专题2.17 换元法解一元二次方程（巩固篇）（专项练习）-2022-2023学年八年级数学下册基础知识专项讲练（浙教版）.docx

1、专题2.17 换元法解一元二次方程（巩固篇）（专项练习）一、单选题1用换元法解方程+=2时，若设=y，则原方程可化为关于y的方程是()Ay22y+1=0By2+2y+1=0Cy2+y+2=0Dy2+y2=02已知实数x，y满足且，则的值为（）ABCD23已知实数x满足，则的值为（）A6BC或6D1或4方程的解是，现给出另一个方程，它的解是（）ABCD5若关于x的一元二次方程有一根为2020，则方程必有根为（）A2021B2020C2019D20156已知方程x2+3x4=0的解是x1=1，x2=4，则方程（2x+3）2+3（2x+3）4=0的解是（）Ax1=1，x2=3.5Bx1=1，x2=3

2、.5Cx1=1，x2=3.5Dx1=1，x2=3.57关于x的方程的解是（a，m，b均为常数，），则方程的解是（）ABCD8若，则的值为（）ABCD或9若x为实数，且x23(x)2，则x的值为()A4B4C4或1D4或110如图，正方形内接于已知和的面积分别是，和，那么正方形的边长是（） A1BCD2二、填空题11已知，且则的值是_12已知，则的值是_13已知实数满足方程，则_14若，则_15方程的解是_16解方程：，利用整体思想和换元法可设，则原方程可化为：_ ；再求出原方程的解为_；17设a,b是一个直角三角形两直角边的长,且(a2+b2-3)(a2+b2+1)=0,则这个直角三角形的斜边

3、长为_.18已知和2是关于x的一元二次方程的两根，则关于x的方程的根为_三、解答题19解方程：x2+2x=120解方程：21阅读例题，解答问题：例：解方程解：原方程化为令，原方程化成解得，（不合题意，舍去）原方程的解是，请模仿上面的方法解方程：22已知实数x满足，求的值2321024【阅读】小明同学遇到这样一个问题：已知关于x的方程（a、b、m为常数，）的解是，求方程的解他用“换元法”解决了这个问题我们一起来看看小明同学的具体做法解：在方程中令，则方程可变形为，根据关于x的方程的解是，可得方程的解是，把代入得，把代入得，所以方程的解是，【理解】已知关于x的一元二次方程有两个实数根m，n(1)

4、关于x的方程的两根分别是_（用含有m、n的代数式表示）；(2) 方程_的两个根分别是2m，2n（答案不唯一，写出一个即可）(3) 【猜想与证明】双察下表中每个方程的解的特点：方程方程的解方程方程的解，猜想：方程的两个根与方程_的两个根互为倒数；(4) 仿照小明采用的“换元法”，证明你的猜想参考答案1A【分析】方程的两个分式具备倒数关系，设=y，则原方程化为y+=2，再转化为整式方程y2-2y+1=0即可求解解：把=y代入原方程得：y+=2，转化为整式方程为y22y+1=0故选：A【点拨】考查了换元法解分式方程，换元法解分式方程时常用方法之一，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易，对此应注意总

5、结能用换元法解的分式方程的特点，寻找解题技巧2A【分析】由可得，进而可得，解得或，然后再对进行变形即可解答解：，得，即或即或，所以，故选：A【点拨】本题主要考查了分式的化简求值、立方根、解一元二次方程等知识点，解题的关键是灵活应用相关定义和运算法则以及整体法来求解3A【分析】设x2+xt，则原方程化为t25t60，利用因式分解法解得t16，t21，所以x2+x6或x2+x1，然后利用x2+x确定x2+x的值即可解：设x2+xt，原方程化为t25t60，(t6) (t+1) 0，解得t16，t21，即x2+x6或x2+x1，x2+xx2+x+(x+) 2，x2+x1不符合题意，舍去，x2+x6，

6、故选：A【点拨】本题考查了换元法解一元二次方程：我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的，也考查了配方法的应用4B【分析】结合已知方程的解，利用换元法解一元二次方程即可得解：，令，则方程可转化为，由题意得：，即，解得，故选：B【点拨】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握换元法是解题关键5C【分析】设，即可改写为，由题意关于x的一元二次方程有一根为，即有一个根为，所以，x=2019解：由得到，对于一元二次方程，设，所以，而关于x的一元二次方程有

7、一根为，所以有一个根为，则，解得，所以一元二次方程有一根为故选：C【点拨】本题考查一元二次方程的解掌握换元法解题是解答本题的关键6A【分析】利用换元法解方程即可解：x2+3x4=0的解是x1=1，x2=4，（2x+3）2+3（2x+3）4=0，2x+3=1或2x+3=-4，x1=-1，x2=-3.5，故选：A【点拨】本题考查了用换元法解一元二次方程，体现了转化思想的运用7C【分析】根据关于x的方程的解是（a，m，b均为常数，a0），可知或，进一步求解即可解：关于x的方程的解是（a，m，b均为常数，a0），在方程中，或，解得，故选：C【点拨】本题考查了用换元法解一元二次方程，找出两方程之间的关系

8、是解题的关键8C【分析】将，则，这样将高次幂全部降次降到1次幂截止，然后再求值即可.解：，原式=故答案为：C【点拨】本题借助一元二次方程考查了降次思想及整体思想，本题的关键是将高次幂通过降次全部降到一次幂截止，然后再合并同类项即可求解.9A解：由题意得x23(x) -2=0,所以(x) 2+3(x) -4=0，(x) (x) -1=0，所以xx（舍）故选A.10D【分析】先设正方形的边长为，求得的高，然后分别求出，利用三角形的面积即可求得正方形的边长解：设正方形的边长为，则的面积为：，的高为正方形的边长加上的高，即，底为：，由和得， ， ，则底为：，所以，解得（舍去），经检验：是原方程的解.

9、故选：D【点拨】本题考查了正方形的性质，一元二次方程的应用，掌握正方形的性质是解题的关键114或-1【分析】将已知等式两边同除以进行变形，再利用换元法和因式分解法解一元二次方程即可得解：将两边同除以得：令则因式分解得：解得或即的值是4或故答案为：4或【点拨】本题考查了利用换元法和因式分解法解一元二次方程，将已知等式进行正确变形是解题关键127【分析】换元法，令，将原方程化为t（t1）42（t）， 求解一次方程即可解：令（t），原方程化为t（t1）42，解得t7，或t6（舍），故答案为：7【点拨】本题考查用换元法求解方程解题关键是要注意换元之后一定要考虑新未知数的取值范围，换元法的实际应用，是解

10、题关键13【分析】设，将原式整理为含的方程即可得出答案解：设，则原方程为：，则：，解得：，当时，无实数解，故舍去，经检验是的解，故答案为：【点拨】本题考查了换元法解方程，解一元二次方程，熟练掌握解方程的一般步骤是解本题的关键144【分析】先设，原方程可化为，解此一元二次方程，再验根即可解：设，原方程可化为，化为一般式得：，解得：t=4或t=-2，t=4，4，故答案为：4【点拨】本题考查了解一元二次方程，解决本题的关键是熟练掌握用换元法解方程15【分析】设（t0），然后变形可得，然后代入到原方程中可得到关于t的一元二次方程，求出t的值，再代回即可求出x的值解：设（t0）变形，得原方程变形为，即整

11、理，得解得：（不符合t的取值，故舍去）将t=1代入中，得 解得：故答案为：【点拨】此题考查的是解一元二次方程，掌握换元法是解决此题的关键16 ，【分析】设，则原方程可化为，求出的值，再求出的值即可解：， 设，则原方程可化为，解得：或1，当时，解得：；当时，解得：，即原方程的解为：，故答案为：；，【点拨】本题考查了用换元法解方程和解一元二次方程，能够正确换元是解此题的关键17【分析】设a2+b2=x，原方程化为（x-3）（x+1）=0，解方程求得x的值，再由勾股定理即可解答.解：设a2+b2=x，原方程化为（x-3）（x+1）=0，解得（不合题意，舍去），所以a2+b2=3，由勾股定理可得这个直

12、角三角形的斜边长为.故答案为.【点拨】本题考查了换元法解一元二次方程及勾股定理，把a2+b2当成一个整体，把原方程转化为一元二次方程是解本题的关键18，【分析】设，将方程化为，利用和2是方程的两根，得到，分别计算即可得到方程的根解：设，则方程化为，由题意可知：，方程的根为，故答案为：，【点拨】本题考查了换元法解一元二次方程，熟练运用整体换元法是解题关键19x1=3，x2=1【分析】设x2+2x=y，则原方程化为y=1，求出y的值，再代入求出x即可解：设x2+2x=y，则原方程化为：y=1， 解得：y1=3，y2=2，当y=3时，x2+2x=3，解得：x1=3，x2=1；当y=2时，x2+2x=

13、2，此时=-40，方程无解所以原方程的解为：x1=3，x2=1【点拨】此题考查了解分式方程的应用，正确使用能正确换元是解此题的关键20【分析】令，先解方程求出的值，从而可得的值，再转化为一元二次方程，解一元二次方程即可得解：可化为，令，则，且，（舍去），经检验，是方程的解，则，即，经检验，都是原方程的解，故原方程的解为【点拨】本题考查了解无理方程、解分式方程、解一元二次方程，熟练掌握各方程的解法是解题关键21，【分析】根据题意利用换元法解一元二次方程，然后解绝对值方程即可解：原方程化为令，原方程化成解得，（不合题意，舍去），原方程的解是，【点拨】本题主要考查了用换元法和因式分解法解一元二次方程

14、，解绝对值方程，解题的关键在于能够准确根据题意使用换元法解方程22或【分析】根据完全平方公式利用对方程进行变形，得到，把看成整体，再解方程即可解：，原方程可变形为设，则原方程可变形为，解得或【点拨】本题主要考查了用换元法解一元二次方程，利用完全平方公式对方程进行变形，把x+当成一个整体是解题关键23，【分析】利用公式变形，=，变形后，采用换元法求解即可解：210，210，设xy，则原方程变形为2y30.3，1.当y3时，x3，整理，得3x+1=0，解得，当y1时，x1，整理，得+x+1=0，=，方程无实数解经检验，都是原方程的根，原方程的根为，【点拨】本题考查了换元法解分式方程，完全平方公式的

15、变式，熟练进行公式变形，灵活选择换元法求解是解题的关键24(1) m2，n2(2) ax2+2bx+4c=0(3) cx2+bx+a=0(4) 见分析【分析】理解（1）令，根据题意可得或，即可求解方程；（2）由题意可知，由于方程的两个根分别是，则，即可写出符合条件的方程；猜想与证明（1）由表格可得：的两个根与方程，的两个根互为倒数；（2）先将变形为，设，方程可变形为，设方程的解是，则可得方程的解为，把代入得，；把代入得，即可证明（1）解：理解（1）令，方程可化为，有两个实数根，或，或，或，故答案为：，；（2）方程有两个实数根，或，方程的两个根分别是，方程的两个根为，故答案为：；（3）猜想与证明由表格可得：的两个根与方程，的两个根互为倒数，故答案为：；（4）证明：由两边同除以，得，设，方程可变形为，设方程的解是，可得方程的解是，把代入得，；把代入得，所以方程的解是，即方程的两个根与方程的两个根互为倒数【点拨】本题考查无理方程的解，理解题意，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系，灵活运用换元法解方程是解题的关键