专题28.3 锐角三角函数（全章分层练习）（提升练）-2023-2024学年九年级数学下册全章复习与专题突破讲与练（人教版）.docx

1、专题28.3 锐角三角函数（全章分层练习）（提升练）一、 单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1（2018天津和平统考一模）计算：的结果等于（）A B1 C D2（2023上山东青岛九年级统考期中）中，、的对边分别为、已知，则的值为（）A B C D3（2023上山东泰安九年级统考期中）在直角三角形中，则的长为（）A5 B10 C12 D244（2023上河南南阳九年级校考期末）如图，的顶点位于正方形网格的格点上，若，则满足条件的是（）A BC D5（2022上山东潍坊九年级校考阶段练习）如图，每个小正方形的边长均为1，若点，都在格点上，则的值为（）A B C D6（2016湖北荆

2、州中考真题）如图，在RtAOB中，两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，将AOB绕点B逆时针旋转90后得到AOB若反比例函数的图象恰好经过斜边AB的中点C，SABO=4，tanBAO=2，则k的值为（）A3 B4 C6 D87（2020上吉林长春九年级统考期末）如图，两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上，量得ABC，ADC，则竹竿AD与AB的长度之比为（）A B C D8（2018上吉林长春九年级阶段练习）山坡底部有一棵竖直的大树，小明从处沿山坡前进米到达处，此时转身正好看到同一水平线上的树顶已知坡角，小明的眼睛到地面的距离为米，则树高为（）A20米 B21.7米 C（10+1.7

3、）米 D11.7米9（2023上陕西西安九年级校考阶段练习）如图，在矩形中，对角线交于点O，交延长线于点M，若，则的值为（）A B C D10（2023上山西长治九年级校联考阶段练习）如图，第24届国际数学家大会会徽的设计是1700多年前的中国古代数学家赵爽的“弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形若每个直角三角形的两条直角边长分别为5，12，直角三角形的较小的锐角为，则的值是（）A B C D二、 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11（2019下重庆八年级重庆市凤鸣山中学校考期中）计算： .12（2020四川自贡校考一模）在中，若，都是锐角，则是 三

4、角形13（2020上上海静安九年级上海市民办扬波中学校考期中）如图，在平行四边形中，垂足为E，如果，那么 14（2022辽宁沈阳沈阳市外国语学校校考一模）如图，在斜坡AB上有一棵树BD，由于受台风影响而倾斜，恰好与坡面垂直，在地面上C点处测得树顶部D的仰角为60，测得坡角BAE=30，AB=6米，AC=4米则树高BD= 15（2023上上海闵行九年级校联考期中）如图，在中，边的垂直平分线交边于点D，交边于点E，连结，那么的值是 16（2019下九年级单元测试）如图，某水库大坝的横断面是梯形ABCD，坝顶宽AD是6米，坝高4米，背水坡AB和迎水坡CD的坡度都是1:0.5，那么坝底宽BC是 米.

5、17（2020广东深圳统考中考真题）如图，已知四边形ABCD，AC与BD相交于点O，ABC=DAC=90，则= 18（2023上陕西西安九年级西安市铁一中学校考阶段练习）如图，矩形的顶点A在反比例函数的图象上，对角线轴，交y轴于点D若矩形的面积是6，则 三、解答题（本大题共6小题，共58分）19（8分）（2023上山东泰安九年级统考期中）计算（1）；（2）20（8分）（2023上上海闵行九年级校联考期中）已知：如图，在中，是边上的中线（1）求的面积；（2）求的余切值21（10分）（2023上河北秦皇岛九年级统考期中）在“综合与实践”活动中，某校九年级数学小组采用无人机辅助的方法测量一座桥的长度

6、如图，桥AB是水平并且笔直的，测量过程中，小组成员遥控无人机飞到桥AB的上方100m的点C处悬停，此时测得桥两端A，B两点的俯角分别为30和45，求桥AB的长度（结果保留根号）22（10分）（2021山东泰安统考中考真题）如图，点P为函数与函数图象的交点，点P的纵坐标为4，轴，垂足为点B（1）求m的值；（2）点M是函数图象上一动点，过点M作于点D，若，求点M的坐标23（10分）（2022浙江九年级专题练习）把矩形纸片ABCD，先沿AE折叠使点B落在AD边上的B，再沿AC折叠，恰好点E也落到AD上，记为E（1）求BEE的度数；（2）求DAC的正切值24（12分）（2022山东济宁统考中考真题）观

7、察与思考：阅读下列材料，并解决后面的问题在锐角ABC中，A、B、C的对边分别是a、b、c，过A作ADBC于D（如图（1），则，即AD=csinB，AD=bsinC，于是csinB=bsinC，即 ，同理有：，所以即：在一个锐角三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等在锐角三角形中，若已知三个元素（至少有一条边），运用上述结论和有关定理就可以求出其余三个未知元素根据上述材料，完成下列各题（1）如图（2），ABC中，B=45，C=75，BC=60，则A= ；AC= ；（2）某次巡逻中，如图（3），我渔政船在C处测得钓鱼岛A在我渔政船的北偏西30的方向上，随后以40海里/时的速度按北偏东30的方向航行

8、，半小时后到达B处，此时又测得钓鱼岛A在的北偏西75的方向上，求此时渔政船距钓鱼岛A的距离AB参考答案：1B解：试题解析：=.故选B2C【分析】根据余弦的定义可直接进行求解解：由题意得：；故选C【点拨】本题主要考查余弦，熟练掌握求一个角的余弦值是解题的关键3D【分析】本题考查的是锐角三角函数的定义，勾股定理，解题的关键是掌握锐角的邻边与斜边的比叫做的余弦解：，又，故选D4A【分析】本题主要考查角的正切，因此此题可结合网格特点，利用正切的定义逐项判断即可得解：A、，则此项符合题意；B、，则此项不符合题意；C、，则此项不符合题意；D、，则此项不符合题意；故选：A5A【分析】连接，得到，再利用勾股定

9、理求出，的长，即可求出最后结果解：如图，连接，则，故选：A【点拨】本题考查了锐角三角形函数，勾股定理，利用勾股定理求出边长是解答本题的关键6C解：设点C坐标为（x，y），作CDBO交边BO于点D，tanBAO=2，SABO=AOBO=4，AO=2，BO=4，ABOAOB，AO=AO=2，BO=BO=4，点C为斜边AB的中点，CDBO，CD=AO=1，BD=BO=2，x=BOCD=41=3，y=BD=2，k=xy=32=6故选C【点拨】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键在于读懂题意，作出合适的辅助线，求出点C的坐标，然后根据点C的横纵坐标之积等于k值求解即可7C【分析】先在R

10、tABC和RtADC中，求出AB、AD，再求长度之比即可解：在RtABC中，sinABC，即sin，AB，在RtADC中，sinADC，即sin，AD，故选：C【点拨】本题考查锐角的三角函数、解直角三角形的应用，借助中间参数AC，利用正弦函数的定义求解是解答的关键8D【分析】作辅助线过点C作CEAB于点E，进而利用RT进行求解.解：作辅助线过点C作CEAB于点E，由题意可得，ACE30，AEACsinACE2010米，又小明身高为1.7米，ABAEEBAEDC11.7米.故选D.【点拨】本题考查了解直角三角形的应用-坡度、坡角问题，熟练掌握坡度和坡角的定义是本题解题的关键.9D【分析】先利用矩

11、形的性质和勾股定理求出长，然后推导出，则有，可以求出和长，然后在中秋出余弦值即可解：是矩形，又，又，又，即，解得：，故选D【点拨】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理和解直角三角形，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键10C【分析】先根据勾股定理求出直角三角形的斜边，然后再根据正弦的定义即可解答；运用勾股定理求得斜边是解题的关键解：每个直角三角形的两条直角边长分别为5，12，每个直角三角形的斜边长为，直角三角形的较小的锐角为，故选：C11【分析】先化简二次根式，计算零指数幂、负整数指数幂、绝对值，再计算加减可得解： ，故答案为：【点拨】本题主要考查实数的混合运算，解题的关键是

12、熟练掌握实数的混合运算顺序和运算法则等知识点12等边【分析】根据非负数的性质分别求出A和B，继而可判断的形状解：，A=60，B=60，是等边三角形故答案为：等边【点拨】本题考查特殊角的三角函数值，非负数的性质，等边三角形的判断，解题关键是熟记特殊角的三角函数值13/【分析】先解直角三角形求得、，再利用平行四边形的性质证得，然后利用等角对等边证得，在中求解即可求解解：在中，则，四边形是平行四边形，在中，故答案为：【点拨】本题考查平行四边形的性质、解直角三角形、等腰三角形的判定、平行线的性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，证明是解答的关键14（2+4）米/（4+）米【分析】过A作AMAB交C

13、D于M，再过M作MNBD于N，可得MCA是等边三角形；再由ABNM是矩形求得BN和MN的长；然后解RtDMN求得DN的长即可解答.解：如图，过A作AMAB交CD于M，再过M作MNBD于N，CAM=180-MAB-BAE=60，C=60，MCA是等边三角形，AM=AC=4米，AMC=60，ABN=MAB=MNB=90，四边形ABNM是矩形，MN=AB=6米，BN=AM=4米，AMN=90，RtDMN中，DMN=180-AMN-AMC=30，DN=MNtanDMN=米，BD=BN+ND=（+4）米，故答案为：（+4）米.【点拨】本题考查了等边三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，解直角三角形；正确

14、作出辅助线构造直角三角形是解题关键15/【分析】本题考查解直角三角形，勾股定理，线段垂直平分线的性质，设，由线段垂直平分线的性质推出，由勾股定理得到，求出，因此，根据即可求出解：设，则，垂直平分，故答案为：1610【分析】直接利用坡比的定义得出BE，FC的长，进而求出答案解：过点A作AEBC，DFBC，由题意可得：AD=EF=6m，AE=DF=4m，背水坡AB和迎水坡CD的坡度都是1：0.5，BE=FC=2m，BC=BE+FC+EF=6+2+2=10（m）故答案为10【点拨】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确得出BE，FC的长是解题关键17【分析】过B点作BE/AD交AC于点E，证明，得到

15、再证明利用设利用三角形的面积公式可得答案解：过B点作BE/AD交AC于点E， BEAD， 由， 设 则 故答案为：18/【分析】过A作轴于M，、则，先根据矩形性质求得，再根据余弦定义得到，证明求得，利用求解k值即可解： 过A作轴于M，、则，四边形是矩形，面积是6，轴，又，又，故答案为：【点拨】本题考查矩形的性质、反比例函数系数k的几何意义、锐角三角函数、相似三角形的判定与性质，熟练掌握反比例函数系数k的几何意义，利用相似三角形的性质求得的面积是解答的关键19（1）；（2）【分析】此题考查了实数的混合运算能力，关键是能准确确定运算顺序和方法，并能进行正确地计算；（1）先计算零次幂、二次根式和特殊

16、角的三角函数值，再计算乘法，最后计算加减；（2）先计算绝对值和特殊角的三角函数值，再计算乘法，最后计算加减；解：（1）；（2）20（1）42；（2）【分析】本题考查了勾股定理，三角函数的定义，三角形中位线定理（1）作，垂足为点H先由，可设，那么，根据勾股定理得出，在直角中，由，得出，再根据，列出关于x的方程，解方程求出，得到，然后根据的面积即可求解；（2）作，垂足为点M先由，得到，由D为中点，得出M为的中点，由三角形中位线定理得出，则，然后在直角中根据余切函数的定义即可求出的余切值（1）解：过点C作，点H为垂足，在中， 是等腰直角三角形，在中，设，则，解得，；（2）解：过点D作，点M为垂足，D

17、为中点，由（1）知：，在中，21【分析】过C地点作交AB于D点，根据桥两端A，B两点的俯角分别为30和45，可得，利用特殊角的三角函数求解即可解：如图示：过C点作交AB于D点，EFAB，在RtADC中，m ，在RtBDC中，m， m【点拨】本题考查了三角函数的应用，熟悉特殊角的三角函数值是解题的关键22（1）24；（2）M点的坐标为【分析】（1）根据交点坐标的意义，求得点P的横坐标，利用k=xy计算m即可；（2）利用分类思想，根据正切的定义，建立等式求解即可.解：（1）点P纵坐标为4，解得，（2），设，则，当M点在P点右侧，M点的坐标为，（6+2t）（4-t）=24，解得：，（舍去），当时，M

18、点的坐标为，当M点在P点的左侧，M点的坐标为，（6-2t）（4+t）=24，解得：，均舍去综上，M点的坐标为【点拨】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，反比例函数解析式的确定，三角函数，一元二次方程的解法，熟练掌握函数图像交点的意义，灵活运用三角函数的定义，构造一元二次方程并准确解答是解题的关键23（1）22.5；（2）tanDAC【分析】（1）由折叠的性质可证明四边形ABEB为正方形AEE为等腰三角形故AEAE，由BAEAEB45，可推出AEEAEE67.5，进而BEEAEEAEB22.5；（2）设正方形ABEB的边长为a，由勾股定理得AEAE，BEAEAB，由同角的余角相等可推出DA

19、CBEE，由此tanDACtanBEE，即可求得答案（1）解：由折叠性质可知，ABEABE90，ABAB，四边形ABCD为矩形，BAB90，四边形ABEB为矩形，又ABAB，四边形ABEB为正方形，BAEAEB45，又沿AC折叠，点E也落到AD上，AEAE，AEEAEE67.5，BEEAEEAEB67.54522.5（2）设正方形ABEB的边长为a，如图所示：则ABBEEBBAa，AEAE，BEAEAB，由折叠可知，AC垂直平分EE，DAC+AEF90，又BEE+AEE90，DACBEE，tanDACtanBEE【点拨】本题主要考查了折叠的性质，矩形的性质，正方形的判定和性质，等腰三角形的性质

20、，熟练正方形的判定和性质是解题的关键24（1）60,20;（2）10 试题分析：（1）先利用三角形内角和定理求出A，再利用题目总结的正弦定理，将有关数据代入求解即可；（2）在ABC中，分别求得BC的长和三个内角的度数，利用题目中总结的正弦定理AB的长即可解：（1）B=45，C=75，A=180-B-C=60，根据材料有：，即，AC=20，故答案为60，20；（2）如图，依题意：BC=400.5=20（海里），CDBE，DCB+CBE=180DCB=30，CBE=150，ABE=75，ABC=75，A=45， 在ABC中， ， 即， 解之得：AB=10海里，所以渔政船距钓鱼岛A的距离为10海里【点拨】本题考查的阅读理解题，涉及到三角函数等知识，弄清材料中知识，并能应用解决相关的问题是关键.