专题21函数与直角三角形的存在性问题-【压轴必刷】2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案（原卷版）.docx

1、【压轴必刷】2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案专题21函数与直角三角形的存在性问题 解题策略经典例题【例1】（2022春绿园区期末）如图，在RtABC中，ACB90，ACBC6，动点P从点A出发，沿AC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动，过点P作PQAB于点Q，将线段PQ绕点P逆时针旋转90得到线段PR，连结QR设四边形APRQ与RtABC的重叠部分的面积为S，点P的运动时间为t（t0）秒（1）线段AP的长为 （用含t的代数式表示）（2）当点R恰好落在线段BC上时，求t的值（3）求S与t之间的函数关系式（4）当CPR为直角三角形时，直接写出t的值【例2】（2022春成华区校级期中）如

2、图，在平面直角坐标系内，点O为坐标原点，经过A（2，6）的直线交x轴正半轴于点B，交y轴于点C，OBOC，直线AD交x轴负半轴于点D，若ABD的面积为27（1）求直线AB的表达式和点D的坐标；（2）横坐标为m的点P在线段AB上（不与点A、B重合），过点P作x轴的平行线交AD于点E，设PE的长为y（y0），求y与m之间的函数关系式并直接写出相应的m取值范围；（3）在（2）的条件下，在x轴上是否存在点F，使PEF为等腰直角三角形？若存在求出点F的坐标；若不存在，请说明理由【例3】如图，在平面直角坐标系中，C（8，0）、B（0，6）是矩形ABOC的两个顶点，点D是线段AB上的一个动点（不与A、B重合

3、），双曲线y（k0）经过点D，与矩形ABOC的边AC相交于点E（1）如图，当点D为AB中点时，k的值为 ，点E的坐标为 （2）如图，当点D在线段AB上的任意位置时（不与A、B重合），连接BC、DE，求证：BCDE（3）是否存在反比例函数上不同于点D的一点F，满足：ODF为直角三角形，ODF90，且tanDOF，若存在，请直接写出满足以上条件时点D的横坐标，若不存在，请说明理由【例4】（2022巴南区自主招生）已知在平面直角坐标系中，二次函数yx2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，A（4，0），B（12，0），C（0，6）（1）求这个二次函数的解析式；（2）如图1

4、，点P为直线BC下方抛物线上的一个动点，过点P作PDy轴交直线BC于点D，过点P作PEBC交x轴于点E，求PD+BE的最大值及此时点P的坐标；（3）如图2，将抛物线沿射线CB方向平移3个单位，得到新抛物线y，点F为y的对称轴上任意一点，若以点B、C、F为顶点的三角形是直角三角形，请直接写出符合条件的点F的坐标培优训练一解答题1（2022秋南关区校级月考）在RtABC中，ACB90，A30，BC2，动点F从点A出发沿折线ACCB向终点B运动，在AC上的速度为每秒个单位长度，在BC上的速度为每秒1个单位长度当点F不与点C重合时，以CF为边在点C的右上方作等边CFQ，设点P的运动时间为t（秒），点F

5、到AB的距离为h（1）AC ；（2）求h与t的函数关系式，并写出t的取值范围；（3）当点F在AC边上运动，且点Q到AB的距离为h时，求t的值；（4）取AB边的中点D，连结FD、CD，当FCD是直角三角形时，直接写出t的值2（2021罗湖区校级模拟）如图1，已知抛物线yx2+bx+c经过原点O，它的对称轴是直线x2，动点P从抛物线的顶点A出发，在对称轴上以每秒1个单位的速度向上运动，设动点P运动的时间为t秒，连接OP并延长交抛物线于点B，连接OA，AB（1）求抛物线的函数解析式；（2）当AOB为直角三角形时，求t的值；（3）如图2，M为AOB的外接圆，在点P的运动过程中，点M也随之运动变化，请你

6、探究：在1t5时，求点M经过的路径长度3（2012芜湖县校级自主招生）学习过三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系，我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad）如图，在ABC中，ABAC，顶角A的正对记作sadA，这时sadA容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的根据上述对角的正对定义，解下列问题：（1）sad60的值为 A B1 CD2（2）对于0A180，A的正对值sadA的取值范围是 （3）已知sin，其中为锐角，试求sad的值4（2022秋

7、法库县期中）如图，已知函数yx+1的图象与y轴交于点A，一次函数ykx+b的图象经过点B（0，1），与x轴以及yx+1的图象分别交于点C，D，且点D的坐标为（1，n）（1）则k ，b ，n ；（2）若函数ykx+b的值大于函数yx+1的函数值，则x的取值范围是 ；（3）求四边形AOCD的面积；（4）在x轴上是否存在点P，使得以点P，C，D为顶点的三角形是直角三角形，请直接写出点P的坐标5（2022秋同安区期中）如图，直线分别与x轴、y轴交于A点与B点，函数的图象经过B点点P是抛物线上的一个动点，过点P作x轴的垂线PD，过点B作BDPD于点D（1）求该二次函数的解析式；（2）连接AD，当ABD为

8、直角三角形时，求BD的长；（3）将BDP绕点B逆时针旋转45，得到BDP，当点P的对应点P落在坐标轴上时，请求出点P的坐标6（2022秋禅城区校级期中）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数y3x+6分别与x轴和y轴交于点C和点B，已知A（6，0），（1）写出点B，点C的坐标和ABC的面积；（2）直线l经过A、B两点，求直线AB的解析式；（3）点D是在直线AB上的动点，是否存在动点D，使得？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；（4）如图2，P为A点右侧x轴上的一动点，以P为直角顶点、BP为腰在第一象限内作等腰直角三角形BPQ，连接QA并延长交y轴于点K当P点运动时，K点的位置是否发生变

9、化？如果不变，请求出它的坐标；如果变化，请说明理由7（2022秋工业园区校级期中）如图，已知点P是第一象限内二次函数yx2+2mx+3m2（m0）图象上一点，该二次函数图象与x轴交于A、B两点（A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接AC（1）线段AB的长为 （用含m的代数式表示）；（2）当m1时，点D与C点关于二次函数图象对称轴对称，若AD平分CAP，求点P的坐标；（3）若ABC是直角三角形，点E是AP与BC的交点，则的最小值是多少？直接写出答案即可8（2022秋西湖区期中）如图，在ABC中，ABAC5，BC6，以BC为一边向下作矩形BDEC，其中DB3M为线段AB上的动点（且不与A、B重合）

10、，过M作MNDE，交DB于点N（1）如图1，以MN为边作矩形MNPQ，使边NP在线段DE上，点Q在AC上当MN为5时，矩形MNPQ的面积为 ；设MNx，矩形MNPQ的面积为y，试求出y关于x的函数表达式；矩形MNPQ的面积y是否有最大值，若有，请求出这个最大值；若没有，请说明理由（2）如图2，过点N作AB的平行线，交线段AC于点F，连接MF，若MNF为直角三角形，请直接写出线段MN的长度9（2022秋梁溪区校级期中）如图1，RtMCD中，MCD90，MD5，CD4O为边MD上一点，以O为圆心，MO为半径的O与边CD相切于点F，交MC、MD于点E、N点A、B分别在线段MN、MC上（不与端点重合）

11、，且满足（1）求MO的长；设BMx，ADy，求y与x之间的函数关系式；（2）如图2，作APMC，交CD于点P，连接AB，BP当ABP为直角三角形时，求BM的长；当点E关于BP的对称点E落在边MD上时，请直接写出的值10（2022秋市北区期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1x+2的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，的图象与x轴，y轴分别交于点D，E，且两个函数图象相交于点C（m，5）（1）填空：m ，b ；（2）求ACD的面积；（3）在线段AD上是否存在一点M，使得ABM的面积与四边形BMDC的面积比为4：21？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由（4）点P在线段AD上，连接C

12、P，若ACP是直角三角形，请直接写出所有符合条件的点P坐标11（2022秋南湖区校级期中）在矩形ABCD中，AB6cm，BC12cm，E是AB边上一动点，以1cm/s的速度从点B出发，到A停止运动；F是BC边上一动点，以2cm/s的速度从点B出发，到点C停止运动设动点运动的时间为t（s），DEF的面积为S（cm2）（1）求S关于t的函数表达式，并求自变量t的取值范围（2）当DEF是直角三角形时，求DEF的面积12（2022秋罗湖区校级期中）建立模型：（1）如图1，等腰直角三角形ABC的直角顶点在直线l上过点A作ADl交于点D，过点B作BEl交于点E，求证：ADCCEB模型应用：（2）如图2，在

13、平面直角坐标系中，直线l1：y2x+4分别与y轴，x轴交于点A，B，将直线l1绕点A顺时针旋转45得到l2，求l2的函数表达式；（3）如图3，在平面直角坐标系，点B（6，4），过点B作ABy交于点A，过点B作BCx交于点C，P为线段BC上的一个动点，点Q（a，2a4）位于第一象限问点A，P，Q能否构成以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，若能，请求出a的值；若不能，请说明理由13（2022秋天桥区期中）如图，在平面直角坐标系中，直线l1的解析式为yx，直线l2与x轴交于点A，与y轴交于点B（0，3），与l1交于点C（2，m）（1）求出直线l2的函数关系式；（2）在y轴右侧有一动直线平行于y轴，分别

14、与l1、l2交于点M、N，当点M在点N的上方，且满足MNOB时，请求出点M与点N的坐标；当点M在点N的下方时，y轴上是否存在点Q，使MNQ为等腰直角三角形？若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由14（2022秋甘井子区校级月考）抛物线yx2+bx+c过A（1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C，点C、D关于抛物线的对称轴对称（1）抛物线的解析式是 ，ABD的面积为 ；（2）在直线AD下方的抛物线上存在点P，使APD的面积最大，求出最大面积（3）当txt+1时，函数yx2+bx+c的最小值为5，求t的值（4）若点M在y轴上运动，点N在x轴上运动，当以点D、M、N为顶点的

15、三角形为等腰直角三角形时，请直接写出此时M点的坐标15（2022秋荣县校级月考）如图，已知一条直线过点（0，4），且与抛物线y交于A、B两点，其中点A的横坐标是2（1）求这条直线的函数关系式及点B的坐标；（2）在x轴上是否存在点C，使得ABC是直角三角形？若存在，求出点C的坐标，若不存在，请说明理由；（3）过线段AB上一点P，作PMx轴，交抛物线于点M，点M在第一象限；点N（0，1），当点M的横坐标为何值时，MN+3MP的长度最大？最大值是多少？16（2022秋汉川市校级月考）如图，在平面直角坐标系中，二次函数yx2+bx+c的图象与坐标轴相交于A、B、C三点，其中A点坐标为（4，0），B点坐

16、标为（1，0），连接AC、BC动点P从点A出发，在线段AC上以每秒个单位长度向点C做匀速运动；同时，动点Q从点B出发，在线段BA上以每秒1个单位长度向点A做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接PQ，设运动时间为t秒（1）求二次函数的解析式（2）在P、Q运动的过程中，当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小，最小值为多少？（3）在线段AC上方的抛物线上是否存在点M，使MPQ是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由17（2022秋鼓楼区校级月考）如图，抛物线yx2x3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C直线l与抛物线交

17、于A，D两点，与y轴交于点E，点D的坐标为（4，3）（1）请直接写出A，B两点的坐标及直线l的函数表达式；（2）若点P是抛物线上的点，点P的横坐标为m（m0），过点P作PMx轴，垂足为MPM与直线l交于点N，当点N是线段PM的三等分点时，求点P的坐标；（3）若点Q是对称轴上的点，且ADQ为直角三角形，求点Q的坐标18（2022春武侯区校级期中）【模型建立】：（1）如图，在RtABC中，ACB90，CBCA，直线ED经过点C，过点A作ADED于点D，过点B作BEED于点E，求证：BECCDA；【模型应用】：（2）如图，已知直线l1：y2x+4与x轴交于点A、与y轴交于点B，将直线l1绕点A顺时针

18、旋转45至直线l2，求直线l2的函数表达式；（3）如图，平面直角坐标系内有一点B（4，6），过点B作BAx轴于点A、BCy轴于点C，点P是线段AB上的动点，点D是直线y3x+3上的动点且在第三象限内试探究CPD能否成为等腰直角三角形？若能，求出点D的坐标，若不能，请说明理由19（2022秋齐齐哈尔月考）综合与探究如图，抛物线yax2+bx+c（a0）与x轴交于A（3，0）、B两点，与y轴相交于点C（0，）当x4和x2时，二次函数ya2+bx+c（a0）的函数值y相等，连接AC、BC（1）求抛物线的解析式；（2）判断ABC的形状，并说明理由；（3）若点M、N同时从B点出发，均以每秒1个单位长度的

19、速度分别沿BA、BC边运动，其中一个点到达终点时，另点也随之停止运动当运动时间为t秒时，连接MN，将BMN沿MN翻折，B点恰好落在AC边上的P处，则t的值为 ，点P的坐标为 ；（4）抛物线对称轴上是否存在一点F，使得ACF以AC为直角边的直角三角形？若不存在请说明理由；若存在，请直接写出点F的坐标20（2022秋双流区校级月考）如图1，平面直角坐标系中，直线yx+m交x轴于点A（4，0），交y轴正半轴于点B（1）求AOB的面积；（2）如图2，直线AC交y轴负半轴于点C，ABBC，P为射线AB（不含A点）上一点，过点P作y轴的平行线交射线AC于点Q，设点P的横坐标为t，线段PQ的长为d，求d与t

20、之间的函数关系式；（3）在（2）的条件下，在y轴上是否存在点N，使PQN是等腰直角三角形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由21（2022秋大连月考）如图，矩形OABC顶点B的坐标为（8，3），定点D的坐标为（12，0），动点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴的正方向匀速运动，动点Q从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴的负方向匀速运动，P、Q两点同时运动，相遇时停止在运动过程中，以PQ为斜边在x轴上方作等腰直角三角形PQR，设运动时间为t秒，PQR和矩形OABC重叠部分的面积为S（1）当t 时，PQR的边QR经过点B；（2）求S关于t的函数关系式，并写出t的取值范围

21、22（2022秋思明区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，二次函数yx2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C（0，3），A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0）点P是抛物线上一个动点，且在直线BC的上方（1）求这个二次函数及直线BC的表达式（2）过点P作PDy轴交直线BC于点D，求PD的最大值（3）点M为抛物线对称轴上的点，问在抛物线上是否存在点N，使MNO为等腰直角三角形，且NMO为直角，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由23（2022秋越秀区校级月考）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（1，0），B（0，2），以AB为边向右作等腰直角ABC，BAC90，ABA

22、C，二次函数的图象经过点C（1）求二次函数的解析式；（2）平移该二次函数图象的对称轴所在的直线l，若直线l恰好将ABC的面积分为1：2两部分，请求出直线l平移的最远距离；（3）将ABC以AC所在直线为对称轴翻折，得到ABC，那么在二次函数图象上是否存在点P，使PBC是以BC为直角边的直角三角形？若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由24（2022秋石阡县月考）如图1，一次函数ykx2（k0）的图象与y轴交于点A，与反比例函数（x0）的图象交于点B（3，b），连接OB（1）b ，k （2）若点P在第三象限内，是否存在点P使得OBP是以OB为直角边的等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由（3）如图2，C是线段AB上一点（不与点A，B重合），过点C且平行于y轴的直线l交该反比例函数的图象于点D，连接OC，OD，BD若四边形OCBD的面积为3，求点C的坐标