专题26 三角形的外接圆（基础）-冲刺2021年中考几何专项复习（解析版）.docx

1、专题26 三角形的外接圆（基础）一选择题1如图，O是等边ABC的外接圆，其半径为3，图中阴影部分的面积是（）AB32C2D3【分析】先根据等边三角形的性质得到A60，再利用圆周角定理得到BOC120，然后根据扇形的面积公式计算图中阴影部分的面积【解答】解：ABC为等边三角形，A60，BOC2A120，图中阴影部分的面积=12032360=3故选：D【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心也考查了圆周角定理2如图，ABC是O的内接三角形，AB是O的直径，点D在O上若BCD36，则ACD的

2、度数为（）A36B44C54D64【分析】根据圆周角定理得到ACB90，然后利用互余计算出ACD的度数【解答】解：AB是O的直径，ACB90，BCD36，ACD90BCD54故选：C【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心也考查了圆周角定理3如图，已知O是ABC的外接圆，AD是O的直径，若AD8，B30，则AC的长度为（）A3B4C42D43【分析】由圆周角定理可得ACD90，BD30，即可求解【解答】解：连接CD，AD是O的直径，ACD90，又BD30，AC=12AD4，故选：B【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定

3、理，灵活运用这些性质是本题的关键4如图，ABC内接于O，射线AO交BC边于点D，AD平分BAC，若ADBC8，则O的半径长为（）A3B4C5D6【分析】连接OB由AD平分BAC，得ADBC，BDCD=12BC4，设半径为r，利用勾股定理列出方程（8r）2+42r2，从而求出半径【解答】解：如图，连接OBAD平分BAC，ADBC，BDCD=12BC4，设半径为r，在RtODB中，OD2+BD2OB2，即（8r）2+42r2，解得r5故选：C【点评】本题考查了圆的相关计算，熟练运用垂径定理是解题的关键5如图，O是ABC的外接圆，连接OC、OB，BOC100，则A的度数为（）A30B40C50D60

4、【分析】直接根据圆周角定理即可得出结论【解答】解：，O是ABC的外接圆，BOC100，A=12BOC50故选：C【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键6如图，在平面直角坐标系xOy中，点A为（0，3），点B为（2，1），点C为（2，3）则经画图操作可知：ABC的外心坐标应是（）A（0，0）B（1，0）C（2，1）D（2，0）【分析】首先由ABC的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，所以在平面直角坐标系中作AB与BC的垂线，两垂线的交点即为ABC的外心【解答】解：ABC的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，作

5、图得：EF与MN的交点O即为所求的ABC的外心，ABC的外心坐标是（2，1）故选：C【点评】此题考查了三角形外心的知识注意三角形的外心即是三角形三边垂直平分线的交点解此题的关键是数形结合思想的应用7边长为2的正三角形的外接圆的半径是（）A23B2C233D32【分析】等边三角形的边长是其外接圆半径的3倍，据此直接算出答案【解答】解：如图，等边ABC中，三边的垂直平分线交一点O，则O是ABC外接圆的圆心，OBCOCB30，BFCF=12BC1，OF=33BF，OB2OF=233故选：C【点评】本题主要考查等边三角形及其外接圆的性质，知道等边三角形边长与其外接圆半径的倍数关系是解答关键8如图，AD

6、是ABC外接圆的直径若B64，则DAC等于（）A26B28C30D32【分析】根据圆周角定理得到ACD90，ADCB64，然后利用互余计算DAC的度数【解答】解：AD为直径，ACD90，ADCB64，DAC906426故选：A【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心也考查了圆周角定理9如图，正方形ABCD和等边AEF都内接于圆O，EF与BC、CD分别相交于点G、H若AE6，则EG的长为（）A3B3-3C2D23-3【分析】连接AC、BD、OF，AC与EF交于P点，则它们的交点为O点，如图，利用正方形和等边三角形的性质得到COF6

7、0，ACBD，BCA45，利用含30度的直角三角形三边的关系得到OP=12OF=12OC，OP=33PF=3，从而得到PCOP=3，然后利用PCG为等腰直角三角形得到PGPC=3，从而得到EG的长【解答】解：连接AC、BD、OF，AC与EF交于P点，则它们的交点为O点，如图，正方形ABCD和等边AEF都内接于圆O，COF60，ACBD，BCA45，EFBD，ACEF，PEPF=12EF3，在RtOPF中，OP=12OF=12OC，OP=33PF=3，PCOP=3，PCG为等腰直角三角形，PGPC=3，EGPEPG3-3故选：B【点评】本题考查了三角形的外心与外接圆：三角形外接圆的圆心是三角形三

8、条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心也考查了等边三角形和正方形的性质10如图，点D、E分别是O的内接ABC的AB、AC边上的中点，若O的半径为2，A45，则DE的长等于（）A3B2C1D22【分析】连接OB，OC，根据圆周角定理得到BOC2A90，根据等腰直角三角形的性质得到BC=2OB22，由三角形的中位线定理即可得到结论【解答】解：连接OB，OC，A45，BOC2A90，OBOC2，BC=2OB22，D、E分别是O的内接ABC的AB、AC边上的中点，DE是ABC的中位线，DE=12BC=1222=2，故选：B【点评】本题考查了三角形的外接圆和外心，直角三角形的性质，圆周角定理，三角形的中

9、位线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键11已知ABC内接于O，连接AO并延长交BC于点D，若C50，则BAD的度数是（）A40B45C50D55【分析】连接OB，根据圆周角定理和圆的半径相等即可解决问题【解答】解：如图，连接OB，C50，AOB2C100，OAOB，OABOBA40，则BAD的度数是40故选：A【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，解决本题的关键是掌握三角形的外接圆与外心性质12如图，O为ABC的外接圆，已知ABC为130，则AOC的度数为（）A50B80C100D115【分析】作AC所对的圆周角ADC，如图，先利用圆内接四边形的性质得到ADC50，然后根据圆周角定理得到A

10、OC的度数【解答】解：作AC所对的圆周角ADC，如图，ADC+ABC180，而ABC130，ADC18013050，AOC2ADC100故选：C【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心也考查了圆周角定理二填空题13如图，ABC内接于圆O，A50，则D等于50【分析】由圆周角的定理可求解【解答】解：A与D所对的弧都是BC，AD50，故答案为：50【点评】本题考查了三角形的外接圆和外心，圆周角定理，掌握同弧所对的圆周角相等是本题的关键14如图，O为ABC的外接圆，A36，则BOC的度数为72【分析】直接利用圆周角定理求解【解答】解：

11、O为ABC的外接圆，A和BOC都对BC，BOC2A23672故答案为72【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心也考查了圆周角定理15如图，AD是ABC的外接圆O的直径，若BCA50，则ADB50【分析】根据圆周角定理即可得到结论【解答】解：AD是ABC的外接圆O的直径，点A，B，C，D在O上，BCA50，ADBBCA50，故答案为：50【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键16如图，O是ABC的外接圆，A45，则cosOCB的值是22【分析】先利用圆周角定理得到BOC90，则可判断O

12、BC为等腰直角三角形，所以OCB45，然后利用特殊角的三角函数值得到cosOCB的值【解答】解：BOC2A24590，而OBOC，OBC为等腰直角三角形，OCB45，cosOCB=22故答案为22【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心也考查了圆周角定理17如图，ABC内接于O，BD是O的直径，CBD21，则A的度数为69【分析】直接利用圆周角定理得出BCD90，进而得出答案【解答】解：ABC内接于O，BD是O的直径，BCD90，CBD21，AD902169故答案为：69【点评】此题主要考查了三角形的外接圆与外心，正确掌握圆周角

13、定理是解题关键18如图，等边三角形ABC内接于O，点D在O上，ABD25，则BAD95【分析】根据等边三角形的性质得到ACB60，根据圆周角定理得到ACDABD25，然后根据圆内接四边形的性质计算BAD的度数【解答】解：ABC为等边三角形，ACB60，ACDABD25，BCD60+2585，BAD+BCD180，BAD1808595故答案为95【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心也考查了圆周角定理和等边三角形的性质19如图，ABC内接于O，OBC40，则A的度数为50【分析】根据三角形内角和定理求出BOC，根据圆周角定理解答

14、即可【解答】解：OBOC，OCBOBC40，BOC1804040100，由圆周角定理得，A=12BOC50，故答案为：50【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握等腰三角形的性质、圆周角定理是解题的关键20如图，O是ABC的外接圆，ABC30，AC4，则弧AC的长为43【分析】连接OA，OC，根据圆周角定理可得，AOC是等边三角形，利用弧长公式即可求得结论【解答】解：如图，连接OA，OC，ABC30，AOC60，OAOC，AOC是等边三角形，OAOCAC4，则弧AC的长为：604180=43故答案为：43【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，弧长的计算，解决本题的关键是掌握

15、弧长计算公式21如图，ABC内接于O，点M，N分别是CO，AB的中点，CAB80，CBA40，则OMN的度数是20【分析】由圆周角定理可求出AOB120，AOC80，证得ODN是等边三角形，得出ODONOM，由三角形内角和定理可得出答案【解答】解：如图，连接OA，OB，ON，取OA的中点D，连接DN，CAB80，CBA40，ACB180CABCBA180804060，AOB120，AOC80，点M是OC的中点，点D是OA的中点，ODOM=12OA，点N是AB的中点，且AOB120，ONAB，AONBON60，点D是OA的中点，且ONA90，DNDO，ODN是等边三角形，OD=12OA，ODON

16、OM，MONCOA+AON80+60140，OMNNOM=180-1402=20故答案为：20【点评】本题考查了圆周角定理，垂径定理，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键三解答题22如图，ABC是O的内接三角形，BC4，A30，求O的直径【分析】连接OB，OC，根据圆周角定理得到BOC60，根据等边三角形的性质即可得到结论【解答】解：连接OB，OC，A30，BOC60，OBOC，OBC是等边三角形，OCBC4，O的直径8【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，等边三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键23如图，在直角坐标系中，已知点A（

17、0，4），B（4，0），C（2，0），过A，B，C作外接圆，D为圆上一动点，求5DO+DA的最小值【分析】如图，设ABC的外接圆的圆心为E连接EO并且延长交AC的延长线于F，连接DF则E（1，1）首先证明DEOFED，得到EODE=DODF，推出DF=5DO，所以5DO+DADF+DA，由两边之和大于第三边得，DF+DAAF，推出当点D和点C重合时，DF+DA最小，即5DO+DA最小，求出AF的长即可解决问题【解答】解：如图，设ABC的外接圆的圆心为E连接EO并且延长交AC的延长线于F，连接DF则E（1，1）A（0，4），B（4，0），C（2，0），E（1，1）直线OE的解析式为yx，直线AC

18、的解析式为y2x+4，由y=-xy=-2x+4解得x=4y=-4，F（4，4），DE=10，EO=2，EF52，DEEO=102=5，EFDE=5210=5，DEEO=EFDE，EE，DEOFED，EODE=DODF，DF=5DO，5DO+DADF+DA，由两边之和大于第三边得，DF+DAAF，当点D和点C重合时，DF+DA最小，即5DO+DA最小，5DO+DA最小值AF=42+(-4-4)2=45【点评】本题考查三角形的外接圆与外心、相似三角形的判定和性质、三角形的三边关系等知识，解题的关键是利用相似三角形的性质，把问题转化为两点之间线段最短解决问题，题目比较难，掌握辅助线的添加方法是解题的

19、关键，属于中考填空题中的压轴题24已知：如图，ABC内接于O，AE是O的直径，ADBC于点D，BAE与CAD相等吗？若相等，请给出证明；若不相等，请说明理由【分析】首先连接BE，由AE是O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得ABE90，又由ADBC，EC，即可证得BAECAD【解答】解：BAECAD理由：连接BE，AE是O的直径，ABE90，BAE90E，ADBC，ADC90，CAD90C，EC，BAECAD【点评】此题考查了圆周角定理此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用25如图，O是ABC的外接圆，CACB，连接BO并延长交AC于点D（1）求证：C2CBD；（2）若

20、AB6，sinC=35，求O的半径【分析】（1）连接CO，AO，可证COACOB，所以ACOBCO，因为OCOB，所以BCOCBD，即可得出C2CBD；（2）作O的直径AK，连接BK，则ABK90，CK，在RtABK中，利用锐角三角函数的定义即可得出O的半径【解答】解：（1）如图1，连接CO，AO，CACB，OAOB，OCOC，COACOB（SSS），ACOBCO，OCOB，BCOCBD，C2CBD；（2）如图2，作O的直径AK，连接BK，则ABK90，CK，AB6，sinC=35，sinK=35=6AK，AK10，O的半径为5【点评】本题考查圆周角定理，三角形全等的判定和性质，锐角三角函数的

21、定义作O的直径是解决（2）问的关键26如图，已知ABC内接于O，点C在劣弧AB上（不与点A，B重合），点D为弦BC的中点，DEBC，DE与AC的延长线交于点E，射线AO与射线EB交于点F，与O交于点G，若BOA90，CD3，ABE的面积为ABC的面积的4倍，求O半径的长【分析】根据BOA90，可得BCE45，BEC90，由于ABE的面积为ABC的面积的4倍，所以AEAC，根据勾股定理即可求出AE、AC的长度，从而可求出AB的长度，再由勾股定理即可求出O的半径r【解答】解：D是BC的中点，DEBC，OE是线段BC的垂直平分线，BECE，BEDCED，EDC90，BCAEDC+CED，ACB90+

22、CED，CEDGAB，CEDOBA，O、A、E、B四点共圆，如图所示，BEC90，BOA90，BCE45，ABE的面积为ABC的面积的4倍，AEAC=4，CEAC=3，设CE3x，ACx，由（1）可知：BC2CD6，BCE45，CEBE3x，由勾股定理可知：（3x）2+（3x）262，x=2，BECE32，AC=2，AEAC+CE42，在RtABE中，由勾股定理可知：AB2（32）2+（42）2，AB52，BAO45，AOB90，在RtAOB中，设半径为r，由勾股定理可知：AB22r2，r5，O半径的长为5【点评】本题考查圆的综合问题，涉及圆周角定理，勾股定理，解方程，垂直平分线的性质等知识，

23、综合程度较高，需要学生灵活运用所学知识27如图，ABC内接于O，AB，CD为O的直径，DEAB，垂足为E，BC1，AC=3，求D的度数【分析】由AB是直径，推出ACB90，由BC1，AC=3，推出tanB=ACBC=3，推出B60，由OBOC，推出OBC是等边三角形，由此即可解决问题【解答】解：AB是直径，ACB90，BC1，AC=3，tanB=ACBC=3，B60，OBOC，OBC是等边三角形，DOEBOC60，DEAB，DEO90，D90DOE30【点评】本题考查三角形的外接圆与外心、等边三角形的判定和性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会寻找特殊三角形解决问题，属于

24、中考常考题型28如图，ABC内接于O，ADBC于D，BEAC于E，AD交O于F，交BE于H，连DE，试探究DE与直径CG有无特殊的位置关系？【分析】结论：DECG由CADCBE，推出CACB=CDCE，推出CACD=CBCE，由ECDBCA，推出ECDBCA，推出CEDABCG，由CG是直径，推出GAC90，推出G+ACG90，推出ACG+DEC90，即可证明EKC90【解答】解：结论：DECG理由：如图，连接AG，DE交CG于KADBC，BEAC，AEBBECADBADC90，AHEBHD，CADCBE，CADCBE，CACB=CDCE，CACD=CBCE，ECDBCA，ECDBCA，CED

25、ABCG，CG是直径，GAC90，G+ACG90，ACG+DEC90，EKC90，DECG【点评】本题考查三角形的外接圆与外心、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形，利用相似三角形的性质解决问题，属于中考常考题型29如图，在ABC中，ABAC，O是ABC的外接圆，点D在BC上，AD的延长线交O于点E，连接CE（1）求证：ADCACE；（2）若O的半径为23，AB的度数为90，DE2，求AD的长【分析】（1）先证明ACDAEC，再根据相似三角形的性质得到ADCACE；（2）根据等腰直角三角形的性质求出AC，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可【解答】（1）证明：ABA

26、C，AB=AC，AECACB，EACCAD，ACDAEC，ADCACE；（2）解：AB=AC，AB的度数为90，ABCACB45，BAC90，AC=22BC26，ACDAEC，ACAE=ADAC，26AD+2=AD26，整理得，AD2+2AD240，解得，AD14，AD26（舍去），AD的长为4【点评】本题考查的是圆周角定理、相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键30如图，ABC内接于O，AB是O的直径，C是AD中点，弦CEAB于点H，连接AD，分别交CE、BC于点P、Q，连接BD（1）求证：P是线段AQ的中点；（2）若O的半径为5，D是B

27、C的中点，求弦CE的长【分析】（1）利用垂径定理得到AC=AE，则可证明AE=CD，利用圆周角定理得到CADACE，所以APCP，再证明BCPCQA得到CPPQ，于是得到APPQ；（2）利用AC=CD=DB，AB是直径，利用圆周角得到ACB90，ABC30，然后利用含30度的直角三角形三边的关系计算出CH，而根据垂径定理得到CHEH，于是可得CE的长度【解答】（1）证明：CEAB，AB是直径，AC=AE，又AC=CDAE=CD，CADACE，APCP，AB是O的直径，ACB90，ACE+BCP90，CAD+CQA90，BCPCQA，CPPQ，APPQ，即P是线段AQ的中点；（2）解：AC=CD=DB，AB是直径，ACB90，ABC30，又AB5210，AC5，BC53，CH=12BC=532，又CEAB，CHEH，CE2CH2532=53【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心也考查了垂径定理和圆周角定理