专题18 数列求和（教师版）.docx

1、专题18 数列求和（核心考点精讲精练）1. 近几年真题考点分布数列近几年考情考题示例考点分析关联考点2021年全国乙（文科），第19题,12分1、求等比数列的通项公式，等差中项的应用2、错位相减求前项和2021年全国乙（理科），第19题,12分1、证明等差数列2、求通项公式2021年全国甲（文科），第17题,12分证明等差数列2021年全国甲（文科），第9题,5分等比数列通项公式基本量计算，求前项和2021年全国甲（理科），第18题,12分证明等差数列，等差数列的应用求前项和，由前项和求通项2021年全国甲（理科），第7题,5分判断数列的增减性判断充分性与必要性2022年全国乙（理科），第8题

2、,5分2022年全国乙（文科），第10题,5分等比数列通项公式基本量计算，求数列的项2022年全国甲（理科），第17题,12分2022年全国甲（文科），第17题,12分1、递推公式证明等差数列2、等比中项的应用，求前项和2023年全国乙（文科），第18题,12分1、利用定义求等差数列通项公式，等差数列基本量的计算2、含绝对值的等差数列求前项和2023年全国乙（理科），第15题,5分等比数列通项公式基本量计算2023年全国乙（理科），第10题,5分等差数列求通项公式，数列周期性余弦函数，集合元素互异性2023年全国甲（文科），第5题,5分等差数列性质计算，求前项和2023年全国甲（理科），第5题

3、,5分等比数列前项和2. 命题规律及备考策略【命题规律】1.本节为高考必考内容，各种题型均有出现； 2.考查数列的增减性、周期性； 3.考查等差、等比数列基本量的计算，等差、等比中项的应用； 4.考查由递推公式证明等差、等比数列； 5.考查求等差、等比数列的通项公式与前项和；【备考策略】1.熟练掌握等差、等比数列的前项和公式.2.掌握分组求和法求前项和. 3.掌握错位相减法求前项和 4.掌握裂项相消法求前项和 5.掌握倒序相加法求前项和 6.掌握并项求和法求前项和 【命题预测】1.考查数列的增减性、周期性； 2.考查等差、等比数列基本量的计算，等差、等比中项的应用； 3.考查由递推公式证明等差

4、、等比数列； 4.考查求等差、等比数列的通项公式与前项和；知识讲解一、公式法求前项和(1)公差为的等差数列的前项和公式(2)公比为的等比数列的前项和公式.二、分组求和法求前项和若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或其他可求和的数列组成,则求和时可用分组求和法,分别求和后再相加减.分组转化法求和的常见类型（1）若，且为等差数列或等比数列,则可采用分组求和法求数列的前项和.（2）通项公式为的数列,其中是等比数列或等差数列,可采用分组求和法求和.提醒:某些数列的求和是将数列转化为若干个可求和的新数列的和或差,从而求得原数列的和,注意在含有字母的数列中对字母的讨论.三、错位相减法求前项和如

5、果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的,那么这个数列的前项和可用此法来求,如等比数列的前项和就是用此法推导的.四、裂项相消法求前项和用裂项法求和的裂项原则及规律（1）裂项原则:一般是前边裂几项,后边就裂几项,直到发现被消去项的规律为止.（2）消项规律:消项后前边剩几项,后边就剩几项,前边剩第几项,后边就剩倒数第几项.，将通项裂项后,有时需要调整前面的系数,使裂开的两项之差和系数之积与原通项相等,如:，简记为五、倒序相加法求求前项和如果一个数列,首末两端等“距离”的两项的和相等,那么求这个数列的前项和可用倒序相加法,如等差数列的前项和即是用此法推导的.把数列的通项拆成两

6、项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从而求得其和.六、并项求和法求前项和一个数列的前项和中,可两两结合求解,则称之为并项求和.形如类型,可采用两项合并求解.考点一、用等差、等比数列求和公式法求前项和1（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标）记为等差数列的前n项和若，则 【答案】【分析】因为是等差数列，根据已知条件，求出公差，根据等差数列前项和，即可求得答案.【详解】是等差数列，且，设等差数列的公差根据等差数列通项公式：，可得即：，整理可得：,解得：根据等差数列前项和公式：可得：.【点睛】本题主要考查了求等差数列的前项和，解题关键是掌握等差数列的前项和公式，考查了分析能力和计算能

7、力，属于基础题.2（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷）等差数列的前项和为，则 【答案】【详解】设等差数列的首项为，公差为，由题意有 ，解得 ，数列的前项和，裂项可得，所以点睛:等差数列的通项公式及前项和公式，共涉及五个量，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题数列的通项公式和前项和公式在解题中起到变量代换作用，而和是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用得方法使用裂项法求和时，要注意正、负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点3（2023年新课标全国卷数学真题）记为等比数列的前n项和，若，则（）

8、A120B85CD【答案】C【分析】方法一：根据等比数列的前项和公式求出公比，再根据的关系即可解出；方法二：根据等比数列的前项和的性质求解【详解】方法一：设等比数列的公比为，首项为，若，则，与题意不符，所以；若，则，与题意不符，所以；由，可得，由可得，解得：，所以方法二：设等比数列的公比为，因为，所以，否则，从而，成等比数列，所以有，解得：或，当时，即为，易知，即；当时，与矛盾，舍去【点睛】本题主要考查等比数列的前项和公式的应用，以及整体思想的应用，解题关键是把握的关系，从而减少相关量的求解，简化运算1（2020年新高考全国卷数学高考试题（山东卷）将数列2n1与3n2的公共项从小到大排列得到数

9、列，则的前项和为 【答案】【分析】首先判断出数列与项的特征，从而判断出两个数列公共项所构成新数列的首项以及公差，利用等差数列的求和公式求得结果.【详解】因为数列是以1为首项，以2为公差的等差数列，数列是以1首项，以3为公差的等差数列，所以这两个数列的公共项所构成的新数列是以1为首项，以6为公差的等差数列，所以的前项和为，故答案为：.【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有两个等差数列的公共项构成新数列的特征，等差数列求和公式，属于简单题目.2（2023年辽宁省模拟考试数学试题）记等差数列的前项和为，已知，(1)求的通项公式；(2)求以及的最小值【答案】(1)；(2)，的最小值为.【

10、分析】（1）根据给定条件，求出公差，再求出通项作答.（2）由（1）结合等差数列前n项和公式求解作答.【详解】（1）设等差数列的公差为，由，得，解得，于是，所以数列的通项公式是.（2）由（1）知，显然，当且仅当时取等号，所以，的最小值为.3（2023年江西省模拟数学试题）在数列中，若数列为等差数列，则 .【答案】【分析】先利用等差数列通项公式求出，从而求得，然后利用等比数列前n项和公式求解即可.【详解】设等差数列的公差为，由，知，所以，即，所以，解得，所以，所以.4已知公差不为0的等差数列的前项和为，且，成等比数列.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和.【答案】(1)；(2).【分析

11、】(1)设等差数列的公差为，根据题意列出关于和的方程组求解即可；(2)证明是等比数列，根据等比数列前项和公式即可求解.【详解】（1）设等差数列的公差为，成等比数列，解得；（2）由(1)得，是首项为4，公比为4的等比数列，.考点二、分组求和法求前项和1已知数列，满足 （1）求数列的通项公式（2）求数列的前项和【详解】（1），（2）令，.2（2023届广东省二模数学试题）设是数列的前n项和，已知，.(1)求，；(2)令，求.【答案】(1);(2)【分析】（1）根据递推关系即可联立求解，（2）根据偶数项和奇数项的关系可得，进而根据分组求和即可.【详解】（1）由得即，即，又，所以，（2）当时，当时，两

12、式相加可得，得，由于，所以 .3设是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且，(1)求，的通项公式；(2)若数列，求前项和【详解】（1）设的公差为，的公比为，由题意知，解得，所以，.（2）所有奇数项构成首项为1，公差为4项数为的等差数列；所有偶数项构成首项为2，公比为4项数为的等比数列； .综上，.4（2020年江苏省高考数学试题）设是公差为的等差数列，是公比为的等比数列已知数列的前项和，则的值是 【答案】【分析】结合等差数列和等比数列前项和公式的特点，分别求得的公差和公比，由此求得.【详解】设等差数列的公差为，等比数列的公比为，根据题意.等差数列的前项和公式为，等比数列的前项和公式为，依题意，

13、即，通过对比系数可知，故.【点睛】本小题主要考查等差数列和等比数列的前项和公式，属于中档题.1在数列中，.(1)设，求证：数列是等比数列；(2)求数列的前项和.【答案】(1)证明见解析；(2)数列的前项和为.【分析】（1）由条件证明对于任意的，为常数即可.（2）结合（1）的结论求得数列的通项公式，再由分组求和法求和.【详解】（1）由已知又，所以，因为，所以，又所以，因为，所以，所以，所以数列是首项为1，公比为4的等比数列（2）由（1），可知，所以数列的通项公式为设数列的前项和为，则，所以，所以，所以数列的前项和为.2已知数列是由正数组成的等比数列，且，.(1)求数列的通项公式；(2)设数列满足

14、，求数列的前n项和.【详解】（1）设等比数列的公比为，由，得，是由正数组成的等比数列，则，则，解得或（舍），又，所以，解得，所以.（2），所以.3已知数列的首项，且满足(1)证明：是等比数列；(2)求数列的前n项和【答案】(1)证明见解析；(2)【分析】（1）将已知条件转化为，由此证得数列是等比数列.（2）利用分组求和法求得.（1）由，得， 又，故， 故，所以， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列（2）由（1）可知，所以，所以考点三、错位相减法求前项和1（全国甲卷理科数学试题）设为数列的前n项和，已知(1)求的通项公式；(2)求数列的前n项和【答案】(1)；(2)【分析】（1）根据即可求出；

15、（2）根据错位相减法即可解出【详解】（1）因为，当时，即；当时，即，当时，所以，化简得：，当时，即，当时都满足上式，所以（2）因为，所以，两式相减得，即，2已知数列的前项和为，当时，.(1)求；(2)设数列的前项和为，若恒成立，求的取值范围.【答案】(1)；(2)【分析】（1）将代入化简可得为等差数列，进而可得结果；（2）利用错位相减法求出，再利用分离参数的思想即可得结果.【详解】（1）当时，所以，整理得：，即.所以数列是以为首项，1为公差的等差数列.所以，即.（2）由（1）知，所以，所以，-得，所以，所以，所以，即，即，因为，当且仅当时，等号成立，所以.3（2023届北京市清华大学诊断性测试

16、数学（理）试题）已知数列的前n项和为，在数列中，(1)求数列，的通项公式；(2)设，为数列的前n项和，求的最值【答案】(1)，；(2)最小值为，最大值为1【分析】（1）利用累加法和等差数列的通项公式可求，由及可求；（2）利用错位相减法求出，分情况讨论可得答案.【详解】（1）由已知得，当时.当时，也满足上式所以当时，当时，符合上式当时，所以，也符合上式，综上，.（2）由（1）可得：两式相减：当n为奇数时，不妨设，则单调递减，当n为偶数时，不妨设，则单调递增，的最小值为，最大值为1.4已知数列的前项和为，且满足：. (1)求证：数列为常数列；(2)设，求.【详解】（1）由，当时，当时，两式相减得，

17、即，所以，所以，当时，上式也成立，所以数列为常数列；（2）由（1）得，所以，两式相减得.1已知数列的前项和为，满足（1）求证数列为等差数列（2）令求数列的前项和.【详解】（1），数列为以5为首项，1为公差的等差数列（2）两式相减得.2已知数列是等差数列，满足 （1）求数列的通项公式（2）求数列的前项和.【详解】（1）（2）两式相减得.3已知等比数列满足.(1)求的通项公式;(2)设,求数列的前项和.【详解】（1）设的公比为，由,得，即,解得，所以.（2），两式相减得，解得.4已知数列 中 ，.(1)求证：是等比数列；(2)若数列满足，求数列的前项和.【详解】（1）因为，所以，又，所以，所以数列

18、是以1为首项，2为公比的等比数列（2）由(1)知 ，因为，所以，所以 ， ，两式相减，得 ，所以 .5已知数列的前项和为，若，且，(1)求数列的通项公式；(2)若数列满足，若的前项和恒成立，求整数的最小值【详解】（1），为首项，公差的等差数列，当时，因此（2）两式相减得，又，所以整数的最小值为2考点四、裂项相消法求前项和1已知，则（）ABCD【答案】A【分析】根据给定和式，探求其通项的表达式，再利用裂项相消法求和即可得解.【详解】依题意，所求和式的通项是，因，于是得，当时，所以.2已知数列的前项和为，数列是以为首项，公差为的等差数列，且成等比数列.（1）求证数列和数列的通项公式（2）求数列的前

19、项和.【详解】（1），（2）.3（2023届东北三省联合模拟考试数学试题）已知等差数列的首项，记的前n项和为，.(1)求数列的通项公式；(2)若数列公差，令，求数列的前n项和.【答案】(1)或；(2)【分析】（1）根据题意结合等差数列的通项公式运算求解；（2）根据题意可得，利用裂项相消法求和【详解】（1）由题意可得：，整理得，则可得或，故或.（2），由（1）可得，则，故所以.4数列满足：，(1)求数列的通项公式；(2)设，为数列的前n项和，若恒成立，求实数m的取值范围【答案】(1)，；(2)或【分析】（1）根据递推关系得，再验证满足条件即可求得答案；（2）由（1）知，再结合裂项求和与数列的单调

20、性得，再解不等式即可.【详解】（1）解：当，得（*）在中令，得，也满足（*），所以，（2）解：由（1）知，故，于是，因为随的增大而增大，且恒小于1，所以，解得或所以实数的取值范围是或.1已知数列满足.（1）求证数列的通项公式（2）求数列的前项和，并求证.【详解】（1）（2）.2已知幂函数过点，令，求数列的前项和.【详解】，.3已知等差数列的前项和为且公差为，满足，成等比数列.（1）求证数列的通项公式（2）求数列的前项和，并求证.【详解】（1），（2）.4已知数列满足的前项和满足：（1）求；（2）令求数列的前项和【详解】（1）;（2）解释计算：.考点五、并项求和法求前项和1（2023年重庆市模拟

21、数学试题）已知数列满足，为数列的前项和，则下列说法错误的是（）ABCD的最大值为【答案】B【分析】根据递推关系式可求得为奇数和为偶数时的通项公式，进而确定，知AB正误；由可确定C正确；分别讨论和时，的通项公式，结合二次函数性质可确定D正确.【详解】对于A，当为奇数时，又，则，A正确；对于B，当为偶数时，又，；由A知：当为奇数时，；则当为偶数时，；当为奇数时，；，B错误；对于C，C正确；对于D，当时，当为偶数时，；当为奇数时，；当时，当为偶数时，；当为奇数时，；综上所述：，D正确.【点睛】关键点点睛：本题考查根据数列递推关系式求解通项公式、前项和的问题，解题关键是能够根据递推关系式确定数列奇偶项

22、所满足的关系，进而通过对于的取值的讨论求得通项公式.2已知数列的前项和为，满足.（1）求证数列的通项公式（2）若数列满足，求数列的前项和.【详解】（1）（2）.3（2023年云南省模拟测试数学试题）设数列的前项和为，已知.(1)证明：数列是等比数列；(2)若数列满足求数列的前20项的和.【答案】(1)证明见解析；(2)【分析】（1）直接利用递推关系和构造新数列的方法，求出数列是等比数列；（2）利用（1）的结论，进一步利用分组法求出数列的和【详解】（1）数列的前项和为，已知，当时，解得，故，-得：，即，故，故数列是以1为首项，2为公比的等比数列.（2）由（1）得：，整理得.数列满足故且，当为偶数

23、时，整理得，故4（2023届河北省模拟数学试题）已知正项数列的前项和为，满足.(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和.【答案】(1)；(2)【分析】（1）利用和与项的关系可得，由可得，再利用等差数列的通项公式即可求解；（2）根据的周期性，利用分组求和的方法即可求解.【详解】（1），当时，两式子作差可得，又，所以，可得数列为公差为2 的等差数列，当时，所以，数列的通项公式为.（2），所以，数列的前项和.1（2023年辽宁省模拟数学试题）已知等差数列前n项和为，数列是等比数列，(1)求数列和的通项公式；(2)若，求数列的前2n项和【答案】(1)，；(2)【分析】（1）设的公差为，的公比为

24、，由已知列出方程组求得后可得通项公式；（2）求出，然后按奇偶项分组求和【详解】（1）设的公差为，的公比为，由题意，解得，；（2）由（1）得，为奇数时，为偶数时，2已知数列的前项和为，满足.（1）求证数列的通项公式（2）若数列满足，求数列的前项和.【详解】（1），（2）当n为奇数时当n为偶数时3已知数列的前项和为，数列是以为公差的等差数列.(1)求的通项公式；(2)设，求数列的前项和.【详解】（1）解：，又数列为以为公差的等差数列，即，时，时，符合上式，数列的通项公式为.（2）解：由（1）可得所以，数列的前项和.4（2023年山东省模拟数学试题）已知递增等比数列的前项和为，且，等差数列满足，.(

25、1)求数列和的通项公式；(2)若，请判断与的大小关系，并求数列的前20项和.【答案】(1)，；(2)，【分析】（1）利用等比数列基本量和等差数列基本量计算即可；（2）利用（1）求出即可判断，再利用并项求和思想结合等比数列前n项和公式求解.【详解】（1）设等比数列的公比为q，由题意得，即，解得，或，又等比数列单调递增，所以，所以，所以，所以等差数列的公差为1，故；（2）由（1）知，所以，所以.考点六、倒序相加法求前项和1（2023年宁夏模拟考试数学（理）试题）已知函数满足，若数列满足，则数列的前20项的和为（）A230B115C110D100【答案】B【分析】利用倒序相加法即可求得前20项的和.

26、【详解】，两式相加，又因为故，所以所以的前20项的和为 .2已知正数数列是公比不等于1的等比数列，且，试用推导等差数列前项和的方法探求：若，则（）A2018B4036C2019D4038【答案】D【分析】利用，再等差数列前项和的方法倒序相加法求和即可.【详解】，函数，令，则，.3设函数，利用推导等差数列的方法，求的值.【详解】设则两式相加得.4已知数列的通项公式，设函数，求数列的各项之和.【详解】可以取-1，0，1，2，.，7即设则两式相加得.1已知等比数列满足，设函数，求.【详解】设则两式相加得.2已知数列满足，设函数，求数列的前2022项和.【详解】设则两式相加得.3已知函数，则的值为（）

27、A1B2C2020D2021【答案】C【分析】设，得到，再利用倒序相加求和得解.【详解】解：函数，设，则有，所以，所以当时，令，所以，故【点睛】方法点睛：数列求和常用的方法有：（1）公式法；（2）错位相减法；（3）裂项相消法；（4）分组求和法；（5）倒序相加法. 要根据已知条件灵活选择方法求解.4求的值.【详解】设则两式相加得.5求的值.【详解】设则两式相加得.【基础过关】1（2023届华大新高考联盟名校高考预测数学试题（新教材版）已知首项为3的数列的前项和为，若，则（）A1435B1436CD【答案】D【分析】先利用得到，通过递推式列举前几项，得到的周期，再求出即可.【详解】由，得，所以，则

28、，因为，所以，故数列的周期为4.而，故.2在数列中，则（）ABCD【答案】A【分析】变形给定的等式，利用累加法及裂项相消法求解作答.【详解】因为，则，当时，显然满足上式，即有，所以3（2023届吉林省二模考试数学试题）“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，如图是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，从第三行起，每一行的第三个数1，构成数列，其前n项和为，则（）ABCD【答案】B【分析】根据数列的前4项，归纳出数列的通项，即可用裂项相消法求其前项和为，即可得的值.【详解】由题意可知，则，所以其前项和为：，则.4已知数列满足：，.(1)求；(2)求数列的前n项和.【答案】(1)；(2)【分析】（1）

29、利用作差求得：，进而求得的通项公式；（2）首先求出，再采用分组求和即可求出答案.(1)当时，故；当时，两式相减得：，故综上：当时，.(2)由（1）知所以.5（2023年江苏省期末联考数学试题）已知数列满足：(1)求证：是等比数列；(2)设数列的前项和为，求【答案】(1)证明见解析；(2).【分析】（1）利用等比数列定义即可证明是等比数列；（2）利用分组求和法即可求得数列的前项和.【详解】（1）由，得，由，可得，所以，所以，所以是等比数列，且首项为3公比为2.（2）由（1）得，即所以.6已知数列满足：.（1）求的通项公式；（2）令，求数列的前项和.【答案】（1），；（2），.【分析】（1）利用与

30、的关系，即可求出的通项公式；（2），利用分组求和即可求出数列的前项和.【详解】解：（1）当时，当时，-得，当时，满足通项公式，.（2），.7（2023届安徽省一模数学试题）已知数列满足，(1)求证：数列是等比数列；(2)若，为数列的前n项和，求【答案】(1)证明见解析；(2)，【分析】（1）根据递推公式证明为定值即可；（2）先由（1）求得数列的通项，从而可得数列的的通项，再利用错位相减法求解即可.【详解】（1）因为，所以，又，所以是以为首项，以3为公比的等比数列；（2）由（1）知，故，所以，故，则，两式相减得，所以.8（2023届山东省一模数学试题）已知数列中，.(1)判断数列是否为等差数列，

31、并说明理由；(2)求数列的前项和【答案】(1)是等差数列，理由见解析；(2)【分析】(1)根据数列的递推公式即可求解；(2)结合（1）的结论得出，然后利用错位相减法即可求解.【详解】（1）因为，所以数列是以为首项，以为公差的等差数列；（2）由（1）知：数列的通项公式为：，则， ，得：，则.9（2023届广东省一模数学试题）已知为数列的前n项和，(1)证明：数列为等比数列；(2)设数列的前n项和为，证明：【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析【分析】（1）取计算，得到，得到证明.（2）确定，变换，利用裂项求和计算得到证明.【详解】（1），由，得，所以，故，所以数列是以6为首项，2为公比的等比

32、数列（2），故，所以10（2023届山东省一模考试数学试题）在数列中，.(1)求的通项公式；(2)证明：.【答案】(1)；(2)证明见解析【分析】（1）令可求得的值，令，由可得，两式作差可得出的表达式，再验证的值是否满足的表达式，综合可得出数列的通项公式；（2）计算得出，利用裂项相消法求出数列的前项和，即可证得结论成立.【详解】（1）解：因为，则当时，即，当时，得，所以，也满足，故对任意的，.（2）证明：，所以，即结论成立.11（2023年湖北省模拟数学试题）已知各项均为正数的数列满足：，.(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前项的和.【答案】(1)；(2)【分析】（1）由，得到时，两式

33、相减得到求解；（2）由数列的前项和，幷项求解.【详解】（1）解：由，当时，又，. 当时，为奇数时， ；当时，为偶数时，；（2）数列的前项和，.12（2023年广东省联考数学试题）设数列的前项和为，数列是公差为的等差数列，且(1)求的通项公式；(2)求数列的前20项和【答案】(1)；(2)【分析】（1）先利用等差数列的通项公式求得，再利用与的关系式求解即可.（2）利用并项求和法求解即可.【详解】（1）因为数列是公差为的等差数列，且，所以，即，当时，当时，经检验，当时，依然成立，故.（2）因为，所以，故.13已知函数为奇函数，且，若，则数列的前2022项和为（）A2023B2022C2021D20

34、20【答案】B【分析】由为奇函数，可得，再由，得，然后利用倒序相加法可求得结果.【详解】由于函数为奇函数，则，即，所以，所以，所以因此数列的前2022项和为14已知函数，数列满足，则（）A2018B2019C4036D4038【答案】A【分析】根据函数解析式确定为常数，再得到，然后利用倒序相加法求和即可.【详解】，又，令，则，两式相加得，【能力提升】周期求和1（2023届陕西省九模理科数学试题）已知数列满足，记数列的前项和为，则（）ABCD【答案】C【分析】根据首项和递推公式，发现数列是以3为周期的周期数列，然后逐项分析各选项；【详解】，故A错误；，数列是以3为周期的周期数列，故B错误；，故C

35、正确；，故D错误2数列中，的值为（）A761B697C518D454【答案】D【分析】由，结合等比数列的定义和通项公式可求出，结合二项式定理可求出的值.【详解】解：因为，又，所以以为首项，为公比的等比数列，所以，所以，则又，所以.3（2023年湖南省模拟数学试题）在数列中，则（）ABCD【答案】C【分析】由已知，根据题意递推关系分别得到，然后运用累乘法求解出，然后再借助等差数列求和公式即可完成求和.【详解】由已知，数列中，所以，所以，所以，即，则.4（2023年浙江省统测数学试题）已知数列的首项，且满足.(1)证明：数列是等比数列.(2)若，求正整数的最大值.【答案】(1)证明见解析；(2)1

36、010【分析】（1）由等比数列的定义证明，（2）由分组求和法得的前项和，再结合单调性求解【详解】（1）易知各项均为正，对两边同时取倒数得，即，因为，所以数列是以1为首项，为公比的等比数列.（2）由（1）知，即，所以，显然单调递增，因为，所以的最大值为1010.5（2023届河南省联考理科数学试题）若数列满足,(1)证明:是等比数列；(2)设的前n项和为,求满足的n的最大值【答案】(1)证明见解析；(2)7【分析】(1)根据题意构造数列证明等比,求出首项及公比即可,(2)由(1)求出的通项公式,与题中等式联立,求出通项公式,进而求出前项和为,代数使得即可求出的最大值.【详解】（1）证明：因为,所

37、以,故,又,则,故是以1为首项,2为公比的等比数列（2）由(1)得,又,得,故,易得为递增数列,又,故的最大值为7.6（2023年福建省学业质量检测数学试题）已知数列前项和为.(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和；(3)恒成立，求实数的范围.【答案】(1)；(2)；(3)【分析】（1）根据数列与的关系，利用相减法得，检验首项后可得数列是等比数列，即可求得数列的通项公式；（2）直接根据错位相减法求解数列的前项和即可；（3）利用数列单调性判断方法确定最值，即可得实数的范围.【详解】（1）时，有，时有，又，也符合上式，故数列是首项为1，公比为2的等比数列，.（2）由（1）知，由-有：（3

38、）记则所以当时，即，当时，即所以当时，有最大值故实数的范围为7（2023届湖南省模拟数学试题）数列满足.(1)求的通项公式；(2)设，数列的前n项和为.若对于任意正整数n，均有恒成立，求的最小值.【答案】(1)；(2).【分析】（1）当时，求出，当时，利用求出，检验后得到答案；（2）利用错位相减法得到，不等式转化为，令，作差法得到的单调性，从而得到的最大值，得到的最小值.【详解】（1）取，由，得；当时，由，得，两式相减得，整理得；当n1时，也适合上式.综上，；（2）由（1）知，得，两式相减得，整理得.由题意对于任意正整数，均有恒成立，则，即恒成立.设，由，则当时，即；当时，即.于是的最大值为，

39、所以，即的最小值是.8（2023届内蒙古模拟考试数学（文）试题）已知数列中，(1)求数列的通项公式；(2)设，数列的前n项和，求证：【答案】(1)；(2)证明见解析【分析】（1）由，得到，再利用累乘法求解；（2）由（1）易得，再利用裂项相消法求解.【详解】（1）解：因为，所以，所以当时， 满足条件，所以；（2）因为，所以，所以，所以 .9（2023届广东省一模数学试题）已知为数列的前项和，.(1)求数列的通项公式：(2)若，为数列的前项和.求，并证明：.【答案】(1)；(2)，证明见解析【分析】（1）根据题设，利用的关系可推得，判断数列为等差数列，即可求得答案；（2）由（1）求得的表达式，利用

40、裂项求和求得，结合的的单调性，可证明结论.【详解】（1）当时,，,则,当时，则,两式相减得：即即，,数列是2为首项，公差为2的等差数列，.（2）由（1）得，又，随着的增大而减少，从而随着的增大面增大，综上所述，.10已知正项等差数列满足：，且成等比数列(1)求的通项公式；(2)设，是数列的前n项和，若对任意均有恒成立，求的最小值【答案】(1)；(2)最小值为【分析】（1）设等差数列的公差为，由及等差数列的通项公式得到，则，再根据等比中项的性质得到方程，求出，即可得解；（2）由（1）可得，利用裂项相消法求和得到，即可得到，从而求出的取值范围，即可得解；【详解】（1）解：设等差数列的公差为，由得，

41、则，所以因为、成等比数列，所以，即，所以，解得或，因为为正项数列，所以，所以，所以（2）解：由（1）可得，所以，因为对任意均有，所以，所以实数的最小值为.11（2023年浙江省模拟数学试题）已知数列满足：，对任意且时，其中表示不超过的最大整数.(1)求；(2)设，求数列的前项.【答案】(1)；(2)【分析】（1）当为偶数时，利用累加法，得到通项公式；（2）先求出,得到，再利用等比数列公式数列求和、裂项相消求和得解.【详解】（1）当为偶数时，故（2）由题可得，又，故，.12（2023届重庆市月度质量检测数学试题）若一个数列的奇项为公差为正的等差数列，偶项为公比为正的等比数列，且公差公比相同，则称

42、数列为“摇摆数列”，其表示为，若数列为“摇摆数列”且，则：(1)求的通项公式；(2)若，求数列的前项和.（注：）【答案】(1)；(2)【分析】（1）根据题意列出关于的方程，结合等差等比数列通项公式的概念即可得结果.（2）求出数列的通项公式，分奇数项和偶数项分别进行求和计算，对奇数项求和可借助于，对偶数项求和可用错位相减求和法【详解】（1）设由题意得，（2）先求奇数项的和：，引入故，再求偶数项的和：， ， ，即，故.13设函数，则数列的前n项和 【答案】【分析】由题设，讨论n的奇偶性求的通项公式，再求.【详解】由题设，所以，即且n 2，当时，当时，所以，故答案为：.14已知函数，正项等比数列满足

43、，则等于 【答案】【详解】试题分析：因为，所以因为数列是等比数列，所以，即设 ，又 ，+，得，所以考点：1、等比数列的性质；2、对数的运算；3、数列求和【知识点睛】如果一个数列，与首末两项等距离的两项之和等于首末两项之和（都相等，为定值），可采用把正着写和与倒着写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法如等差数列的前项和公式即是用此法推导的15已知数列的前n项和为，且，设函数，则 【答案】/【分析】根据可求，从而可求.易验证，故可采用倒序相加法求题设式子的值【详解】，当时，得，；当时，此时仍然成立，当时，；当时，当时，上式也成立，故由于，设则，【点睛】本题关键是熟练掌

44、握利用前项和与通项公式的关系求得，观察猜测并发现为定值，从而利用倒序相加法即可求和【真题感知】1（2023年新课标全国卷数学真题）已知为等差数列，记，分别为数列，的前项和，(1)求的通项公式；(2)证明：当时，【答案】(1)；(2)证明见解析.【分析】（1）设等差数列的公差为，用表示及，即可求解作答.（2）方法1，利用（1）的结论求出，再分奇偶结合分组求和法求出，并与作差比较作答；方法2，利用（1）的结论求出，再分奇偶借助等差数列前n项和公式求出，并与作差比较作答.【详解】（1）设等差数列的公差为，而，则，于是，解得，所以数列的通项公式是.（2）方法1：由（1）知，当为偶数时，当时，因此，当为

45、奇数时，当时，因此，所以当时，.方法2：由（1）知，当为偶数时，当时，因此，当为奇数时，若，则，显然满足上式，因此当为奇数时，当时，因此，所以当时，.2（2019年浙江省高考数学试卷）设等差数列的前项和为，数列满足：对每成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）记 证明：【答案】（1），；（2）证明见解析.【分析】(1)首先求得数列的首项和公差确定数列的通项公式，然后结合三项成等比数列的充分必要条件整理计算即可确定数列的通项公式；(2)结合(1)的结果对数列的通项公式进行放缩，然后利用不等式的性质和裂项求和的方法即可证得题中的不等式.【详解】(1)由题意可得：，解得：，则数列的通项公式为 .其

46、前n项和.则成等比数列，即：，据此有：，故.(2)结合(1)中的通项公式可得：，则.【点睛】本题主要考查数列通项公式的求解，裂项求和的方法，数列中用放缩法证明不等式的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3（2022年高考天津卷数学真题）设是等差数列，是等比数列，且(1)求与的通项公式；(2)设的前n项和为，求证：；(3)求【答案】(1)；(2)证明见解析；(3)【分析】（1）利用等差等比数列的通项公式进行基本量运算即可得解；（2）由等比数列的性质及通项与前n项和的关系结合分析法即可得证；（3）先求得，进而由并项求和可得，再结合错位相减法可得解.【详解】（1）设公差为d，公比为，则

47、，由可得（舍去），所以；（2）证明：因为所以要证，即证，即证，即证，而显然成立，所以；（3）因为，所以，设所以，则，作差得，所以，所以.4（2022年全国新高考I卷数学试题）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列(1)求的通项公式；(2)证明：【答案】(1)；(2)见解析【分析】（1）利用等差数列的通项公式求得，得到，利用和与项的关系得到当时，,进而得：，利用累乘法求得，检验对于也成立，得到的通项公式；（2）由（1）的结论，利用裂项求和法得到，进而证得.【详解】（1），,又是公差为的等差数列，,当时，,整理得：,即,，显然对于也成立，的通项公式；（2） .5（2022年全国新高考II卷数学

48、试题）已知函数(1)当时，讨论的单调性；(2)当时，求a的取值范围；(3)设，证明：【答案】(1)的减区间为，增区间为.(2)；(3)见解析【分析】（1）求出，讨论其符号后可得的单调性.（2）设，求出，先讨论时题设中的不等式不成立，再就结合放缩法讨论符号，最后就结合放缩法讨论的范围后可得参数的取值范围.（3）由（2）可得对任意的恒成立，从而可得对任意的恒成立，结合裂项相消法可证题设中的不等式.【详解】（1）当时，则，当时，当时，故的减区间为，增区间为.（2）设，则，又，设，则，若，则，因为为连续不间断函数，故存在，使得，总有，故在为增函数，故，故在为增函数，故，与题设矛盾.若，则，下证：对任意

49、，总有成立，证明：设，故，故在上为减函数，故即成立.由上述不等式有，故总成立，即在上为减函数，所以.当时，有，所以在上为减函数，所以.综上，.（3）取，则，总有成立，令，则，故即对任意的恒成立.所以对任意的，有，整理得到：，故，故不等式成立.【点睛】思路点睛：函数参数的不等式的恒成立问题，应该利用导数讨论函数的单调性，注意结合端点处导数的符号合理分类讨论，导数背景下数列不等式的证明，应根据已有的函数不等式合理构建数列不等式.6（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）设是首项为1的等比数列，数列满足已知，成等差数列（1）求和的通项公式；（2）记和分别为和的前n项和证明：【答案】（1），；（2）证

50、明见解析.【分析】（1）利用等差数列的性质及得到，解方程即可；（2）利用公式法、错位相减法分别求出，再作差比较即可.【详解】（1）因为是首项为1的等比数列且，成等差数列，所以，所以，即，解得，所以，所以.（2）方法一：作差后利用错位相减法求和，设，则由-得所以因此故方法二【最优解】：公式法和错位相减求和法证明：由（1）可得，得 ，所以，所以，所以.方法三：构造裂项法 由（）知，令，且，即，通过等式左右两边系数比对易得，所以则，下同方法二方法四：导函数法设，由于，则又，所以，下同方法二【整体点评】本题主要考查数列的求和，涉及到等差数列的性质，错位相减法求数列的和，考查学生的数学运算能力，是一道中

51、档题，其中证明不等式时采用作差法，或者作商法要根据式子得结构类型灵活选择，关键是要看如何消项化简的更为简洁.（2）的方法一直接作差后利用错位相减法求其部分和，进而证得结论；方法二根据数列的不同特点，分别利用公式法和错位相减法求得,然后证得结论,为最优解；方法三采用构造数列裂项求和的方法，关键是构造，使，求得的表达式，这是错位相减法的一种替代方法，方法四利用导数方法求和，也是代替错位相减求和法的一种方法.7（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项（1）求的公比；（2）若，求数列的前项和【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由已知结合等差中项关系，

52、建立公比的方程，求解即可得出结论；（2）由（1）结合条件得出的通项，根据的通项公式特征，用错位相减法，即可求出结论.【详解】（1）设的公比为，为的等差中项，；（2）设的前项和为，得，.【点睛】本题考查等比数列通项公式基本量的计算、等差中项的性质，以及错位相减法求和，考查计算求解能力，属于基础题.8（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）设数列满足，（1）计算，猜想的通项公式并加以证明；（2）求数列的前项和【答案】（1），证明见解析；（2）.【分析】（1）方法一：（通性通法）利用递推公式得出，猜想得出的通项公式，利用数学归纳法证明即可；（2）方法一：（通性通法）根据通项公式的特征，由错

53、位相减法求解即可【详解】（1）方法一【最优解】：通性通法由题意可得，由数列的前三项可猜想数列是以为首项，2为公差的等差数列，即证明如下：当时，成立；假设时，成立.那么时，也成立.则对任意的，都有成立；方法二：构造法由题意可得，由得，则，两式相减得令，且，所以，两边同时减去2，得，且，所以，即，又，因此是首项为3，公差为2的等差数列，所以方法三：累加法由题意可得，由得，即，以上各式等号两边相加得，所以所以当时也符合上式综上所述，方法四：构造法，猜想由于，所以可设，其中为常数整理得故，解得所以又，所以是各项均为0的常数列，故，即（2）由（1）可知，方法一：错位相减法，由得：，即.方法二【最优解】：

54、裂项相消法，所以方法三：构造法当时，设，即，则，解得所以，即为常数列，而，所以故方法四：因为，令，则，所以故【整体点评】（1）方法一：通过递推式求出数列的部分项从而归纳得出数列的通项公式，再根据数学归纳法进行证明，是该类问题的通性通法，对于此题也是最优解；方法二：根据递推式，代换得，两式相减得，设，从而简化递推式，再根据构造法即可求出，从而得出数列的通项公式；方法三：由化简得，根据累加法即可求出数列的通项公式；方法四：通过递推式求出数列的部分项，归纳得出数列的通项公式，再根据待定系数法将递推式变形成，求出，从而可得构造数列为常数列，即得数列的通项公式（2）方法一：根据通项公式的特征可知，可利用

55、错位相减法解出，该法也是此类题型的通性通法；方法二：根据通项公式裂项，由裂项相消法求出，过程简单，是本题的最优解法；方法三：由时，构造得到数列为常数列，从而求出；方法四：将通项公式分解成，利用分组求和法分别求出数列的前项和即可，其中数列的前项和借助于函数的导数，通过赋值的方式求出，思路新颖独特，很好的简化了运算9（2019年天津市高考数学试卷（文科） 设是等差数列，是等比数列，公比大于，已知， ，.（）求和的通项公式；（）设数列满足求.【答案】（I），；（II）【分析】（I）首先设出等差数列的公差，等比数列的公比，根据题意，列出方程组，求得，进而求得等差数列和等比数列的通项公式；（II）根据题中所给的所满足的条件，将表示出来，之后应用分组求和法，结合等差数列的求和公式，以及错位相减法求和，最后求得结果.【详解】（I）解：设等差数列的公差为，等比数列的公比为，依题意，得，解得，故，所以，的通项公式为，的通项公式为；（II），记 则 得，所以.【点睛】本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及前项和公式等基础知识，考查数列求和的基本方法和运算求解能力，属于中档题目.