专题13 几何变换之翻折（轴对称）巩固练习（提优）-冲刺2021年中考几何专项复习（解析版）.docx

1、几何变换之翻折（轴对称）巩固练习1已知，在1010网格中建立如图所示的平面直角坐标系，ABC是格点三角形（三角形的顶点是网格线的交点）（1）面出ABC关于y轴对称的A1B1C1；（2）画出A1B1C1向下平移5个单位长度得到的A2B2C2；若点B的坐标为（4，2），请直接写出B2的坐标【分析】（1）分别作出A，B，C 的对应点A1，B1，C1即可（2）分别作出点A1，B1，C1的对应点A2，B2，C2即可【解答】解：（1）如图，A1B1C1即为所求（2）如图，A2B2C2即为所求B2（4，3）【点评】本题考查作图轴对称变换，平移变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题2如图，

2、直线m是ABC中BC边的垂直平分线，点P是直线m上的一动点，若AB6，AC4，BC7，（1）求PA+PB的最小值，并说明理由；（2）求APC周长的最小值【分析】（1）根据线段的性质即可得到结论；（2）根据题意知点C关于直线m的对称点为点B，故当点P与点D重合时，AP+CP值的最小，求出AB长度即可得到结论【解答】解：（1）PA+PBAB6；原因：两点之间，线段最短；（2）m是BC的垂直平分线，点P在m上，点C关于直线m的对称点是点B且PBPC，CABCAP+PC+AC，AC4，要使APC周长最小，即AP+PC最小，当点P是m与AB的交点时，PA+PB最小，即PA+PBAB，此时CABCAB+A

3、C6+410【点评】本题考查了轴对称最短路线问题的应用，解此题的关键是找出P的位置3如图，在ABC中，已知ABAC，AB的垂直平分线交AB于点N，交AC于点M，连接MB（1）若ABC70，则MNA的度数是50（2）若AB8cm，MBC的周长是14cm求BC的长度；若点P为直线MN上一点，请你直接写出PBC周长的最小值【分析】（1）依据ABC是等腰三角形，即可得到ACB的度数以及A的度数，再根据MN是垂直平分线，即可得到ANM的度数，进而得出AMN的度数；（2）依据垂直平分线的性质，即可得到AMBM，进而得出BCM的周长AC+BC，再根据ABAC8cm，MBC的周长是14cm，即可得到BC的长；

4、依据PB+PCPA+PC，PA+PCAC，即可得到当P与M重合时，PA+PCAC，此时PB+PC最小，进而得出PBC的周长最小值【解答】解：（1）ABAC，CABC70，A40，AB的垂直平分线交AB于点N，ANM90，NMA50，故答案为：50；（2）MN是AB的垂直平分线，AMBM，BCM的周长BM+CM+BCAM+MC+BCAC+BC，ABAC8cm，MBC的周长是14cm，BC1486（cm）；当P与M重合时，PBC的周长最小理由：PB+PCPA+PC，PA+PCAC，当P与M重合时，PA+PCAC，此时PB+PC最小值等于AC的长，PBC的周长最小值AC+BC8+614（cm）【点评

5、】本题主要考查了最短路线问题以及等腰三角形的性质，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点4如图，ABC是等边三角形，点C关于AB的对称的点为E，点P是直线EB上的一个动点，连接AP，作APQ60，交射线BC于点Q（1）如图1，连接AQ，求证：APQ为等边三角形；（2）如图2，当点P在线段EB延长线上时，请你补全图形，并写出线段BQ、AB、BP之间的数量关系（无需证明）【分析】（1）如图1中，作BPF60交AB于点F，连接AQ证明PBQPFA（ASA），可得结论（2）结论：BQBP+AB如图2中，在BD上取一点F，使得BFPB，连

6、接AQ证明BPAFPQ（SAS），推出ABQF，可得结论【解答】（1）证明：如图1中，作BPF60交AB于点F，连接AQABC是等边三角形，ABC60，点E与点C关于AB对称，EBACBA60BPF，PFB60PBF是等边三角形，PBPF，AFP120PBQBPQ+QPF60，APF+QPF60，BPQAPF，在PBQ和PFA中，BPQ=APFPB=PFPBQ=PFA，PBQPFA（ASA），PQPA，APQ60，APQ是等边三角形（2）解：补全图形，如图2所示：解：结论：BQBP+AB理由：如图3中，在BD上取一点F，使得BFPB，连接AQFBP60，BFBP，FBP是等边三角形，BPFAP

7、Q60，APBFPQ，PBPF，PAPQ，BPAFPQ（SAS），ABQF，BQBF+FQBP+AB【点评】考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型5国庆期间，广场上对一片花圃做了美化造型（如图所示），整个造型构成花的形状造型平面呈轴对称，其正中间“花蕊”部分（区域）摆放红花，两边“花瓣”部分（区域）摆放黄花（1）两边“花瓣”部分（区域）的面积是2a2+2a2（用含a的代数式表示）（2）已知a2米，红花价格为220元/平方米，黄花价格为180元/平方米，求整个造型的造价（取3）【分析】（1）区域的面积三个正方形

8、的面积+应该半圆的面积（2）分别求出区域，的面积，再乘以单价即可【解答】解：（1）区域的面积2a2+12a22a2+2a2故答案为：2a2+2a2（2）整个造型的造价：220（222-222）+180（222+1222）2960（元）【点评】本题考查轴对称，正方形的性质，代数式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题6如图，在ABCD中，AD的垂直平分线经过点B，与CD的延长线交于点E，AD与BE相交于点O，连接AE，BD（1）求证：四边形ABDE为菱形；（2）若AD8，问在BC上是否存在点P，使得PE+PD最小？若存在，求线段BP的长；若不存在，请说明理由【分析】（1）根据题意

9、得出AODO，ADBE根据平行四边形的性质得出ABCD即可得出ABEBED从而证得AOBDOE（AAS），得到BOEO即可证得四边形ABDE是平行四边形由ADBE，证得四边形ABDE是菱形；（2）作点D关于BC的对称点D，DD交BC于点G，延长EB，过D作DMBE于点M，连接ED交BC于点P，此时PD+PE最小；根据题意得到BODGBMGD即可得到MDDO=12AD4进一步得到BOEOBM通过证得BEPMED，得到BPMD=BEEM=23，进而证得BP=83【解答】（1）证明：BE垂直平分AD，.AODO，ADBE四边形ABCD是平行四边形，ABCDABEBEDAOBDOE，又AODO，AOB

10、DOE（AAS），BOEO又AODO，四边形ABDE是平行四边形ADBE，四边形ABDE是菱形；（2）解：如图所示：作点D关于BC的对称点D，DD交BC于点G，延长EB，过D作DMBE于点M，连接ED交BC于点P，此时PD+PE最小；B0DOBCBGD90，四边形ODGB是矩形BODG同理BMGDMDDO=12AD4又BOEO，BOEOBMEBPM90，BEPMED，BEPMED，BPMD=BEEM=23，BP4=23，即BP=83【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，平行四边形的性质，三角形求得的判定和性质，菱形的判定和性质，轴对称最短路线问题，熟练掌握性质定理是解题的关键7如图，在长方形

11、ABCD中，AB8，AD10，点E为BC上一点，将ABE沿AE折叠，使点B落在长方形内点F处，连接DF，且DF6（1）求证：AFDF（2）求BE的长【分析】（1）由折叠的性质和勾股定理的逆定理证出ADF是直角三角形即可；（2）设BEx，则EFx，DE6+x，EC10x，在RtDCE中，由勾股定理得出方程，解方程即可【解答】（1）证明：将ABE沿AE折叠，使点B落在长方形内点F处，AFAB8，AF2+DF262+82100102AD2，ADF是直角三角形，AFD90AFDF；（2）解：由折叠的性质得：BEFE，BAFE90，又AFD90，AFE+AFD180，点D，F，E在一条直线上，四边形AB

12、CD是矩形，BCAD10，CDAB8，C90，设BEx，则EFx，DE6+x，EC10x，在RtDCE中，由勾股定理得：CE2+CD2DE2，即（10x）2+82（6+x）2解得：x4BE4【点评】本题考查了翻折变换的性质、矩形的性质、勾股定理的逆定理、勾股定理等知识；熟练掌握翻折变换的性质和勾股定理以及逆定理是解题的关键8如图，ABC中，ACB90D是边AB上一点，点D关于直线AC的对称点为E，连接EC并延长EC至点F，且CFEC连接AE，BF（1）依题意补全图形；（2）猜想线段AB，AE，BF的数量关系并证明【分析】（1）根据要求画出图形即可（2）结论：ABAE+BF想办法证明ADAE，B

13、DBF即可【解答】解：（1）图形如图所示：（2）结论：ABAE+BF理由：D，E关于AC对称，DEAC，CECD，AEAD，ECCF，CDCECF，EDF90，EDFD，ACDF，ACB90，ACBC，DFBC，CDCF，CB垂直平分线段DF，BDBF，ABAD+BD，ADAE，BDBF，ABAE+BF【点评】本题考查作图轴对称变换，线段的垂直平分线的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题9如图，在ABC中ABAC，点E在线段BC上，连接AE并延长到G，使得EGAE，过点G作GDBA分别交BC，AC于点F，D（1）求证：ABEGFE；（2）若GD3，CD1，求AB的长

14、度；（3）过点D作DHBC于H，P是直线DH上的一个动点，连接AF，AP，FP，若C45，在（2）的条件下，求AFP周长的最小值【分析】（1）根据AAS证明三角形全等即可（2）求出FG的长，利用全等三角形的性质解决问题即可（3）证明点F与点C关于直线PD对称，推出当点P与D重合时，PAF的周长最小，最小值ADF的周长【解答】（1）证明：如图1中，GDAB，BEFG，在ABE和GFE中，B=EFGAEB=GEFAE=EG，ABEGFE（AAS）（2）解：如图1中，ABAC，BACB，DFAB，DFCB，DFCDCF，DCDF1，DG3，FGDGDF2，ABEGFE，ABGF2（3）解：如图2中，

15、ABAC2，BC45，BAC90，ABFD，FDCBAC90，即FDACACAB2，CD1，DADC，FAFC，CFAC45，AFC90，DFDADC1，AF=2，DHCF，FHCH，点F与点C关于直线PD对称，当点P与D重合时，PAF的周长最小，最小值ADF的周长2+2【点评】本题考查等腰三角形的性质，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称最短问题等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型10如图，在直角坐标系中，A（5，0），B（3，4），C（0，4），点D在OA上，ABD1，BHOA于H（1）判断OAB的形状，并说明理由（2）求点D

16、的坐标（3）若P是BH上的动点，当PCD的周长最小时，求PCD的面积【分析】（1）依据勾股定理即可得到OB的长，依据点A的坐标即可得到OA的长，进而得出AOB是等腰三角形；（2）依据四边形BCOH是矩形，即可得到OHBC3，进而得出AHAOHO2，再根据ABD是等腰三角形，即可得到DH的长，进而得到点D的坐标；（3）连接AC，交BH于P，连接PD，依据PDPA，可得PC+PD+CDPC+PA+CDAC+CD，此时，PCD的周长最小，求得PH=85，再根据SPCDS梯形PHOCSCODSPHD进行计算即可【解答】解：（1）AOB是等腰三角形，理由如下：B（3，4），C（0，4），BCOA，OC4

17、，RtBOC中，OB=32+42=5，A（5，0），OA5，OAOB，即AOB的等腰三角形；（2）如图1，BHAO，BCOA，BHO90COHBCO，四边形BCOH是矩形，OHBC3，AHAOHO2，ABD1，ABOCBD，由BCAO可得3CBD，由（1）可得2ABO，32，ABDB，AHDH2，ODOHDH321，D（1，0）；（3）如图2，连接AC，交BH于P，连接PD，由（2）可得，PDPA，PC+PD+CDPC+PA+CDAC+CD，此时，PCD的周长最小，设AC的解析式为ykx+b（k0），把A（5，0），C（0，4）代入可得，0=5k+b4=b，解得k=-45b=4，直线AC的解析

18、式为y=-45x+4，当x3时，y=85，P（3，85），即PH=85，SPCDS梯形PHOCSCODSPHD=(85+4)32-1241-12852 =425-2-85 =245【点评】本题主要考查了勾股定理、三角形的面积以及最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点11如图，AC为矩形ABCD的对角线，将边AB沿AE折叠，使点B落在AC上的点M处，将边CD沿CF折叠，使点D落在AC上的点N处（1）求证：四边形AECF是平行四边形；（2）若AB6，AC10，求四边形AECF的面积及AE与CF之间的距离【分析】（1）首

19、先由矩形的性质和折叠的性质证得ABCD，ADBC，ANF90，CME90，易得ANCM，由平行四边形的判定定理可得结论；（2）由AB6，AC10，可得BC8，设CEx，则EM8x，CM1064，在RtCEM中，利用勾股定理可解得x，由平行四边形的面积公式可得结果【解答】（1）证明：四边形ABCD是矩形，ADBC，ABCD，CABACD由折叠的性质可得EABEAC，ACFFCD，又CABACD，EACACF，AECF，四边形AECF是平行四边形；（2）解：在RtABC中，AB6，AC10，则根据勾股定理得，BC8AMAB6，CMACAMACAB4设CEx，则BEEM8x，在RtEMC中，利用勾股

20、定理可得EM2+CM2CE2，即（8x）2+42x2，解得x5，故四边形AECF的面积ABCE6530在RtABE中，由勾股定理得AE=35，设AE与CF之间的距离为h，则AEh30，即35h=30，h=25【点评】本题主要考查了折叠的性质、矩形的性质、平行四边形的判定定理和勾股定理等，综合运用各定理是解答此题的关键12问题提出：（1）如图，在ABC中，AD是ABC边BC的高，点E是BC上任意点，若AD3，则AE的最小值为3；（2）如图，在等腰ABC中，ABAC，BAC120，DE是AC的垂直平分线，分别交BC、AC于点D、E，DE1cm，求ABD的周长；问题解决：（3）如图，某公园管理员拟在

21、园内规划一个ABC区域种植花卉，且为方便游客游览，欲在各顶点之间规划道路AB、BC和AC，满足BAC90，点A到BC的距离为2km为了节约成本，要使得AB、BC、AC之和最短，试求AB+BC+AC的最小值（路宽忽略不计）【分析】（1）根据AD是ABC边BC的高，点E是BC上任意点，AD3，即可求AE的最小值；（2）根据ABAC，BAC120，可得BC30，根据DE是AC的垂直平分线，可得ADCD，DACC30，BAD90，根据勾股定理即可求出ABD的周长；（3）延长CB到点D，使得ABDB，延长BC到点E，使得CEAC，连接AD、AE，DE的最小值即为AB+BC+AC的最小值，以DE为斜边向下

22、作等腰直角三角形ODE，以点O为圆心，OD为半径作圆O，180-12DOE135，可得点A在弦DE所对的劣弧，过点A作APDE于P，过点O作OHDE于H，连接OA，则AP2，则AP+OHAO，可得2+x2x，所以DE的最小值为2x【解答】解：（1）AD是ABC边BC的高，点E是BC上任意点，AD3，则AE的最小值为3，故答案为：3；（2）ABAC，BAC120，BC=12（180120）30，DE是AC的垂直平分线，ADCD，DACC30，BADBACDAC1203090，在RtCDE中，DE1cm，ADCD2DE2cm，在RtABD中，BD2AD2CD4（cm），ABADtan6023（cm

23、），ABD的周长为：AD+BD+AB2+4+23=6+23（cm）（3）延长CB到点D，使得ABDB，延长BC到点E，使得CEAC，连接AD、AE，ADBDAB=12ABC，AECCAE=12ACB，AB+BC+ACDB+BC+CEDE，DE的最小值即为AB+BC+AC的最小值DAB+CAE=12（ABC+ACB）=12（180BAC）45，DAEDAB+CAE+BAC135，以DE为斜边向下作等腰直角三角形ODE，以点O为圆心，OD为半径作圆O，EAD180-12DOE135，点A在弦DE所对的劣弧，过点A作APDE于P，过点O作OHDE于H，连接OA，则AP2，设DHx，则DE2x，OHx，OAOD=2x，则AP+OHAO，可得2+x2x，x22-1DE的最小值为2x=42-1=42+4AB+BC+AC的最小值为（42+4）km【点评】本题是轴对称综合题，解决本题的关键是综合掌握线段垂直平分线的性质、等腰直角三角形的性质、含30度角的直角三角形、勾股定理等知识