专题2.4指数与指数函数（解析版）.docx

1、2.4 指数与指数函数思维导图知识点总结知识点一无理数指数幂一般地，无理数指数幂a(a0，为无理数)是一个确定的实数有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂知识点二实数指数幂的运算性质1arasars(a0，r，sR)2(ar)sars(a0，r，sR)3(ab)rarbr(a0，b0，rR)知识点三分数指数幂的意义分数指数幂正分数指数幂规定：(a0，m，nN*，且n1)负分数指数幂规定：(a0，m，nN*，且n1)0的分数指数幂0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义知识点四有理数指数幂的运算性质整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即：(1)arasars(a0，r，sQ

2、)；(2)(ar)sars(a0，r，sQ)；(3)(ab)rarbr(a0，b0，rQ)知识点四指数函数的定义一般地，函数yax(a0，且a1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R.思考为什么底数应满足a0且a1?答案当a0时，ax可能无意义；当a0时，x可以取任何实数；当a1时，ax1 (xR)，无研究价值因此规定yax中a0，且a1.知识点五两类指数模型1ykax(k0)，当a1时为指数增长型函数模型2ykax(k0)，当0a0，且a1)的图象和性质如下表：a10a0时，y1；当x0时，0y0时，0y1；当x1单调性在R上是增函数在R上是减函数典型例题分析考向一 运用指数幂运算

3、公式化简求值例1计算下列各式(式中字母都是正数)：(1)(2) (3) 解(1)()20.090.09.(2)原式(3)原式1112.反思感悟一般地，进行指数幂运算时，可将系数、同类字母归在一起，分别计算；化负指数为正指数，化小数为分数进行运算，便于进行乘除、乘方、开方运算，可以达到化繁为简的目的考向二 分数指数幂运算的综合应用例2(1)已知am4，an3，求的值；(2)已知3，求下列各式的值aa1；a2a2； 解(1).(2) 即a2a19，aa17.aa17，(aa1)249，即a22a249.a2a247.3(71)18.反思感悟条件求值问题的解法(1)求解此类问题应注意分析已知条件，通

4、过将已知条件中的式子变形(如平方、因式分解等)，寻找已知式和待求式的关系，可考虑使用整体代换法(2)利用整体代换法解决分数指数幂的计算问题，常常运用完全平方公式及其变形公式考向三 指数函数的图象及应用例1(1)函数yax(a0，且a1)的图象可能是()答案D(2)函数f(x)1ax2(a0，且a1)恒过定点_答案(2,2)(3)已知函数y3x的图象，怎样变换得到yx12的图象？并画出相应图象解yx123(x1)2.作函数y3x关于y轴的对称图象得函数y3x的图象，再向左平移1个单位长度就得到函数y3(x1)的图象，最后再向上平移2个单位长度就得到函数y3(x1)2x12的图象，如图所示反思感悟

5、处理函数图象问题的策略(1)抓住特殊点：指数函数的图象过定点(0,1)，求指数型函数图象所过的定点时，只要令指数为0，求出对应的y的值，即可得函数图象所过的定点(2)巧用图象变换：函数图象的平移变换(左右平移、上下平移)(3)利用函数的性质：奇偶性与单调性考向四 比较大小例4(1)比较下列各题中两个值的大小1.72.5,1.73；1.70.3,1.50.3；1.70.3,0.83.1.考点指数幂的大小比较题点比较指数幂大小解(1)1.71，y1.7x在(，)上是增函数2.53，1.72.51.73.方法一1.70.30,1.50.30，且0.3，又1,0.30，0.31，1.70.31.50.

6、3.方法二幂函数yx0.3在(0，)上单调递增，又1.71.5，1.70.31.50.3.1.70.31.701,0.83.10.83.1.(2)设 则a，b，c的大小关系为_(用“”连接)答案cab解析构造幂函数(x(0，)，由该函数在定义域内单调递增，知ab；构造指数函数yx，由该函数在定义域内单调递减，知aab.反思感悟比较幂值大小的3种类型及处理方法基础题型训练一、单选题1化简的结果为（）ABCD【答案】B【分析】利用平方差公式结合指数运算性质即可【详解】因为，所以原式=故选：B2函数，则方程的解集是（）ABCD【答案】B【分析】令，则，当时，转化为图象的交点问题；当时，成立，进一步求

7、出的范围，即可求出答案.【详解】由函数，令，则，当时，令，其图象如图所示时，无解，当时，成立，由，得当时，有，解得；当时，有，解得，综上，的取值范围是故选：B.3已知函数g（x）=3x+t的图象不经过第二象限，则t的取值范围为At1Bt1Ct3Dt3【答案】A【分析】由指数函数的性质，可得函数恒过点坐标为，且函数是增函数，图象不经过第二象限，得到关于的不等式，即可求解.【详解】由指数函数的性质，可得函数g（x）=3x+t恒过点坐标为（0，1+t），函数g（x）是增函数，图象不经过第二象限，1+t0，解得t1故选A【点睛】本题主要考查了指数函数的图象与性质的应用，其中熟记指数函数的图象与性质，特

8、别是指数函数的图象恒过定点是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.4已知，则ABCD【答案】C【分析】利用中间值法，将这三个数与、比较大小，从而得出这三个数的大小关系.【详解】由于对数函数在其定义域上是增函数，则，指数函数在上为增函数，则，即，对数函数在其定义域上是减函数，则，即.因此，故选C.【点睛】本题考查利用中间值法比较指数式、对数式的大小，常用的中间值为和，在实际问题中，中间值取多少要由具体问题来选择，同时在比较大小时，要充分利用指数函数与对数函数的单调性来求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.5已知函数，则使得成立的的取值范围是 ABCD【答案】A【详解】试

9、题分析：原函数满足，函数是偶函数，当时是增函数，当时是减函数，结合函数图像可知不等式转化为，两边平方解不等式得解集为考点：利用函数的奇偶性单调性解不等式6设函数，若存在，使得成立，则实数的取值范围是（）ABCD【答案】D【分析】将条件转化为值域有交集，然后分类讨论求出的范围【详解】，使得成立，即和的值域有交集，当时，满足题意；当时，在区间上单调递增，和的值域有交集，即；时，在区间上单调递减，和的值域有交集，即；综上：；故选D【点睛】本题考查函数值域的求法及集合关系的讨论，注意根据等式关系转化为集合之间的关系，此类问题属于中档题.二、多选题7已知函数，则下列叙述正确的是（）A当时，函数在区间上是

10、增函数B当时，函数在区间上是减函数C若函数有最大值2，则D若函数在区间上是增函数，则的取值范围是【答案】BCD【分析】利用复合函数的单调性逐一判断各选项即可.【详解】对于AB选项：当时，因为在上单调递减，在上单调递增，由复合函数的性质可得，函数在上单调递减，故A错误，B正确；对于C选项：若有最大值2，显然不成立，则函数有最小值，所以，解得，故C正确；对于D选项：若函数在上是增函数，则在是减函数，当时，显然成立，当时，由二次函数的性质可得，解得，所以的取值范围为，故D正确；故选：BCD8已知函数，则（）A为偶函数B是增函数C不是周期函数D的最小值为【答案】AD【分析】根据奇偶性、单调性、周期性分

11、别判断ABC，分类讨论确定函数的最小值判断D【详解】选项A，由得，函数定义域是，关于原点对称，所以函数为偶函数，正确；选项B，定义域是，即是奇函数，易知是R上的增函数，函数值域为R，所以存在，值得，从而，于是，但，所以不是增函数，B错；选项C，定义域是R，因此是函数的一个周期，C错；选项D，由上推理知是奇函数，时， ，时，易知函数为增函数，所以，综上函数最小值是1，D正确故选：AD三、填空题9若为方程的两个实数解，则_【答案】【分析】利用指数幂的运算法则将已知方程的两边写成同底数的幂的形式，根据指数函数的性质得到指数相等，转化为关于x的二次方程，由根与系数的关系得到答案.【详解】，,故答案为：

12、.10若指数函数在上是增函数，则实数的取值范围是_【答案】【详解】若指数函数在上是增函数，则，解得故实数的取值范围是11已知函数，的图象如下图所示，则，的大小关系为_（用“”号连接）【答案】【详解】函数y=ax，y=xb，y=logcx的图象如图所示，由指数函数y=ax，x=2时，y（2，3）对数函数y=logcx，x=2，y（0，1）；幂函数y=xb，x=2，y（1，2）；可得a（1，2），b（0，1），c（2，+）可得bac故答案为bac12化简的结果是_.【答案】【分析】将分式化为分式指数幂，然后利用指数幂的运算律即可得出结果.【详解】由题意得=1.【点睛】本题考查指数幂的计算，同时也考

13、查了根式与分数指数幂的互化，考查计算能力，属于基础题.四、解答题13计算：(1)；(2) 已知，求.【答案】(1)； (2)11.【分析】（1）利用指数幂运算法则代入计算求值；（2）对等式两边平方可得答案.【详解】（1）原式.（2）因为，所以.【点睛】本题考查指数幂运算法则，考查基本运算求解能力，属于基础题.14计算：(1)；(2) 【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用分数指数幂计算即可.（2）利用对数的运算性质计算即可.【详解】（1）原式.（2）原式.【点睛】本题考查分数指数幂的计算和对数的计算，属于基础题.15已知二次函数在区间2，3上有最大值4，最小值1，(1)求函数的解析式；(2

14、)设若在时恒成立，求的取值范围【答案】(1)；(2).【分析】（1）将函数配方，进而判断出函数在2,3上的单调性，然后根据求出参数，最后得到答案.（2）先进行参变分离，进而转化为求函数的最值，最后求得答案.(1)，函数的图象的对称轴方程为，在区间上递增依题意得，即，解得，.(2)，在时恒成立，即在时恒成立，在时恒成立，只需 ，令，由得，设， ，当时，函数取得最小值0，的取值范围为.16已知函数的表达式为，其中、为实数.(1)若不等式的解集是，求的值；(2)若方程有一个根为，且、为正数，求的最小值；(3)若函数在区间上是严格减函数，试确定实数的取值范围，并证明你的结论.【答案】(1)(2)(3)

15、，证明见解析【分析】（1）分析可知关于的方程的两根分别为、，根据韦达定理可求得、的值，即可求得的值；（2）由可得出，将与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值；（3）令，任取、且，作差，由函数单调性的定义可得出，可得出，求出的取值范围，即可求得实数的取值范围.【详解】（1）解：因为不等式的解集是，所以，关于的方程的两根分别为、，所以，解得，因此，.（2）解：由题意可得，又因为、均为正数，则，当且仅当时，等号成立，故的最小值为.（3）解：因为，令，其中，由题意可知，函数在上为减函数，任取、且，则，且，所以，所以，可得，而，则，.因此，当函数函数在区间上是严格减函数，.提升题型训练一、单选题1函

16、数是指数函数，则有A或BCD或【答案】C【分析】根据指数函数定义，构造方程解.【详解】因为函数是指数函数，所以，解得或，当时，不是指数函数，舍去，所以，故选：C.2已知函数，且对于任意的，都有，则实数的取值范围是（）ABCD【答案】B【分析】根据题意可知，函数在上是增函数，则在每一段都是增函数且，由，即可解出实数的取值范围【详解】依题可知函数在上是增函数，解得故选：B3定义在上的函数满足时，则的值为A-2B0C2D8【答案】A【详解】试题分析： 由已知可得的周期，故选A.考点：函数的周期性.4已知函数可以表示成一个偶函数和一个奇函数之差，若对恒成立，则实数的取值范围为（）.ABCD【答案】C【

17、分析】由题干条件构造方程组解出函数和的解析式，再用分离参数法将对恒成立转化为对恒成立，进而求得实数的取值范围.【详解】由，有，解得，可化为，有，有，得，又由，有.故选：C【点睛】本题考查函数奇偶性、求函数解析式等知识点以及对恒成立问题的处理，属于中档题.5已知函数（，且），则是（）A偶函数，值域为B非奇非偶函数，值域为C奇函数，值域为D奇函数，值域为【答案】C【分析】利用定义判断函数的奇偶性，利用指数函数的性质及不等式的性质求函数的值域即可得解.【详解】由题可知，且函数的定义域为R，关于原点对称，所以是奇函数.由指数函数的性质知，即函数的值域为故选：C【点睛】方法点睛：本题主要考查函数的奇偶性

18、，指数函数的性质，不等式的性质，判断函数的奇偶性，先判断函数的定义域是否关于原点对称，再判断与的关系，考查学生的运算求解能力，属于基础题.6已知a、b、c是正实数，且，则a、b、c的大小关系不可能为（）A B C D【答案】D【分析】根据指数函数的性质结合条件逐项分析即得.【详解】因为，a、b、c是正实数，所以，对于A，若，则，满足题意；对于B，若，则，满足题意；对于C，若，则，满足题意；对于D，若，则，不满足题意.故选：D.二、多选题7下列函数在区间上单调递增的是（）ABCD【答案】BC【分析】由二次函数的性质可判断A；由反比例函数单调性以及函数图象的平移可判断B；去绝对值由一次函数的性质可

19、判断C；由指数函数以及复合函数的单调性可判断D，进而可得正确选项.【详解】对于A：为开口向上的抛物线，对称轴为，所以在区间上单调递减，故选项A不正确；对于B：的定义域为，将的图象向右平移一个单位可得，因为在上单调递增，向右平移一个单位可得在上单调递增，所以在区间上单调递增，故选项B正确；对于C：，所以在区间上单调递增，故选项C正确；对于D：是由和复合而成，因为单调递减，在区间上单调递增，所以在区间上单调递减，故选项D不正确；故选：BC.8若函数同时满足：对于定义域上的任意x，恒有；对于定义域上的任意，当时，恒有，则称函数为“理想函数”下列四个函数中：能被称为“理想函数”的有（）ABCD【答案】

20、CD【分析】确定“理想函数”具有的两个性质，再逐一分析各个选项，判断作答.【详解】由知，“理想函数”是其定义域上的奇函数，由知，“理想函数”是其定义域上的减函数，对于A，函数定义域为，而在上不单调，A不是；对于B，函数定义域为R，在R上单调递增，B不是；对于C，函数定义域为R，当时，当时，而，即，是R上奇函数，在上单调递减，在上单调递减，且图象连续，即是R上减函数，C是；对于D，函数定义域是R，是R上的奇函数，在R上单调递减，D是.故选：CD三、填空题9函数的定义域为_.【答案】【分析】根据解析式，列出使解析式有意义条件，解出x的取值范围.【详解】由题意可得，解得：，所以函数的定义域为.故答案

21、为：.10已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是_.【答案】【分析】首先分别求分段函数两段的值域，再根据值域为，列式求实数a的取值范围.【详解】当时，当时，因为函数的值域为，所以，解得：.故答案为：11已知集合，且下列三个关系：有且只有一个正确，则函数的值域是_【答案】【分析】根据集合相等的条件，列出a、b、c所有的取值情况，再判断是否符合条件，求出a，b，c的值，从而可求出分段函数的值域.【详解】由a，b，c=2，3，4，可得a、b、c的取值有以下情况：当a=2时，b=3、c=4时，a3，b=3，c4都正确，不满足条件当a=2时，b=4、c=3时，a3成立，c4成立，此时不满足题意；当a=

22、3时，b=2、c=4时，都不正确，此时不满足题意；当a=3时，b=4、c=2时，c4成立，此时满足题意；当a=4时，b=2，c=3时，a3，c4成立，此时不满足题意；当a=4时，b=3、c=2时，a3，b=3成立，此时不满足题意；综上得，a=3、b=4、c=2，则函数当x4时，当x4时，综上：，即函数的值域为，故答案为：12已知函数，若不等式对恒成立，则实数a的取值范围是_【答案】【分析】判断函数的单调性，利用其解析式推出，则可将不等式对恒成立，转化为，即对恒成立，即可求得答案.【详解】由题意知单调递增，故在R上单调递增，又，故不等式对恒成立，即对恒成立，所以，即对恒成立，当时，故，即实数a的

23、取值范围是，故答案为：【点睛】本题考查了函数不等式恒成立求解参数范围问题，解答时要注意判断函数的单调性以及函数满足的性质，因而解答的关键是利用函数满足的性质脱去函数符号“f”,将问题转化为，即对恒成立，即可解决.四、解答题13计算：【答案】99【分析】根据指数运算公式化简求值.【详解】14已知函数，若对任意，都有，求实数的取值范围【答案】【分析】转化为，构造函数，利用函数的单调性求出最值即可得解.【详解】对任意的，都有，即，转化为，令，且在上为减函数，故，故.【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：若在上恒成立，则；若在上恒成立，则；若在上有解，则；若在上有解，则

24、.15一片森林原来面积为2014万亩，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐的面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的（1）求每年砍伐面积的百分比；（2）到今年为止，该森林已砍伐了多少年？（3）今后最多还能砍伐多少年？【答案】（1）；（2）5；（3）15【分析】（1）设每年砍伐面积的百分比为，由指数函数的性质列式求解；（2）由求解可得；（3）由求解可得【详解】（1）设每年砍伐面积的百分比为，则，解得；（2）设到今年为止，该森林已砍伐了年，则，；（3）设今后最多还能砍伐年，则，答：（1）每年砍伐面积的百分比为

25、；（2）到今年为止，该森林已砍伐了5年；（3）今后最多还能砍伐15年【点睛】思路点睛：本题考查指数函数的应用，解题关键是根据每年砍伐的百分比相同，设百分比为，那么年后，剩余量为抓住这个模型，通过解指数方程、指数不等式可得16已知f(x)是定义在R上的偶函数，f（-1）=0，且满足在区间（-，0单调递增(1)判断f(x)在（0，+）的单调性，并加以证明；(2)函数若对x（0，1恒成立，求实数m的取值范围【答案】(1)单调递减，证明见详解(2)【分析】（1）根据题意，结合偶函数的性质以及定义法判断单调性，即可证明；（2）根据题意，结合函数的单调性，可将转化为，令，则，故可将转化为关于的一元二次不等式在某个区间上恒成立问题，进而可求解.(1)函数在区间上单调递减.证明：设，且，则，因为函数在区间上单调递增，所以，又因为函数为上的偶函数，所以，又因，所以函数在区间上单调递减.(2)由题意，可知，因为，所以结合（1）易得，即.令，由，易得，因为，所以，故，即对于恒成立，故.因为，所以，又因为，等且仅当时，等号成立，所以.