专题21.4 二次函数与一元二次方程【八大题型】（举一反三）（沪科版）（原卷版）.docx

1、专题21.4 二次函数与一元二次方程【八大题型】【沪科版】【题型1 根据抛物线与x轴交点个数求字母的值（或取值范围）】1【题型2 利用二次函数的图象确定一元二次方程的实数根】2【题型3 抛物线与x轴交点上的四点问题】3【题型4 抛物线与x轴的截线长问题】3【题型5 图象法确定一元二次方程的近似根】4【题型6 利用二次函数的图象解一元二次不等式】6【题型8 由几何变换后的抛物线与一次函数的交点个数问题求字母取值范围】8【知识点1 二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况】根的判别式二次函数的图象二次函数与x轴的交点坐标一元二次方程根的情况0抛物线与x轴交于，两点，且，此时称抛物线与x

2、轴相交一元二次方程有两个不相等的实数根0抛物线与x轴交切于这一点，此时称抛物线与x轴相切一元二次方程有两个相等的实数根0抛物线与x轴无交点，此时称抛物线与x轴相离一元二次方程在实数范围内无解（或称无实数根）【题型1 根据抛物线与x轴交点个数求字母的值（或取值范围）】【例1】（2023春广东广州九年级期末）已知抛物线y=kx2+2x-1与坐标轴有三个交点，则k的取值范围（）Ak-1Bk-1Ck-1且k0Dk-1且k0【变式1-1】（2018四川资阳九年级四川省安岳中学校考期末）若关于x的函数y=（a+2）x2（2a1）x+a2的图象与坐标轴有两个交点，则a的值为 【变式1-2】（2023春浙江绍

3、兴九年级统考期中）已知抛物线y=x2（4m+1）x+2m1与x轴交于两点，如果有一个交点的横坐标大于2，另一个交点的横坐标小于2，并且抛物线与y轴的交点在点（0，-12）的下方，那么m的取值范围是（）A16m14Bm14D全体实数【变式1-3】（2023春广东惠州九年级校考期末）已知二次函数y=mx2-6mx+6的图象与x交于点A和点B（点B在点A的左侧），与y轴交于点C，ABC是以BC为底的等腰三角形，那么m的值为 【题型2 利用二次函数的图象确定一元二次方程的实数根】【例2】（2023春山西临汾九年级统考期末）如图，二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，图象过点3,0，对称轴为直线x=1

4、，下列结论：abc0；a-b+c=0；y的最大值为3；方程ax2+bx+c+1=0有实数根；4a+c0其中正确的结论为 （填序号）【变式2-1】（2023春辽宁大连九年级统考期中）抛物线y=ax2+bx+c的顶点A在x轴上，点A的坐标如图所示，则一元二次方程ax2+bx+c=0的根是 【变式2-2】（2023春江苏南京九年级南京外国语学校仙林分校校考期末）若关于x的一元二次方程ax2+k=0的一个根为2，则二次函数y=ax+12+k与x轴的交点坐标为（）A-3,0、1,0B-2,0、2,0C-1,0、1,0D-1,0、3,0【变式2-3】（2023春广东广州九年级广州四十七中校考期末）关于x的

5、一元二次方程x2+x=n有两个不相等的实数根，则抛物线y=x2+x-n的顶点在第 象限【题型3 抛物线与x轴交点上的四点问题】【例3】（2023春福建厦门九年级大同中学校考期中）已知抛物线y=(x-x1)(x-x2)+1(x1x2)，抛物线与x轴交于m，0，(n，0)两点(mn)，则m，n，x1，x2的大小关系是（）Ax1mnx2Bmx1x2nCmx1nx2Dx1mx20与x轴交于x1,0，x2,0两点，将此抛物线向上平移，所得抛物线与x轴交于x3,0，x4,0两点，下列说法正确的是（）Ax1+x2x3+x4Bx1+x2x3+x4Cx1+x2=x3+x4Dx1-x2=x3-x4【变式3-2】（

6、2023春山东临沂九年级统考期末）已知抛物线y=x2+bx+c的图象与x轴的两交点的横坐标分别、()，而x2+bx+c-2=0的两根为M、N(MN)，则、M、N的大小顺序为（）AMNBMNCMNDMN0若AD=2BC，则n的值为_【题型4 抛物线与x轴的截线长问题】【例4】（2023春广西玉林九年级统考期中）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2-2mx+m-3（m0）与x轴交于点A，B若线段AB上有且只有7个点的横坐标为整数，则m的取值范围是（）Am0B316316D316m6时，n的取值范围为 【变式4-2】（2023春福建福州九年级统考期末）对于每个非零的自然数n，抛物线y=n(n+

7、1)x2-(2n+1)x+1与x轴交于An、Bn两点，以AnBn表示这两点间的距离，则A1B1+A2B2+A2018B2018的值是（）A20182017B20172018C20192018D20182019【变式4-3】（2023春湖南长沙八年级校联考期末）定义：如果抛物线y=ax2+bx+ca0与x轴交于点Ax1,0，Bx2,0，那么我们把线段AB叫做雅礼弦，AB两点之间的距离l称为抛物线的雅礼弦长(1)求抛物线y=x2-2x-3的雅礼弦长；(2)求抛物线y=x2+n+1x-1(1n3)的雅礼弦长的取值范围；(3)设m，n为正整数，且m1，抛物线y=x2+4-mtx-4mt的雅礼弦长为l1

8、，抛物线y=-x2+t-nx+nt的雅礼弦长为l2，s=l12-l22，试求出s与t之间的函数关系式，若不论t为何值，s0恒成立，求m，n的值【知识点2 求一元二次方程的近似解的方法（图象法）】（1）作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数；（2）由图象与y=h的交点位置确定交点横坐标的范围；（3）观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）【题型5 图象法确定一元二次方程的近似根】【例5】（2023春广东潮州九年级统考期末）在估算一元二次方程x2+12x-15=0的根时，小彬列表如右：由此可估算方程x2+12x-15=0的一个根x的范围是（）x11.11.21

9、.3x2+12x-15-2-0.590.842.29A1x1.1B1.1x1.2C1.2x1.3【变式5-1】（2023春黑龙江绥化八年级绥化市第八中学校校考期中）二次函数y=2x2+4x-1的图象如图所示，若方程2x2+4x-1=0的一个近似根是x=-2.2，则方程的另一个近似根为 （结果精确到0.1）【变式5-2】（2023春全国九年级期中）小朋在学习过程中遇到一个函数y=12xx-32下面是小朋对其探究的过程，请补充完整：(1)观察这个函数的解析式可知，x的取值范围是全体实数，并且y有_值（填“最大”或“最小”），这个值是_；(2)进一步研究，当x0时，y与x的几组对应值如下表：x012

10、1322523724y0251622716151607162结合上表，画出当x0时，函数y=12xx-32的图像；(3)结合（1）（2）的分析，解决问题：若关于x的方程12xx-32=kx-1有一个实数根为2，则该方程其它的实数根约为_（结果保留小数点后一位）【变式5-3】（2023春湖南长沙九年级校联考期中）二次函数y=ax2+bx+c（a0，a，b，c是常数）中，自变量x与函数y的对应值如下表：x-1-120121322523y-2-141742741-14-2一元二次方程ax2+bx+c=0（a0，a，b，c是常数）的两个根x1，x2的取值范围是下列选项中的哪一个 （填序号） -12x1

11、0,32x22-1x1-12,2x252-12x10,2x252-1x1-12,32x2h的解集是2xh的解集是x4Cax2+(b-k)x+ch的解集是x2Dax2+(b-k)x+c=h的解是x=2或x=4【变式6-1】（2023春辽宁大连九年级统考期末）已知：二次函数y=-x2+2x+3(1)将函数关系式化为y=ax-h2+k的形式，并指出函数图像的对称轴和顶点坐标；(2)利用描点法画出所给函数的图像x-10123y(3)当-1x2时，观察图像，直接写出函数值y的取值范围【变式6-2】（2023春山西运城九年级校考期末）定义mina,b,c为a，b，c中的最小值，例如：min5,3,1=1，

12、min8,5,5=5如果min4,-x2+4x,3=3，那么x的取值范围是（）A1x3Bx1或x3C1x3Dx3【变式6-3】（2023春浙江嘉兴九年级统考期末）我们规定：形如y=ax2+bx+ca0的函数叫作“M型”函数如图是“M型”函数y=-x2+4x-3的图象，根据图象，以下结论：图象关于y轴对称；不等式x2-4x+30的解集是-3x-1或1x3；方程-x2+4x-3=k有两个实数解时k0也在该平面直角坐标系中若抛物线与线段PQ有两个不同的交点，则a的取值范围是 【变式7-1】（2023春新疆乌鲁木齐九年级校考期中）已知二次函数y=x2-2mx+2m-1（m为常数）(1)求证：不论m为何

13、值，该二次函数的图象与x轴总有公共点(2)求证：不论m为何值，该二次函数的图象的顶点都在函数y=-x-12的图象上(3)已知点Aa,-1,Ba+2,-1，线段AB与函数y=-x-12的图象有公共点，则a的取值范围是 【变式7-2】（2023春北京九年级北京市第三中学校考期中）在平面直角坐标系xOy中，点A（4，2），将点A向右平移6个单位长度，得到点B（1）直接写出点B的坐标；（2）若抛物线y=-x2+bx+c经过点A，B，求抛物线的表达式；（3）若抛物线y=-x2+bx+c的顶点在直线yx+2上移动，当抛物线与线段AB有且只有一个公共点时，求抛物线顶点横坐标t取值范围【变式7-3】（2023

14、春福建泉州九年级校考期末）已知：在平面直角坐标系中，A-1,0，B4,0，抛物线y=x2-2x+n与线段AB有唯一公共点，则n可以取 （写出所有正确结论的序号）n=1；n=2；n-8；-8n0）的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，形成新的图象记为y1，另有一次函数y=x+2的图象记为y2，若y1与y2恰有两个交点时，则m的范围是 【变式8-2】（2023春浙江杭州九年级校考期末）如图，抛物线y=-2x2+8x-6与x轴交于点A，B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作C1，将C1向右平移得C2，C2与x轴交于点B，D，若直线y=x+m与C1，C2共有3个不同的交点，则m的取值范围是 【变式8-3】（2023春浙江九年级期末）对于某一函数给出如下定义：对于任意实数m，当自变量xm时，函数y关于x的函数图象为G1，将G1沿直线x=m翻折后得到的函数图象为G2，函数G的图象由G1和G2两部分共同组成，则函数G为原函数的“对折函数”，如函数y=x(x2)的对折函数为y=x(x2)-x+4(x2).(1)求函数y=(x-1)2-4(x-1)的对折函数；(2)若点P(m,5)在函数y=(x-1)2-4(x-1)的对折函数的图象上，求m的值；(3)当函数y=(x-1)2-4(xn)的对折函数与x轴有不同的交点个数时，直接写出n的取值范围.