专题3.1 导数的概念及其几何意义与运算【八大题型】（举一反三）（新高考专用）（原卷版）.docx

1、专题3.1 导数的概念及其意义与运算【八大题型】【新高考专用】【题型1 导数的定义及其应用】2【题型2 求（复合）函数的导数的方法】3【题型3 求曲线切线的斜率（倾斜角）】3【题型4 求在曲线上一点的切线方程、过一点的切线方程】4【题型5 已知切线（斜率）求参数】4【题型6 切线的条数问题】5【题型7 两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题】5【题型8 与切线有关的最值问题】61、导数的几何意义与运算导数是高考数学的必考内容，是高考常考的热点内容，从近三年的高考情况来看，主要涉及导数的运算及几何意义，一般以选择题、填空题的形式考察导数的几何意义、求曲线的切线方程，导数的几何意义也可能会作为解答

2、题中的一问进行考查，试题难度属中低档.【知识点1 切线方程的求法】1.求曲线“在”某点的切线方程的解题策略：求出函数y=f(x)在x=x0处的导数，即曲线y=f(x)在点(x0,f(x0)处切线的斜率；在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为y=y0+f(x0)(x-x0).2.求曲线“过”某点的切线方程的解题通法：设出切点坐标T(x0,f(x0)(不出现y0)；利用切点坐标写出切线方程：y=f(x0)+f(x0)(x-x0)；将已知条件代入中的切线方程求解.【知识点2 复合函数的导数】1.复合函数的定义一般地，对于两个函数y=f(u)和u=g(x)，如果通过变量u,y可以表示成x的函

3、数，那么称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数，记作y=f(g(x). 2.复合函数的求导法则复合函数y=f(g(x)的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为 =，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.3.求复合函数导数的步骤第一步：分层：选择中间变量，写出构成它的内、外层函数；第二步：分别求导：分别求各层函数对相应变量的导数；第三步：相乘：把上述求导的结果相乘；第四步：变量回代：把中间变量代回.【题型1 导数的定义及其应用】【例1】（2023下山东高二校联考阶段练习）若limx0f(-2+x)-f(-2-x)x=-2，则f-2=（）A1B-1C2D-

4、2【变式1-1】（2022高二课时练习）设f(x)是可导函数，且limx0f(x0-2x)-f(x0)x=2，则f(x0)=（）A12B-1C0D-2【变式1-2】（2022安徽合肥合肥校考模拟预测）如图所示，连接棱长为2cm的正方体各面的中心得到一个多面体容器，从顶点A处向该容器内注水，直至注满水为止.已知顶点B到水面的距离h以每秒1cm的速度匀速上升，设该容器内水的体积Vcm3与时间t(s)的函数关系是Vt，则函数y=Vt的图象大致是（）ABCD【变式1-3】（2022陕西宝鸡统考一模）设函数fx在点x0处附近有定义，且fx0+x-fx0=ax+bx2,a,b为常数，则（）Afx=aBfx

5、=bCfx0=aDfx0=b【题型2 求（复合）函数的导数的方法】【例2】（2023湖北宜昌市一中校联考模拟预测）函数f(x)=log21x的导函数为（）Af(x)=ln2xBf(x)=1xln2Cf(x)=-ln2xDf(x)=-1xln2【变式2-1】（2023上内蒙古通辽高三校考阶段练习）下列求导数运算错误的是（）A(3x)=3xln3Bx2lnx=2xlnx+xCcosxx=xsinx-cosxx2D2ln(x2+1)=2xln2x2+12ln(x2+1)【变式2-2】（2023上湖北高二期末）已知函数f(x)=f(4)cos2x+sinx，则fx在x=4处的导数为（）A26B24C2

6、2D-22【变式2-3】（2023下黑龙江哈尔滨高二校考阶段练习）已知函数fx=x+12+sinxx2+1，其导函数记为fx，则f389+f389+f-389-f-389=（）A2B-2C3D-3【题型3 求曲线切线的斜率（倾斜角）】【例3】（2023河北唐山模拟预测）已知曲线fx=2xcosx在x=0处的切线为l，则l的斜率为（）Aln2B-ln2C1D-1【变式3-1】（2023新疆阿克苏校考一模）若直线y=kx+n与曲线y=lnx+1x相切，则k的取值范围是（）A-,14B4,+C-4,+D14,+【变式3-2】（2023内蒙古赤峰校联考一模）函数y=fx在P1,f1处的切线如图所示，则

7、f1+f1=（）A0B12C32D-12【变式3-3】（2023贵州校联考模拟预测）设点P是函数fx=x3-12f1x+f2图象上的任意一点，点P处切线的倾斜角为，则角的取值范围是（）A0,34B0,234,C2,34D0,234,【题型4 求在曲线上一点的切线方程、过一点的切线方程】【例4】（2023江苏连云港校考模拟预测）曲线y=x3+1在点a,2处的切线方程为（）Ay=3x+3By=3x-1Cy=-3x-1Dy=-3x-3【变式4-1】（2023下辽宁高二校联考阶段练习）过原点且与函数fx=ln-x图像相切的直线方程是（）Ay=-xBy=-2exCy=-1exDy=-ex【变式4-2】（

8、2023陕西咸阳校考模拟预测）已知函数fx=1ex-1，则曲线y=fx在点-1,f-1处的切线方程为（）Aex+y+1=0Bex-y+1=0Cex+y-1=0Dex-y-1=0【变式4-3】（2023全国高三专题练习）已知函数fx=x3-x2+2x+1，则曲线y=fx过坐标原点的切线方程为（）Ay=xBy=2xCy=3xDy=4x【题型5 已知切线（斜率）求参数】【例5】（2023重庆统考三模）已知直线yaxa与曲线y=x+ax相切，则实数a（）A0B12C45D32【变式5-1】（2023河南郑州统考二模）已知曲线y=xlnx+ae-x在点x=1处的切线方程为2x-y+b=0，则b=（）A1

9、B2C3D0【变式5-2】（2023全国校联考模拟预测）已知函数fx=ax2+blnx的图象在点1,f1处的切线方桯为y=3x-1.则a-b的值为（）A1B2C3D4【变式5-3】（2023全国高三专题练习）已知曲线y=axex+lnx在点1,ae处的切线方程为y=3x+b，则（）Aa=e，b=-2Ba=e，b=2Ca=e-1，b=-2Da=e-1，b=2【题型6 切线的条数问题】【例6】（2023全国高三专题练习）已知函数fx=-x3+3x，则过点-3,-9可作曲线y=fx的切线的条数为（）A0B1C2D3【变式6-1】（2023全国模拟预测）若曲线y=1-xex有两条过点Aa,0的切线，则

10、a的取值范围是（）A-,-13,+B-3,1C-,-3D-,-31,+【变式6-2】（2023全国模拟预测）若过点P(m,0)与曲线f(x)=x+1ex相切的直线只有2条，则m的取值范围是（）A(-,+)B(-,-3)(1,+)C(-1,3)D(-,-1)(3,+)【变式6-3】（2023上湖北高三鄂南高中校联考期中）函数f(x)=x3+(a-1)x2-x+b为R上的奇函数，过点P-12,1作曲线y=f(x)的切线，可作切线条数为（）A1B2C3D不确定【题型7 两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题】【例7】（2023陕西渭南统考一模）已知直线y=ax+b(aR,b0)是曲线fx=ex与曲线

11、gx=lnx+2的公切线，则a+b等于（）Ae+2B3Ce+1D2【变式7-1】（2023上陕西高三校联考阶段练习）函数fx=x-alnx在区间1,6的图象上存在两条相互垂直的切线，则a的取值范围（）A1,6B1,3C3,4D4,6【变式7-2】（2023全国模拟预测）已知函数fx=lnx与gx的图象关于直线y=x对称，直线l与gx,hx=ex+1-1的图象均相切，则l的倾斜角为（）A6B4C3D34【变式7-3】（2023海南海南华侨中学校考一模）若对函数fx=2x-sinx的图象上任意一点处的切线l1，函数gx=mex+m-2x的图象上总存在一点处的切线l2，使得l1l2，则m的取值范围是

12、（）A-e2,0B0,e2C-1,0D0,1【题型8 与切线有关的最值问题】【例8】（2023广东广州统考一模）若点P是曲线y=x2上一动点，则点P到直线y=2x-3的最小距离为 .【变式8-1】（2023全国模拟预测）已知函数fx=alnx,gx=bex，若直线y=kx(k0)与函数fx,gx的图象都相切，则4a+1b的最小值为 .【变式8-2】（2023湖南娄底统考模拟预测）已知函数fx=lnx-xn+lnm+3m1，若曲线y=fx的一条切线为直线l：4x-y+3=0，则mn的最小值为 【变式8-3】（2023上海黄浦上海市敬业中学校考三模）已知函数fx=12sin2x+3的图像在x1,f

13、x1处的切线与在x2fx2处的切线相互垂直，那么x1-x2的最小值是 .1（2023全国统考高考真题）曲线y=exx+1在点1,e2处的切线方程为（）Ay=e4xBy=e2xCy=e4x+e4Dy=e2x+3e42（2021全国统考高考真题）若过点a,b可以作曲线y=ex的两条切线，则（）AebaBeabC0aebD0b0；f(x)是奇函数6（2022全国统考高考真题）若曲线y=(x+a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是 7（2021全国统考高考真题）已知函数f(x)=|ex-1|,x10，函数f(x)的图象在点A(x1,f(x1)和点B(x2,f(x2)的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则|AM|BN|取值范围是