专题2.3 幂函数-2020-2021学年高一数学同步课堂帮帮帮（人教版必修1）.docx

1、第二章 基本初等函数（）2.3 幂函数一、幂函数1幂函数的概念一般地，函数是常数）叫做幂函数，其中是自变量，是常数2幂函数的结构特征幂函数的解析式是一个幂的形式，且需满足：（1）指数为常数；（2）底数为自变量；（3）系数为13幂函数与指数函数的区别与联系函数解析式相同点不同点指数函数右边都是幂的形式指数是自变量，底数是常数幂函数底数是_，指数是_二、幂函数的图象与性质1几个常见幂函数的图象与性质函数图象定义域值域奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性在上单调递增在上单调递减；在上单调递增 在上单调递增在上单调递增在和上单调递减过定点过定点过定点【注】幂函数是常数）中，的取值不一样，对

2、应的幂函数的定义域不一样注意是正分数或负分数（正整数或负整数）时的不同2幂函数是常数）的指数对图象的影响（1）当_时，函数图象与坐标轴没有交点，类似于的图象，且在第一象限内，逆时针方向指数在增大；（2）当_时，函数图象向x轴弯曲，类似于的图象；（3）当_时，函数图象向y轴弯曲，类似于的图象，而且逆时针方向指数在增大具体如下：1010图象特殊点过（0，0），（1，1）过（0，0），（1，1）过（1，1）凹凸性下凸上凸下凸单调性递增递增递减举例y=x2、3常用结论（1）幂函数在_ 上都有定义（2）幂函数的图象均过定点_（3）当时，幂函数的图象均过定点，且在上单调_（4）当时，幂函数的图象均过定点，

3、且在上单调_（5）幂函数在第四象限无图象一、3自变量常数二、2（1） （2） （3）3（1） （2） （3） 递增 （4） 递减帮重点1幂函数的定义、图象与性质；帮难点1幂函数的性质；帮易错1要正确区分幂函数和指数函数；2根据幂函数的定义求参数的值时，一定要把求出的参数的值代入题目中进行取舍1幂函数的定义判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为（是常数）的形式，即满足：（1）指数为常数；（2）底数为自变量；（3）系数为1例 1（1）已知幂函数的图象过点（2，），试求该函数的解析式【答案】【解析】设该幂函数的解析式为（为常数），将（2，）代入，得，解得，所以幂函数的解析式为（2）(2019武

4、汉模拟)若幂函数的图象经过点，则它的单调递增区间是()A(0，) B0，)C(，) D(，0)【答案】D【解析】设f (x)x，则2，2，即f (x)x2，它是偶函数，单调递增区间是(，0)故选D.（3）已知幂函数f (x)kx的图象过点，则k等于()A. B1 C. D2【答案】C【解析】由幂函数的定义，知k1，.k.【名师点睛】虽然幂函数（是常数）和指数函数都具有幂的形式，但幂函数以幂的底数为自变量，指数为常数；指数函数以幂的底数为常数，指数为自变量当遇到一个有关幂的形式的问题时，要先看自变量所在的位置，然后决定是用幂函数的知识解决，还是用指数函数的知识解决2幂函数的图象要牢记幂函数的图象

5、，并能灵活运用由幂函数的图象，我们知道：（1）当的值在（0，1）上时，幂函数中指数越大，函数图象越接近x轴（简记为“指大图低”）；当的值在（1，+）上时，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴 （2）任何幂函数的图象与坐标轴最多只有一个交点（原点）；任何幂函数的图象都不经过第四象限例 2（1）已知函数，的图象如图所示，则实数的大小关系为（ ）AB CD 【答案】A【解析】由幂函数的图象特征知，由幂函数的性质知，当时，指数大的幂函数的函数值就大，则综上所述，可知【名师点睛】本题也可采用特殊值法，如取，结合图象可知，又函数是增函数，于是（2）在同一平面直角坐标系内，函数yxa(a0)和yax的图像可

6、能是()【答案】B【解析】当a0时，函数yxa在第一象限单调递增，直线yax经过第一、二、三象限，无选项符合题意；当a0时，函数yxa在第一象限单调递减，直线yax经过第二、三、四象限，选项B符合题意故选B.3幂函数性质的应用（1）幂函数的单调性主要用来比较指数相同、底数不同的幂的值的大小，这时需要注意幂函数的定义域和利用幂函数的奇偶性进行转化；（2）与幂函数有关的综合性问题一般是利用单调性、奇偶性以及函数图象求函数值域、不等式解集等例 3（1）幂函数(mZ)的图象如图所示，则实数m的值为()A3 B0 C1 D2【答案】C【解析】函数在(0，)上单调递减，m22m30，解得1m3.mZ，m0

7、,1,2.而当m0或2时，f (x)x3为奇函数，当m1时，f (x)x4为偶函数m1.（2）如图，幂函数的图象关于轴对称，且与轴，轴均无交点，求此函数的解析式及不等式的解集【答案】函数的解析式是，不等式的解集为【解析】由题意，得，所以因为，所以，1或2因为幂函数的图象关于轴对称，所以为偶数，当时，；当时，；当时，故当时，符合题意故函数的解析式是所以不等式可化为，则或，解得或，所以所求不等式的解集为【名师点睛】解决与幂函数有关的综合性问题时，一定要考虑幂函数的概念对于幂函数（是常数），由于的取值不同，所以相应幂函数的单调性和奇偶性也不同（2）幂函数f (x)(aZ)为偶函数，且f (x)在区间

8、(0，)上是减函数，则a等于()A3 B4 C5 D6【答案】C【解析】因为a210a23(a5)22，f (x)(aZ)为偶函数，且在区间(0，)上是减函数，所以(a5)221，0时，a1；0a0时，0a1，0时，0a1；0a1，1；第三步，构造幂函数应用幂函数单调性，特别注意含字母时，要注意底数不在同一单调区间内的情形（2）给定一组数值，比较大小的步骤第一步：区分正负一种情形是幂函数或指数函数值即幂式确定符号；另一种情形是对数式确定符号，要根据各自的性质进行第二步：正数通常还要区分大于1还是小于1第三步：同底的幂，用指数函数单调性；同指数的幂用幂函数单调性；同底的对数用对数函数单调性第四步

9、：对于底数与指数均不相同的幂，或底数与真数均不相同的对数值大小的比较，通常是找一中间值过渡或化同底（化同指）、或放缩、有时作商（或作差）、或指对互化，对数式有时还用换底公式作变换等等例 4（1）设，则的大小关系是（ ）Aacb Babc Ccab Dbca【答案】A【解析】因为在上是增函数，所以又因为在上是减函数，所以【名师点睛】同底数的两个数比较大小，考虑用指数函数的单调性；同指数的两个数比较大小，考虑用幂函数的单调性，有时需要取中间量（2）已知点(2,8)在幂函数f(x)xn图象上，设af，bf，c，则a，b，c的大小关系为()A.bac B.abc C.cba D.bca【答案】A【解析

10、】因为点(2,8)在幂函数f(x)xn图象上，所以82n，所以n3，即f(x)x3，00.31，0，即0.30.2，因为f(x)为R上的单调递增函数，所以ca32a0或32aa10或a1032a，解得a1或a0，又函数为偶函数，则满足条件的值是2故选D4已知幂函数f（x）的图象过点（2，），则f（8）的值为（ ）ABC2D8【答案】A【解析】幂函数f（x）xa的图象过点（2，），2，f（x）x，f（8），故选A5已知点（2，）在幂函数f（x）的图象上，则f（x）是（ ）A奇函数B偶函数C定义域内的减函数D定义域内的增函数【答案】A【解析】设幂函数yf（x）x，把点（2，）代入函数解析式中，得2

11、，解得1，幂函数f（x）x1，x（，0）（0，+），f（x）是定义域上的奇函数，且在定义域的每个区间内是单调减函数故选A6已知幂函数f（x）过点（27，9），则f（x）的奇偶性为（ ）A既不是奇函数又不是偶函数B既是奇函数又是偶函数C奇函数D偶函数【答案】D【解析】幂函数f（x）xa过点（27，9），f（27）27a9，解得a，f（x）f（x）（x）f（x），f（x）的奇偶性为偶函数故选D7函数yx2在区间上，2的最大值是（ ）AB1C4D4【答案】C【解析】函数yx2在第一象限是减函数，函数yx2在区间，2上的最大值是f（）故选C8下列函数中，既是单调函数，又是奇函数的是（ ）Ayx5By5

12、xCylog2xDyx1【答案】A【解析】对于A，则为幂函数，幂指数大于0，则为R上的增函数，且为奇函数，则A满足条件；对于B，则为指数函数，不具奇偶性，则B不满足条件；对于C，则为底数大于1的对数函数，不具奇偶性，则C不满足条件；对于D，为幂函数，且为奇函数，在x0，x0，解得m1.12若ea+beb+a，则有（ ）Aa+b0Bab0Cab0Da+b0【答案】D【解析】解法一：取特殊值排除；当a0，b1时，1+1，成立，排除A，B当a1，b0，e+11成立，排除C故选D法二：构造函数利用单调性：令f（x）exx，则f（x）是增函数，eaaebb，f（a）f（b），即a+b0故选D13若0ba

13、1，则在ab，ba，aa，bb中最大值是（ ）AbaBaaCabDbb【答案】C【解析】0baaa，babb，即在ab，ba，aa，bb中最大值是ab，故选C14如图表示的是四个幂函数在同一坐标系中第一象限内的图象，则幂函数y的图象是（ ）ABCD【答案】D【解析】幂函数y为增函数，且增加的速度比较缓慢，只有符合故选D15若幂函数f（x）（m2m1）xm在（0，+）上为增函数，则实数m（ ）A2B1C3D1或2【答案】A【解析】幂函数f（x）（m2m1）xm在（0，+）上为增函数，所以m2m11，并且m0，解得m2故选A16已知幂函数f（x），若f（a+1）0，在（0，+）上单调递减若f（a+

14、1）f（102a），则，即，解得3a0，且m22m+3是偶数，由m22m+30得3m1，又由题设m是整数，故m的值可能为2，1，0，验证知m2或0时，m22m+33为奇数，m1时，m22m+34为偶数则f（x）x4，f（2）2416故答案为：1621已知幂函数f（x）（mZ）为奇函数，且在区间（0，+）上是减函数，则f（x）的解析式为_【答案】f（x）x3【解析】f（x）在区间（0，+）上是减函数，m26m+50，解得1m5，mZ，m2，3，4，当m2，m26m+53，则幂函数f（x）x3，为奇函数，满足条件当m3，m26m+53，则幂函数f（x）x4，为偶函数，不满足条件当m4，m26m+5

15、3，则幂函数f（x）x3，为奇函数，满足条件综上f（x）x3，故答案为：f（x）x322.幂函数的单调递增区间是_【答案】 【解析】本题考点是幂函数型的复合函数的单调区间的考查.由题意可知函数是由外函数幂函数与内函数二次函数复合而成，要遵循同增异减的原则，因为外函数是单调递减函数，所以就要求内函数的减区间，并且要保证内函数作为底数是正数.即，令，在内的减区间为，所以原函数的增区间为.23过点P（4，2）的幂函数是_函数（填“奇函数”、“偶函数”、“非奇非偶函数”、“既奇又偶函数”）【答案】非奇非偶【解析】设幂函数为yxa，幂函数过点P（4，2），24a，解得a，过点P（4，2）的幂函数是，其定

16、义域0，+）不关于原点对称，它是非奇非偶函数故答案为：非奇非偶24已知幂函数f（x）的部分对应值如下表：x1f（x）1则不等式f（|x|）2的解集是_【答案】4，4【解析】设幂函数为f（x）x，则，不等式f（|x|）2等价于，|x|4，4x4，不等式f（|x|）2的解集是4，4，故答案为：4，425若1，2，3，且函数f（x）x为偶函数，则_【答案】2【解析】根据题意，1，2，3，当1时，f（x）x，是奇函数，当2时，f（x）x2，是偶函数，当3时，f（x）x3，是偶函数，则若函数f（x）x为偶函数，必有2，故答案为：226已知函数，则f（3x1）f（1+x2）的解集是_【答案】，1）（2，+

17、）【解析】根据题意，函数，函数的定义域为0，+），且在其定义域上为增函数，若f（3x1）f（1+x2），则有03x11+x2，解可得：x2，即不等式的解集为，1）（2，+）故答案为：，1）（2，+）27已知函数f（x）（m2+2m），当m为何值时f（x）是：（1）正比例函数？（2）反比例函数？（3）二次函数？（4）幂函数？【解析】（1）f（x）（m2+2m）是正比例函数，解得m1，m1时，f（x）是正比例函数（2）f（x）（m2+2m）是反比例函数，解得m1，m1时，f（x）是反比例函数（3）f（x）（m2+2m）是二次函数，解得m或m，m或m时，f（x）是二次函数（4）f（x）（m2+2m）

18、是幂函数，m2+2m1，解得m1或m1，m1或m1时，f（x）是幂函数28.【2020年高考天津】设，则的大小关系为A B C D【答案】D【解析】因为，所以.故选：D.【名师点睛】本题考查的是有关指数幂和对数值的比较大小问题，在解题的过程中，注意应用指数函数和对数函数的单调性，确定其对应值的范围.比较指对幂形式的数的大小关系，常用方法：（1）利用指数函数的单调性：，当时，函数递增；当时，函数递减；（2）利用对数函数的单调性：，当时，函数递增；当时，函数递减；（3）借助于中间值，例如：0或1等.29.【2019年高考北京文数】下列函数中，在区间（0，+）上单调递增的是（ ）ABy=CD【答案】

19、A【解析】本题考查简单的指数函数、对数函数、幂函数的单调性问题，由题意可知函数，在区间上单调递减，函数在区间上单调递增.故选A.30【2019年高考全国卷理数】若ab，则（ ）Aln(ab)0 B3a0 Dab【答案】C【解析】取，满足，但，则A错，排除A；由，知B错，排除B；取，满足，但，则D错，排除D；因为幂函数是增函数，所以，即a3b30，C正确故选C【名师点睛】本题主要考查对数函数的性质、指数函数的性质、幂函数的性质及绝对值的意义，渗透了逻辑推理和运算能力素养，利用特殊值排除即可判断31【2019年高考全国卷理数】2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我

20、国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日点的轨道运行点是平衡点，位于地月连线的延长线上设地球质量为M，月球质量为M，地月距离为R，点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程：设，由于的值很小，因此在近似计算中，则r的近似值为ABCD【答案】D【解析】由，得，因为，所以，即，解得，所以故选D【名师点睛】由于本题题干较长，所以，易错点之一就是能否静心读题，正确理解题意；易错点之二是复杂式子的变形易出错32（2018上海）已知2，1，1，2，3，若幂函数f（x）=x为奇函数，且在（0，+）上递减，则=_【答案】1【解析】2，1，1，2，3，幂函数f（x）=x为奇函数，且在（0，+）上递减，a是奇数，且a0，a=1故答案为：133.【2018上海卷7】已知，若幂函数为奇函数，且在上递减，则=_【解析】本题考点是幂函数与奇函数的综合应用，由题意可知幂函数要满足两个条件，一个条件就是奇函数，此时，另一个条件是在区间上递减，此时，所以答案是-1.【答案】