专题18 全等三角形(解析版).docx

1、专题18 全等三角形 【专题目录】技巧1：全等三角形判定的三种类型技巧2：构造全等三角形的六种常用方法技巧3：证明三角形全等的四种思路【题型】一、全等三角形的性质【题型】二、全等三角形的判定（SSS）【题型】三、全等三角形的判定（SAS）【题型】四、全等三角形的判定（AAS）【题型】五、全等三角形的判定（ASA）【题型】六、全等三角形的判定（HL）【题型】七、全等三角形综合问题【题型】八、角平分线的判定定理【考纲要求】1、了解全等三角形的概念和性质，能够准确地辨认全等三角形中的对应元素2、掌握并能应用“边角边”、“角边角”、“角角边”、“边边边”四种方法判断全等【考点总结】一、全等三角形及其性

2、质全等三角形及其性质全等图形概念能完全重合的图形叫做全等图形. 特征：形状相同。大小相等。对应边相等、对应角相等。全等三角形概念两个能完全重合的三角形叫做全等三角形. 表示方法：全等用符号“”，读作“全等于”。书写三角形全等时，要注意对应顶点字母要写在对应位置上。全等变换定义：只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小的变换。变换方式（常见）：平移、翻折、旋转。全等三角形的性质：对应边相等，对应角相等。【考点总结】二、全等三角形的判定全等三角形的性质与判定概念能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形性质全等三角形的对应边、对应角分别相等判定(1)有三边对应相等的两个三角形全等，简记为(SSS)；

3、(2)有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简记为(SAS)；(3)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简记为(ASA)；(4)有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简记为(AAS)；(5)有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简记为(HL)角平分线角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等； 判定定理：到角两边距离相等的点在角的平分线上三角形中角平分线的性质：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这点到三条边距离相等。【技巧归纳】技巧1：全等三角形判定的三种类型【类型】一、已知一边一角型题型1：一次全等型1如图，在ABC中，D是BC边上一点，连接AD

4、，过点B作BEAD于点E，过点C作CFAD交AD的延长线于点F，且BECF.求证：AD是ABC的中线题型2：两次全等型2如图，CD，ACAD.求证：BCBD.【类型】二、已知两边型题型1：一次全等型3如图，在RtABC中，ACB90，CACB，D是AC上一点，E在BC的延长线上，且AEBD，BD的延长线与AE交于点F，试通过观察、测量、猜想等方法来探索BF与AE有何特殊的位置关系，并说明理由题型2：两次全等型4如图，A，F，E，B四点共线，ACCE，BDDF，AEBF，ACBD.求证：ACFBDE.【类型】三、已知两角型题型1：一次全等型5如图，已知BDCCEB90，BE，CD交于点O，且AO

5、平分BAC，BECD.求证：OBOC.题型2：两次全等型6如图，在ABC与DCB中，AC与BD交于点E，且BACCDB，ACBDBC，分别延长BA与CD交于点F.求证：BFCF.参考答案1证明：BEAD，CFAD，BEDCFD90.又BDECDF，BECF，DBEDCF.BDCD.D是BC的中点，即AD是ABC的中线2证明：过点A作AMBC，ANBD，分别交BC，BD的延长线于点M，N.MN90.ACBADB，ACMADN.在ACM和ADN中，ACMADN(AAS)AMAN，CMDN.在RtABM和RtABN中，RtABMRtABN(HL)BMBN.BMCMBNDN，即BCBD.3解：BFAE

6、.理由如下：ACB90，ACEBCD90.又BCAC，BDAE，RtBDCRtAEC(HL)CBDCAE.又CAEE90，EBFE90.BFE90，即BFAE.4证明：ACCE，BDDF，ACEBDF90.在RtACE和RtBDF中，RtACERtBDF(HL)AB.AEBF，AEEFBFEF，即AFBE.在ACF和BDE中，ACFBDE(SAS)5证明：BDCCEB90，ADOAEO90.AO平分BAC，DAOEAO.在ADO和AEO中，ADOAEO(AAS)ODOE.又CDBE，CDODBEOE，即OCOB.6证明：在ABC和DCB中，ABCDCB(AAS)ACDB.又BACCDB，FAC

7、FDB.在FAC和FDB中，FACFDB(AAS)CFBF.技巧2：构造全等三角形的六种常用方法【类型】一、翻折法1如图，在ABC中，BE是ABC的平分线，ADBE，垂足为D.求证：21C.【类型】二、构造法2如图，在RtABC中，ACB90，ACBC，ABC45，点D为BC的中点，CEAD于点E，其延长线交AB于点F，连接DF.求证：ADCBDF.【类型】三、旋转法3如图，在正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BEDFEF，求EAF的度数【类型】四、平行线法4在ABC中，BAC60，C40，AP平分BAC交BC于点P，BQ平分ABC交AC于点Q，且AP与BQ相交于点O.求证

8、：ABBPBQAQ.【类型】五、倍长中线法5如图，在ABC中，D为BC的中点(1)求证：ABAC2AD；(2)若AB5，AC3，求AD的取值范围【类型】六、截长补短法6如图，ABCD，CE，BE分别平分BCD和CBA，点E在AD上求证：BCABCD.参考答案1证明：如图，延长AD交BC于点F.(相当于将AB边向下翻折，与BC边重合，A点落在F点处，折痕为BE)BE平分ABC，ABECBE.BDAD，ADBBDF90.在ABD和FBD中，ABDFBD(ASA)2DFB.又DFB1C，21C.2证明：如图，过点B作BGBC交CF的延长线于点G.ACB90，2ACF90.CEAD，AEC90，1AC

9、F180AEC1809090.12.在ACD和CBG中，ACDCBG(ASA)ADCG，CDBG.点D为BC的中点，CDBD.BDBG.又DBG90，DBF45，GBFDBGDBF904545.DBFGBF.在BDF和BGF中，BDFBGF(SAS)BDFG.ADCBDF.点拨：本题运用了构造法，通过作辅助线构造CBG、BGF是解题的关键3解：如图，延长CB到点H，使得BHDF，连接AH.ABE90，D90，DABH90.在ABH和ADF中，ABHADF.AHAF，BAHDAF.BAHBAFDAFBAF，即HAFBAD90.BEDFEF，BEBHEF，即HEEF.在AEH和AEF中，AEHAE

10、F.EAHEAF.EAFHAF45.来源:学科网点拨：图中所作辅助线，相当于将ADF绕点A顺时针旋转90，使AD边与AB边重合，得到ABH.4证明：过点O作ODBC交AB于点D，ADOABC.BAC60，C40，ABC80.ADO80.BQ平分ABC，QBC40.AQBCQBC80.ADOAQB.易知DAOQAO，OAOA，ADOAQO.ODOQ，ADAQ.又ODBP，PBODOB.又PBODBO，DBODOB.过点D作DMBQ，DMBDMO90.又DMDM，DMBDMO.BDOD.BDOQ.BAC60，ABC80，BQ平分ABC，AP平分BAC，BAP30，ABQ40，BOP70.BAP30

11、，ABC80，APB70.BOPAPB，过点B作BNOP，BNOBNP90，又BNBN，BNOBNP.BOBP.ABBPADDBBPAQOQBOAQBQ.5(1)证明：延长AD至点E，使DEAD，连接BE.D为BC的中点，CDBD.又ADED，ADCEDB，ADCEDB.ACEB.ABBEAE，ABAC2AD.(2)解：ABBEAEABBE，ABAC2ADABAC.AB5，AC3，22AD8.1AD4.点拨：本题运用了倍长中线法构造全等三角形，将证明不等关系和求线段取值范围的问题转化为证全等，从而利用全等三角形的性质解决问题6证明：方法一：如图，在BC上取一点F，使BFBA.连接EF.CE，B

12、E分别平分BCD和CBA，34，12.在ABE和FBE中，ABEFBE(SAS)A5.ABCD，AD180.而56180，6D.在EFC和EDC中，EFCEDC(AAS)，FCDC.BCBFCFABCD.方法二：如图，分别延长BA，CE交于点F.ABCD，ABCBCD180.CE，BE分别平分BCD和CBA，12ABC，34BCD.23(ABCBCD)90.BEC90.BEFBEC90.在BEC和BEF中，BECBEF(ASA)BCBF，ECEF.ABCD，7D，F4.在EAF和EDC中，EAFEDC(AAS)FACD.BCBFBAAFABCD.点拨：本题运用了两种不同的方法解题，方法一是截长

13、法，方法二是补短法，这两种方法都是证明线段和、差或不等关系的常用方法，用这两种方法解题的关键是通过截长法或补短法构造全等三角形，将分散的和差线段转化为同一直线上的和差线段技巧3：证明三角形全等的四种思路【类型】一、条件充足时直接用判定方法1(2014武汉)如图，AC和BD相交于点O，OAOC，OBOD.求证：ABCD.【类型】二、条件不足时添加条件再用判定方法2如图，点A，F，C，D在一条直线上，AFDC，BCEF，请只补充一个条件，使得ABCDEF，并说明理由【类型】三、非三角形问题中构造全等三角形用判定方法3如图，在四边形OACB中，CMOA于M，12，CACB.求证：(1)34180；(

14、2)OAOB2OM.【类型】四、实际问题中建立全等三角形模型用判定方法4如图，要测量AB的长，因为无法过河接近点A，可以在AB所在直线外任取一点D，在AB的延长线上任取一点E，连接ED和BD，并且延长BD到G，使DGBD，延长ED到F，使DFED，连接FG，并延长FG到H，使H、D、A在一条直线上，则HGAB，试说明理由参考答案1证明：在AOB和COD中，AOBCOD.AC.ABCD.2解：补充条件：EFBC，可使得ABCDEF.理由如下：AFDC，点A，F，C，D在一条直线上，AFFCDCFC，即ACDFBCEF，EFDBCA.在DEF和ABC中，DEFABC(SAS)点拨：答案不唯一3证明

15、：如图，过C点作CEOB，交OB的延长线于E点(1)CMOA，CEOE，OECOMC90，在OEC和OMC中，OECOMC(AAS)CECM，又CACB，RtBCERtACM(HL)3CBE，34CBE4180.(2)由(1)知OCEOCM，RtBCERtACM，OEOM，BEAM，OAOBOMAMOBOMBEOBOMOE2OM.4解：在DEB和DFG中，DBDG，BDEGDF，DEDF，DEBDFG(SAS)EF，AEFH，DBADGH.又DBDG，ADBHDG.ADBHDG(ASA)，ABHG.【题型讲解】【题型】一、全等三角形的性质例1、如图所示，ABDCDB，下面四个结论中，不正确的是

16、（）AABD和CDB的面积相等BABD和CDB的周长相等CA+ABDC+CBDDADBC，且ADBC【答案】C【分析】通过全等三角形的性质进行逐一判断即可【详解】A、ABDCDB，ABD和CDB的面积相等，故本选项错误；B、ABDCDB，ABD和CDB的周长相等，故本选项错误；C、ABDCDB，AC，ABDCDB，A+ABDC+CDBC+CBD，故本选项正确；D、ABDCDB，ADBC，ADBCBD，ADBC，故本选项错误；故选：C【题型】二、全等三角形的判定（SSS）例2、如图，在四边形中，点E，F分别在，上，求证：【答案】见解析【分析】连接AC，证明ACEACF，得到CAE=CAF，再利用

17、角平分线的性质定理得到CB=CD【详解】解：连接AC，AE=AF，CE=CF，AC=AC，ACEACF（SSS），CAE=CAF，B=D=90，CB=CD【题型】三、全等三角形的判定（SAS）例3、如图，已知，求证：（1）；（2）【答案】（1）证明见详解；（2）证明见解析【分析】（1）先由平行线的性质得B=C，从而利用SAS判定ABFDCE；（2）根据全等三角形的性质得AFB=DEC，由等角的补角相等可得AFE=DEF，再由平行线的判定可得结论【详解】证明：（1）ABCD，B=C，BE=CF，BE-EF=CF-EF，即BF=CE，在ABF和DCE中， ABFDCE（SAS）；（2）ABFDCE

18、，AFB=DEC，AFE=DEF，AFDE【题型】四、全等三角形的判定（AAS）例4、如图，AC是BAE的平分线，点D是线段AC上的一点，CE，ABAD求证：BCDE【答案】见解析【分析】根据角平分线的性质证明BACDAE，即可得到结果；【详解】证明：AC是BAE的平分线，BACDAE，CE，ABADBACDAE（AAS），BCDE【题型】五、全等三角形的判定（ASA）例5、如图，ABAC，ABAC，ADAE，且ABDACE.求证：BDCE.【答案】见解析.【分析】先求出CAEBAD再利用ASA证明ABDACE，即可解答【详解】ABAC，ADAE，BAE+CAE90，BAE+BAD90，CAE

19、BAD.又ABAC，ABDACE，ABDACE(ASA).BDCE.【题型】六、全等三角形的判定（HL）例6、如图，BE，BFEC，ACDF求证：ABCDEF【答案】证明见解析【分析】首先利用平行线的性质得出ACBDFE，进而利用全等三角形的判定定理ASA，进而得出答案【详解】证明：ACDF，ACBDFE，BFCE，BCEF，在ABC和DEF中，ABCDEF（ASA）【题型】七、全等三角形综合问题例7、如图 AB=AC，CDAB于D，BEAC于E，BE与CD相交于点O（1）求证AD=AE；（2）连接OA，BC，试判断直线OA，BC的关系并说明理由【答案】（1）证明见解析；（2）互相垂直，证明见

20、解析【分析】（1）根据AAS推出ACDABE，根据全等三角形的性质得出即可；（2）证RtADORtAEO，推出DAO=EAO，根据等腰三角形的性质推出即可【详解】（1）证明：CDAB，BEAC，ADC=AEB=90，ACD和ABE中，ACDABE（AAS），AD=AE（2）猜想：OABC证明：连接OA、BC，CDAB，BEAC，ADC=AEB=90在RtADO和RtAEO中，RtADORtAEO（HL）DAO=EAO，又AB=AC，OABC【题型】八、角平分线的判定定理例8、如图，RtABC中，C=90，AD平分BAC，交BC于点D，AB=10，SABD=15，则CD的长为（）A3B4C5D6

21、【答案】A【详解】作DEAB于E，AB=10，SABD =15，DE=3，AD平分BAC,C=90，DEAB，DE=CD=3，故选A.全等三角形（达标训练）一、单选题1如图，平行四边形中，点在上，且，则的度数是（）ABCD【答案】A【分析】由平行四边形的性质得出AD/CB，ADC+C= 180，得出D，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出DAE的度数【详解】四边形ABCD是平行四边形，ADCB，ADC+C= 180， D= 180-C= 80D=180- 100= 80AE= AD，D=AED=80DAE= 180- 80 2= 20故答案为：A【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质，等腰

22、三角形的性质，三角形和内角和定理等知识；关键是掌握平行四边形对边平行，对角相等2如图，在Rt中，为上一点且于，连结，则（）ABCD【答案】D【分析】设 ,根据求出FC、BC的长，由此得解.【详解】解：设，则AB=5x，,AFE=,，x，在RtBCF中，C=90，.故选：D.【点睛】此题考察三角函数，角所对的直角边等于斜边的一半，勾股定理，此题根据设未知数是解题的关键.3如图，在中，DE垂直平分BC，若，则的度数为（）ABCD【答案】A【分析】直接利用线段垂直平分线的性质结合三角形内角和定理得出答案【详解】解：DE垂直平分BC，BD=DC，BDE=CDE=64，ADB=180-64-64=52，

23、A=28，ABD=180-28-52=100故选：A【点睛】此题主要考查了线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理，正确掌握相关定理是解题关键4在ABC中，AB=AC，B=70，则A=（）A40B70C50D60【答案】A【分析】根据等腰三角形的性质即可得到结论【详解】解：AB=AC，B=70，C=B=70，A=180-70-70=40，故选：A【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键5如图，点是的垂直平分线与边的交点，作于点，若，则的度数为（）ABCD【答案】B【分析】首先根据线段垂直平分线性质定理可得，其次根据等边对等角可得，再根据角的差可得。进而利用互余进行

24、计算即可【详解】点是的垂直平分线与边的交点，故选：B【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，直角三角形两锐角互余，等腰三角形的性质与判定，根据角的差可得是解本题的关键二、填空题6如图，以RtABC的斜边BC为一边在ABC的同侧作正方形BCEF，设正方形的中心为O，连接AO，如果AB4，AO6，那么BC_【答案】【分析】在AC上截取CG=AB=4，连接OG，推出ABO=ACO，证BAOCGO，推出OG=，AOB=COG，CG=AB=4，得出等腰直角三角形AOG，根据勾股定理求出AG，即可求出AC，再由勾股定理即可求出BC【详解】在AC上截取CG=AB=4，连接OG，四边形BCEF是正方形，BAC

25、=90，OB=OC，BAC=BOC=90，OBA+OBC+ACB=90，OBC+ACB+ACO=90，ABO=ACO，BAOCGO（SAS），OG=，AOB=COG，CG=AB=4，BOC=COG+BOG=90，AOG=AOB+BOG=90，AOG是等腰直角三角形，由勾股定理得：AG=12，即AC=12+4=16，BC，故答案为：【点睛】本题主要考查对勾股定理、正方形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，能熟练地运用这些性质进行推理和计算是解此题的关键7已知边长为4的等边，D，E，F分别为边，的中点，P为线段上一动点，则的最小值为_【答案】4【分析】连

26、接，设交于点J，根据等边三角形的性质及中位线的性质得出， ，由三角形三边关系即可得出结果【详解】解：如图，连接，设交于点J，是等边三角形，D、E、F分别为边、的中点， ，是线段的垂直平分线，的最小值为4，故答案为：4【点睛】本题主要考查等边三角形的性质及中位线的性质，三角形的三边关系等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键三、解答题8如图，在等边中，点是内一点，点是外一点，连接、，其中，试判断的形状并证明你的结论【答案】等边三角形，证明见解析【分析】由是等边三角形，可得，利用，即可得出，即可得，结合等边三角形的性质可得，即可得出是等边三角形【详解】解：为等边三角形 证明：是等边三角形，在和中

27、，(SAS)，即是等边三角形【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质及等边三角形的判定及性质，解题的关键是得出全等三角形（提升测评）一、单选题1如图，将ABC绕点A逆时针旋转40得到ADE，其中点D恰好落在BC边上，则ADE等于（）ABCD【答案】D【分析】由将ABC绕点A逆时针旋转40得到ADE，可得AB=AD，BAD=40，继而求得B的度数，然后由旋转的性质，可求得ADE的度数【详解】解：将ABC绕点A逆时针旋转40得到ADE，AB=AD，BAD=40，B=ADB=70，ADE=B=70故选：D【点睛】此题考查了旋转的性质以及等腰三角形的性质注意掌握旋转前后图形的对应

28、关系是关键2如图，在中，BE平分交AD于E，CF平分交AD于F，则EF等于（）A1B1.5C2D3【答案】D【分析】根据平行四边形的性质可得AEB=CBE，CFD=BCF，再由BE平分，CF平分，可得ABE=CBE，BCF=DCF，从而得到ABE=AEB，CFD =DCF，进而得到AE=AB=5，DF=CD=5，进而得到DE=2，即可求解【详解】解 在中，ADBC，AB=CD=5，AEB=CBE，CFD=BCF，BE平分，CF平分，ABE=CBE，BCF=DCF，ABE=AEB，CFD =DCF，AE=AB=5，DF=CD=5，BC=7，DE=2，EF=DF-DE=3故选：D【点睛】本题主要考

29、查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握平行四边形的性质，等腰三角形的判定是解题的关键3如图，已知ABCD，若使ABCDCB，则不能添加下列选项中的（）AABCDCBBBOCOCAODODAD【答案】D【分析】根据三角形全等的判定条件对各选项进行判断即可【详解】解：由题意知，A中，根据边角边，得到，故不符合题意；B中，则由等边对等角可得，根据边角边，得到，故不符合题意；C中AODO，则，由等边对等角可得，根据边角边，得到，故不符合题意；D中无法证明，故符合题意；故选D【点睛】本题考查了三角形全等的判定解题的关键在于熟练掌握三角形全等的判定条件4如图，在边长为的正方形中，是边的中点，是边

30、上的一个动点不与重合，以线段为边在正方形内作等边，是边的中点，连接，则在点运动过程中，的最小值是（）ABCD【答案】C【分析】连接AM，在点运动过程中，点M在EAF的平分线上，所以当AMPM时，PM取得最小值，根据等边三角形的性质得到AMEF，EAM=30，求得PAM=60，进而即可得到PM最小值【详解】解：P是边AD的中点，AD=6，AP=3，如图，连接AM，等边，是边的中点，AM平分EAF，在点运动过程中，点M在EAF的平分线上，当AMPM时，PM取得最小值，是等边的边的中点，PMAM， EAM=30，PAM=60，PM=AP=，故选：C【点睛】本题考查了正方形的性质，垂线段最短，等边三角

31、形的性质，推出在点E运动过程中，点M在EAF的平分线上，是解题的关键5如图，点为的内心，点，分别为，上的点，且甲、乙、丙三人有如下判断：甲：；乙：四边形的面积为定值；丙：当时，的周长有最小值则下列说法正确的是（）A只有甲正确B只有乙错误C乙、丙都正确D只有丙错误【答案】D【分析】过点O作ODBC，OEAB于点D，E，连接OB，根据三角形内心可得OD=OE，然后证明RtDONRtEOM（HL），得DON=EOM，因为B=60，所以DOE=120，即可得MON=EOM+EON=DON+EON=DOE=120；根据RtDONRtEOM，可得四边形OMBN的面积=2SBOD，根据点D的位置固定，可得四

32、边形OMBN的面积是定值；过点O作OFMN于点F，根据ON=OM，MON=120，可得ONM=30，MN=2NF=2ONcos30=ON，所以MON的周长=（+2）ON，可得当ON最小时，即当ONBC时，MON的周长最小值，进而可做出判断【详解】解：如图，过点O作ODBC，OEAB于点D，E，连接OB，ODN=OEM=90，点O为ABC的内心，OB是ABC的平分线，OD=OE，在RtDON和RtEOM中，RtDONRtEOM（HL），DON=EOM，B=60，DOE=120，MON=EOM+EON=DON+EON=DOE=120所以甲的判断正确；RtDONRtEOM，四边形OMBN的面积=2S

33、BOD，点D的位置固定，四边形OMBN的面积是定值，所以乙的判断正确；如图，过点O作OFMN于点F，ON=OM，MON=120，ONM=30，MN=2NF=2ONcosONM=2ONcos30=ON，MON的周长=MN+2ON=ON+2ON=（+2）ON，当ON最小时，即当ONBC时，MON的周长取得最小值，丙的判断错误综上所述：判断正确的是甲、乙，判断错误的是丙故选：D【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心，角平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定与性质，垂线段最短问题，解直角三角形，解决本题的关键是掌握三角形内心定义二、填空题6如图，在RtABC中，ACB90，A30，AB

34、6，按以下步骤作图：以B为圆心，任意长为半径作弧，分别交BA、BC于点E、F；分别以E、F为圆心，以大于EF的长为半径作弧，两弧相交于点P；作射线BP，交边AC于D点则点D到AB的距离为_【答案】【分析】题目所描述的是角平分线的画法，过点D作于H，证明，得，在中算出CD即可【详解】过点D作于H由得：在中，在中，故答案为：【点睛】本题考查角平分线，特殊直角三角形；熟练掌握特殊直角三角形的三边关系是本题关键三、解答题7如图，在四边形中，点在边上，作交线段于点，连接，求证：【答案】证明见解析【分析】根据题意得到四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质得到，根据平行线的性质及等腰三角形的性质推出，即可利用证明【详解】，四边形是平行四边形，在和中，【点睛】此题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定，熟记平行四边形的判定与性质是解题的关键