专题27.42 相似三角形与旋转综合专题（培优篇）（专项练习）-2022-2023学年九年级数学下册基础知识专项讲练（人教版）.docx

1、专题27.42相似三角形与旋转综合专题（培优篇）（专项练习）1在同一平面内，如图，将两个全等的等腰直角三角形摆放在一起，点A为公共顶点，如图，若ABC固定不动，把ADE绕点A逆时针旋转，使AD、AE与边BC的交点分别为M、N点M不与点B重合，点N不与点C重合【探究】求证：【应用】已知等腰直角三角形的斜边长为4(1)的值为_(2)若，则MN的长为_2如图，以的两边、分别向外作等边和等边，与交于点，已知，（1）求证：；（2）求的度数及的长；（3）若点、分别是等边和等边的重心（三边中线的交点），连接、，作出图象，求的长3如图，四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，C，F，G三点在一直线上，连接A

2、F并延长交边CD于点M（1）求证：MFCMCA；（2）求证ACFABE；（3）若DM=1，CM=2，求正方形AEFG的边长4如图，在RtABC中，ACB=90，B=30，点M是AB的中点，连接MC，点P是线段BC延长线上一点，且PCBC，连接MP交AC于点H将射线MP绕点M逆时针旋转60交线段CA的延长线于点D（1）找出与AMP相等的角，并说明理由（2）若CP=BC，求的值5如图，正方形ABCD，对角线AC，BD相交于O，Q为线段DB上的一点，点M、N分别在直线BC、DC上（1）如图1，当Q为线段OD的中点时，求证：；（2）如图2，当Q为线段OB的中点，点N在CD的延长线上时，则线段DN、BM

3、、BC的数量关系为 ；（3）在（2）的条件下，连接MN，交AD、BD于点E、F，若，求EF的长6（1）尝试探究：如图，在中，点、分别是边、上的点，且EFAB的值为_；直线与直线的位置关系为_；（2）类比延伸：如图，若将图中的绕点顺时针旋转，连接，则在旋转的过程中，请判断的值及直线与直线的位置关系，并说明理由；（3）拓展运用：若，在旋转过程中，当三点在同一直线上时，请直接写出此时线段的长7如图，在RtABC中，B90，AB2，BC1，点D，E分别是边BC，AC的中点，连接DE将EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为（1）当0时，= ； 当180时，= ；（2）试判断：当0360时，的大小有无变

4、化？请仅就图2的情况给出证明（3）当EDC旋转至A、B、E三点共线时，直接写出线段BD的长8某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究：（1）问题发现：如图1，在等边中，点是边上任意一点，连接，以为边作等边，连接CQ，BP与CQ的数量关系是_；（2）变式探究：如图2，在等腰中，点是边上任意一点，以为腰作等腰，使，连接，判断和的数量关系，并说明理由；（3）解决问题：如图3，在正方形中，点是边上一点，以为边作正方形，是正方形的中心，连接若正方形的边长为5，求正方形的边长9一次小组合作探究课上，老师将两个正方形按如图所示的位置摆放（点E、A、D在同一条直线上），发现且小组讨论后，提出了下

5、列三个问题，请你帮助解答：（1）将正方形绕点A按逆时针方向旋转（如图1），还能得到吗？若能，请给出证明，请说明理由；（2）把背景中的正方形分别改成菱形和菱形，将菱形绕点A按顺时针方向旋转（如图2），试问当与的大小满足怎样的关系时，；（3）把背景中的正方形分别改写成矩形和矩形，且，（如图3），连接，试求的值（用a，b表示）10在ABC中，ABAC，BAC，点P为线段CA延长线上一动点，连接PB，将线段PB绕点P逆时针旋转，旋转角为，得到线段PD，连接DB，DC（1）如图1，当60时，求证：PADC；（2）如图2，当120时，猜想PA和DC的数量关系并说明理由（3）当120时，若AB6，BP，请直

6、接写出点D到CP的距离11如图，和是有公共顶点直角三角形，点P为射线，的交点（1）如图1，若和是等腰直角三角形，求证：；（2）如图2，若，问：（1）中的结论是否成立？请说明理由（3）在（1）的条件下，若把绕点A旋转，当时，请直接写出的长度12观察猜想(1)如图1，在等边中，点M是边上任意一点（不含端点B、C），连接，以为边作等边，连接，则与的数量关系是_(2)类比探究如图2，在等边中，点M是延长线上任意一点（不含端点C），（1）中其它条件不变，（1）中结论还成立吗？请说明理由(3)拓展延伸如图3，在等腰中，点M是边上任意一点（不含端点B、C），连接，以为边作等腰，使顶角连按试探究与的数量关系，

7、并说明理由13如图1，在中，在斜边上取一点D，过点D作，交于点E现将绕点A旋转一定角度到如图2所示的位置（点D在的内部），使得（1）求证：； 若，求的长；（2）如图3，将原题中的条件“”去掉，其它条件不变，设，若，求k的值；（3）如图4，将原题中的条件“”去掉，其它条件不变，若，设，试探究三者之间满足的等量关系（直接写出结果，不必写出解答过程）14（1）观察猜想：如图1，在中，点D，E分别在边，上，将绕点A逆时针旋转到如图2所示的位置，连接，交于点G，连接交于点F，则值为_，的度数为_（2）类比探究：如图3，当，时，请求出的值及的度数（3）拓展应用：如图4，在四边形中，若，请直接写出A，D两点

8、之间的距离15【问题发现】（1）如图1，在RtABC中，ABAC，D为BC边上一点（不与点B、C重合）将线段AD绕点A顺时针旋转90得到AE，连结EC，则线段BD与CE的数量关系是 ，位置关系是 ；【探究证明】（2）如图2，在RtABC和RtADE中，ABAC，ADAE，将ADE绕点A旋转，当点C，D，E在同一直线时，BD与CE具有怎样的位置关系，并说明理由；【拓展延伸】（3）如图3，在RtBCD中，BCD90，BC2CD4，将ACD绕顺时针旋转，点C对应点E，设旋转角CAE为（0360），当点C，D，E在同一直线时，画出图形，并求出线段BE的长度16如图，在ABC中，ABAC，点D是BC边上

9、的中点，点P是AC边上的一个动点，延长DP到点E，使CAECDE，作DCGACE，其中G点在DE上（1）如图1，若B45，则；（2）如图2，若DCG30，求：；（3）如图3，若ABC60，延长CG至点M，使得MGGC，连接AM，BM在点P运动的过程中，探究：当的值为多少时，线段AM与DM的长度之和取得最小值？17如图1所示，矩形ABCD中，点E，F分别为边AB，AD的中点，将AEF绕点A逆时针旋转（0360），直线BE，DF相交于点P（1）若ABAD，将AEF绕点A逆时针旋至如图2所示的位置上，则线段BE与DF的位置关系是 ，数量关系是 （2）若ADnAB（n1）将AEF绕点A逆时针旋转，则（

10、1）中的结论是否仍然成立？若成立，请就图3所示的情况加以证明；若不成立，请写出正确结论，并说明理由（3）若AB6，BC8，将AEF旋转至AEBE时，请直接写出DP的长18在中，CD是中线，一个以点D为顶点的45角绕点D旋转，使角的两边分别与AC、BC的延长线相交，交点分别为点E、F，DF与AE交于点M，DE与BC交于点N（1）如图1，若，求证：；（2）如图2，在绕点D旋转的过程中，试证明恒成立；（3）若，求DN的长19如图1，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，将COD绕点O逆时针旋转得到EOF（旋转角为锐角），连AE，BF，DF，则AE=BF（1）如图2，若（1）中的正方形为矩形，其他

11、条件不变探究AE与BF的数量关系，并证明你的结论；若BD=7，AE=，求DF的长；（2）如图3，若（1）中的正方形为平行四边形，其他条件不变，且BD=10，AC=6，AE=5，请直接写出DF的长20（1）问题发现如图1，在和中，连接交于点.填空：的值为_；的度数为_（2）类比探究如图2，在和中，连接交的延长线于点.请判断的值及的度数，并说明理由；（3）拓展延伸在（2）的条件下，将绕点在平面内旋转，所在直线交于点，若，请直接写出当点与点在同一条直线上时的长参考答案1(1)8(2)【探究】利用三角形外角的性质可证，又由，可证明结论；【应用】（1）首先求出等腰直角三角形的直角边长，再由，得，则；（2

12、）由，得，由（1）知，得，从而得出答案解：(1)ABC为等腰直角三角形，同理，；(2)（1）等腰直角三角形的斜边长为4，故答案为：8；（2），故答案为：【点拨】本题是相似形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，利用前面探索的结论解决新的问题是解题的关键2（1）见分析；（2）60，12；（3）【分析】（1）根据等边三角形的性质得到AD=AB，AE=AC，DAB=EAC=AEC=ACE=60，得到DAC=BAE，即可证明ADCABE；（2）根据全等三角形的性质得到ADP=ABP，设AB，PD交于O，根据三角形的内角和即可得到DPB=DAB=60；在PE上取点F，使PCF=

13、60，根据全等三角形的性质和等边三角形的性质即可得到结论；（3）过点Q作QGAD于G，设QG=x，根据等边三角形的性质得到AQ=2x，AG=x，AB=x，证明ABEAQR，根据相似三角形的性质即可得到结论解：（1）ABD和ACE都为等边三角形，AD=AB，AE=AC，DAB=EAC=AEC=ACE=60，DAB+BAC=EAC+BAC，即DAC=BAE，在ADC与ABE中，ADCABE（SAS）；（2）ADCABE；ADP=ABP，设AB，PD交于O，AOD=POB，DPB=DAB=60；如图，在PE上取点F，使PCF=60，同（1）可得APCEFC，EPC=EAC=60，EF=AP=3，CP

14、F为等边三角形，BE=PB+PF+FE=4+5+3=12；（3）如图，过点Q作QGAD于G，设QG=x，点Q、R分别是等边ABD和等边ACE的重心，AQ=2x，AG=x，AB=x，QAR=QAB+BAC+RAC=30+BAC+30=60+BAC，QAR=BAE，ABEAQR，QR：BE=AQ：AB，【点拨】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键3（1）证明见分析；（2）证明见分析；（3）【分析】（1）由正方形的性质得，进而根据对顶角的性质得，再结合公共角，根据相似三角形的判定得结论；（2）根据正方形的性质得，再证明其夹角相等，便可

15、证明；（3）由已知条件求得正方形的边长，进而由勾股定理求得的长度，再由，求得，进而求得正方形的对角线长，便可求得其边长解：（1）四边形是正方形，四边形是正方形，；（2）四边形是正方形，同理可得，；（3），即，即正方形的边长为【点拨】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，关键是掌握相似模型及证明方法和正方形性质4（1）D=AMP，理由见分析；（2）【分析】（1）由旋转的性质可得PMD=60，即可得到AMD+AMP=60，只需要找到一个角与角AMD的度数和为60度即可得到答案；（2）过点C作CGBA交MP于点G，证明MDAMGC，CGPBMP，然后计算求解即可得到答案.解：

16、（1）D=AMP，理由如下：ACB=90，B=30，BAC=60，D+DMA=BAC =60由旋转的性质知，DMA+AMP=PMD =60，D=AMP；（2）如图，过点C作CGBA交MP于点G，CGBAGCP=B=30，BCG=180-B =150ACB=90，点M是AB的中点，B=30BAC=60，MCB=B=30，MCG=120，MAD=180BAC =120，MAD=MCG由旋转的性质得PMD=60AMC=MCB+B=60AMG=PMDDMGAMD=AMG=AMCGMC，DMA=GMC在MDA与MGC中，MDAMGC（ASA），AD=CGCP=BC，CP=BPGCP=B，GPC=MPBC

17、GPBMP，设CG=AD=t，则BM=3t，AB=6t在RtABC中，【点拨】本题主要考查了旋转的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，三角函数等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.5（1）见分析；（2）BMDN=BC；（3）EF的长为【分析】（1）如图1，过Q点作QPBD交DC于P，然后根据正方形的性质证明QPNQBM，就可以得出结论；（2）如图2，过Q点作QHBD交BC于H，通过证明QHMQDN，由相似三角形的性质就可以得出结论；（3）由条件设CM=x，MB=3x，就用CB=4x，得出BH=2x，由（2）相似的性质可以求出M

18、Q的值，再根据勾股定理就可以求出MN的值，可以表示出ND，由NDENCM就可以求出NE，也可以表示出DE，最后由DEFBMF而求出结论解：（1）如图，过Q点作QPBD交DC于P，PQB=90MQN=90，NQP=MQB，四边形ABCD是正方形，CD=CB，BDC=DBC=45DO=BO，DPQ=45，DQ=PQ，DPQ=DBC=45，QPNQBM，Q是OD的中点，且PQBD，DO=2DQ，DP=DC，BQ=3DQ，DN+NP=DC=BC，BQ=3PQ，NP=BM，DN+BM=BC；（2）如图，过Q点作QHBD交BC于H，BQH=DQH=90，BHQ=45，COB=90，QHOC，Q是OB的中点

19、，BH=CH=BC，NQM=90，NQD=MQH，QND+NQD=45，MQH+QMH=45，QND=QMH，QHMQDN，HM=ND，BM-HM=HB，BMDN=BC故答案为：BMDN=BC；（3）MB：MC=3：1，设CM=x，MB=3x，CB=CD=4x，HB=2x，HM=xHM=ND，ND=3x，CN=7x，四边形ABCD是正方形，EDBC，NDENCM，DEFBMF，DE=x，NQ=9，QM=3，在RtMNQ中，由勾股定理得：，设EF=a，则FM=7a，EF的长为【点拨】本题考查了正方形的性质的运用，相似三角形的判定和性质的运用，勾股定理的运用及平行线等分线段定理的运用，在解答时利用

20、三角形相似的性质求出线段的比是解答本题的关键6（1），；（2），证明见分析；（3）或【分析】（1）由锐角三角函数可得ACBC，CFCE，可得AFACCF（BCCE），BEBCCE，即可求；由垂直的定义可得AFBE；（2）由题意可证ACFBCE，可得，FACCBE，由余角的性质可证AFBE；（3）分两种情况讨论，由旋转的性质和勾股定理可求AF的长解：（1）， ，故答案为：，；（2），如图，连接，延长交于，交于点，旋转，且，；（3）如图，过点作交的延长线于点，且三点在同一直线上，旋转，且，；如图，过点作于点，旋转，且，【点拨】本题是相似综合题，考查了平行线的性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定

21、和性质，勾股定理，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键7（1），； （2）无变化，证明见分析； （3）或【分析】（1）先用勾股定理求出AC，再由中点可求出BD，AE，从而得到答案；当180时，点E在AC的延长线上，点D在BC的延长线上，由题可知，CDBC，CEAC，即可得出结论；（2）先找到，然后证明ACEBCD，即可得出结论；（3）先由（2）可算出BDAE，然后分类讨论即可得出结论解：（1）当0时，在RtABC中，AB2，BC1，AC，点D，E是BC，AC的中点，BDBC，AEAC，；当180时，如图，点E在AC的延长线上，点D在BC的延长线上，由题意可知，CDBC，CEAC，BDBC+CD

22、BC，AEAC+CEAC，；（2）无变化，在图1中，点D，E是BC，AC的中点，DEBA，如图2，EDC在旋转过程中形状大小不变，仍然成立，由旋转知，ACEBCD，ACEBCD，的大小不变；（3）由（1）知，CEAC，在RtCBE中，BC1，根据勾股定理得，BE，由（2）知，BDAE，如图3，当点落在线段AB上时，AEABBE，BDAE；如图4，当点落在线段AB的延长线上时，AEAB+BE2+BDAE，即：当EDC旋转至A、B、E三点共线时，线段BD的长为或【点拨】本题考查了几何变换的综合问题，主要考查了勾股定理，旋转的性质，相似三角形的判定和性质，注意分类讨论的思想是解题的关键8（1）；（2

23、）；理由见分析；（3）4【分析】（1）利用定理证明，根据全等三角形的性质解答；（2）先证明，得到，再证明，根据相似三角形的性质解答即可；（3）连接、，根据相似三角形的性质求出，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案解：（1）问题发现：和都是等边三角形，A，在和中，故答案为：；（2）变式探究：，理由如下：，；（3）解决问题：连接、，如图所示:四边形是正方形，是正方形的中心，即，设，则，在中，即，解得，（舍去），正方形的边长为：【点拨】本题考查的是正方形的性质、三角形全等的判定和性质、三角形相似的判定和性质、勾股定理的应用，掌握相似三角形的判定定理和性质定理、正方形的性质是解题的关键9（1）见分析；

24、（2）当时，理由见分析；（3）【分析】（1）由正方形的性质得出，得出，则可证明，从而可得出结论；（2）由菱形的性质得出，则可证明，由全等三角形的性质可得出结论；（3）设与交于Q，与交于点P，证明，得出，得出，连接，由勾股定理可求出答案解：（1）四边形为正方形，又四边形为正方形，在AEB和AGD中，；（2）当时，理由如下：，又四边形和四边形均为菱形，在AEB和AGD中，；（3）设与交于Q，与交于点P，由题意知，连接，在RtEAG中，由勾股定理得：，同理，【点拨】本题考查了矩形、菱形、正方形的性质，三角形全等的判定与性质，三角形相似的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握特殊平行四边形的性质是解题的

25、关键由(3)可得结论：当四边形的对角线相互垂直时，四边形两组对边的平方和相等10（1）见分析；（2）；（3）或【分析】（1）当60时，ABC和PBD为等边三角形，根据三角形全等即可求证；（2）过点作，求得，根据题意可得，可得，再根据，判定，得到，即可求解；（3）过点作于点，过点作于点，分两种情况进行讨论，当在线段或当在线段延长线上时，设根据勾股定理求解即可解：（1）当60时，ABACABC为等边三角形，由旋转的性质可得：，PBD为等边三角形，在和中（2）过点作，如下图：当120时，由勾股定理得由旋转的性质可得：，又又，（3）过点作于点，过点作于点，则点D到CP的距离就是的长度当在线段上时，如下

26、图：由题意可得：120，在中，在中，由（2）得由旋转的性质可得：设，则由勾股定理可得：即，解得则当在线段延长线上，如下图：则，由（2）得，设，则由勾股定理可得：即，解得则综上所述：点D到CP的距离为或【点拨】此题考查了旋转的性质、全等三角形的判定及性质、相似三角形的判定及性质、等腰三角形的性质以及勾股定理，综合性比较强，熟练掌握相关基本性质是解题的关键11（1）见分析；（2）成立，理由见分析；（3）PB的长为或【分析】（1）由条件证明ABDACE，即可得ABD=ACE，可得出BPC=90，进而得出BDCP；（2）先判断出ADBAEC，即可得出结论；(3) 分为点E在AB上和点E在AB的延长线上

27、两种情况画出图形，然后再证明PEBAEC，最后依据相似三角形的性质进行证明即可解：（1）证明：如图，BAC=DAE=90，BAE+CAE=BAD+BAE，即BAD=CAE和是等腰直角三角形， 在ABD和ACE中， ，ABDACE（SAS），ABD=ACECAB=90，ACF+AFC=90，ABP+BFP=90BPF=90，BDCP；（2）（1）中结论成立，理由：在RtABC中，ABC=30，AB=AC，在RtADE中，ADE=30，AD=AE， BAC=DAE=90，BAD=CAE，ADBAECABD=ACE同（1）得；（3）解：和是等腰直角三角形，当点E在AB上时，BE=AC-AE=1EAC

28、=90，CE=同（1）可证ADBAECDBA=ECAPEB=AEC，PEBAECPB=当点E在BA延长线上时，BE=5EAC=90，CE=5同（1）可证ADBAECDBA=ECABEP=CEA，PEBAECPB=综上所述，PB的长为或【点拨】此题主要考查的是旋转的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的性质和判定、相似三角形的性质和判定，证明得PEBAEC是解题的关键12(1)(2)成立(3)【分析】（1）利用可证明，继而得出结论；（2）也可以通过证明，得出结论，和（1）的思路完全一样（3）首先得出，从而判定，得到，根据，得到，从而判定，得出结论(1)证明：、是等边三角形，在和中，(2)解：结论仍

29、成立；理由如下：、是等边三角形，在和中，(3)解：；理由如下：，又，又，【点拨】本题是三角形综合题，考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是仔细观察图形，找到全等（相似）的条件，利用全等（相似）的性质证明结论13（1）见分析；（2）；（3）4p2=9m2+4n2【分析】（1）先利用平行线分线段成比例定理得，进而得出结论；利用得出的比例式求出CE，再判断出DCE=90，利用勾股定理即可得出结论；（2）同（1）的方法判断出ABDACE，即可得出AE=4k，CE=3k，同（1）的方法得出DCE=90，利用勾股定理得出DE的平方，用DE的平方建立方程求解即可；（3）同（2

30、）的方法得出，即可得出结论；解：（1）DEBC，由旋转知，EAC=DAB，ABDACE，在RtABC中，AC=BC，由知，ABDACE，ABD=ACE，ACD+ABD=90，ACE+ACD=90，DCE=90，ABDACE，在RtCDE中，根据勾股定理得，DE=2，在RtADE中，AE=DE，（2）由旋转知，EAC=DAB，ABDACE，AD=4，BD=3，AE=kAD=4k，CE=kBD=3k，ABDACE，ABD=ACE，ACD+ABD=90，ACE+ACD=90，DCE=90，在RtCDE中，DE2=CD2+CE2=1+9k2，在RtADE中，DE2=AD2-AE2=16-16k2，1+

31、9k2=16-16k2，或（舍），（3）由旋转知，EAC=DAB，ABDACE，AD=p，BD=n，ABDACE，ABD=ACE，ACD+ABD=90，ACE+ACD=90，DCE=90，在RtCDE中，4p2=9m2+4n2【点拨】此题是相似三角形综合题，主要考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的判定，解本题的关键是得出DCE=90和利用两边对应成比例夹角相等来判断两三角形相似的方法应用14（1），45；（2），30；（3）2【分析】（1）由题意得ABC和ADE为等腰直角三角形，则，证BADCAE，得，ABD=ACE，进而得出BFC=BAC=45；（2）由直角三角形

32、的性质得DE=AD，BC=AB，AE=DE，AC=BC，则，证BADCAE，得，ABD=ACE，证出BFC=BAC=30；（3）以AD为斜边在AD右侧作等腰直角三角形ADM，连接CM，由等腰直角三角形的性质得BAC=DAM=45，证BADCAM，得ABD=ACM，则CM=3，证出DCM=90，由勾股定理得DM=，则AD=DM=2解：（1）ACB=90，BAC=DAE=45，DE=AE，ABC和ADE为等腰直角三角形，BAD=BAC+CAD，CAE=DAE+CAD，BAD=CAE，BADCAE，ABD=ACE，又AGB=FGC，BFC=BAC=45，故答案是：，45；（2）ACB=AED=90，

33、BAC=DAE=30，DE=AD，BC=AB，AE=DE，AC=BC，BAD=BAC+CAD，CAE=DAE+CAD，BAD=CAE，BADCAE，ABD=ACE，又AGB=FGC，BFC=BAC=30；（3）以AD为斜边，在AD的右侧作等腰直角三角形ADM，连接CM，如图，AC=BC，ACB=90，ABC为等腰直角三角形，BAC=DAM=45，BAC-DAC=DAM-DAC，即BAD=CAM，BADCAM，ABD=ACM，又BD=6，CM=3，四边形ABDC的内角和为360，BDC=45，BAC=45，ACB=90ABD+BCD=180，ACM+BCD=180，DCM=90，DM=，AD=D

34、M=2，即A，D两点之间的距离是2【点拨】本题主要考查相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，第（3）小题，添加辅助线，构造相似三角形，是解题的关键15（1）BDCE，BDCE；（2）BDCE，理由见分析；（3）画出图形见分析，线段BE的长度为【分析】（1）由题意易得AD=AE，CAE=BAD，从而可证ABDACE，然后根据三角形全等的性质可求解；（2）连接BD，由题意易得BAD=CAE，进而可证BADCAE，最后根据三角形全等的性质及角的等量关系可求证；（3）如图，过A作AFEC，由题意可知RtABCRtAED，BACEAD90，然后根据相似三角形的性质及题意易证BAECAD

35、，最后根据勾股定理及等积法进行求解即可解：（1）在RtABC中，ABAC，BACB45，BACDAE90，BACDACDAEDAC，即BADCAE，在BAD和CAE中，BADCAE（SAS），BDCE，BACE45，ACB45，BCE45+4590，故答案为：BDCE，BDCE；（2）BDCE，理由：如图2，连接BD，在RtABC和RtADE中，ABAC，ADAE，AEC45，CABDAE90，BADCAE，ACAB，AEAD，CEABDA（SAS），BDAAEC45，BDEADB+ADE90，BDCE；（3）如图3，过A作AFEC，由题意可知RtABCRtAED，BACEAD90，即，BAC

36、EAD90，BAECAD，BAECAD，ABEACD，BEC180（CBE+BCE）180（CBA+ABE+BCE）180（CBA+ACD+BCE）90，BECE，在RtBCD中，BC2CD4，BD，ACBD，SBCDACBDBCAC，ACAE，AD，AF=，CE2CF2，BE【点拨】本题主要考查全等三角形的性质与判定及相似三角形的性质与判定，关键是根据题意得到三角形的全等，然后利用全等三角形的性质得到相似三角形，进而求解16（1）；（2）；（3）当时，线段AM与DM的长度之和取得最小值【分析】（1）如图1，根据ABC是等腰直角三角形，得BC=AC，由点D是BC边上的中点，可知2CD=AC，得

37、AC与CD的比，证明DCGACE，列比例式可得结论；（2）如图2，连接AD，同理得DCGACE，可得 ，设AB=AC=5k，BD=CD=4k，则AD=3k，由此即可解决问题；（3）如图3中，由题意，当A，M，D共线时，AM+DM的值最小想办法证明GDM=GDC=45，设CH=a，则PC=2a，PH=DH=a，推出AC=2CD=2（a+a），由此即可解决问题解：（1）如图1，ABACB45，ABC是等腰直角三角形，BCAC，又点D是BC边上的中点，BC2CD，2CDAC，CAECDE，DCGACE，DCGACE，；故答案为：；（2）如图2连接AD，CAECDEECAGCD，DCGACE，又ABA

38、C，点D是BC边上的中点，BDDC，ADBC，设ABAC5kBDDC4k，由勾股定理可得AD3k，ECAGCD，ACDECGADCEGC，ADCEGC90可得EGGC，又D，G，E三点共线，DGC90，又DCG30，可得DG2k，GC2k，SDGC2kk2k2，SABC8k3k12k2，；故答案为：；（3）如图3，当A，MD三点共线时，AM+DM的值最小，连接EM，取AC的中点O，连接OE，OD作PHCD于点H，ABAC，ABC60，ABC是等边三角形，又BCACACB60，DACHPC30，BDCD，ACBC，AC2CD，CAECDE，ECAGCD，DCGACE，EC2CG，又CGMG，MC

39、CE，又ACD60，MCE60，MCE是等边三角形，又O是中点，DCCO，ECOMCD，MCCE，MDCEOC（SAS），OEDM，又CDECAE，A，D，C，E四点共圆，ADC+AEC180，AEC90，AOOC，EOOCCDMD，又CGGM，CDDM，GDMGDC45，PDHDPH45，PHDH，设CHa，则PC2a，PHDH，AC2CD2（a+），【点拨】本题考查了等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题17（1）BEDF，BEDF（2）不成立；结论：

40、DFnBE，BEDF；理由见分析（3）43或43【分析】（1）如图2中，结论：BEDF，BEDF证明ABEADF（SAS），利用全等三角形的性质可得结论；（2）结论：DFnBE，BEDF，证明ABEADF（SAS），利用相似三角形的性质可得结论；（3）分两种情形画出图形，利用相似三角形的性质以及勾股定理求解即可.解：（1）如图2中，结论：BEDF，BEDF，理由：四边形ABCD是矩形，ABAD，四边形ABCD是正方形，AEAB，AFAD，AEAF，DABEAF90，BAEDAF，ABEADF（SAS），BEDF，ABEADF，ABEAHB90，AHBDHP，ADFPHD90，DPH90，BED

41、F，故答案为：BEDF，BEDF；（2）如图3中，结论不成立，结论：DFnBE，BEDF，AEAB，AFAD，ADnAB，AFnAE，AFAEADAB，AFAEADAB，DABEAF90，BAEDAF，BAEDAF，DFBEAFAEn，ABEADF，DFnBE，ABEAHB90，AHBDHP，ADFPHD90，DPH90，BEDF；（3）如图41中，当点P在BE的延长线上时，在RtAEB中，AEB90，AB6，AE3，BE3，ABEADF，DF4，四边形AEPF是矩形，AEPF3，PDDFPF43；如图42中，当点P在线段BE上时，同法可得DF4，PFAE3，PDDFPF43，综上所述，满足条

42、件的PD的值为43或43.【点拨】此题考查了矩形的性质，全等三角形的判定及性质，旋转的性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理，注意应用分类思想解决问题， 是一道较难的几何综合题.18（1）详见分析；（2）详见分析；（3）【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到BCDACD45，BCEACF90，于是得到DCEDCF135，根据全等三角形的性质即可的结论；（2）证得CDFCED，根据相似三角形的性质得到，即CD2CECF；（3）如图，过D作DGBC于G，于是得到DGNECN90，CGDG，当CD2，时，求得，再推出CENGDN，根据相似三角形的性质得到，求出GN，再根据勾股定理即可得到结论解：

43、（1）证明：，CD是中线，在与中，；（2）证明：，即 （3）如图，过D作于点G，则，当，时，由，得 在中，【点拨】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键19（1）AE=BF；证明见分析；DF=；（2）DF=【分析】（1）利用矩形的性质，旋转的性质得到BOF=AOE，证明BOFAOE可得结论，利用矩形性质与旋转性质证明BFD为直角三角形，从而可得答案，（2）利用平行四边形的性质与旋转的性质，证明AOEBOF，求解BF，再证明BDF是直角三角形，从而可得答案解：（1）AE=BF，理由如下：证明：ABCD为矩形，AC=

44、BD，OA=OB=OC=OD，COD绕点O旋转得EOF，OC=OE，OD=OF，COE=DOFBOD=AOC=180BOD-DOF=AOC-COE即BOF=AOE BOFAOE（SAS）， BF=AEOB=OD=OF，BFD=90BFD为直角三角形，BF=AEBD=7，AE=DF=（2）四边形ABCD是平行四边形， OC=OA=AC=3，OB=OD=BD=5， 将COD绕点O按逆时针方向旋转得到FOE，OC=OE，OD=OF，EOC=FOD OA=OE，OB=OF，EOA=FOB ，且EOA=FOB AOEBOF， OB=OF=OD BDF是直角三角形， 【点拨】本题是四边形综合题，考查了正方

45、形的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，相似三角形的判定和性质，证明AOEBOF是解本题的关键20（1）1；（2），理由见分析；（3）2或4【分析】（1）证明COADOB（SAS），得AC=BD，比值为1；由COADOB，得CAO=DBO，然后根据三角形的内角和定理先求OAB+OBA的值，再求AMB的值即可；（2）根据锐角三角比可得，根据两边的比相等且夹角相等可得AOCBOD，根据相似撒尿性的性质求解即可；（3）当点与点在同一条直线上，有两种情况：如图3和图4，然后根据旋转的性质和勾股定理，可得AD的长解：（1），BOD=AOC，又，BODAOC，BD=AC，=1；，O

46、AB+OBA=140，BODAOC，CAO=DBO，CAO+OAB+ABM=DBO+OAB+ABM=OAB+OBA=140，AMB=；（2）如图2，理由如下：中，同理得：，CAO=DBO，BEO+DBO=90，CAE+AEM=90，AMB=90；（3） A=30，OA=3如图3，当点D和点A在点O的同侧时，AD=3-2=2；如图4，当点D和点A在点O的两侧时，OA=3AD=3+1=4综上可知，AD的长是2或4【点拨】本题是三角形的综合题，主要考查了三角形全等和相似的性质和判定，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，旋转的性质，以及分类讨论的数学思想，解题的关键是能得出：AOCBOD，根据相似三角形的性质，并运用类比的思想解决问题，本题是一道比较好的题目