专题19 等腰三角形(原卷版).docx

1、专题19 等腰三角形 【专题目录】技巧1：等腰三角形中四种常用作辅助线的方法技巧2：巧用特殊角构造含30角的直角三角形技巧3：分类讨论思想在等腰三角形中的应用【题型】一、等腰三角形的定义【题型】二、根据等边对等角求角度【题型】三、根据三线合一求解【题型】四、根据等角对等边证明等腰三角形【题型】五、根据等角对等边求边长【题型】六、等腰三角形性质与判定的综合【题型】七、等边三角形的性质【题型】八、含30角的直角三角形【考纲要求】1.了解等腰三角形的有关概念，掌握其性质及判定2.了解等边三角形的有关概念，掌握其性质及判定3.掌握线段中垂线的性质及判定【考点总结】一、等腰三角形等腰三角形等腰三角形概念

2、有两边相等的三角形角等腰三角形。等腰三角形性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。（三线合一）等腰三角形的判定如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）.【考点总结】二、等边三角形等边三角形等边三角形概念三条边都相等的三角形，叫等边三角形。它是特殊的等腰三角形。等边三角形性质和判定（1）等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60。（2）三个角都相等的三角形是等边三角形。（3）有一个角是60的等腰三角形是等边三角形。（4）在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角

3、边等于斜边的一半。 （补充：（1）三角形三个内角的平分线交于一点，并且这一点到三边的距离等。（2）三角形三个边的中垂线交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。（3）常用辅助线：三线合一；过中点做平行线【考点总结】三、直角三角形直角三角形直角三角形性质直角三角形的两锐角互余;直角三角形30角所对的直角边等于斜边的一半;直角三角形中,斜边上的 中线长等于斜边长的一半.直角三角形判定有一个角是直角的三角形是直角三角形.勾股定理及其逆定理勾股定理:直角三角形中,两直角边的平方和等于斜边的平方;勾股定理的逆定理:若一个三角形中有两边的平方和等于第三边的平方,则这个三角形是直角三角形.【技巧归纳】技巧1

4、：等腰三角形中四种常用作辅助线的方法【类型】一、作“三线”中的“一线”1如图，在ABC中，ABAC，D是BC的中点，过点A作EFBC，且AEAF.求证：DEDF.【类型】二、作平行线法2如图，在ABC中，ABAC，点P从点B出发沿线段BA移动，同时，点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动，点P，Q移动的速度相同，PQ与直线BC相交于点D.(1)如图，当点P为AB的中点时，求证：PDQD.(2)如图，过点P作直线BC的垂线，垂足为E，当P，Q在移动的过程中，线段BE，ED，CD中是否存在长度保持不变的线段？请说明理由【类型】三、截长补短法3如图，在ABC中，ABAC，D是ABC外一点，且ABD60

5、，ACD60.求证：BDDCAB.来源:学|科|网Z|X|X|K【类型】四、加倍折半法4如图，在ABC中，BAC120，ADBC于D，且ABBDDC，求C的度数5如图，CE，CB分别是ABC，ADC的中线，且ABAC.求证：CD2CE.技巧2：巧用特殊角构造含30角的直角三角形【类型】一、直接运用含30角的直角三角形的性质1如图，在ABC中，C90，B30，AD是ABC的角平分线，DEAB，垂足为E，DE1，则BC()A. B2 C3 D.22如图，已知ABC中，ABAC，C30，ABAD，AD4 cm.求BC的长【类型】二、连线段构造含30角的直角三角形3如图，在ABC中，ABAC，BAC1

6、20，D为BC的中点，DEAC于E，AE8，求CE的长4如图，已知在ABC中，ABAC，A120，DE垂直平分AB于点D，交BC于点E.求证：CE2BE.【类型】三、延长两边构造含30角的直角三角形5如图，四边形ABCD中，AD4，BC1，A30，B90，ADC120，求CD的长【类型】四、作垂线构造含30角的直角三角形6如图，四边形ABCD中，B90，DCAB，AC平分DAB，DAB30.求证：AD2BC.技巧3：分类讨论思想在等腰三角形中的应用【类型】一、当顶角或底角不确定时，分类讨论1若等腰三角形中有一个角等于40，则这个等腰三角形的顶角度数为()A40B100C40或70D40或100

7、2已知等腰三角形ABC中，ADBC于D，且ADBC，则等腰三角形ABC的底角的度数为()A45 B75 C45或75 D653若等腰三角形的一个外角为64，则底角的度数为_【类型】二、当底和腰不确定时，分类讨论4已知一个等腰三角形的两边长分别是2和4，则该等腰三角形的周长为()A8或10B8C10D6或125等腰三角形的两边长分别为7和9，则其周长为_6若实数x，y满足|x4|(y8)20，则以x，y的值为边长的等腰三角形的周长为_【类型】三、当高的位置关系不确定时，分类讨论7等腰三角形一腰上的高与另一边的夹角为25，求这个三角形的各个内角的度数【类型】四、由腰的垂直平分线引起的分类讨论8在三

8、角形ABC中，ABAC，AB边上的垂直平分线与AC所在的直线相交所得的锐角为40，求底角B的度数【类型】五、由腰上的中线引起的分类讨论9等腰三角形ABC的底边BC长为5 cm，一腰上的中线BD把其分为周长差为3 cm的两部分求腰长【类型】六、点的位置不确定引起的分类讨论10如图，在RtABC中，ACB90，AB2BC，在直线BC或AC上取一点P，使得PAB为等腰三角形，则符合条件的点P共有()A7个 B6个 C5个 D4个11如图，在ABC中，BCABAC，ACB40，如果D，E是直线AB上的两点，且ADAC，BEBC，求DCE的度数【题型讲解】【题型】一、等腰三角形的定义例1、已知等腰三角形

9、的一边长等于4，一边长等于9，则它的周长为（ ）A9B17或22C17D22【题型】二、根据等边对等角求角度例2、如图，在ABC中，A40，ABAC，点D在AC边上，以CB，CD为边作BCDE，则E的度数为（ ）A40B50C60D70【题型】三、根据三线合一求解例3、如图，已知AB=AC，BC=6，尺规作图痕迹可求出BD=（ ）A2B3C4D5【题型】四、根据等角对等边证明等腰三角形例4、下列能断定ABC为等腰三角形的是（）AA=40，B=50BA=2B=70CA=40，B=70DAB=3，BC=6，周长为14 【题型】五、根据等角对等边求边长例5、如图，将矩形折叠，使点和点重合，折痕为，与

10、交于点若，则的长为（ ）ABCD【题型】六、等腰三角形性质与判定的综合例6、如图，三条笔直公路两两相交，交点分别为、，测得，千米，求、两点间的距离（参考数据：，结果精确到1千米）【题型】七、等边三角形的性质例7、如图，面积为1的等边三角形中，分别是，的中点，则的面积是（ ）A1BCD【题型】八、含30角的直角三角形例8、如图，在中，将绕点逆时针旋转得到，使点落在边上，连接，则的长度是（ ）ABCD等腰三角形（达标训练）一、单选题1如图，在ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，连接AE，若AE4，EC2，则BC的长是（）A2B4C6D82如图，在中，用图示尺规作图的方法在边上确定

11、一点则的周长为（）A12B14C16D213下列命题，错误的是（）A有一个锐角和斜边对应相等的两个直角三角形全等B如果A和B是对顶角，那么ABC等腰三角形两腰上的高相等D三角形三边垂直平分线的交点到三角形三边的距离相等4如图，点，在上，添加一个条件，不一定能证明的是（）ABCD5如图，矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC、BC于点E、O、F，若，则EF的长为（）A8B15C16D24二、填空题6如图，在中，平分，点到的距离为5.6，则_7如图，在中，于点E，于点D，请你添加一个条件_，使（填一个即可）三、解答题8如图，E、F分别是矩形ABCD对角线上的两点，且求证：等腰三角形（

12、提升测评）一、单选题1如图，点D、E分别为ABC的边AB、AC的中点，点F在DE的延长线上，CFBA，若ADE的面积为2，则四边形BCFD的面积为（）A10B8C6D42如图，RtABC中，C90，BD平分ABC交AC于点D，点E为AB的中点，若AB12，CD3，则DBE的面积为（）A10B12C9D63如图，RtABC中，C=90，用尺规作图法作出射线AE，AE交BC于点D，CD=5，P为AB上一动点，则PD的最小值为()A2B3C4D54如图，在正方形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，点G在CD边上，AG交BF于点H，连接下列结论：；，其中正确的结论有（）A4个B3个C2个D1个二、填空题5如图，在边长为的正方形中，点、分别是边、上的动点且，连接、，则的最小值为_6正方形的边长为，E为的中点，连接，过点作交于点，垂足为，则_三、解答题7如图，在矩形中，的平分线交于点，交的延长线于点，点为的中点，连接、(1)试判断的形状，并说明理由；(2)求的度数8如图，在四边形中，点在边上，作交线段于点，连接，求证：