专题2.7 多项式（知识讲解）-2022-2023学年七年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）.docx

1、专题2.7 多项式（知识讲解）【学习目标】1 认识整式的意义及表示方法；2. 理解多项式的次数及多项式的项、常数项及次数的概念；3掌握整式的概念，会判断一个代数式是否为整式；4. 能准确而熟练地列式子表示一些数量关系【要点梳理】要点一、多项式1.多项式的概念：几个单项式的和叫做多项式 特别说明：“几个”是指两个或两个以上2. 多项式的项：每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项 特别说明：（1）多项式的每一项包括它前面的符号 （2）一个多项式含有几项，就叫几项式，如：是一个三项式3. 多项式的次数：多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数特别说明：（1）多项式的次数不是所有项的次

2、数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数（2）一个多项式中的最高次项有时不止一个，在确定最高次项时，都应写出要点二、 整式单项式与多项式统称为整式特别说明：（1）单项式、多项式、整式这三者之间的关系如图所示即单项式、多项式必是整式，但反过来就不一定成立（2）分母中含有字母的式子一定不是整式【典型例题】类型一、多项式的判断1定义：f（a，b）是关于a，b的多项式，如果f（a，b）f（b，a），那么f（a，b）叫做“对称多项式”例如，如果f（a，b）a2+a+b+b2，则f（b，a）b2+b+a+a2，显然，所以f（a，b）f（b，a）是“对称多项式”(1)f（a，b）a22ab+b2是“对称多

3、项式”，试说明理由；(2)请写一个“对称多项式”，f（a，b） （不多于四项）；【答案】(1)见分析(2)a+b，答案不唯一【分析】（1）根据对称多项式的定义，把多项式中的a，b互换，多项式不变就是，据此即可判断；（2）根据定义即可写出，答案不唯一(1)解：f（b，a）a22ab+b2，f（a，b）f（a，b），f（a，b）a22ab+b2是“对称多项式”(2)f（a，b）a+b，f（b，a）b+a，f（a，b）f（b，a），f（a，b）a+b是“对称多项式”故答案为：a+b（答案不唯一）【点拨】本题主要考查了整式的运算，理解“对称多项式”的定义，是解题的关键举一反三：【变式1】 下列代数式中

4、哪些是单项式？哪些是多项式？分别填入所属的圈中指出其中各单项式的系数；多项式中哪个次数最高？次数是多少？【答案】单项式：;多项式：；单项式的系数分别为：；多项式的次数最高，4次【分析】根据单项式定义，多项式的定义，单项式系数，单项式的次数等进行解答即可解：单项式：;多项式：；单项式的系数是：；单项式的系数是：；单项式的系数是：；多项式的次数最高，4次【点拨】本题考查了多项式、单项式有关内容，熟知相关概念是解本题的关键【变式2】将下列代数式按尽可能多的方法分类（至少写三种）：【分析】根据整式和分式分类，单项式，多项式，分式分类，单项式二项式，四项式，分式分类，即可解：整式：分式：；单项式：多项式

5、：分式：；单项式：二项式：四项式：分式：【点拨】本题主要考查整式，单项式，多项式的概念，熟练掌握整式，单项式、多项式的定义是解题的关键类型二、多项式的项、项的系数、次数2已知单项式3x2yn的次数为5，多项式6+x2yx2x2ym+3的次数为6，求单项式（m+n）xmyn的次数与系数的和【答案】8【分析】根据已知求出m、n的值，把m、n的值代入单项式，求出单项式的系数和次数，即可得出答案解：单项式3x2yn的次数为5，多项式6x2yx2x2ym3的次数为6，2n5，2m36，解得：m1，n3，（mn）xmyn4xy3，系数是4，次数是134，448，即单项式（mn）xmyn的次数与系数的和是8

6、【点拨】本题考查了多项式和单项式的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力举一反三：【变式1】已知多项式是六次四项式，单项式的次数与这个多项式的次数相同，求的值【答案】【分析】根据多项式的次数和项数以及单项式的次数的定义求得的值，进而求得的值解：因为多项式是六次四项式，所以，解得因为单项式的次数与这个多项式的次数相同，所以，所以，解得故【点拨】本题考查了多项式的次数和项数，掌握多项式的次数和项数是解题的关键【变式2】已知是关于x的多项式（1）当m、n满足什么条件时，该多项式是关于x的二次多项式？（2）当m，n满足什么条件时，该多项式是关于x的三次二项式？【答案】（1）m1，n-2时，该多项式是关

7、于x的二次多项式；（2）m-5，n-2时该多项式是关于x的三次二项式【分析】（1）根据多项式为二次多项式即可列出关于m，n的式子进行求解；（2）根据多项式为三次二项式即可列出关于m，n的式子进行求解解：（1）由题意得：m-10，且n+20，解得：m1，n-2，则m1，n-2时，该多项式是关于x的二次多项式； （2）由题意得：m-10，n+20，且2m-5n0，解得：m1，n-2，把n-2代入2m-5n0得：m-5，则m-5，n-2时该多项式是关于x的三次二项式【点拨】此题主要考查多项式的性质，解题的关键是根据多项式的特点列式求解类型三、由多项式的系数、指数求值3、已知多项式是五次四项式，单项式

8、与该多项式的次数相同（1）求m、n的值（2）若，求这个多项式的值【答案】（1），；（2）【分析】（1）根据多项式是五次四项式，可得，根据单项式与该多项式的次数相同可得，求解即可；（2）根据得出的值，然后代入多项式中求解即可解：（1）多项式是五次四项式，解得，单项式与该多项式的次数相同，即，解得，；（2），由（1）得这个多项式为：，所以这个多项式的值为【点拨】本题考查了多项式的项和次数，单项式的次数，绝对值以及偶次方的非负性，有理数的混合运算，根据题意求出题目中未知数的值是解本题的关键举一反三：【变式1】已知关于x，y的多项式x2ym+1+xy22x35是六次四项式，单项式3x2ny5m的次数与

9、这个多项式的次数相同，求m-n的值【答案】1【分析】根据多项式x2ym+1+xy2-2x3-5是六次四项式知2+m+1=6，求得m的值，根据单项式3x2ny5-m的次数与这个多项式的次数相同知2n+5-m=6，求得n的值，再代入计算可得解：因为多项式x2ym+1+xy2-2x3-5是六次四项式，所以2+m+1=6， 所以m=3，因为单项式6x2ny5m的次数也是六次，所以2n+5-m=6，所以n=2，所以m-n=3-2=1【点拨】本题考查了多项式的知识，属于基础题，解答本题的关键是掌握多项式次数的判断，得出m、n的值，难度一般【变式2】已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，多项式是六次四项式，

10、单项式的次数与这个多项式的次数相同，求的值【答案】10【分析】直接利用相反数以及倒数的定义得出ab0，cd1，结合多项式次数确定方法得出m的值，再利用单项式次数确定方法得出n的值，进而得出答案解：多项式是六次四项式，2+m+16，解得：m3，单项式的次数与这个多项式的次数相同，2n+5m6，则2n+536，解得：n2，a、b互为相反数，c、d互为倒数，a+b0，cd1，（a+b）m+mn（cdn）20210+9（12）20219（1）10【点拨】此题主要考查了单项式和多项式次数确定方法，正确得出m，n的值是解题关键类型四、按某个字母升幂（降幂）排列4、把多项式3x5y35x3y22x4y3xy

11、5x2y41按下列要求排列：（1）按x的升幂排列；（2）按y的降幂排列【答案】（1）； （2）【分析】（1）根据升幂排列的定义，我们把多项式的各项按照x的指数从小到大的顺序排列起来即可（2）根据降幂排列的定义，我们把多项式的各项按照y的指数从大到小的顺序排列起来即可解：（1）按x的升幂排列：，（2）按y的升幂排列： 【点拨】此题考查了多项式的降幂排列的定义首先要理解降幂排列的定义，然后要确定是哪个字母的降幂排列，这样才能比较准确解决问题举一反三：【变式1】请把多项式重新排列（1）按x降幂排列： （2）按y降幂排列【答案】（1）；（2）【分析】（1）观察x的指数，按x的指数从大到小排列，即可；（

12、2）观察y的指数，按y的指数从大到小排列，即可解：（1）按x降幂排列：；（2）按y降幂排列：【点拨】本题主要考查多项式的相关概念，掌握多项式的升幂或降幂排列的意义，是解题的关键【变式2】已知多项式是五次四项式，且单项式的次数与该多项式的次数相同（1）求m、n的值；（2）把这个多项式按x的降幂排列【答案】（1）；（2）【分析】（1）利用多项式的有关定义得到2+m-1=5，2n+1=5，然后分别求出m、n；（2）根据降幂排列的定义求解解：（1）多项式是五次四项式，解得单项式的次数与该多项式的次数相同，解得；（2）m=4，多项式为，按x的降幂排列为【点拨】本题考查了多项式：几个单项式的和叫做多项式，

13、每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数类型五、据要求写出多项式5、已知代数式：，其中属于单项式的有_；（填序号）属于多项式的有_；（填序号）属于整式的有_（填序号）【答案】，【分析】根据单项式，多项式和整式的定义将所给的代数式分类解：单项式有：，；多项式有：，；整式有：，故答案是：，【点拨】本题考查单项式，多项式和整式的定义，解题的关键是掌握单项式，多项式和整式的分类举一反三：【变式1】指出下列各式中，哪些是单项式、哪些是多项式、哪些是整式？填在相应的横线上：；-x；10；6xy+1；m2n；2x2-x-5；a7；单项式：_；多项式：_；

14、整式：_；【答案】；【分析】，的分母中含有字母，所以它们既不是单项式，也不是多项式，再根据单项式、多项式和整式的概念来分类解：单项式有：-x，10，m2n，a7；多项式有：，6xy+1，2x2-x-5；整式有：，-x，10，6xy+1，m2n，2x2-x-5，a7【点拨】本题主要考查了整式的定义，掌握单项式、多项式和整式的概念和关系是解答此题的关键，注意分式与整式的区别在于分母中是否含有字母【变式2】若将边长为 a、b 的正方形 ABCD 按图 中的比例进行分割，可以拼成一个长方形A1 B1C1D1 不重叠、无缝隙），如图所示.（1）根据图可以拼成图的面积关系，请写出 a 、b 之间存在的关系

15、式；（2）已知图中，四边形 QMNG 与四边形EFGH 分别是以 a 、b 长为边的正方形与图中的 a、b相同），在图 3已有的四边形中，面积相等的四边形有几组？请分别写出.【答案】(1) (2)2组，矩形的面积=正方形的面积和矩形的面积=正方形的面积【分析】(1)根据正方形、矩形的面积公式计算；(2)根据(1)的结论得到，结合图形计算，得到答案解：(1)由题意可得：；(2)由(1)可知,，矩形的面积，正方形的面积，矩形的面积=正方形的面积，则矩形的面积=正方形的面积。【点拨】本题考查整式的混合运算，解题关键在于对于图形面积的结合，利用面积相等去写出等式即可.类型六、整式的判断6、阅读下文，寻

16、找规律：已知：，观察下列各式：；(1)填空：_；_(2)根据你的猜想，计算：_；那么的末尾数字为_【答案】(1)，(2)，1【分析】（1）由题意可知每一个式子的结果为两项的差，被减数的指数比第二个因式中第一项的指数大1，减数都为1，根据这个规律即可直接写出答案；（2）把x=2，n=2020代入所得的规律中即可得到答案；先探究的末尾数字的规律，然后根据规律求解.(1)解：根据规律可得：；原式；(2)解：，把x=2，n=2020代入，得：，的末尾数字是2，的末尾数字是4，的末尾数字是8，的末尾数字是6，的末尾数字是2，的末尾数字是2，的末尾数字是1.【点拨】本题主要考查了探索规律，体现了由一般到特

17、殊的应用，解题的关键是探索出规律，根据规律答题.举一反三：【变式1】阅读下列材料，完成相应的任务：三角形数古希腊著名数学家的毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，这样的数称为“三角形数”，第n个“三角形数”可表示为：发现：每相邻两个“三角形数”的和有一定的规律如：；(1)第5个“三角形数”与第6个“三角形数”的和为_；(2)第n个“三角形数”与第个“三角形数”的和的规律可用下面等式表示：_+_=_，请补全等式并说明它的正确性【答案】(1)36(2)，【分析】（1）根据第n个“三角形数”可表示为：进行求解即可；（2）根据规律得到等式并化简即可证明(1)解：第5个“三角形数”为：；第6个“三角形数”为

18、：；第5个“三角形数”与第6个“三角形数”的和为：15+21=36，故答案是：36；(2)+=理由：左边右边原等式成立故答案是：，【点拨】本题主要考查整式的混合运算的应用，正确理解“三角形数”的概念是解题的关键【变式2】下面各行中的数都是正整数， 观察规律并解答下列问题：(1)数字12的位置在第4行，从左往右数第5个数，可以表示成(4，5)，那么(5，6)表示的数是 (2)第n行有 个数(用含n的代数式表示)(3)数字2022排在第几行？从左往右数第几个数？请简要说明理由【答案】(1)22(2)(3)45行；86个；理由见分析【分析】（1）根据图中的数据，可以发现数字的变化特点，从而写出(5，

19、6)表示的数；（2）根据图中的数据，可以写出第n行的数字个数；（3）根据前面发现的数字的变化特点，可以写出数字2022排在第几行，从左往右数第几个，并说出理由(1)解：由图中的数据可知，第n行的最大的一个数据是，奇数行的数据从左到右依次增大，偶数行的数据从左到右依次减小，第n行有（2n-1）个数，(5，6)表示数字的位置在第5行，从左往右数第6个数，第4行最大的一个数是，第5行的数据从左往右依次为17，18，19，20，21，22，23，24，25，第5行，从左往右数第6个数是22，即 (5，6)表示的数是22，故答案为：22；(2)解：第1行有1个数，第2行有3个数，第3行有5个数， 第n行

20、有（2n-1）个数，故答案为：（2n-1）；(3)解：数字2022排在第45行，从左往右数第86个数理由如下：当为偶数时，该行第一个数为，自左向右减小；当为奇数时，该行最后一个数为，自左向右增大，所以第45行最后一个数（第89个）为2025，数字2022排在第45行，从左往右数第86个数【点拨】本题考查数字的变化规律，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，写出相应的数字类型七、数字类规律探索7、（1）观察下面的点阵图与等式的关系，并填空：第1个点阵第2个点阵_第3个点阵_（2）通过猜想，写出第个点阵相对应的等式：_【答案】（1）22，32，32，42；（2）1+3+5+（2n1）+（2

21、n+1）+（2n1）+5+3+1n2+（n+1）2【分析】（1）根据点阵图即可求解；（2）根据（1）中的3个等式得出规律，进而写出第n个点阵相对应的等式解：（1）第1个点阵 1+3+112+22，第2个点阵 1+3+5+3+122+32，第3个点阵 1+3+5+7+5+3+132+42故答案为22，32，32，42；（2）第n个点阵相对应的等式为：1+3+5+（2n1）+（2n+1）+（2n1）+5+3+1n2+（n+1）2故答案为：1+3+5+（2n1）+（2n+1）+（2n1）+5+3+1n2+（n+1）2【点拨】本题考查了规律型：图形的变化类，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律举

22、一反三：【变式1】问题提出：将一根长度是（的偶数）的细绳按照如图所示的方法对折次（），然后从重叠的细绳的一端开始，每隔1厘米（两端弯曲部分的绳长忽略不计）剪1刀，共剪刀（的整数），最后得到一些长和长的细绳如果长的细绳有222根，那么原来的细绳的长度是多少？问题探究：为了解决问题，我们可以先从最简单的情形入手，再逐次递进，从中找出解决问题的方法探究一：对折1次，可以看成有根绳子重叠在一起，如果剪1刀（如图），左端出现了2根长的细绳，右端出现了根长的细绳，所以原绳长为；如果剪2刀（如图），左端仍有2根长的细绳，中间有根长的细绳，右端仍有根长的细绳， 所以原绳长为；如果剪3刀（如图），左端仍有2根长

23、的细绳，中间有根长的细绳，右端仍有根长的细绳，所以原绳长为；以此类推，如果剪刀，左端仍有2根长的细绳，中间有根长细绳，右端仍有根长的细绳，所以，原绳长为探究二：对折2次，可以看成有根绳子重叠在一起，如果剪1刀（如图），左端出现了2根长的细绳，两端共出现了根长的细绳，所以原绳长为；如果剪2刀（如图），左端仍有2根长的细绳，中间有根长的细绳，两端仍有根长的细绳，所以原绳长为；如果剪3刀（如图），左端仍有2根长的细绳，中间有根长的细绳，两端共有根长的细绳，所以原绳长为；以此类推，如果剪刀，左端仍有2根长的细绳，中间有根长的细绳，两端仍有根长的细绳，所以原绳长为探究三：对折3次（如图），可以看成有根绳

24、子重叠在一起，如果剪刀，左端有2根长的细绳，中间有根长的细绳，两端有根长的细绳，所以原绳长为cm(1)总结规律：对折次，可以看成有 根绳子重叠在一起，如果剪刀，左端有 根长的细绳，中间会有 根长的细绳，两端会有 根长的细绳，所以原绳长为 (2)问题解决：如果长的细绳有222根，根据以上探究过程可以推算出细绳可能被对折了 次，被剪了 刀，原来的细绳的长度是 (3)拓展应用：如果长的细绳有2024根，那么原来的细绳的长度是 【答案】(1)2n，2，（），(2)1或2，111或56，224或228(3)2026【分析】（1）根据题意对折1次，2次，3次的规律，进行推导对折n次的结果；（2）由题意，得

25、2+=222，进而讨论解得情况求m，n即可；（3）方法同（2）进行计算即可(1)解：对折1次，有根绳子重叠在一起，剪刀，左端仍有2根长的细绳，中间有根长细绳，右端有根长的细绳，原绳长为，对折2次，有根绳子重叠在一起，剪刀，左端仍有2根长的细绳，中间有根长的细绳，两端有根长的细绳，原绳长为，对折3次，有根绳子重叠在一起，剪刀，左端仍有2根长的细绳，中间有根长的细绳，两端有根长的细绳，原绳长为，则对折次，可以看成有根绳子重叠在一起，如果剪刀，左端有2根长的细绳，中间会有根长的细绳，两端会有（）根长的细绳，所以原绳长为故答案为：2n，2，（），；(2)解：由题意，得2+=222=220又，220=2

26、110或220=455可以为2，4 =2或4，m-1=110或55n=1或2，m=111或56原绳长为21（111+1）=224或22（56+1）=457=228故答案为：1或2，111或56，224或228；(3)解：由题意，得2+=2024=2022又，2022=21011为2=2，m-1=1011n=1，m=1012原绳长为21（1012+1）=21013=2026故答案为：2026【点拨】本题考查了图形变化类规律探究，解决本题的关键是读懂题意，根据图形变化归纳出规律【变式2】（1）有一列数1、3、5、7有无数项（无数个数），请观察其规律后写出其中第20项（从左往右数第20个数）是 ，第

27、n项是 ；（2）二算法是数学的一种很重要的方法，用二算法可以得到许多很重要的数学公式请观察下图，用二算法推导出13、135、1357的计算结果，猜测1357（2n1）的计算结果；（3）由（2）推导出2462n的结果【答案】（1）39； 2n1；（2） n2；（3）n2+n【分析】（1）由所给的数字可得第n个数为2n1，据此解答即可；（2）对所给的图形进行分析，总结出规律即可；（3）利用（2）的方式进行求解即可解：（1）一列数1、3、5、7，第n个数为：2n1，第20个数为：220139，故答案为：39，2n1；（2）第（2）图中，分层小正方形的个数是（1+3）个，而整体计算小正方形的个数是22，所以，1+322；第（3）图中，分层小正方形的个数是（1+3+5）个，而整体计算小正方形的个数是32，所以，1+3+532；第（4）图中，分层小正方形的个数是（1+3+5+7）个，而整体计算小正方形的个数是42，所以，1+3+5+742；猜测1+3+5+7+（2n1）n2；（3）2+4+6+8+2n1+1+3+1+5+1+7+1+（2n1）+11+3+5+7+（2n1）+nn2+n【点拨】本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是由所给的数字分析清楚存在的规律