专题27 正方形篇（解析版）.docx

1、专题27 正方形考点一：正方形的性质知识回顾1. 正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形2. 正方形的性质：具有平行四边形的一切性质。具有矩形与菱形的一切性质。所以正方形的四条边都相等，四个角都是直角。对角线相互平分且相等，且垂直，且平分每一组对角，把正方形分成了四个全等的等腰直角三角形。正方形既是中心对称图形，也是轴对称图形。对角线交点是对称中心，对角线所在直线是对称轴，过每一组对边中点的直线也是对称轴。微专题1（2022黄石）如图，正方形OABC的边长为，将正方形OABC绕原点O顺时针旋转45，则点B的对应点B1的坐标为（）A（，0）B（，0）C（0，）D（0

2、，2）【分析】连接OB，由正方形的性质和勾股定理得OB2，再由旋转的性质得B1在y轴正半轴上，且OB1OB2，即可得出结论【解答】解：如图，连接OB，正方形OABC的边长为，OCBC，BCO90，BOC45，OB2，将正方形OABC绕原点O顺时针旋转45后点B旋转到B1的位置，B1在y轴正半轴上，且OB1OB2，点B1的坐标为（0，2），故选：D2（2022广州）如图，正方形ABCD的面积为3，点E在边CD上，且CE1，ABE的平分线交AD于点F，点M，N分别是BE，BF的中点，则MN的长为（）ABC2D【分析】连接EF，由正方形ABCD的面积为3，CE1，可得DE1，tanEBC，即得EBC

3、30，又AF平分ABE，可得ABFABE30，故AF1，DFADAF1，可知EFDE（1），而M，N分别是BE，BF的中点，即得MNEF【解答】解：连接EF，如图：正方形ABCD的面积为3，ABBCCDAD，CE1，DE1，tanEBC，EBC30，ABEABCEBC60，AF平分ABE，ABFABE30，在RtABF中，AF1，DFADAF1，DEDF，DEF是等腰直角三角形，EFDE（1），M，N分别是BE，BF的中点，MN是BEF的中位线，MNEF故选：D3（2022贵阳）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形若图中的直角三角形的两条直角边的长分别为

4、1和3，则中间小正方形的周长是（）A4B8C12D16【分析】根据题意和题目中的数据，可以计算出小正方形的边长，然后即可得到小正方形的周长【解答】解：由题意可得，小正方形的边长为312，小正方形的周长为248，故选：B4（2022青岛）如图，O为正方形ABCD对角线AC的中点，ACE为等边三角形若AB2，则OE的长度为（）ABC2D2【分析】首先利用正方形的性质可以求出AC，然后利用等边三角形的性质可求出OE【解答】解：四边形ABCD为正方形，AB2，AC2，O为正方形ABCD对角线AC的中点，ACE为等边三角形，AOE90，ACAE2，AO，OE故选：B5（2022泰州）如图，正方形ABCD

5、的边长为2，E为与点D不重合的动点，以DE为一边作正方形DEFG设DEd1，点F、G与点C的距离分别为d2、d3，则d1+d2+d3的最小值为（）AB2C2D4【分析】连接AE，那么，AECG，所以这三个d的和就是AE+EF+FC，所以大于等于AC，故当AEFC四点共线有最小值，最后求解，即可求出答案【解答】解：如图，连接AE，四边形DEFG是正方形，EDG90，EFDEDG，四边形ABCD是正方形，ADCD，ADC90，ADECDG，ADECDG（SAS），AECG，d1+d2+d3EF+CF+AE，点A，E，F，C在同一条线上时，EF+CF+AE最小，即d1+d2+d3最小，连接AC，d1

6、+d2+d3最小值为AC，在RtABC中，ACAB2，d1+d2+d3最小AC2，故选：C6（2022黔东南州）如图，在边长为2的等边三角形ABC的外侧作正方形ABED，过点D作DFBC，垂足为F，则DF的长为（）A2+2B5C3D+1【分析】方法一：如图，延长DA、BC交于点G，利用正方形性质和等边三角形性质可得：BAG90，AB2，ABC60，运用解直角三角形可得AG2，DG2+2，再求得G30，根据直角三角形性质得出答案方法二：过点E作EGDF于点G，作EHBC于点H，利用解直角三角形可得EH1，BH，再证明BEHDEG，可得DGBH，即可求得答案【解答】解：方法一：如图，延长DA、BC

7、交于点G，四边形ABED是正方形，BAD90，ADAB，BAG1809090，ABC是边长为2的等边三角形，AB2，ABC60，AGABtanABC2tan602，DGAD+AG2+2，G906030，DFBC，DFDG（2+2）1+，故选D方法二：如图，过点E作EGDF于点G，作EHBC于点H，则BHEDGE90，ABC是边长为2的等边三角形，AB2，ABC60，四边形ABED是正方形，BEDE2，ABEBED90，EBH180ABCABE180609030，EHBEsinEBH2sin3021，BHBEcosEBH2cos30，EGDF，EHBC，DFBC，EGFEHBDFH90，四边形E

8、GFH是矩形，FGEH1，BEH+BEGGEH90，DEG+BEG90，BEHDEG，在BEH和DEG中，BEHDEG（AAS），DGBH，DFDG+FG+1，故选：D7（2022随州）七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，如图，在正方形纸板ABCD中，BD为对角线，E，F分别为BC，CD的中点，APEF分别交BD，EF于O，P两点，M，N分别为BO，DO的中点，连接MP，NF，沿图中实线剪开即可得到一副七巧板则在剪开之前，关于该图形，下列说法正确的有（）图中的三角形都是等腰直角三角形；四边形MPEB是菱形；四边形PFDM的面积占正方形ABCD面积的A只有BCD【分析】利用正方形的性质和中位线的

9、性质可以解决问题；利用的结论可以证明OMMP解决问题；如图，过M作MGBC于G，设ABBCx，利用正方形的性质与中位线的性质分别求出BE和MG即可判定是否正确【解答】解：如图，E，F分别为BC，CD的中点，EF为CBD的中位线，EFBD，APEF，APBD，四边形ABCD为正方形，A、O、P、C在同一条直线上，ABC、ACD、ABD、BCD、OAB、OAD、OBC、OCD、EFC都是等腰直角三角形，M，N分别为BO，DO的中点，MPBC，NFOC，DNF、OMP也是等腰直角三角形故正确；根据得OMBMPM，BMPM四边形MPEB不可能是菱形故错误；E，F分别为BC，CD的中点，EFBD，EFB

10、D，四边形ABCD是正方形，且设ABBCx，BDx，APEF，APBD，BOOD，点P在AC上，PEEF，PEBM，四边形BMPE是平行四边形，BOBD，M为BO的中点，BMBDx，E为BC的中点，BEBCx，过M作MGBC于G，MGBMx，四边形BMPE的面积BEMGx2，四边形BMPE的面积占正方形ABCD面积的E、F是BC，CD的中点，SCEFSCBDS四边形ABCD，四边形PFDM的面积占正方形ABCD面积的（1）故正确故选：C8（2022宁波）将两张全等的矩形纸片和另两张全等的正方形纸片按如图方式不重叠地放置在矩形ABCD内，其中矩形纸片和正方形纸片的周长相等若知道图中阴影部分的面积

11、，则一定能求出（）A正方形纸片的面积B四边形EFGH的面积CBEF的面积DAEH的面积【分析】根据题意设PDx，GHy，则PHxy，根据矩形纸片和正方形纸片的周长相等，可得APx+y，先用面积差表示图中阴影部分的面积，并化简，再用字母分别表示出图形四个选项的面积，可得出正确的选项【解答】解：设PDx，GHy，则PHxy，矩形纸片和正方形纸片的周长相等，2AP+2（xy）4x，APx+y，图中阴影部分的面积S矩形ABCD2ADH2SAEB（2x+y）（2xy）2（xy）（2x+y）2（2xy）x4x2y2（2x2+xy2xyy2）（2x2xy）4x2y22x2+xy+y22x2+xy2xy，A、

12、正方形纸片的面积x2，故A不符合题意；B、四边形EFGH的面积y2，故B不符合题意；C、BEF的面积EFBQxy，故C符合题意；D、AEH的面积EHAMy（xy）xyy2，故D不符合题意；故选：C9（2022重庆）如图，在正方形ABCD中，AE平分BAC交BC于点E，点F是边AB上一点，连接DF，若BEAF，则CDF的度数为（）A45B60C67.5D77.5【分析】根据正方形的性质和全等三角形的判定和性质，可以得到ADF的度数，从而可以求得CDF的度数【解答】解：四边形ABCD是正方形，ADBA，DAFABE90，在DAF和ABE中，DAFABE（SAS），ADFBAE，AE平分BAC，四边

13、形ABCD是正方形，BAEBAC22.5，ADC90，ADF22.5，CDFADCADF9022.567.5，故选：C10（2022重庆）如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点OE、F分别为AC、BD上一点，且OEOF，连接AF，BE，EF若AFE25，则CBE的度数为（）A50B55C65D70【分析】利用正方形的对角线互相垂直平分且相等，等腰直角三角形的性质，三角形的内角和定理和全等三角形的判定与性质解答即可【解答】解：四边形ABCD是正方形，AOBAOD90，OAOBODOCOEOF，OEF为等腰直角三角形，OEFOFE45，AFE25，AFOAFE+OFE70，FAO20在

14、AOF和BOE中，AOFBOE（SAS）FAOEBO20，OBOC，OBC是等腰直角三角形，OBCOCB45，CBEEBO+OBC65故选：C11（2022益阳）如图，将边长为3的正方形ABCD沿其对角线AC平移，使A的对应点A满足AAAC，则所得正方形与原正方形重叠部分的面积是 【分析】由正方形边长为3，可求AC3，则AAAC，由平移可得重叠部分是正方形，根据正方形的面积公式可求重叠部分面积【解答】解：正方形ABCD的边长为3，AC3，AAAC，AC2，由题意可得重叠部分是正方形，且边长为2，S重叠部分4故答案为：412（2022海南）如图，正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，A

15、EAF，EAF30，则AEB ；若AEF的面积等于1，则AB的值是 【分析】利用“HL”先说明ABE与ADF全等，得结论BAEDAF，再利用角的和差关系及三角形的内角和定理求出AEB；先利用三角形的面积求出AE，再利用直角三角形的边角间关系求出AB【解答】解：四边形ABCD是正方形，ABAD，BADBD90在RtABE和RtADF中，RtABERtADF（HL）BAEDAFBAE（BADEAF）（9030）30AEB60故答案为：60过点F作FGAE，垂足为GsinEAF，FGsinEAFAFSAEFAEFGAEAFsinEAF1，AE2sin301即AE21AE2在RtABE中，cosBAE

16、，ABcos30AE2故答案为：13（2022广西）如图，在正方形ABCD中，AB4，对角线AC，BD相交于点O点E是对角线AC上一点，连接BE，过点E作EFBE，分别交CD，BD于点F，G，连接BF，交AC于点H，将EFH沿EF翻折，点H的对应点H恰好落在BD上，得到EFH若点F为CD的中点，则EGH的周长是 【分析】作辅助线，构建全等三角形，先根据翻折的性质得EGHEGH，所以EGH的周长EGH的周长，接下来计算EGH的三边即可；证明BMEFNE（ASA）和BEOEFP（AAS），得OEPF2，OBEP4，利用三角函数和勾股定理分别计算EG，GH和EH的长，相加可得结论【解答】解：如图，过

17、点E作EMBC于M，作ENCD于N，过点F作FPAC于P，连接GH，将EFH沿EF翻折得到EFH，EGHEGH，四边形ABCD是正方形，ABCDBC4，BCD90，ACDACB45，BDBC8，CPF是等腰直角三角形，F是CD的中点，CFCD2，CPPF2，OBBD4，ACDACB，EMBC，ENCD，EMEN，EMCENCBCD90，MEN90，EFBE，BEF90，BEMFEN，BMEFNE，BMEFNE（ASA），EBEF，BEO+PEFPEF+EFP90，BEOEFP，BOEEPF90，BEOEFP（AAS），OEPF2，OBEP4，tanOEG，即，OG1，EG，OBFP，OBHPF

18、H，tanOBHtanPFH，2，OH2PH，OPOCPC422，OH2，在RtOGH中，由勾股定理得：GH，EGH的周长EGH的周长EH+EG+GH2+5+故答案为：5+14（2022无锡）如图，正方形ABCD的边长为8，点E是CD的中点，HG垂直平分AE且分别交AE、BC于点H、G，则BG 【分析】设CGx，则BG8x，根据勾股定理可得AB2+BG2CE2+CG2，可求得x的值，进而求出BG的长【解答】解：连接AG，EG，E是CD的中点，DECE4，设CGx，则BG8x，在RtABG和RtGCE中，根据勾股定理，得AB2+BG2CE2+CG2，即82+（8x）242+x2，解得x7，BGB

19、CCG871故答案是：115（2022江西）沐沐用七巧板拼了一个对角线长为2的正方形，再用这副七巧板拼成一个长方形（如图所示），则长方形的对角线长为 【分析】根据图形可得长方形的长是正方形的对角线为2，长方形的宽是正方形对角线的一半为1，然后利用勾股定理即可解决问题【解答】解：根据图形可知：长方形的长是正方形的对角线为2，长方形的宽是正方形对角线的一半为1，则长方形的对角线长故答案为：考点二：正方形的判定知识回顾1. 直接判定：四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形。2. 利用平行四边形判定：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形。（定义判定）3. 利用菱形与矩形判定：有一个角

20、是直角的菱形是正方形。对角线相等的菱形是正方形。邻边相等的矩形是正方形。对角线相互垂直的矩形是正方形。微专题16（2022绍兴）如图，在平行四边形ABCD中，AD2AB2，ABC60，E，F是对角线BD上的动点，且BEDF，M，N分别是边AD，边BC上的动点下列四种说法：存在无数个平行四边形MENF；存在无数个矩形MENF；存在无数个菱形MENF；存在无数个正方形MENF其中正确的个数是（）A1B2C3D4【分析】根据题意作出合适的辅助线，然后逐一分析即可【解答】解：连接AC，MN，且令AC，MN，BD相交于点O，四边形ABCD是平行四边形，OAOC，OBOD，BEDF，OEOF，只要OMON

21、，那么四边形MENF就是平行四边形，点E，F是BD上的动点，存在无数个平行四边形MENF，故正确；只要MNEF，OMON，则四边形MENF是矩形，点E，F是BD上的动点，存在无数个矩形MENF，故正确；只要MNEF，OMON，则四边形MENF是菱形，点E，F是BD上的动点，存在无数个菱形MENF，故正确；只要MNEF，MNEF，OMON，则四边形MENF是正方形，而符合要求的正方形只有一个，故错误；故选：C17（2022滨州）下列命题，其中是真命题的是（）A对角线互相垂直的四边形是平行四边形B有一个角是直角的四边形是矩形C对角线互相平分的四边形是菱形D对角线互相垂直的矩形是正方形【分析】根据，

22、平行四边形，矩形，菱形，正方形的判定方法一一判断即可【解答】解：A、对角线互相垂直的四边形是平行四边形，是假命题，本选项不符合题意；B、有一个角是直角的四边形是矩形，是假命题，本选项不符合题意；C、对角线互相平分的四边形是菱形，是假命题，本选项不符合题意；D、对角线互相垂直的矩形是正方形，是真命题，本选项符合题意故选：D18（2022攀枝花）如图，以ABC的三边为边在BC上方分别作等边ACD、ABE、BCF且点A在BCF内部给出以下结论：四边形ADFE是平行四边形；当BAC150时，四边形ADFE是矩形；当ABAC时，四边形ADFE是菱形；当ABAC，且BAC150时，四边形ADFE是正方形其

23、中正确结论有 （填上所有正确结论的序号）【分析】利用SAS证明EFBACB，得出EFACAD；同理由CDFCAB，得DFABAE；根据两边分别相等的四边形是平行四边形得出四边形ADFE是平行四边形，即可判断结论正确；当BAC150时，求出EAD90，根据有一个角是90的平行四边形是矩形即可判断结论正确；先证明AEAD，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即可判断结论正确；根据正方形的判定：既是菱形，又是矩形的四边形是正方形即可判断结论正确【解答】解：ABE、CBF是等边三角形，BEAB，BFCB，EBAFBC60；EBFABC60ABF；EFBACB（SAS）；EFACAD；同理由CDFCAB，

24、得DFABAE；由AEDF，ADEF即可得出四边形ADFE是平行四边形，故结论正确；当BAC150时，EAD360BAEBACCAD360601506090，由知四边形AEFD是平行四边形，平行四边形ADFE是矩形，故结论正确；由知ABAE，ACAD，四边形AEFD是平行四边形，当ABAC时，AEAD，平行四边形AEFD是菱形，故结论正确；综合的结论知：当ABAC，且BAC150时，四边形AEFD既是菱形，又是矩形，四边形AEFD是正方形，故结论正确故答案为：考点三：中点四边形：知识回顾1. 中点四边形的定义：将任意四边形各条边的中点顺次连接起来得到的四边形叫做中点四边形。2. 中点四边形的判

25、定：任意四边形的中点四边形是平行四边形。对角线相互垂直的四边形的中点四边形是矩形。（菱形的中点四边形是矩形）对角线相等的四边形的中点四边形是菱形。（矩形的中点四边形是菱形）对角线相互垂直且相等的四边形的中点四边形是正方形。（正方形的中点四边形是正方形）微专题19（2022玉林）若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得的四边形是正方形，则四边形ABCD的两条对角线AC，BD一定是（）A互相平分B互相垂直C互相平分且相等D互相垂直且相等【分析】根据三角形中位线定理得到所得四边形的对边都平行且相等，那么其必为平行四边形，若所得四边形是正方形，那么邻边互相垂直且相等，选择即可，【解答】解：如图，E、F、

26、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，EHFGBD，EFACHG，四边形EFGH是平行四边形，四边形EFGH是正方形，即EFFG，FEFG，ACBD，ACBD，故选：D20（2022德阳）如图，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA边上的中点，则下列结论一定正确的是（）A四边形EFGH是矩形B四边形EFGH的内角和小于四边形ABCD的内角和C四边形EFGH的周长等于四边形ABCD的对角线长度之和D四边形EFGH的面积等于四边形ABCD的面积的【分析】根据三角形中位线定理可得四边形EFGH是平行四边形，进而逐一判断即可【解答】解：A如图，连接AC，BD，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA边上的中点，EHBD，EHBD，FGBD，FGBD，EHFG，EHFG，四边形EFGH是平行四边形，故A选项错误；B四边形EFGH的内角和等于360，四边形ABCD的内角和等于360，故B选项错误；C点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA边上的中点，EHBD，FGBD，EH+FGBD，同理：EF+HGAC，四边形EFGH的周长等于四边形ABCD的对角线长度之和，故C选项正确；D四边形EFGH的面积不等于四边形ABCD的面积的，故D选项错误故选：C