【点睛】本题考查一元二次方程的解，根据方程特点可以利用直接开平方法求解 3（2023 春安徽滁州八年级校考阶段练习）解方程：2218x【答案】1223 2,2 3 2xx【分析】利用直接开平方法解方程【详解】解：2218x 23 2x 23 2x 1223 2,2 3 2xx【点睛】此题考查了解一元二次方程，正确掌握一元二次方程的解法并熟练应用是解题的关键 4（2023 春山东济南八年级校考阶段练习）解方程：2(21)5x 【答案】121515,22xx【分析】直接开平方求解即可【详解】解：两边开方得：215x ，解得：121515,22xx

4、【点睛】本题考查了解一元二次方程直接开平方法，形如2xp或2()(0)nxmp p的一元二次方程可采用直接开平方的方法求解 5（2023 春浙江八年级专题练习）解方程：22(1)(1 2)xx【答案】120,2xx【分析】先开平方，再分情况求解【详解】解：两边开平方，得 1|1 2|xx 当11 2xx 时，0 x 当1(1 2)xx 时，2x 综上所述，原方程的解是：120,2xx【点睛】本题考查了解一元二次方程直接开平方法，两边开方后先将一边加上绝对值，再分情况讨论 6（2023上海八年级假期作业）用开平方法解下列方程：(1)21(3)63 x；(2)224(1)(2)xx【答案】(1)1

5、3 23x，23 23x (2)14x ，20 x 【分析】（1）先方程两边同时乘以 3，变形为2(3)18x，再开平方得33 2x ，再解一元一次方程即可求解（2）先把方程变形为222(1)(2)xx，再开平方得 212xx，再解一元一次方程即可求解【详解】（1）解：21(3)63 x 2(3)18x 33 2x 33 2x或33 2 x，13 23x，23 23x ；（2）解：224(1)(2)xx 222(1)(2)xx 212xx 212xx 或 212xx 14x ，20 x 【点睛】本题考查解一元二次方程熟练掌握直接开平方法是解题的关键 【类型二 当二次项系数为 1，且一次项为偶数

6、，可用配方法】1（2023 春安徽合肥八年级统考期中）用配方法解方程2630 xx 时，配方后得到的方程是（）A2(3)12x B2(3)6x C2(6)12x D2(6)6x 【答案】A【分析】先移项得到263xx，再把方程两边加上 9，然后把方程左边用完全平方形式表示即可【详解】解：263xx，26912xx，2(3)12x 故选：A【点睛】本题考查了解一元二次方程配方法：熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键 2（2023全国九年级假期作业）一元二次方程2430 xx 的解为（）A127x ，227x B127x，227x C127x ，227x D127x，227x 【答

7、案】B【分析】根据已知的方程选择配方法解方程，求出方程的解即可【详解】解：243xx，2443 4xx，227x，27x ，127x，227x 故选：B【点睛】本题考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法是解题的关键本题运用的是配方法 3（2023 秋陕西榆林九年级绥德中学校考期末）将方程260 xx化成2xmn的形式是_【答案】239x 【分析】将方程左右两边都加上 9，左边化为完全平方式，右边合并即可得到所求的结果【详解】解：260 xx，2699xx，239x，故答案为：239x 【点睛】本题考查了配方法；

8、解题的关键是掌握配方法的步骤，首先将二次项系数化为 1，常数项移到方程右边，然后方程两边都加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并为一个常数 4（2023 秋广东东莞九年级校联考期末）解方程：24710 xx【答案】127x，227x 【分析】根据配方法先配成：2(2)7x，然后解一元二次方程即可(方法不唯一)【详解】解：24710 xx，2447xx，2(2)7x，27x ，127x，227x 【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键 5（2023黑龙江齐齐哈尔统考三模）解方程：2620 xx【答案】12311,311xx【分析】利用配方法求解

9、可得【详解】解：x2-6x-2=0，x2-6x+9=2+9，即（x-3）2=11，则 x-3=11 ，12311,311xx【点睛】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键 6（2023 春浙江八年级专题练习）用配方法解方程：28130 xx【答案】143x，243x 【分析】根据配方法将方程变形，写出完全平方的形式，即可求解【详解】解：28130 xx 移项，得2813xx 配方，得22284134xx，即243x 两边同时开平方，得43x ，143x，243x 【点睛】本题考查

10、配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解方程的步骤是解题的关键 7（2023全国九年级专题练习）用配方法解方程（1）2420 xx；（2）2680 xx【答案】（1）126x，226x；（2）2x ，4x 【分析】（1）直接利用配方法进行求解；（2）直接利用配方法进行求解【详解】解：(1)方程变形为 x2-4x=2 两边都加 4，得 x2-4x+4=2+4 利用完全平方公式，就得到形如(x+m)2=n 的方程，即有(x-2)2=6 解这个方程，得126x，或226x 于是，原方程的根为126x，或226x (2)将常数项移到方程右边 x2+6x=-8 两边都加“一次项系数一半的平方”，得 x2+

11、6x+32=-8+32，(x+3)2=1 用直接开平方法，得 x+3=1，x=-2 或 x=-4【点睛】本题考查了利用配方法解一元二次方程，解题的关键是掌握配方法的基本步骤 8（2023全国九年级假期作业）用配方法解下列方程：(1)268xx ；(2)2840 xx；(3)2320 xx；(4)2560 xx 【答案】(1)124,2xx(2)1242 5,42 5xx(3)121,2xx (4)121,6xx 【分析】（1）根据题意，利用配方法解一元二次方程；（2）根据题意，利用配方法解一元二次方程；（3）根据题意，利用配方法解一元二次方程；（4）根据题意，利用配方法解一元二次方程即可求解【

12、详解】（1）解：268xx ，2691xx ，231x，31x ，解得：124,2xx；（2）解：2840 xx，281620 xx，即2420 x，42 5x ，解得：1242 5,42 5xx；（3）解：2320 xx，291344xx，23124x，即3122x ，解得：121,2xx ；（4）解：2560 xx，256xx，22549544xx，254924x，5722x ，解得：121,6xx 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法是解题的关键 【类型三 若方程移项后一边为 0，另一边能分解成两个一次因式的积，可用因式分解】1（2023 春广东揭阳九年级统考期末）一元二次

13、方程620 xx的解是（）A6x B2x C16x，22x D16x ，22x 【答案】C【分析】利用因式分解法直接解方程即可【详解】解：620 xx，可得60 x 或20 x ，解得：16x，22x 故选：C【点睛】此题考查了解一元二次方程，正确掌握解一元二次方程的方法及根据每个方程的特点选择恰当的解法是解题的关键 2（2023 春浙江温州八年级校联考期中）方程(21)3(21)xxx的根是（）A3 和12 B12 C3 D 3 和12【答案】A【分析】先移项，再通过提公因式法因式分解，进而求根【详解】解：(2+1)3(21)xxx，(21)3(21)0 xxx(3)(21)0 xx，30

14、x 或 210 x ，3x 或12 选 A【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，熟练掌握相关计算技巧是解题的关键 3（2023全国九年级假期作业）方程2250 xx的解为_【答案】10 x ，252x 【分析】利用因式分解法求解即可【详解】解：2250 xx 分解因式得：250 xx，0 x 或250 x，解得：10 x ，252x ，故答案为：10 x ，252x 【点睛】本题主要考查的知识点是解一元二次方程，解题的关键是熟练的掌握因式分解法解一元二次方程 4（2023 春山东烟台八年级统考期中）方程2141xx的解为_【答案】121,5xx【分析】先移项，再分解因式，即可得出两个一元

15、一次方程，求出方程的解即可【详解】移项得，21410 xx，11 40 xx，10,50 xx 解得1215xx，故答案为：1215xx，【点睛】本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能把一元二次方程转化成一元一次方程 5（2023黑龙江齐齐哈尔统考三模）解方程：72 7x xx【答案】12x ，27x 【分析】先移项再利用因式分解法解方程即可【详解】解：72 7x xx，72 70 x xx，7270 x xx，270 xx 12x ，27x 【点睛】本题考查了解一元二次方程因式分解法，解题的关键是找准公因式 6（2023 秋广东湛江九年级统考期末）解下列方程：2166xx 【答案】

16、11x ，25x 【分析】用因式分解法解方程即可【详解】解:21610 xx 11 60 xx 10 x 或160 x 11x ，25x 【点睛】本题主要考查解一元二次方程，用合适的方法解方程是解题的关键 7（2023黑龙江齐齐哈尔统考二模）解方程：24623xx【答案】132x，252x 【分析】移项，然后用因式分解法解方程即可【详解】解：移项整理得：22 23230 xx，因式分解得：232230 xx，即23 520 xx，230 x 或520 x，解得：123522xx，【点睛】本题考查了解一元二次方程，能够根据方程特点灵活选用不同的解法是解题关键 8（2023陕西西安校考二模）解方程

17、：23224xx 【答案】12x ，283x 【分析】根据因式分解法解一元二次方程即可【详解】解：23224xx 23222xx 232220 xx 23620 xx 12x ，283x 【点睛】本题考查因式分解法解一元二次方程，掌握因式分解解方程是解题的关键 9（2023江苏苏州苏州工业园区星湾学校校考模拟预测）解方程：23 232 23xx【答案】132x，2116x 【分析】利用因式分解法求解即可【详解】解：23 232 23xx，23 232 230 xx，233 2320 xx，23 6110 xx，230 x 或6110 x，132x，2116x 【点睛】本题考查解一元二次方程，常

18、见的解法有：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法，灵活选择适当的解法是解题的关键 【类型四 所有一元二次方程均可用公式法求解】1（2023 秋四川广安九年级统考期末）解方程：22810 xx 【答案】143 22x，243 22x【分析】利用求根公式法求解即可【详解】解：22810 xx 2a,8b ，1c ，284 21720 ，87243 22 22x 143 22x，243 22x【点睛】本题考查了解一元二次方程，根据方程的特点灵活选取解法是关键 2（2023 春浙江八年级专题练习）公式法解方程：22330 xx【答案】13x，232x 【分析】先求出的值，再利用公式法求出 x 的值

19、即可【详解】解：2324324270 ，33 34x，133 334x，233 3342x 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的求根公式，准确进行计算 3（2023全国九年级专题练习）用公式法解下列一元二次方程：(1)22530 xx (2)2414xx (3)2342120 xx【答案】(1)12312xx，(2)1212xx (3)1214091409,3434xx+-=【分析】（1）根据求根公式代入即可解得（2）根据求根公式代入即可解得（3）根据求根公式代入即可解得【详解】（1）22530 xx 2,5,3,abc=-=2425 241bac 515

20、12 24x 123,12xx （2）24410 xx 4,4,1,abc=2416 160bac 40412 482x-?=-=-1212xx （3）2342120 xx 21760 xx-=17,1,6,abc=-=-241 408409bacD=-=+=140914092 1734x北=1214091409,3434xx+-=【点睛】此题考查了公式法解一元二次方程，解题关键是熟悉求根公式 4（2023全国九年级专题练习）用公式法解下列方程：(1)2340 xx(2)2213150 xx(3)211124xx 【答案】(1)14x ，21x (2)132x，25x (3)113344x，2

21、13344x 【分析】（1）先找出a、b、c 的值，根据公式法即可求解；（2）先找出a、b、c 的值，根据公式法即可求解；（3）先化为一般式后，再找出a、b、c 的值，根据公式法即可求解【详解】（1）解：1a ，3b，4c ，22434 14250bac ，3252x，14x ，21x （2）解：2a，13b ，15c，224134 2 15490bac 13494x，132x，25x （3）解：原方程化为：2240 xx，2a，1b=-，4c ，22414 24330bac 1334x，113344x，213344x 【点睛】此题主要考查了一元二次方程，解题关键是熟练运用一元二次方程的解法

22、5（2023全国九年级专题练习）用公式法解下列方程：(1)24912xx (2)22110362xx(3)22210 xx (4)20.10.20yy【答案】(1)1232xx(2)12314xx，(3)1221021044xx，(4)1253 3,5 3 3yy 【分析】（1）根据题意，先化为一般形式，然后根据公式法解一元二次方程；（2）根据题意，利用公式法解一元二次方程即可求解；（3）根据题意，利用公式法解一元二次方程即可求解；（4）根据题意，利用公式法解一元二次方程即可求解【详解】（1）24912xx 化为一般形式得，241290 xx，4,12,9abc，24144 1440bac ，

23、2412028bbacxa，1232xx；（2）22110362xx 211,362abc ，214494036336bac，217466423bbacxa，12314xx，；（3）22210 xx，2,2,1abc ，242 8 100bac ，2421024bbacxa，1221021044xx，；（4）20.10.20yy，系数化为整数得：21020yy，1,10,2abc ，24100 8 1080bac ，24106 322bbacya，1253 3,5 3 3yy 【点睛】本题考查了用公式法解一元二次方程，掌握公式法是解题的关键 6（2023全国九年级专题练习）用公式法解下列方程：

24、(1)256xx (2)231140 xx(3)231030 xx (4)261350tt 【答案】(1)126,1xx (2)1214,3xx (3)12133,xx (4)1215,23xx【分析】（1）根据题意，先化为一般形式，然后根据公式法解一元二次方程；（2）直接根据公式法解一元二次方程；（3）直接根据公式法解一元二次方程；（4）直接根据公式法解一元二次方程即可求解【详解】（1）解：256xx，化为一般形式，2560 xx，1,5,6abc ，2425 24490bac，245722bbacxa，解得：126,1xx ；（2）解：231140 xx 3,11,4abc ，24121

25、48 1690bac，2411 1326bbacxa，解得：1214,3xx；（3）解：231030 xx 3,10,3abc，24100 36640bac，2410826bbacxa，解得：12133,xx ；（4）解：261350tt 6,13,5abc ，24169 120490bac ，24137212bbacxa，解得：1215,23xx【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键 7（2023 秋河南南阳九年级校考期末）（1）我们发现，利用配方法解一元二次方程的步骤是相同的，因此，用配方法解一元二次方程200axbxca（），可以得到一元二次方程的求根公式

26、一般地，对于一元二次方程200axbxca（），当240bac时，它的求根公式是 x _，用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法（2）小明在用公式法解方程251xx 时出现了错误，解答过如下：1a ，=5b，1c ，（第一步）22454 1 121bac （第二步）5212x（第三步）15+212x，25212x（第四步）小明解答过程是从第_步开始出错的，其错误原因是 （3）请你写出此题正确的解答过程【答案】（1）242bbcaa；（2）一，方程没有化成一般式；（3）15292x，25292x，正确的解答过程见解析【分析】(1)根据配方法解一元二次方程，即可求得；(2)根据公式法解一元二次方

27、程，即可解答；(3)用公式法解此方程，即可求解【详解】解：（1）当240bac时，由原方程得：2bcxxaa，得2222244bbcbxxaaaa，得222424bbacxaa，故2422bbacxaa，故242bbacxa，故答案为：242bbcaa；（2）由原方程得：2510 xx，1a ，=5b，1c ，小明解答过程是从第一步开始出错的，其错误原因是方程没有化成一般式 故答案为：一，方程没有化成一般式；（3）方程化为2510 xx，1a ，=5b，1c ，22454 1129bac 5292x 15292x，25292x【点睛】本题考查了利用配方法和公式法解一元二次方程，熟练掌握和运用利

28、用配方法解一元二次方程的方法是解决本题的关键 【类型五 一元二次方程的特殊解法十字相乘法】1（2023 秋广东广州九年级校考期末）解方程：2230 xx 【答案】11x ，23x 【分析】根据因式分解法求解即可【详解】解：2230 xx，130 xx，10 x 或30 x ，11x ，23x 【点睛】本题考查了解一元二次方程，常见的解法有：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法，选择合适的解法解方程是解题的关键 2（2023全国九年级专题练习）解方程：24120 xx【答案】126,2xx 【分析】利用因式分解法解方程【详解】解：24120 xx，因式分解得：620 xx，60 x 或20

29、x ，解得：126,2xx 【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键 3（2023陕西西安西安市铁一中学校考模拟预测）解一元二次方程：22520 xx【答案】12x，212x 【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可【详解】解：22520 xx 2210 xx，20 x 或210 x ，解得12x，212x；【点睛】此题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握因式分解法是解题的关键 4（2023 春北京海淀九年级首都师范大学附属中学校考开学考试）解方程：2331xxx 【答案】11=3x,21x 【分析】首先移项并合并同类项，再根据因式分解法求解一元二次方程，即

30、可得到答案【详解】解：2331xxx 23410 xx 3110 xx 11=3x，21x 【点睛】本题考查了一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握因式分解法求一元二次方程的性质，从而完成求解 5（2023全国九年级专题练习）解方程：21 310 xx 【答案】11x ，22x 【分析】利用因式分解法求解即可【详解】解：21 310 xx，21 330 xx ，2320 xx，120 xx，10 x 或20 x ，解得：11x ，22x 【点睛】本题考查解一元二次方程，熟练掌握用因式分解法解一元二次方程是解题的关键 【类型六 一元二次方程的特殊解法换元法】1（2023 春全国八年级专题练习）

31、解下列方程：(1)22202()(7217)10 xxxx ；(2)222234 2350 xxxx【答案】(1)x1 7512，x2 7512，x3 7892，x4 7892(2)12342.510.51xxxx，【分析】（1）利用换元法，先设2 7xxa ，然后根据解一元二次方程的方法，可以得到 a 的值，然后即可得到该方程的解；（2）利用换元法，先设223xxa，然后根据解一元二次方程的方法，可以得到 a 的值，然后即可得到该方程的解【详解】（1）解：2222721710 0 xxxx 设27xxa，则2221100aa 21100aa 210a 或100a ，解得，120.510aa，

32、270.5xx或2710 xx，221410 xx 或27100 xx，解得，x1 7512，x2 7512，x3 7892，x4 7892；（2）解：222234 2350 xxxx 设223xxa，则245 0aa 510aa，50a 或10a ，解得，1251aa，2235xx 或2231xx，22350 xx 或22310 xx，解得，12342.510.51xxxx ，【点睛】本题考查换元法在一元二次方程的求解中的应用，掌握该方法是解题关键 2（2023 春浙江八年级专题练习）请你先认真阅读下列材料，再参照例子解答问题：已知3410 xyxy，求 xy的值；解：设 xyt，则原方程可

33、变形为3410tt 即 220tt 210tt得 12t ，21t 2xy 或1xy 已知22222312xyxy，求22xy的值【答案】6【分析】设22xyt，将方程转化为一元二次方程，再进行求解即可【详解】解：设22xyt，则原方程可变形为2312tt，即 2560tt 160tt，解得：121,6tt；又220 xy 226xy【点睛】本题考查解一元二次方程理解并掌握题目给出的解方程的方法，是解题的关键注意：220 xy 3（2023 秋九年级单元测试）阅读材料，解答问题 解方程：24110 41240 xx 解：把41x 视为一个整体，设41xy，则原方程可化为210240yy 解得1

34、6y，24y 416x 或 414x 174x，254x 以上方法就叫换元法，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想 请仿照材料解下列方程：(1)2354 3530 xx；(2)4260 xx【答案】(1)123x，243x (2)13x，23x 【分析】（1）把35x 看做一个整体，设35xy，则原方程可化为2430yy，123x 243x (2)把2x 看做整体，设2xy，则原方程可化为260yy，解得13x，23x 【详解】（1）解：2354 3530 xx 把35x 看做一个整体，设35xy 则原方程可化为2430yy 解得13y ，21y 353x 或者351x 123x，243x

35、（2）解：4260 xx 把2x 看做整体，设2xy 则原方程可化为260yy 解得13y，22y 13x，23x 【点睛】本题考查了换元法解二元一次方程的方法，熟练运用换元法将次是解题的关键 4（2023 春八年级单元测试）（换元法）解方程：22232380 xxxx（）（）解：设23xxy则原方程可化为2280yy 解得：1224yy，当=2y 时，232xx ，解得1221xx，当4y 时，234xx，解得1241xx，原方程的根是12342141xxxx，根据以上材料，请解方程：(1)222235 2340 xxxx（）（）(2)2263503xxxx 【答案】(1)原方程的根是121

36、,12xx；(2)原方程的根是122,1xx 【分析】(1)设223xxy，则原方程可化为2540yy，解得 y 的值，即可得到原方程的根；(2)设23xxy，则原方程可化为650yy，解得 y 的值，检验后即可得到原方程的根【详解】（1）设223xxy，则原方程可化为2540yy 解得121,4yy 当1y 时，2231xx ，解得121,12xx 当4y 时，2234xx ，方程无解 原方程的根是121,12xx；（2）设23xxy，则原方程可化为650yy 去分母，可得2560yy 解得122,3yy 当=2y 时，232xx ，解得122,1xx 当=3y 时，233xx ，方程无解

37、经检验122,1xx 都是原方程的解 原方程的根是122,1xx 【点睛】本题主要考查了运用换元法解一元二次方程以及分式方程，解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法 【类型七 完全平方式中的配方】1（2023 春陕西咸阳七年级统考期中）如果24xkx是一个完全平方式，那么 k _【答案】4 或 4 【分析】根据完全平方公式2222abaab b即可解答【详解】解：24xkx是一个完全平方式，4kxx，4k ，故答案为4 或 4；【点睛】本题考查了完全平方公式，熟记完全平方公式是解题的关键 2（2023 春全国七年级专题练习）如果424mmK是一个

38、完全平方式，那么K _【答案】4 或34m或616m 【分析】由于424mmK为完全平方公式，则 K 可为平方项，也可为 2 倍乘积项，分情况讨论即可得到答案【详解】解：424mmK是完全平方式，当 K 和4m 为平方项时，即2224mmk，21442K；当4m 和24m 为平方项时，即2222mkm，23224Kmmm ；当24m 和 K 为平方项时，即242Kmm，2631416mKm 故填：4 或34m或616m 【点睛】本题考查完全平方公式的运用，熟练掌握完全平方公式2222abaabb是解题的关键 3（2023 春福建漳州七年级福建省漳州第一中学校考期中）若219xkx是完全平方公式

39、，则k 的值为_【答案】5 或 7 【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可【详解】解：多项式2(1)9xkx 是完全平方式，16k ，解得：5k 或 7，故答案为：5 或 7 【点睛】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键 4（2023 春江苏徐州七年级校考阶段练习）阅读下列材料：教科书中这样写道：“我们把多项式222aabb及222aabb叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法即将多项式2xbxc（b、c 为常数）写成2xhk（h、k 为常数）的形

40、式配方法是一种重要的解决数学问题的方法，不仅可以将有些看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题及求代数式最大、最小值等问题【知识理解】(1)若多项式216xkx是一个完全平方式，那么常数 k 的值为_；A4B8C 8D 16(2)若多项式24xxm是一个完全平方式，那么常数 m 的值为_；(3)配方：226103xxx _；224xx_；【知识运用】(4)通过配方发现，代数式247xx有最小值，则最小值为_；(5)已知22228160mmnnn，则m _，n _【答案】(1)C；(2)4；(3)19，2(1)+3x；(4)3(5)4m ，4n；【分析】（1）根据完全平方公式

41、直接列式求解即可得到答案；（2）根据完全平方公式直接列式求解即可得到答案；（3）根据完全平方公式直接列式求解即可得到答案；（4）根据完全平方公式直接列式求解即可得到答案；（5）根据完全平方公式直接列式求解即可得到答案；【详解】（1）解：多项式216xkx是一个完全平方式，2 48k ，故选：C；（2）解：多项式24xxm是一个完全平方式，2442m，故答案为：4；（3）解：由题意可得，2222610310 3319xxxx，22222421+3(1)+3xxxxx，故答案为：19，2(1)+3x；（4）解：22247(2)74(2)3xxxx，2(2)0 x 2(2)33x，最小值为：3；（5

42、）解：22228160mmnnn，22()(4)0mnn，2()0mn，2(4)0n，0mn，40n，4m ，4n；【点睛】本题考查完全平方公式的应用，解题的关键是熟练掌握222()2mnmmnn 【类型八 判断代数式的正负或求最值】1（2023江苏扬州统考一模）已知2240yx，则222xyx的最小值是（）A8 B 8 C 9 D9【答案】A【分析】由已知得224yx，注意 x 的取值范围，代入222xyx再配方，利用非负数的性质即可求解【详解】解：2240yx，224yx，且240 x 即2x，2222422xyxxxx 244 8xx 228x，220 x，2x 当2x 时，222xyx

43、的最小值是8，故选：A【点睛】本题考查的是配方法的应用，非负数的性质，代数式求值，掌握完全平方公式及确定 x 的取值范围是解决问题的关键 2（2023 春山东威海八年级统考期中）已知226Axxn，2224Bxxn，下列结论正确的是（）A BA的最大值是 0 B BA的最小值是 1 C当2BA时，x 为正数 D当2BA时，x 为负数【答案】B【分析】利用配方法表示出 BA，以及2BA时，用含n 的式子表示出 x，确定 x 的符号，进行判断即可【详解】解：226Axxn，2224Bxxn，2222246BAxxnxxn 2222246xxnxxn 22xx 211x；当1x 时，BA有最小值 1

44、；当2BA时，即：22222426xxnxxn，2222242122xxnxxn，280 xn，0 x，即 x 是非正数；故选项A,C,D错误，选项B 正确；故选 B【点睛】本题考查整式加减运算，配方法的应用熟练掌握合并同类项，以及配方法，是解题的关键 3（2023 春广东清远八年级校考期中）多项式224xx的最小值是_【答案】3【分析】利用完全平方公式把多项式化成一个偶次方加常数的形式，偶次方为 0 时，代数式有最小值【详解】解：224xx 221 3xx 213x，210 x，2133x 224xx的最小值是 3，故答案为：3【点睛】本题考查了配方法的应用，解题的关键是掌握如何化为完全平方

45、式 4（2023 春江苏七年级期中）阅读材料：求248yy的最小值 解：2224844424yyyyy ，220y 即22y 的最小值为 0，248yy的最小值为 4 解决问题：(1)若 a 为任意实数，则代数式221aa 的最小值为 (2)求224xx的最大值(3)拓展：不论 x，y 为何实数，代数式22246xyyx的值 （填序号）A总不小于 1 B总不大于 1 C总不小于 6 D可为任何实数 已知221012610abab，求ab 【答案】(1)2 (2)5(3)A；1 【分析】（1）对式子利用配方法求解即可；（2）对式子利用配方法求解即可；（3）对式子中的 xy，利用配方法求解即可；对

46、式子进行配方，求得ab，的值，然后代入求值即可【详解】（1）解：2222121 1 1(1)2aaaaa ，2(1)0a，221aa 的最小值为 2；故答案为：2；（2）解：22224(2)4(1)5xxxxx ，2(1)0 x，2(1)0 x，2(1)55x，即224xx的最大值为 5；（3）解：2222222464421 12+1+1xyyxxxyyxy ，220 x ，201y ，22246xyyx的最小值为1，故 A 正确 故选：A 221010+261abab，22560ab，50a，60b，5a，6b，561ab 【点睛】本题主要考查了配方法的应用，完全平方公式变形计算，解题的关键

47、是熟练掌握配方法的应用 5（2023 春浙江七年级专题练习）把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法如：用配方法分解因式：243aa，解：原式22=44 1=21aaa =2 12 1=31aaaa 226Maa，利用配方法求 M 的最小值：解：222=26=21 5=15Maaaaa 因为210a，所以当1a 时，M 有最小值 5 请根据上述材料解决下列问题：(1)在横线上添加一个常数，使之成为完全平方式28xx ；(2)用配方法因式分解22412xxyy；(3)若2=421Mxx，求 M 的最小值【答案】(1)16(2)62xyxy(3)54

48、【分析】（1）利用完全平方公式，加上一次项系数一半的平方即可；（2）利用配方法分解因式即可；（3）利用配方法得到215=444Mx，然后根据非负数的性质确定 M 的最小值【详解】（1）解：22284=4xxx，故答案为：16；（2）解：222222412=44412xxyyxxyyyy 22=216xyy=2424xyyxyy=62xyxy；（3）解：221=421=412Mxxxx 2111=4121616xx 211=4144x 215=444x 21404x，当14x 时，M 有最小值54【点睛】本题考查了因式分解配方法等，熟练掌握配方法和平方差公式及完全平方公式是解决问题的关键 【类型

49、九 比较两个代数式的大小】1（2023江苏九年级假期作业）若226Axxy，2411Byx，则 A、B 的大小关系为（）AABBABCABDAB【答案】A【分析】利用做差法求出 AB 22131xy，然后利用偶数次幂的非负性即可得出22131 1 0 xy ，即可得出0AB ，从而得出正确选项【详解】解：2226411ABxxyyx 2222264112611xxyyxxxyy 222221691131xxyyxy 210 x，230y ，22131 1 0 xy ，0AB ，即 AB，故选：A【点睛】本题考查了配方法的应用，考查了通过做差法判断式子的大小，熟练掌握配方法是本题的关键所在 2（

50、2023 春浙江八年级专题练习）若代数式221078Maba，2251Naba，则MN的值（）A一定是负数 B一定是正数 C一定不是负数 D一定不是正数【答案】B【分析】此题可直接用多项式 M 减去多项式 N，然后化简，最后把得出的结果与零比较确定MN的正负【详解】解：由于221078Maba，2251Naba，则222221078(51)9127MNMabaabaaa 291243aa 2(32)3 3a 所以 MN一定是正数 故选：B 【点睛】本题考查了整式的加减，解题的关键是需注意整式的加减运算；另外题中含有的配方得完全平方式的思想，同学们也需要灵活掌握 3（2023江苏九年级假期作业）

51、已知代数式 A3x2x1，B4x23x7，则 AB（填，或）【答案】【分析】先求 A-B 的差，再将差用配方法变形为 AB（x+2）22，然后利用非负数性质求解【详解】解：AB3x2x+1（4x2+3x+7）x24x6（x+2）22，（x+2）20，（x+2）220，AB0，AB，故答案为：23xx 【分析】（1）根据完全平方式的特征求解（2）先配方，再求最值（3）作差后配方比较大小即可【详解】（1）解：2224544 1(2)1xxxxx （2）222242(21 1)2(1)2xxxxx ，2210 x，当10 x 即=1x 时，原式有最小值022 （3）2221(23)21 1(1)1x

52、xxxx ，210 x，2110 x，2123xx 【点睛】本题考查的是配方法的应用，“熟练的利用配方法求解代数式的最值以及比较代数式的值的大小”是解本题的关键 【类型十 利用配方法构造非负数求值】1（2023 春广西贵港七年级统考期末）若22464100 xyxy，则xy 【答案】18【分析】根据乘法公式，配方法，非负性，乘方运算等知识即可求解【详解】解：22464100 xyxy变形得，22(69)(441)0 xxyy，22(3)(21)0 xy，30210 xy，解得，312xy，31128xy ，故答案为：18【点睛】本题主要考查乘法公式，整式的变形，非负性，乘方运算的综合，掌握以上

53、知识的综合运算是解题的关键 1（2023全国九年级假期作业）“20a ”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式，例如：2224544 121xxxxx ，220 x，221 1x ，2451xx 即：245xx 的最小值是 1试利用“配方法”解决下列问题：(1)求代数式246xx 最值；(2)已知224250 xxyy，求 xy的值；(3)比较代数式21x 与23x 的大小【答案】(1)有最小值 2(2)1xy (3)2123xx 【分析】（1）根据完全平方式的特征求解；（2）先配方，再求最值；（3）作差后配方比较大小【详解】（1）解：2224644222xxxxx 故当

54、20 x，即2x 时，代数式246xx 最小值为 2；（2）224250 xxyy，则2244210 xxyy，22210 xy，即20 x，10y ，2x ，1y ，2 1 1xy ；（3）2221232211xxxxx ，210 x，2110 x，2123xx 【点睛】本题考查配方法的应用，正确配方，充分利用平方的非负性是求解本题的关键 3（2023全国九年级假期作业）阅读下列材料，解答问题 材料：求代数式225xx 的最小值 小明同学是这样解答的：2222521 1 514xxxxx 我们把这种解决问题的方法叫做“配方法”问题：(1)请按照小明的解题思路，把解答过程补充完整(2)请运用“

55、配方法”解决问题：若22610340 xyxy，求 yx 的立方根【答案】(1)见解析(2)2 【分析】（1）由无论 x 为何值，210 x得到2144x，从而即可得到答案；（2）将式子化为22350 xy，再根据223050 xy，得到 3050 xy ，计算出 xy、的值，再代入进行计算即可【详解】（1）解：无论 x 为何值，210 x，2144x，即当1x 时，式子214x 有最小值，故代数式225xx 的最小值是；（2）解：22610340 xyxy，226910250 xxyy，即22350 xy，223050 xy，3050 xy ，35xy ，5 38yx ，yx 的立方根是 3

56、82 【点睛】本题主要考查了配方法求解，求立方根，熟练掌握配方法是解题的关键 4（2023 春全国八年级专题练习）先阅读材料，再解决下列问题 例如：用配方法求代数式246xx的最小值 原式2244222xxx 220 x，当2x 时，246xx有最小值是 2 根据上述所用方法，解决下列问题：(1)求代数式2612xx的最小值；(2)若223yxx ，当 x _时，y 有最_值（填“大”或“小”），这个值是_；(3)当a，b，c 分别为 ABC 的三边时，且满足2226108500abcabc时，判断 ABC 的形状并说明理由【答案】(1)3(2)1，大，-2(3)直角三角形，见解析【分析】（1

57、）凑成完全平方加一个数值的形式（2）和（1）类似，凑成完全平方加以一个数值的形式（3）先因式分解，判断字母 a，b，c 三边的关系，再判定三角形的形状【详解】（1）解：22261269 333xxxxx ；2612xx的最小值是 3（2）223yxx ，2212yxx ，212yx ，当1x 的时，y 有最大值 2 故答案为：1，大，2 （3）2226108500abcabc，2226910258160aabbcc，2223540abc，三个完全平方式子的和为 0，所以三个完全平方式子分别等于 0 30a，50b，40c，解得3a ，5b，4c 222345，ABC 是直角三角形【点睛】本题考查了因式分解的应用：利用因式分解的方法把所给的代数式和等式进行变形，然后得到更为简单得数量关系，再根据此关系解决问题