专题23.3 构造直角三角形解题四大题型（沪科版）（解析版）.docx

1、专题23.3 构造直角三角形解题四大题型【沪科版】考卷信息：本套训练卷共40题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生构造直角三角形解题四大题型的理解！【题型1 三角形作高法】1（2023秋江苏南通九年级统考期末）如图，在ABC中，A=30，AC=23，tanB=32，则AB的长为（）A2+23B3+3C4D5【答案】D作CDAB于D，根据A=30，AC=23，算出CD和AD，再根据tanB=CDBD=32，算出BD，最后根据AB=AD+BD计算即可【详解】如下图，作CDAB于D，在RtACD中，A=30，AC=23，CD=12AC=3，AD=3CD=3，在RtBCD中，tanB=C

2、DBD=32，3BD=32，BD=2，AB=AD+BD=3+2=5，故选：D【点睛】本题考查了用锐角三角函数解非直角三角形，作垂直构造直角三角形是解题的关键2（2023春江苏九年级专题练习）如图，直线y=34x+3交x轴于A点，将一块等腰直角三角形纸板的直角顶点置于原点O，另两个顶点M、N恰落在直线y=34x+3上，若N点在第二象限内，则tanAON的值为（）A17B16C15D18【答案】A过O作OCAB于C，过N作NDOA于D，设N的坐标是（x，34x+3），得出DN=34x+3，OD=-x，求出OA=4，OB=3，由勾股定理求出AB=5，由三角形的面积公式得出AOOB=ABOC，代入求出

3、OC，根据sin45=OCON，求出ON，在RtNDO中，由勾股定理得出（34x+3）2+（-x）2=(1225)2，求出N的坐标，得出ND、OD，代入tanAON=NDOD求出即可【详解】过O作OCAB于C，过N作NDOA于D，N在直线y=34x+3上，设N的坐标是（x，34x+3），则DN=34x+3，OD=-x，y=34x+3，当x=0时，y=3，当y=0时，x=-4，A（-4，0），B（0，3），即OA=4，OB=3，在AOB中，由勾股定理得：AB=5，在AOB中，由三角形的面积公式得：AOOB=ABOC，34=5OC，OC=125，在RtNOM中，OM=ON，MON=90，MNO=4

4、5，sin45=OCON=125ON，ON=1225，在RtNDO中，由勾股定理得：ND2+DO2=ON2，即（34x+3）2+（-x）2=(1225)2，解得：x1=-8425，x2=1225，N在第二象限，x只能是-8425，34x+3=1225，即ND=1225，OD=8425，tanAON=NDOD=17故选A【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理，三角形的面积，解直角三角形等知识点的运用，主要考查学生运用这些性质进行计算的能力，题目比较典型，综合性比较强3（2023秋黑龙江哈尔滨九年级哈尔滨市萧红中学校考阶段练习）在ABC中，若AB=58，tanB=37，AC=35，

5、则BC= 【答案】1或13过点A作ADBC于点D，分高AD在三角形内部和三角形外部两种情况进行讨论求解【详解】解：过点A作ADBC于点D，分两种情况讨论：当AD在ABC的外部时，如图：tanB=ADBD=37，设AD=3x,BD=7x，则：AB=AD2+BD2=58x=58，x=1，AD=3,BD=7，CD=AC2-AD2=6，BC=BD-CD=1；当AD在ABC的内部时，如图：同法可得：BD=7,CD=6，BC=BD+CD=13；综上：BC=1或13；故答案为：1或13【点睛】本题考查解非直角三角形，解题的关键是构造直角三角形，利用数形结合和分类讨论的思想，进行求解4（2023天津河北统考二

6、模）如图，在矩形ABCD中，AB=2,BC=23，连接AC，点E在AC上，DEF=90,EC平分DEF,AE= 【答案】3-3/-3+3过点D作DGAC，由DEF=90,EC平分DEF可得DEG是等腰直角三角形，再根据矩形性质和勾股定理易求对角线AC长，进而解三角形求出CG、DG即可解答【详解】解：过点D作DGAC，如图：DEF=90,EC平分DEF，DEG=45，DG=EG，在矩形ABCD中，AB=2,BC=23，CD=2，AD=23，ADC=ABC=90，AC=AD2+CD2=4，sinACD=ADAC=32，cosACD=CDAC=12，EG=GD=CDsinACD=232=3，GC=C

7、DcosACD=212=1，AE=AC-EG-GC=4-3-1=3-3，故答案为：3-3【点睛】本题主要考查了矩形性质和解三角形，解题关键是过点D作DGAC构造DEG是等腰直角三角形，再解三角形5（2023上海九年级假期作业）如图，将平行四边形ABCD沿着对角线AC翻折，点B的对应点为M，CM交AD于点N，如果B=76，ACM=DCM+10，且NC=m，那么平行四边形ABCD的周长为 （参考数据：cos760.24,tan764）【答案】4.96m由B=76，四边形ABCD为平行四边形，折叠的性质可得ANC是等腰三角形，AN=NC，设DCM=x，则ACM=ACB=x+10，由三角形的内角和定理

8、解得DCM=28，由外角性质可证明DNC为等腰三角形，继而得到DN=CN=AN=m，解得BCM=2ACM=76，分别过点A、N作AEBC,NFBC，利用余弦定理分别解得BE、FC的长，最后求得平行四边形的周长【详解】解：B=76，四边形ABCD为平行四边形，D=76翻折ACM=ACBAB/CDDAC=ACBACM=DACANC是等腰三角形 AN=NC设DCM=x，则ACM=ACB=x+10在DAC中，由三角形内角和定理可得x+2(x+10)+76=180x=28BCM=2ACM=2(x+10)=76分别过点A、N作AEBC,NFBC在RtNFC中，FC=NCcos76=0.24m在RtABE中

9、，BE=ABcos76=0.24mBC=BE+EF+FC=0.24m+m+0.24m=1.48m平行四边形ABCD的周长为2(AB+BC)=2(m+1.48m)=4.96m故答案为：4.96m【点睛】本题考查平行四边形的性质、三角形内角和定理、图形的翻折变换等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键6（2023春重庆九年级重庆实验外国语学校校考期末）如图，在三角形ABC中，ACB90，AB5，AC4，点D、点E分别为线段AC、AB上的点，连结DE将ADE沿DE折叠，使点A落在BC的延长线上的点F处，此时恰好有BFE30，则CF的长度为_【答案】203-2413过点E作EGBF于G，根据勾股定理

10、求得BC的长，继而求得tanA=BCAC=34，设GB=3k,GE=4k，则BE=5k，则AE=EF=2GE=8k，根据AB=BE+AE=13k=5，解得k=513，在RtGFE中，GF=3GE=20313，根据FC=GF-GC即可求解【详解】过点E作EGBF于G，如图，BFE30，GE=12EF，ACB90，AB5，AC4，BC=AB2-AC2=52-42=3，tanA=BCAC=34，GEBC,ACBC，GEAC，tanBEG=GBGE=34，GE=43BG，设GB=3k,GE=4k，则BE=5k，AE=EF=2GE=8k，AB=BE+AE=13k=5，解得k=513，GE=4k=2013

11、，BG=3k=1513，GC=BC-BG=3-1513=2413，在RtGFE中，GF=3GE=20313，FC=GF-GC=203-2413，故答案为：203-2413【点睛】本题考查了折叠的性质，解直角三角形，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，求得GC的长是解题的关键7（2023山西校联考二模）如图，在RtABC和RtDBE中，BAC=BDE=90，AB=AC，DBC=30，且点B，C，E在同一条直线上，AC与BD交于点F，连接CD、AD，若BD=BC，DE=8则AD的长为 【答案】12-43/-43+12先证明ADBE，由此得到DAC=ACB，可见ADC的DAC、边AC、ACD都是

12、确定的，因此可通过解ADC求出AD长【详解】解：如图，分别过点A、D作AMBE，DNBE，则AMDN，在RtABC和RtDBE中，由BAC=BDE=90，AB=AC，DBC=30可得：ABC=ACB=45，E=60，BD=BC，DBC=30，BCD=BDC=75，ACD=30，在RtDBE中，BD=DEcotDBC=8cot30=83，BC=83，在RtABC中，AB=BCcosABC=83cos45=46，AC=46，分别解RtABM和RtDEN，可得AM=43，DN=43，AM=DN，又AMDN，四边形AMND是平行四边形，ADBE，DAC=ACB=45，解ADC，过点D作DHAC，由于D

13、AC=45，ACD=30，故可设DH=k，则AH=k，AD=2k，HC=3k，由于AC=46，故得到3k+k=46，解得k=62-26，AD=2k=12-43【点睛】本题重点考查了解直角三角形的相关知识在直角三角形中，知道了除直角外的两个元素（至少有一个元素是边），就可以求出这个直角三角形的其他三个元素如果没有直角三角形，有时需要构造直角三角形本题中的ADC的DAC、边AC、ACD经过分析可知都是确定的，故可“化斜为直”，构造直角三角形是解题的关键8（2023春上海静安九年级上海市静安区教育学院附属学校校考期中）如图，在菱形纸片ABCD中，AB=2，A=60，将菱形纸片翻折，使得点A落在CD的

14、中点E处，折痕为FG，点FG分别在边ABAD上，则sinEFG= 【答案】277作GNAB于N，作EMAD交AD延长线于M，连接BE，BD在RtDME，RtGME，RtAGN，RtEFB中，根据勾股定理可求DM，ME，AN，EF的长，即可求FN的长，即可得sinEFG值【详解】解：如图：作GNAB于N，作EMAD于M，连接BE，BD四边形ABCD是菱形，AB=2CD=AD=AB=2，AB/DCAB/CDA=MDC=60E是CD中点DE=1MEAD，MDC=60MED=30，且MEADDM=12，ME=3DM=32，折叠，AG=GE，AFG=EFG，在RtGME中，GE2=GM2+ME2，GE2

15、=(2-GE+12)2+34，GE=75，在RtAGN中，A=60，GNAB，AG=2ANAN=710，GN=7310，BC=CD=2，C=60，BCD是等边三角形，E点是CD中点，BECD，DE=1，BDC=60，BE=3，AB/DC，ABE=90，在RtEFB中，EF2=BE2+BF2，EF2=3+(2-EF)2，EF=74，AF=74，NF=AF-AN，NF=2120，在RtGNF中，GF=GN2+FN2=72120，sinEFG=sinGFN=GNFG=731072120=277【点睛】本题考查了折叠问题，解非直角三角形，菱形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，添加恰当的辅

16、助线构造直角三角形是本题的关键9（2023山东潍坊校考一模）如图，在RtABC中，ABC=90，AB=3，AC=5，ABC和ACB的平分线相交于点D，过点D作DE/AC交BC于点E，那么DE的长为 【答案】53过点D作DFBC于点F，由题意易得DBC=45，ACB=DEB，则有sinACB=sinDEB=35，然后根据三角函数及线段的和差可求解【详解】解：过点D作DFBC于点F，如图所示：ABC=90，ABC和ACB的平分线相交于点D，DBC=45，DCB=ACD，DFB是等腰直角三角形，即DF=BF，DEAC，ACB=DEB，ACD=CDE，CDE=DCE，DE=EC，AB=3，AC=5，B

17、C=4，sinACB=sinDEB=ABAC=35，设DF=BF=3x，则有：EF=4x，DE=EC=5x，3x+4x+5x=4，解得x=13，DE=53；故答案为53【点睛】本题主要考查解直角三角形，熟练掌握三角函数是解题的关键10（2023春江苏苏州九年级苏州市景范中学校校考期末）如图，已知ABC是面积为43的等边三角形，ABCADE，AB2AD，BAD45，AC与DE相交于点F，则AEF的面积等于 （结果保留根号）【答案】3-3根据相似三角形面积比等于相似比的平方求得三角形ADE的面积，然后求出其边长，过点F作FHAE，过C作CMAB，利用三角函数求出HF的值，即可得出三角形AFE的面积

18、.【详解】解：作CMAB于M，等边ABC的面积是43，设BM=x，tanBCM=BMCM=33，BM=33CM，12CMAB=12233CM2=43，CM=23，BM=2，AB=4，AD=12AB=2，在EAD中，作HFAE交AE于H，则AFH=45，EFH=30，AH=HF，设AH=HF=x，则EH=xtan30=33x又AH+EH=AE=AD=2，x+33x=2，解得x=3-3SAEF=122（3-3）=3-3故答案为3-311（2023秋全国九年级校联考期中）如图，在ABC中，AB=AC=5，BC=8，D是边AB上一点，且tanBCD=12（1）试求sinB的值；（2）试求BCD的面积.

19、【答案】（1）sinB=35；（2）SBCD=485.（1）作AHBC，则ABH中，根据勾股定理即可求得AH的长，即可求得sinB；（2）作DEBC，则根据勾股定理可以求得BE的长，求得BC=BE+EC，即4k+6k=8，求得k的值即可求BCD的面积【详解】（1）作AHBC ，垂足为H ，AB=AC=5 ，BH=12BC=128=4 在ABH 中，AH=AB2-BH2=52-42=3 sinB=AHAB=35 （2）作DEBC,垂足为E,在BDE中， sinB=35，令DE=3k ,BD=5k ，则BE=BD2-DE2=4k ，又在CDE中，tanBCD=12，则CE=DEtanBCD=3k1

20、2=6k ，于是BC=BE+EC ，即4k+6k=10k ，解得k=45 ，SBCD=12BCDE=121045345=485.【点睛】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了直角三角形中三角函数值的计算，本题中正确求三角函数值是解题的关键12（2023秋河南驻马店九年级统考期末）如图1，一副含30和45角的三角板ABC和DEF拼合在一个平面上，边AC与EF重合AC6，当点E从点A出发沿AC方向滑动时，点F同时从点C出发沿射线BC方向滑动(1)如图2，点E在边AC上，点F在射线CG上，连接CD，求证：CD平分ACG；(2)若AE0时，CD_；AE3时，CD_；(3)当点E从点A滑动到点C

21、时，则点D运动的路径长是_【答案】(1)证明见解析(2)32，32+362(3)12-62（1）过点D作DMAC于点M，DNBG于点N，利用AAS证明DEMDFN，可得DM=DN，即可得到结论；（2）当AE=0时，由ACD是等腰直角三角形，得AC=2CD=6；从而可得CD的长度，当AE=3时，作EHCD于点H，解ECD即可得到CD的长度；（3）由（1）知，CD平分ACG，从而可确定点D在射线CD上运动，通过起点和终点可以分析出点D是往返型运动，再确定在运动过程中CD的最大值和最小值即可求解【详解】（1）证明：过D点作DMAC于点M，DNBG于点N，DMEDNF=90，ACG=90，MDN=90

22、，DEF是等腰直角三角形EDF=90，DE=DF，EDM+MDF=MDF+FDN=90，EDM=FDN，DEMDFN （AAS）DM=DN点D在ACG的角平分线上CD是ACG的角平分线（2）当AE=0时，AC=6，ACD是等腰直角三角形，AC=2CD=6，CD=32当AE=3时，作EHCD交CD于点H，CE=6-3=3，ACD=45，EH=CH=22CE=322,在RtEDF中，FE=6DE=22FE=32，在RtEDH中，EH=322， DE =32，DH=(32)2-(322)2 =18-92=362，CD=CH+DH=322+362=32+362故答案为：32，32+362（3）由（1）

23、知，点D在ACG的平分线上运动，当点E从点A滑动到点C时，线段CD的长度先变长再变短当点E与点A重合时，CD最短=32，当DEAC时，CD最长=6，故点D的运动路径=2(6-32)）=12-62故答案为：12-62【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的性质，角平分线的性质和判定，能够熟练全等三角形的判定和性质，以及分析动点的运动轨迹是解决本题的关键【题型2 连接四边形不相邻两顶点法】1.（2023秋河南驻马店九年级统考期末）如图，矩形ABCD中，BC=4，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转90，点B，D分别落在点B，D处，如果点B，D，C在同一条直线上，那么tanDCD的值为(

24、) A. 52B. 5-12C. 4D. 12【答案】B【解析】本题主要考查矩形的性质、旋转的性质及三角函数的定义，利用旋转的性质和正切函数的定义求得矩形的宽是解题的关键连接C、B、D，由题意可知DCB=ADB，可设AB=x，则可知CD=AB=x，BD=4-x，利用正切函数的定义可得关于x的方程，可求得x的值，再由正切函数的定义可求得答案【解答】解：如图，四边形ABCD为矩形，BC=AD=4，由旋转的性质可得AB=AB，AD=AD=BC=4，设AB=x，则CD=AB=x，BD=4-x，D、B、C在同一条直线上，且DB/CD，DCB=ADB，tanCBA=tanADB，即x4=4-xx，解得x=

25、-2+2 5或x=-2-2 5(小于0，不合题意，舍去)，tanDCD=x4= 5-12，故选B2.（2023秋湖南永州九年级校考期中）菱形ABCD中，AEBC于E，交BD于F点，下列结论：BF为ABE的角平分线；DF=2BF；2AB2=DFDB；sinBAE=EFAF.其中正确的为()A. B. C. D. 【答案】D【解析】解：四边形ABCD是菱形，BF为ABE的角平分线，故正确；连接AC交BD于点O，四边形ABCD是菱形，AB=BC=AD，当ABC=60时，ABC是等边三角形，即AB=AC，则DF=2BF，ABC的度数不定，DF不一定等于2BF；故错误；AEBC，AD/BC，AEAD，F

26、AD=90，四边形ABCD是菱形，ACBD，OB=OD=12DB，AD=AB，AOD=FAD=90，ADO=FDO，AODFAD，AD：DF=OD：AD，AD2=DFOD，AB2=DF12DB，即2AB2=DFDB；故正确；连接CF，在ABF和CBF中，AB=CBABF=CBFBF=BF，ABFCBF(SAS)，BCF=BAE，AF=CF，在RtEFC中，sinECF=EFCF=EFAF，sinBAE=EFAF故正确故选：D由四边形ABCD是菱形，即可得BF为ABE的角平分线；可得正确；由当ABC=60时，DF=2BF，可得错误；连接AC，易证得AODFAD，由相似三角形的对应边成比例，可证得

27、AD：DF=OD：AD，继而可得2AB2=DFDB，即正确；连接FC，易证得ABFCBF(SAS)，可得BCF=BAE，AF=CF，然后由正弦函数的定义，可求得正确此题考查了相似三角形的判定与性质、菱形的性质、全等三角形的判定与性质以及锐角三角函数的定义此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用3.（2023秋江苏盐城九年级校联考期末）如图所示，将一副三角板摆放在一起，组成四边形ABCD，ABC=ACD=90，ADC=60，ACB=45，连接BD，则tanCBD的值为_【答案】 3-12【解析】本题考查了解直角三角形，同时考查了特殊角的三角函数值，如何作辅助线，是解题的关键如图

28、所示，连接BD，过点D作DE垂直于BC的延长线于点E，构造直角三角形，将CBD置于直角三角形中，设CE为1，根据特殊直角三角形分别求得线段CD、AC、BC，从而按正切函数的定义可解【解答】解：如图所示，连接BD，过点D作DE垂直于BC的延长线于点E，在RtABC中，ACB=45，在RtACD中，ACD=90DCE=45，DECE，CED=90，CDE=45设DE=CE=1，则CD= 2，在RtACD中，CAD=30，tanCAD=CDAC，则AC= 6，在RtABC中，BAC=BCA=45，BC= 3，在RtBED中，tanCBD=DEBE=11+ 3= 3-12故答案为： 3-124.（20

29、23黑龙江哈尔滨校考模拟预测）如图，在四边形ABCD中，AB=AD=6，ABBC，ADCD，BAD=60，点M、N分别在AB、AD边上，若AM：MB=AN：ND=1：2.则cosMCN=_【答案】1314【解析】此题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理以及解直角三角函数，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键连接AC，通过三角形全等，求得BAC=30，从而求得BC的长，然后根据勾股定理求得CM的长，连接MN，过M点作MECN于E，则MNA是等边三角形求得MN=2，设NE=x，表示出CE，然后求得cosMCN的值即可【解答】解：AB=AD=6，AM：MB=AN：ND=1：2，AM=AN=

30、2，BM=DN=4，连接MN，连接AC，ABBC，ADCD，BAD=60在RtABC与RtADC中，AB=AD，AC=AC，RtABCRtADC(HL)，BAC=DAC=12BAD=30，MC=NC，BC=12AC，AC2=BC2+AB2，即(2BC)2=BC2+AB2，3BC2=AB2，BC=2 3，在RtBMC中，CM= BM2+BC2=2 7，AN=AM，MAN=60，MAN是等边三角形，MN=AM=AN=2，过M点作MECN于E，设NE=x，则CE=2 7-x，MN2-NE2=MC2-EC2，即4-x2=(2 7)2-(2 7-x)2，解得：x= 77，EC=2 7- 77=13 77

31、，cosMCN=CECM=137 72 7=1314故答案为13145.（2023河北邯郸校考三模）如图，四边形ABCD，CEFG均为菱形，A=F，连接BE，EG，EG/BC，EBBC，若sinEGD=13，菱形ABCD的周长为12，则菱形CEFG的周长为_ 【答案】12 3【解析】解：四边形ABCD，CEFG均为菱形，A=F，BCD=ECG，BCE=DCG，BC=CD，CE=CG，BCEDCG(SAS)，BE=DG，EBC=GDC，连接CF交EG于N，交DG于Q，延长AD交FC于P，PCEG，EN=GN，EG/BC，EBBC，四边形BENC是矩形，EN=BC，BE=CN，AD/BC，AD/E

32、G，CBE=CDG=90APCF，CQD=FQG，DCP=EGD，sinEGD=13，sinDCP=PDCD=13，菱形ABCD的周长为12，CD=3，PD=1，CP= CD2-PD2=2 2，过D作DHEG于H，PN=DH，HN=PD=1，HG=4，sinEGD=13，设DH=x，DG=3x，HG= DG2-DH2=2 2x=4，x= 2，BE=CN=3 2，CE= BE2+BC2=3 3菱形CEFG的周长为12 3，故答案为：12 3根据菱形的性质得到BCD=ECG，根据全等三角形的性质得到BE=DG，EBC=GDC，连接CF交EG于N，交DG于Q，延长AD交FC于P，求得EN=BC，BE

33、=CN，解直角三角形得到PD=1，CP= CD2-PD2=2 2，过D作DHEG于H，设DH=x，DG=3x，由勾股定理得到x= 2，求得BE=CN=3 2，于是得到结论本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，矩形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键6.（2023秋云南普洱九年级统考期末）如图，在ABC中，D是AC边上的中点，连结BD，把BDC沿BD翻折，得到BDC，DC与AB交于点E，连结AC，若AD=AC=2，BD=3，则点D到BC的距离为_ 【答案】3 217【解析】本题考查了轴对称的性质，解直角三角形，勾股定理等，解题关键是会通过面积法求线段的长度连接CC，交

34、BD于点M，过点D作DHBC于点H，由翻折知，BDCBDC，BD垂直平分CC，证ADC为等边三角形，利用解直角三角形求出DM=1，CM= 3DM= 3，BM=2，在RtBMC中，利用勾股定理求出BC的长，在BDC中利用面积法求出DH的长【解答】解：如图，连接CC，交BD于点M，过点D作DHBC于点H，AD=AC=2，D是AC边上的中点，DC=AD=2，由翻折知，BDCBDC，BD垂直平分CC，DC=DC=2，BC=BC，CM=CM，AD=AC=DC=2，ADC为等边三角形，ADC=ACD=CAC=60，DC=DC，DCC=DCC=1260=30，在RtCDM中，DCC=30，DC=2，DM=1

35、，CM= 3DM= 3，BM=BD-DM=3-1=2，在RtBMC中，BC= BM2+CM2= 22+( 3)2= 7，SBDC=12BCDH=12BDCM， 7DH=3 3，DH=3 217，故答案为3 2177.（2023秋浙江湖州九年级统考期中）如图，四边形ABCD是平行四边形，延长AD至点E，使DE=AD，连接BD、CE(1)求证：四边形BCED是平行四边形；(2)若DA=DB=4，cosA=14，求点B到点E的距离【答案】(1)证明：四边形ABCD是平行四边形， AD=BC，AD/BC，DE=AD，DE=BC，DE/BC，四边形BCED是平行四边形；(2)解：连接BE，DA=DB=4

36、，DE=AD，AD=BD=DE=4，ABE=90，AE=8，cosA=14，AB=2，BE= AE2-AB2=2 15【解析】(1)根据平行四边形的性质得到AD=BC，AD/BC，等量代换得到DE=BC，DE/BC，于是得到四边形BCED是平行四边形；(2)连接BE，根据已知条件得到AD=BD=DE=4，根据直角三角形的判定定理得到ABE=90，AE=8，解直角三角形即可得到结论本题考查了平行四边形的判定和性质，直角三角形的判定和性质，三角函数的定义，证得ABE=90是解题的关键8.（2023秋浙江湖州九年级统考期末）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，延长BA至点E，使AE=AB，连接DE

37、，AC(1)求证：四边形ACDE为平行四边形；(2)连接CE交AD于点O，若AC=AB=3，cosB=13，求线段CE的长【答案】解：(1)证明：四边形ABCD是平行四边形，AB/CD，AB=CD，AE=AB，AE=CD，AE/CD，四边形ACDE是平行四边形(2)如图，连接ECAC=AB=AE，EBC是直角三角形，cosB=BCBE=13，BE=6，BC=2，EC= BE2-BC2= 62-22=4 2【解析】本题考查平行四边形的性质和判定、直角三角形的判定、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，是中等题(1)欲证明四边形ACDE是平行四边形，只要证明AE=CD

38、，AE/CD即可；(2)连接EC，首先证明BEC是直角三角形，解直角三角形即可解决问题【题型3 梯形作高法】1（2023河北模拟预测）如图，将边长6cm的正方形纸片沿虚线剪开，剪成两个全等梯形已知裁剪线与正方形的一边夹角为60，则梯形纸片中较短的底边长为（）A（33）cmB（323）cmC（63）cmD（623）cm【答案】A过M点作MEAD于E点，根据四边形ABCD是正方形，有AD=CD=6，C=D=90，由裁剪的两个梯形全等，可得AN=MC；再证明四边形MCDE是矩形，即有MC=ED，ME=CD=6，进而有AN=ED，在RtMNE中，解直角三角形可得NE=23，则可得AN=3-3，问题得解

39、【详解】如图，过M点作MEAD于E点，四边形ABCD是正方形，边长为6，AD=CD=6，C=D=90，裁剪的两个梯形全等，AN=MC，MEAD，四边形MCDE是矩形，MC=ED，ME=CD=6，AN=ED，根据题意有MNE=60，在RtMNE中，NE=MEtanMNE=6tan60=23，AN+ED=AD-NE=6-23，AN=3-3，即梯形中较短的底为3-3（cm），故选：A【点睛】本题主要考查了正方形的、矩形的判定与性质、解直角三角形的应用等知识，根据梯形全等得出AN=MC是解答本题的关键2（2023春上海普陀九年级统考期末）已知直角梯形ABCD中，ADBC，A90，AB532，CD5，那

40、么D的度数是 【答案】60或120该题根据题意分为两种情况，首先正确画出图形，根据已知易得直角三角形DEC的直角边和斜边的长，然后利用三角函数，即可求解.【详解】如图1，过D作DEBC于E，则DECDEB90，ADBC，A90，B90，四边形ABED是矩形，ADE90，ABDE532，CD5，sinCDECD32，C60，EDC30，ADC90+30120；如图2，此时D60，即D的度数是60或120，故答案为60或120【点睛】该题重点考查了三角函数的相关知识，解决该题的关键一是：能根据题意画出两种情况，二是：把该题转化为三角函数问题，从而即可求解.3（2023广东深圳深圳市海滨中学校考模拟

41、预测）如图，在四边形ABCD中，ADBC，CEAB，且AE=BE，连接DE，若AB=CD=CE=2，则tanDEC= 【答案】3作AFBC于点F，DLBC于点L，DGCE于点G交BC于点H，先证明四边形ABHD是平行四边形，得DH=AB=CD=CE=2，再证明BF=HL=CL，由BFAB=BEBC=tanB=15=55，求得CL=HL=BF=55AB=552=255，再根据CHGCBE，求出CG、HG的长，进而求出EG、DG的长，即可求出tanDEC的值【详解】解：如图，作AFBC于点F，DLBC于点L，DGCE于点G交BC于点H，CEAB，DH/AB，AD/BC，四边形ABHD是平行四边形，

42、DH=AB=CD=CE=2，DCL=DHL=ABF，CL=HL，设DCL=DHL=ABF=，DLC=DLH=AFB=90， BFAB=HLDH=CLCD=cos，BF=HL=CH，BEC=90，AE=BE=12AB=1，BC=BE2+CE2=12+22=5， BFAB=BEBC=tanB=15=55，CL=HL=BF=55AB=552=255，CH=255+255=455，GH/BE，CHGCBE， HGBE=CGCE=CHBC=4555=45，HG=45BE=451=45，CG=45CE=452=85，DG=DH-HG=2-45=65，EG=CE-CG=2-85=25，DGE=90，tanD

43、EC=DGEG=6525=3，故答案为：3【点睛】此题重点考查平行四边形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数、解直角三角形等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键4（2023秋山西临汾九年级统考期末）为加强防汛工作，我县对小河口水库大坝进行了加固，如图，加固前拦水坝的横断面是梯形ABCD，已知迎水坝的坡面AB=12米，背水坝的坡面CD=123米，B=60，加固后水库大坝背水坡面为DE，已知tanE=3133，则CE长为 米【答案】8分别过A、D作下底的垂线，设垂足为F、G在RtABF中，已知坡面长和坡角的度数，可求

44、得铅直高度AF的值，也就得到了DG的长；在RtCDG中，由勾股定理求CG的长，在RtDEG中，根据正切函数定义得到GE的长；根据CE=GE-CG即可求解【详解】解：分别过A、D作AFBC，DGBC，垂点分别为F、G，如图所示在RtABF中，AB=12米，B=60，sinB=AFAB，AF=1232=63（米)，DG=63（米)在RtDGC中，CD=123米，DG=63米，GC=CD2-DG2=18米在RtDEG中，tanE=3133， 63GE=3133，GE=26米，CE=GE-CG=26-18=8（米)即CE的长为8米故答案为8【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，锐角三角

45、函数的定义，勾股定理作辅助线构造直角三角形是解答此类题的一般思路5（2023秋上海九年级上海市文来中学校考期中）在梯形ABCD中，ABDC，B90，BC6，CD2，tanA=34点E为BC上一点，过点E作EFAD交边AB于点F将BEF沿直线EF翻折得到GEF，当EG过点D时，BE的长为 【答案】6512根据平行线的性质得到AEFB，GFEAMF，根据轴对称的性质得到GFEBFE，求得AAMF，得到AFFM，作DQAB于点Q，求得AQDDQB90 根据矩形的性质得到CDQB2，QDCB6，求得AQ1028，根据勾股定理得到AD64+3610，设EB3x，求得FB4x，CE63x，求得AFMF10

46、4x，GM8x10，根据相似三角形的性质得到GD6x152，求得DE1523x，根据勾股定理列方程即可得到结论【详解】如图，EFAD，AEFB，GFEAMF，GFE与BFE关于EF对称，GFEBFE，GFEBFE，AAMF，AMF是等腰三角形，AFFM，作DQAB于点Q，AQDDQB90ABDC， CDQ90B90，四边形CDQB是矩形，CDQB2，QDCB6，AQ1028，在RtADQ中，由勾股定理得AD64+3610，tanA34，tanEFBBEBF=34，设EB3x，FB4x，CE63x，AFMF104x，GM8x10，GBDQA90，GMDA，DGMDQA，DGDQ=GMAQ，GD6

47、x152，DE1523x，在RtCED中，由勾股定理得（1523x）2（63x）24，解得：3x6512，当EG过点D时BE6512故答案为：6512【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定及性质的运用，矩形的性质的运用，勾股定理的性质的运用，轴对称的性质的运用，正确的作出辅助线是解题的关键6（2023北京大兴统考一模）已知，在RtABC中，B90，AB3，BC3，在BC边上取两点E，F（点E在点F左侧），以EF为边作等边三角形DEF，使顶点D与E在边AC异侧，DE，DF分别交AC于点G，H，连结AD.（1）如图1，求证：DEAC；（2）如图2，若DAC30，DEF的边EF在线段BC上移动.写出DH与BE的数量关系并证明；（3）若30DAC60，DEF的周长为m，则m的取值范围是 .【答案】（1）见解析；（2）DH与BE的数量关系是：DHBE1，理由见解析；（3）6m9（1）先判断出C30，再利用等边三角形的性质即可得出结论；（2）先判断出ADBC，进而判断出四边形ABEN是矩形，再用锐角三角函数求出ND1，即可得出结论；（3）先求出DAC30和60时的等边三角形的边DE的长，即可得出结论.【详解】解：（1）在RtABC中，B90，AB3，BC3，tanCABBC=33C30DEF是等边三角形DEF60EGC90