专题3.5 实际问题与二元一次方程组【十一大题型】（举一反三）（沪科版）（解析版）.docx

1、专题3.5 实际问题与二元一次方程组【十一大题型】【沪科版】【题型1 行程问题】1【题型2 工程问题】4【题型3 配套问题】6【题型4 年龄问题】10【题型5 销售问题】12【题型6 分配问题】16【题型7 几何图形问题】20【题型8 数字问题】22【题型9 古代问题】26【题型10 方案问题】28【题型11 图表问题】33【题型1 行程问题】【例1】（2023春山东临沂七年级统考期末）甲、乙两人在400米的环形跑道上练习赛跑，如果两人同时同地反向跑，经过25秒第一次相遇；如果两人同时同地同向跑，经过200秒甲第一次追上乙，求甲、乙两人的平均速度【答案】甲的速度为9米/秒，乙的速度为7米/秒【

2、分析】设甲的速度为x米/秒，乙的速度为y米/秒，根据“如果两人同时同地反向跑，经过25秒第一次相遇；如果两人同时同地同向跑，经过200秒甲第一次追上乙”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论【详解】解：设甲的速度为x米/秒，乙的速度为y米/秒，依题意，得：25x+25y=400200x-200y=400解得：x=9y=7答：甲的速度为9米/秒，乙的速度为7米/秒【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键【变式1-1】（2023春江苏连云港七年级统考期末）我县境内的某段铁路桥长2200m，现有一列高铁列车从桥上通过，测得此列高铁从开始

3、上桥到完全过桥共用30s，整列高铁在桥上的时间是25s，试求此列高铁的车速和车长【答案】此列高铁的车速为80m/s，车长为200m【分析】设此列高铁的车长为xm，车速为ym/s，利用路程速度时间，结合题意即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论【详解】解：设此列高铁的车长为xm，车速为ym/s，依题意得：30y=2200+x25y=2200-x，解得：x=200y=80，答：此列高铁的车速为80m/s，车长为200m【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键【变式1-2】（2023春河北廊坊七年级廊坊市第四中学校考期中）琪琪沿街匀速行走

4、，发现每隔12min从背后驶过一辆7路公交车，每隔6min从迎面驶来一辆7路公交车假设每辆7路公交车行驶速度相同，而且7路公交车总站每隔固定时间发一辆车问：（1）7路公交车行驶速度是琪琪行走速度的 倍（2）7路公交车总站每间隔 min发一辆车【答案】 3 8【分析】设7路公交车行驶速度x米/分钟，琪琪匀速行走的速度y米/分钟，7路公交车发出时间间隔为t分钟，等量关系式：12分钟公交车行驶的路程- 12分钟琪琪走的路程=两站之间的距离，5分钟公交车行驶的路程+ 5分钟琪琪走的路程=两站之间的距离；据此列出方程组，即可求解【详解】解：设7路公交车行驶速度x米/分钟，琪琪匀速行走的速度y米/分钟，7

5、路公交车发出时间间隔为t分钟，由题意得12x-12y=xt6x+6y=xt，解得：x=3yt=8，故答案：（1）3（2）8【点睛】本题主要考查了含参数的二元一次方程组的应用，找出等量关系式是解题的关键【变式1-3】（2023春湖南娄底七年级统考期末）小华从家里到学校的路是一段平路和一段下坡路假设他始终保持平路每分钟走60米，下坡路每分钟走80米，上坡路每分钟走40米，则他从家里到学校需10分钟，从学校到家里需15分钟(1)小华家离学校多远？(2)小华从家里到学校到达中点的时间与小华从学校到家里到达中点的时间会一样吗？如果不一样，哪种情况所花的时间更多？请通过计算说明理由【答案】(1)小华家离学

6、校700米(2)小华从学校到家里到达中点的时间比小华从家里到学校到达中点的时间要多一些【分析】（1）设小华从家里到学校的路是一段平路长为x米，小华从家里到学校的下坡路长为y米，根据小华从家里到学校和从学校到家里的时间列二元一次方程组，求出x与y，并求和即可；（2）先求出中点位置与学校和家里的距离，再分别求出所需时间，比较即可得解【详解】（1）解：设小华从家里到学校的路是一段平路长为x米，小华从家里到学校的下坡路长为y米由题意得：x60+y80=10x60+y40=15解得：x=300y=400 x+y=700答：小华家离学校700米；（2）中点距离小华家和学校的距离为：7002=350(米)小

7、华从家里到学校到达中点所需的时间为：30060+350-30080=5.625(分钟)；小华从学校到家里到达中点所需的时间为：35040=8.75(分钟)；8.755.625小华从学校到家里到达中点的时间比小华从家里到学校到达中点的时间要多一些【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，有理数的混合运算的应用，根据题意列方程组和列算式是解题的关键【题型2 工程问题】【例2】（2023春安徽芜湖七年级校考期末）自来水厂的供水池有7个进出水口，每天早晨6点开始进出水，且此时水池中有水15%，在每个进出水口是匀速进出的情况下，如果开放3个进口和4个出口，5小时将水池注满；如果开放4个进口和3个出口，2小时

8、将水池注满若某一天早晨6点时水池中有水24%，又因为水管改造，只能开放3个进口和2个出口，则从早晨6点开始经过 小时水池的水刚好注满【答案】3817【分析】设每个进水口每小时进水量为x，每个出水口每小时出水量为y，根据题意，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再将其代入1-24%3x-2y中即可求出结论【详解】设每个进水口每小时进水量为x，每个出水口每小时出水量为y，依题意，得：53x-4y=1-15%24x-3y=1-15%，解得：x=0.17y=0.085，1-24%3x-2y=3817故答案为：3817【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二

9、元一次方程组是解题的关键【变式2-1】（2023春四川泸州七年级泸县五中校考期中）制造某种产品，1人用机器，3人靠手工，每天可制造60件；2人用机器，2人靠手工，每天可制造80件3人用机器，1人靠手工，每天可制造多少件产品？【答案】3人用机器，1人靠手工，每天可制造100件产品【分析】设利用机器每人每天可制造x件产品，手工每人每天可制造y件产品，根据“1人用机器，3人靠手工，每天可制造60件；2人用机器，2人靠手工，每天可制造80件”列出二元一次方程组，解方程即可得到答案【详解】解：设利用机器每人每天可制造x件产品，手工每人每天可制造y件产品，根据题意得，x+3y=602x+2y=80，解得：

10、x=30y=10，3人用机器，1人靠手工，每天可制造的产品件数为：330+110=100（件），答：3人用机器，1人靠手工，每天可制造100件产品【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，读懂题意，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键【变式2-2】（2023春湖南常德七年级统考期末）玲玲家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司合作，需要6周完成，共需装修费5.2万元；若甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周才能完成，共需装修费4.8万元，玲玲的爸爸妈妈商量后决定只选一个公司单独完成(1)设工作总量为1，甲公司的每周工作效率为m，乙公司每周的工作效率为n，根据题意列出关

11、于m、n的二元一次方程组(2)如果从节约时间的角度考虑，应选哪家公司？请说明理由(3)如果从节约开支的角度考虑，应选哪家公司？请说明理由【答案】(1)6(m+n)=14m+9n=1(2)甲公司，理由见解析(3)乙公司，理由见解析【分析】（1）利用时间工作效率=工作量，建立等式，构造方程组即可（2）比较工作效率的大小，选择工作效率高的公司即可（3）设设甲公司每周费用为a万元，乙公司每周费用为b万元，计算两个公司完成工作任务后的总费用，比较大小决定即可【详解】（1）设工作总量为1，甲公司的每周工作效率为m，乙公司每周的工作效率为n，根据题意，得6(m+n)=14m+9n=1（2）由（1）解得方程组

12、的解为：m=110n=115因为110115，即甲公司的效率比乙公司的高，所以从时间上考虑，应选择甲公司（3）解：设甲公司每周费用为a万元，乙公司每周费用为b万元，根据题意得：6a+6b=5.24a+9b=4.8解得：a=35b=415甲公司共需3510=305=6万元，乙公司共需41515=4万元，因为4万元6万元，所以从节约开支上考虑，应选择乙公司【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，正确找到等量关系，列出方程组是解题的关键【变式2-3】（2023春河北邯郸七年级统考期中）有一块面积为180亩的荒地需要绿化，甲工程队绿化若干天后，因有急事，剩余工作由乙工程队完成，已知甲工程队每天绿化8亩

13、，乙工程队每天绿化12亩，一共用20天完成(1)设甲工程队绿化m天，乙工程队绿化n天，依题意可列方程组：_(2)设甲工程队绿化荒地x亩，乙工程队绿化荒地y亩，请列方程组求甲、乙两工程队分别绿化荒地的亩数【答案】(1)8m+12n=180m+n=20(2)甲、乙两工程队分别绿化荒地120亩，60亩【分析】（1）设甲工程队绿化m天，乙工程队绿化n天，再由工作总量为180亩，工作总时间为20天列方程组即可；（2）设甲工程队绿化荒地x亩，乙工程队绿化荒地y亩，再由工作总量为180亩，工作总时间为20天列方程组，再解方程组即可；【详解】（1）解：设甲工程队绿化m天，乙工程队绿化n天，则8m+12n=18

14、0m+n=20，（2）设甲工程队绿化荒地x亩，乙工程队绿化荒地y亩，则x+y=180x8+y12=20 ，整理得：x+y=1803x+2y=480，解得：x=120y=60，答：甲、乙两工程队分别绿化荒地120亩，60亩【点睛】本题考查的是二元一次方程组的应用，理解题意，确定相等关系是解本题的关键【题型3 配套问题】【例3】（2023春全国七年级期末）张氏包装厂承接了一批纸盒加工任务，用如图所示的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图所示的竖式与横式两种上面无盖的长方体纸盒（加工时接缝材料不计）(1)做1个竖式纸盒和2个横式纸盒，需正方形纸板_张（直接填空），需长方形纸板_张（直接填空）(2

15、)若该厂购进正方形纸板162张，长方形纸板338张，问竖式纸盒、横式纸盒各加工多少个，恰好能将购进的纸板全部用完？（要求列二元一次方程组解决此问题）【答案】(1)5；10(2)制作竖式纸盒38个、横式纸盒62个，恰好能将购进的纸板全部用完【分析】（1）根据1个竖式纸盒需要长方形纸板4张，正方形纸板1张，1个横式纸盒需要长方形纸板3张，正方形纸板2张，求出做1个竖式纸盒和2个横式纸盒需要的正方形纸板和长方形纸片的张数即可；（2）设制作竖式纸盒x个、横式纸盒y个，根据制作竖式纸盒和横式纸盒需要的正方形和长方形纸板数列出方程组，解方程即可【详解】（1）解：需正方形纸板：1+22=5（张），长方形纸板

16、：4+32=10（张），故答案为：5；10（2）解：设制作竖式纸盒x个、横式纸盒y个，根据题意得：4x+3y=338x+2y=162，解得：x=38y=62，答：制作竖式纸盒38个、横式纸盒62个，恰好能将购进的纸板全部用完【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是根据正方形和长方形张数列出方程组3（2023秋山东济南七年级校考期末）列方程组解应题某校为7年级寄宿学生安排宿舍，每间宿舍住5人，则有4人住不下；若每间住6人，则有一间只住4人，求该年级寄宿的学生人数和宿舍间数？【答案】寄宿生人数为34人，宿舍间数为6间【分析】设寄宿生人数为x人，宿舍间数为y间，根据学生的人数与房间的

17、数量之间的关系建立方程组求出其解即可【详解】解：设寄宿生人数为x人，宿舍间数为y间，由题意，得x-5y=4x-6y-1=4，解得：x=34y=6答：寄宿生人数为34人，宿舍间数为6间【点睛】本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，二元一次方程组的解法的运用，解答时根据学生的人数与房间的数量之间的关系建立方程组是关键【变式3-1】（2023春山东菏泽七年级统考期中）一套餐桌有一张桌子和六把椅子组成如果1立方米木料可以制作10张桌子，或制作15把椅子现有15立方米的木料，请你设计一下，用多少立方米的木料做桌子，多少立方米的木料做椅子，恰好配套成餐桌？【答案】用3立方米的木料做桌子，12立方米的

18、木料做椅子，恰好配套成餐桌【分析】根据题意找出等量关系：1立方米木料可以制作10张桌子，或制作15把椅子和总共15立方米的木料，设出未知量列方程组计算即可【详解】解：设用x立方米的木料做桌子，用y立方米的木料做椅子，根据题意，得x+y=156(10x)=15y，解这个方程组，得x=3y=12，经检验，方程组的解符合题意所以用3立方米的木料做桌子，12立方米的木料做椅子，恰好配套成餐桌【点睛】此题考查二元一次方程的应用，难度一般，找准等量关系是关键【变式3-2】（2023春广东江门七年级统考期末）用铁皮材料做罐头盒，每张铁皮可制盒身30个，或制盒底50个，一个盒身与两个盒底配成一套现有33张铁皮

19、材料，分别用多少张制盒身、盒底，才能保证既恰好用完铁皮材料，又使盒身和盒底正好配套？【答案】用15张制盒身，用18张制盒底，才能保证既恰好用完铁皮材料，又使盒身和盒底正好配套【分析】设用x张制盒身，用y张制盒底，根据题中等量关系列出x、y的方程组，然后解方程组可求解【详解】解：设用x张制盒身，用y张制盒底，根据题意，得x+y=33230x=50y，解得x=15y=18，答：用15张制盒身，用18张制盒底，才能保证既恰好用完铁皮材料，又使盒身和盒底正好配套【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，理解题意，找准等量关系并正确列出方程组是解答的关键【变式3-3】（2023秋安徽滁州七年级校考开学考试）

20、一工厂有60名工人，要完成1200套产品的生产任务，每套产品由4个A型零件和3个B型零件配套组成，每个工人每天能加工6个A型零件或者3个B型零件现将工人分成两组，每组分别加工一种零件，并要求每天加工的零件正好配套(1)工厂每天应安排多少名工人生产A型零件?每天能生产多少套产品?(2)现工厂要在20天内完成1200套产品的生产，决定补充一些新工人，这些新工人只能独立进行A型零件的加工，且每人每天只能加工4个A型零件设每天安排x名熟练工人和m名新工人生产A型零件，求x的值（用含m的代数式表示）请问至少需要补充多少名新工人才能在规定期限完成生产任务?【答案】(1)工厂每天应安排24名工人生产A型零件

21、，每天能生产36套产品(2)x=-25m+24；至少需要补充60名新工人才能在规定期限完成生产任务【分析】（1）设工厂每天安排x名工人生产A型零件，则工厂每天安排(60-x)名工人生产B型零件，根据“每套产品由4个A型零件和3个B型零件配套组成”列方程求解即可；（2）根据“x名熟练工人和m名新工人生产的A型零件等于1200套产品的A型零件总数”可列方程，进行整理即可；设需要补充m名新工人才能在规定期限完成生产任务，安排n名熟练工人生产A型零件，则安排(60-n)名熟练工人生产B型零件，根据题意，可得关于m、n的方程组，求解即可【详解】（1）解：设工厂每天安排a名工人生产A型零件，则工厂每天安排

22、(60-a)名工人生产B型零件，由题意得：6a4=3(60-a)3，解得a=24，6a4=6244=36（套）所以，工厂每天应安排24名工人生产A型零件，每天能生产36套产品（2）设每天安排x名熟练工人和m名新工人生产A型零件，则安排(60-x)名熟练工人生产B型零件，由题意得，3(6x+4m)=43(60-x)，整理得x=-25m+24；设需要补充m名新工人才能在规定期限完成生产任务，安排n名熟练工人生产A型零件，则安排(60-n)名熟练工人生产B型零件，由题意得20(6n+4m)4=1200203(60-n)3=1200，解得m=60n=0，所以，至少需要补充60名新工人才能在规定期限完成

23、生产任务【点睛】本题考查了一元一次方程的实际应用，二元一次方程组的实际应用，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键【题型4 年龄问题】【例4】（2023春全国七年级专题练习）5年前母亲的年龄是女儿年龄的15倍，15年后，母亲的年龄比女儿年龄的2倍多6岁那么现在这对母女的年龄分别是多少？【答案】母亲现在年龄35岁，女儿现在7岁【分析】设母亲现在年龄x岁，女儿现在y岁，然后根据5年前母亲的年龄是女儿年龄的15倍，15年后，母亲的年龄比女儿年龄的2倍多6岁，列出方程组求解即可【详解】解：设母亲现在年龄x岁，女儿现在y岁，则x-5=15(y-5)x+15=2(y+15)+6解得x=35y=7答：母亲

24、现在年龄35岁，女儿现在7岁【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，解题的关键在于正确理解题意列出方程求解【变式4-1】（2023春七年级课时练习）爸爸、妈妈、我、妹妹，四人今年的年龄之和是101岁，爸爸比妈妈大1岁，我比妹妹大6岁，十年前，我们一家的年龄之和是63岁，今年爸爸的年龄是（）A38岁B39岁C40岁D41岁【答案】C【分析】由题意得：妹妹今年的年龄为8岁，我今年的年龄为14岁，设妈妈今年的年龄为x岁，爸爸今年的年龄为y岁，再由题意：一家四口人的年龄加在一起是101岁，爸爸比妈妈大1岁，列出方程组，解方程组即可【详解】解：现在一家四口人的年龄之和应该比十年前全家人年龄之和多40

25、岁，但实际上101-63=38（岁），说明十年前妹妹没出生，则妹妹今年的年龄为10-(40-38)=8（岁），我的年龄为6+8=14（岁），设妈妈今年的年龄为x岁，爸爸今年的年龄为y岁，由题意得：x+y+8+14=101y=x+1，解得：x=39y=40，即爸爸今年的年龄为40岁，故选：C【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键【变式4-2】（2023秋湖南永州七年级校考开学考试）甲对乙说：“我像你这样大岁数的那年，你的岁数等于我今年的岁数的一半；当你到我这样大岁数的时候，我的岁数是你今年岁数的二倍少7岁”则今年甲的年龄为 岁， 乙的年龄为 岁【

26、答案】 28 21【分析】设今年甲的年龄为x岁，乙的年龄为y岁，则甲比乙大x-y岁，然后根据题意列出方程组求解即可【详解】解：设今年甲的年龄为x岁，乙的年龄为y岁，则甲比乙大x-y岁，由题意得：x2=y-x-yx+x-y=2y-7，解得：x=28y=21，即今年甲的年龄为28岁，乙的年龄为21岁，故答案为：28，21【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找出合适的等量关系列出方程组是解题的关键【变式4-3】（2023春福建泉州七年级统考期末）南安英都拔拔灯是国家级非物质文化遗产之一，因疫情原因停办了好几年，今年正月又重新举行，吸引了众多的海内外游客参与其中一位34岁的男子带着他的两个孩子参与

27、了拔拔灯活动，下面是记者与两个孩子的对话：记者：两位小朋友，你们几岁了？这么小就来拔拔灯了妹妹：我比哥哥少4岁；哥哥：两年后，妹妹年龄的3倍与我的年龄相加恰好等于爸爸的年龄；根据对话内容，请你用方程（组）的知识帮记者求出今年哥哥和妹妹的年龄【答案】今年妹妹6岁，哥哥10岁【分析】设今年妹妹的年龄为x岁，哥哥的年龄为y岁，根据两个孩子的对话，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论【详解】解：设今年妹妹的年龄为x岁，哥哥的年龄为y岁，根据题意得：x+4=y3(x+2)+(y+2)=34+2，解得：x=6y=10，答：今年妹妹6岁，哥哥10岁【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准

28、等量关系，列出二元一次方程组是解题的关键【题型5 销售问题】【例5】（2023春山东泰安七年级统考期末）2020年1月底，武汉爆发“新冠”疫情，并开始向全国蔓延，出于防疫的需求，医用口罩迅速成为紧俏物资某药店为解市民的燃眉之急，先后两次采购了A、B两种型号的医用口罩进行销售已知这两种型号的医用口罩进货情况如表：第一次第二次A型口罩(箱)2030B型口罩(箱)3040累计采购款(元)5100072000（1）问A，B两种型号的口罩的进货单价各是多少元？（2）销售中发现B型口罩的销量明显好于A型，药店在计划第三次采购时，决定购进B型口罩的箱数比A型口罩的箱数的2倍还多10箱，在采购总价不超过900

29、00元的情况下，最多能购进多少箱B型口罩？【答案】（1）A种型号的口罩的进货单价是1200元，B种型号的口罩的进货单价是900元；（2）最多能购进64箱B型口罩【分析】（1）设A种型号的口罩的进货单价是x元，B种型号的口罩的进货单价是y元，根据题意列出关于x和y的二元一次方程组，进而求出A，B两型口罩的进货单价（2）设购进m箱A型口罩，购进(2m+10)箱B型口罩，列出不等式1200m+900(2m+10)90000求解即可【详解】（1）设A种型号的口罩的进货单价是x元，B种型号的口罩的进货单价是y元，根据题意可得：20x+30y=5100030x+40y=72000，解得：x=1200y=9

30、00答：A种型号的口罩的进货单价是1200元，B种型号的口罩的进货单价是900元（2）设购进m箱A型口罩，购进(2m+10)箱B型口罩，由题意可得：1200m+900(2m+10)90000；解得：m27，又m为正整数m的最大值为27此时2m+10=64答：最多能购进64箱B型口罩【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用；在求解的过程中二元一次方程组可用加减消元法和代入消元法两种消元的方法，而一元一次不等式的解集求出以后，还要根据题意对于未知数进行正确的取值【变式5-1】（2023春重庆七年级重庆市育才中学校考期中）向日葵水果店推出甲乙两种礼盒，甲礼盒中有樱桃1千克，枇杷0

31、.5千克，香梨1千克，乙礼盒中有樱桃1千克，枇杷0.5千克，哈密瓜1千克，已知樱桃每千克30元，甲礼盒每盒100元，乙礼盒每盒98元，当然，顾客也可根据需要自由搭配，小陶用1100元买乙礼盒和自由搭配礼盒(香梨1千克，枇杷1千克，哈密瓜1千克)若干盒，则小陶一共可买礼盒 个【答案】10【分析】设枇杷每千克x元，香梨每千克y元，哈密瓜每千克a元，列出方程组，得到自由搭配礼盒每盒138元，设乙礼盒m个，自由搭配礼盒n个，得到98m+138n=1100，根据m，n为非负整数，得到m，n的值即可【详解】解：设枇杷每千克x元，香梨每千克y元，哈密瓜每千克a元，则30+0.5x+y=10030+0.5x+

32、a=98，由+得：x+y+a=138，即自由搭配礼盒每盒138元，设乙礼盒m个，自由搭配礼盒n个，则98m+138n=1100，m，n为非负整数，当且仅当m=7，n=3时，等式成立，一共可以买礼盒7+3=10（个），故答案为：10【点睛】本题考查了二元一次方程组的实际应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系，确定自由搭配礼盒每盒138元【变式5-2】（2023春黑龙江大庆七年级校考期末）某商店分两次购进A，B型两种台灯进行销售，两次购进的数量及费用如下表所示，由于物价上涨，第二次购进A，B型两种台灯时，两种台灯每台进价分别上涨30%，20%购进的台数购进所需要的费用（元）A型B型第一次1020

33、3000第二次15104500(1)求第一次购进A，B型两种台灯每台进价分别是多少元？(2)A，B型两种台灯销售单价不变，第一次购进的台灯全部售出后，获得的利润为2800元，第二次购进的台灯全部售出后，获得的利润为1800元求A，B型两种台灯每台售价分别是多少元？若按照第二次购进A，B型两种台灯的价格再购进一次，将再次购进的台灯全部售出后，要想使获得的利润为1000元，求有哪几种购进方案？【答案】(1)第一次购进A型台灯每台进价为200元，B型台灯每台进价为50元(2)A型台灯每台售价为340元，B型台灯每台售价为120元；有4种购进方案：购进A型台灯2台，B型台灯14台；购进A型台灯5台，B

34、型台灯10台；购进A型台灯8台，B型台灯6台；购进A型台灯11台，B型台灯2台【分析】（1）根据等量关系式：第一次购买10台A型台灯的费用+第一次购买20台B型台灯的费用=3000元，第二次购买15台A型台灯的费用+第二次购买10台B型台灯的费用=4500元，列出方程组，接可求解；（2）根据等量关系式：第一次的10台A型台灯的利润+第一次的20台B型台灯的利润=2800元，第二次的15台A型台灯的利润+第二次购买10台B型台灯的利润=1000元，列出方程组，接可求解；设再购进A型台灯a台，B型台灯b台，由按第二次购买的价格购买，a台A型台灯售出获得利润+ b台B型台灯售出获得利润=1000元，

35、列方程即可求解【详解】（1）解：设第一次购进A型台灯每台进价为x元，B型台灯每台进价为y元，由题意得：10x+20y=3000151+30%x+101+20%y=4500，解得：x=200y=50，答：第一次购进A型台灯每台进价为200元，B型台灯每台进价为50元（2）解：设A型台灯每台售价为m元，B型台灯每台售价为n元，由题意得：10m-200+20n-50=280015m-2001+30%+10n-501+20%=1800，解得，m=340n=120，答：A型台灯每台售价为340元，B型台灯每台售价为120元；第二次购进的A型台灯的价格为：2001+30%=260（元），B型台灯的价格为：

36、501+20%=60（元），设购进A型台灯a台，B型台灯b台，由题意得：340-260a+120-60b=1000，整理得：4a+3b=50，b=50-4a3=13-a+2-a3a、b为自然数，a=2b=14或a=5b=10或a=8b=6或a=11b=2，有4种购进方案：购进A型台灯2台，B型台灯14台；购进A型台灯5台，B型台灯10台；购进A型台灯8台，B型台灯6台；购进A型台灯11台，B型台灯2台【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找出等量关系式，正确列出方程（组）是解题的关键【变式5-3】（2023秋全国七年级统考期末）为了解决农民工子女入学难的问题，我市建立了一套进城农民工子女就学

37、的保障机制，其中一项就是免交“借读费”据统计，2004年秋季有5000名农民工子女进入主城区中小学学习，预计2005年秋季进入主城区中小学学习的农民工子女比2004年有所增加，其中小学增加20%，中学增加30%，这样，2005年秋季将新增1160名农民工子女在主城区中小学学习（1）如果按小学每生每年收“借读费”500元，中学每生每年收“借读费”1000元计算，求2005年新增加的1160名中小学学生共免收多少“借读费”？（2）如果小学每增加40名学生需配备2名教师，中学每增加40名学生需配备3名教师，若按2005年秋季入学后，农民工子女在主城区中小学就读的学生增加的人数计算，一共需要配备多少名

38、中小学教师？【答案】(1)820000元；(2)480人.【详解】本题考查的是方程组的应用（1）根据题意可知本题的等量关系有，2005年进入小学学习的人数=（1+20%）2004年进入小学学习的人数，2005年进入中学学习的人数=（1+30%）2004进入中学学习的人数2005年进入中小学学习的总人数=5000+1160依此列方程组再求解（2）先算出秋季入学后，在小学就读的学生人数及在中学就读的学生人数，再根据师生比例即得结果（1）设2004年秋季在主城区小学学习的农民工子女有x人，在主城区中学学习的农民工子女有人，由题意可得：解得 x=3400y=1600，30%y=30%1600=4805

39、006801000480820000（元）82（万元）答：共免收82万元（或820000元）“借读费”.（2）2005年秋季入学后，在小学就读的学生有（名），在中学就读的学生 有（名）.（名）答：一共需要配备360名中小学教师.【题型6 分配问题】【例6】（2023春北京海淀七年级北京育英中学校考期末）为迎接2008年奥运会，某工艺厂准备生产奥运会标志“中国印”和奥运会吉祥物“福娃”.该厂主要用甲、乙两种原料，已知生产一套奥运会标志需要甲原料和乙原料分别为4盒和3盒，生产一套奥运会吉祥物需要甲原料和乙原料分别为5盒和10盒该厂购进甲、乙原料的量分别为20000盒和30000盒，如果所进原料全部

40、用完，求该厂能生产奥运会标志和奥运会吉祥物各多少套？【答案】生产奥运会标志2000套，生产奥运会吉祥物2400套【分析】设生产奥运会标志x套，生产奥运会吉祥物y套两个等量关系为：4奥运会标志套数+5奥运会吉祥物套数=20000；3奥运会标志套数+10奥运会吉祥物套数=30000再列方程求解即可【详解】解：设生产奥运会标志x套，生产奥运会吉祥物y套根据题意得4x+5y=200003x+10y=30000 2-得5x=10000x=2000把x=2000代入得5y=12000y=2400答：该厂能生产奥运会标志2000套，生产奥运会吉祥物2400套【点睛】本题考查的是二元一次方程组的应用，解题关键

41、是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系：4奥运会标志套数+5奥运会吉祥物套数=20000；3奥运会标志套数+10奥运会吉祥物套数=30000，列出方程组，再求解本题需注意应根据用的原料种类分类判断得到等量关系【变式6-1】（2023春广西桂林七年级校考期中）某汽车制造厂生产一款电动汽车，计划一个月生产200辆由于抽调不出足够的熟练工来完成电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人，也能独立进行电动汽车的安装生产开始后，调研部门发现：1名熟练工和2名新工人每月可安装8辆电动汽车，2名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动汽车（1）每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？

42、（2）若工厂现在有熟练工人30人，求还需要招聘多少新工人才能完成一个月的生产计划？【答案】（1）每名熟练工每月可以安装4辆电动汽车，每名新工人每月可以安装2辆电动汽车；（2）40名【分析】（1）设每名熟练工每月可以按装x辆电动汽车，每名新工人每月可以按装y辆电动汽车，根据“1名熟练工和2名新工人每月可安装8辆电动汽车；2名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动汽车”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设还需要招聘m名新工人才能完成一个月的生产计划，根据工作总量工作效率人数结合计划一个月生产200辆，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论【详解】解：（1）设每名

43、熟练工每月可以安装x辆电动汽车，每名新工人每月可以安装y辆电动汽车，依题意，得：x+2y=82x+3y=14，解得：x=4y=2答：每名熟练工每月可以安装4辆电动汽车，每名新工人每月可以安装2辆电动汽车（2）设还需要招聘m名新工人才能完成一个月的生产计划，依题意，得：430+2m200，解得：m40答：还需要招聘40名新工人才能完成一个月的生产计划【点睛】本题考查的是用二元一次方程组解决问题中的工程问题，理解题意，找准数量关系列出方程组是解答关键.【变式6-2】（2023春浙江七年级期末）杭州某公司准备安装完成6000辆如图所示款共享单车投入市场由于抽调不出足够熟练工人，公司准备招聘一批新工人

44、生产开始后发现：1名熟练工人和2名新工人每天共安装28辆共享单车；2名熟练工人每天装的共享单车数与3名新工人每天安装的共享单车数一样多（1）求每名熟练工人和新工人每天分别可以安装多少辆共享单车?（2）若公司原有熟练工a人，现招聘n名新工人an，使得最后能刚好一个月（30天）完成安装任务，求a的值【答案】（1）每名熟练工人每天可以安装12辆共享单车，每名新工人每天可以安装8辆共享单车；（2）a的值为16或14或12【分析】（1）设每名熟练工人每天可以安装x辆共享单车，每名新工人每天可以安装y辆共享单车，根据“1名熟练工人和2名新工人每天共安装28辆共享单车；2名熟练工人每天安装的共享单车数与3名

45、新工人每天安装的共享单车数一样多”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设抽调a名熟练工人，由工作总量工作效率工作时间，即可得出关于n，a的二元一次方程，再根据n，a均为正整数且na，即可求出n的值【详解】解：（1）设每名熟练工人每天可以安装x辆共享单车，每名新工人每天可以安装y辆共享单车，根据题意得：x+2y=282x=3y，解得：x=12y=8答：每名熟练工人每天可以安装12辆共享单车，每名新工人每天可以安装8辆共享单车（2）根据题意得：30（8n+12a）6000，整理得：n2532a，n，a均为正整数，且na，n=1a=16，n=4a=14，n=7a=12a的值

46、为16或14或12【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程【变式6-3】（2023春吉林长春七年级统考期末）问题解决：糖葫芦一般是用竹签串上山楂再蘸以冰糖制作而成，现将一些山楂分别串在若干个竹签上，如果每根竹签串4个山楂，还剩余3个山楂；如果每根竹签串7个山楂，还剩余6根竹签，求竹签有多少根？山楂有多少个？反思归纳：现有m根竹签，n个山楂，若每根竹签串a个山楂，还剩b个山楂，则m、n、a、b满足的等量关系为 （用含m、n、a、b的代数式表示）【答案】竹签有15根，山楂有63个

47、；am+bn【分析】设竹签有x根，山楂有y个，根据“如果每根竹签串4个山楂，还剩余3个山楂；如果每根竹签串7个山楂，还剩余6根竹签”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出竹签及山楂的数量；利用山楂的个数每根竹签串的山楂个数竹签数量+剩余山楂的数量，即可找出m、n、a、b之间的等量关系【详解】问题解决：设竹签有x根，山楂有y个，依题意得：4x+3=y7(x-6)=y，解得：x=15y=63答：竹签有15根，山楂有63个山楂的个数每根竹签串的山楂个数竹签数量+剩余山楂的数量am+bn故答案为：am+bn【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解题的关键【题型7 几何

48、图形问题】【例7】（2023春江苏苏州七年级校联考阶段练习）把长都是宽的两倍的1个大长方形纸片和4个相同的小长方形纸片按图、图方式摆放，则图中的大长方形纸片未被4个小长方形纸片覆盖部分的面积为 cm2【答案】24【分析】根据题意中的等量关系大长方形的长+2倍小长方形的长=12，大长方形的长-2倍小长方形的长=4列出方程组进行求解.【详解】解：设大长方形长为x,小长方形长为y.根据题意，得x+2y=12,x-2y=4,解得x=8,y=2,大长方形的宽为4，小长方形的宽为1.48-124=24.所以被覆盖部分的面积为24【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程，关键是正确理解题意，找出题

49、目中的等量关系，再列出方程【变式7-1】（2023春江苏常州七年级统考期末）在长为18m，宽为15m的长方形空地上，沿平行于长方形各边的方向分别割出三个大小完全一样的小长方形花圃，其示意图如图所示，则其中一个小长方形花圃的面积为（）A10m2B12m2C18m2D28m2【答案】D【分析】设小长方形花圃的长为xm，宽为ym，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得到答案【详解】解：设小长方形花圃的长为xm，宽为ym，根据题意可得：2x+y=18x+2y=15，解得：x=7y=4， xy=74=28m2，一个小长方形花圃的面积为：28m2，故选：D【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等

50、量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键【变式7-2】（2023春河南新乡七年级校考阶段练习）如图，在长方形ABCD中，放入6个形状、大小都相同的小长方形，所标尺寸如图所示.(1)小长方形的长和宽各是多少？(2)求阴影部分的面积.【答案】(1)小长方形的长为10cm，宽为3cm；(2)67cm2【分析】（1）设小长方形的长为xcm，宽为ycm，观察图形即可列出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出x、y的值，（2）根据阴影部分的面积=大长方形的面积-6个小长方形的面积，即可求出结论【详解】（1）设小长方形的长为xcm，宽为ycm，根据图形可知：x+3y=19x+y=2y+7，解得：x=10

51、y=3，答：小长方形的长为10cm，宽为3cm；（2）由（1）得：小长方形的长为10cm，宽为3cm，长方形ABCD的宽为13cm，则阴影部分的面积=大长方形的面积-6个小长方形的面积，=1319-6310，=67(cm2)，答：阴影部分的面积为67cm2【点睛】此题考查了二元一次方程组的应用，观察图形列出关于x、y的二元一次方程组是解题的关键【变式7-3】（2023春山西七年级统考期中）小敏通过观察发现，生活中很多产品的包装都是长方体，她从家里找了一个长方体包装盒，将其展开后，得到如图所示的示意图，根据示意图中的数据可得原长方体的体积为 cm3【答案】192【分析】根据图形分析得到长方体的长

52、是8cm，设宽是xcm，高是ycm，列方程组求解即可得到宽和高，再根据长方体体积公式计算体积.【详解】设长方体的宽是xcm，高是ycm，由题意得28+x+y=26x+2y=14，解得x=6y=4，长方体的体积是864=192（cm3），故答案为：192.【点睛】此题考查二元一次方程组的实际应用，正确观察图形理解长、宽、高之间的数量关系是解题的关键.【题型8 数字问题】【例8】（2023春河北唐山七年级统考期中）某两位数，两个数位上的数之和为11这个两位数加上45，得到的两位数恰好等于原两位数的两个数字交换位置所表示的数，求原两位数(1)列一元一次方程求解(2)如果设原两位数的十位数字为x，个位

53、数字为y，列二元一次方程组(3)检验（1）中求得的结果是否满足（2）中的方程组【答案】(1)原两位数为38(2)x+y=1110x+y+45=10y+x(3)（1）中求得的结果满足（2）中的方程组【分析】（1）设原两位数的个位数字为m，则十位数字为11-m，根据题意列出一元一次方程，解方程即可求解；（2）设原两位数的十位数字为x，个位数字为y，根据题意，列出方程组即可求解；（3）结合（1），可知：x=3，y=8，进而即可求解【详解】（1）解：设原两位数的个位数字为m，则十位数字为11-m，依题意，得：1011-m+m+45=10m+11-m，解得：m=8，11-m=3答：原两位数为38；（2）

54、设原两位数的十位数字为x，个位数字为y，依题意，得：x+y=1110x+y+45=10y+x；（3）结合（1）可知，x=3，y=8，x+y=11，10x+y+45=83=10y+x，（1）中求得的结果满足（2）中的方程组【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，二元一次方程组的应用，根据题意列出方程（组）是解题的关键【变式8-1】（2023春重庆沙坪坝七年级重庆市第七中学校校考期末）幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”三阶幻方的填写规则是将9个不同的整数填入方格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等(1)如图1所示幻方，求x的值；(2)如图2所示幻方，求a，b的值；(3)

55、如图3所示幻方，若m，n为正整数，直接写出一共有多少种填法，并把其中一种幻方填写完整【答案】(1)x=5(2)a=4b=3(3)一共有3种填法；填写见解析【分析】（1）根据题意列出关于x的方程，解方程即可；（2）根据题意列出关于a、b的方程组，解方程组即可；（3）根据题意列出关于m、n的二元一次方程，求出整数解即可【详解】（1）解：根据题意得：9+x+1=x+3+1+2x-4，解得：x=5；（2）解：根据题意得：12+2a+1+3b-3=12+7+2a4b-2+2a+1+2a=12+7+2a，解得：a=4b=3；（3）解：根据题意得：13+12+11=13+2m+2+3n，即2m+3n=21，

56、m，n为正整数，m=3n=5，m=6n=3，m=9n=1，共有3种填法；【点睛】本题主要考查了二元一次方程组和一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，根据表格列出方程或方程组【变式8-2】（2023秋辽宁铁岭七年级统考阶段练习）在最强大脑节目中，有很多具有挑战性的比赛项目，其中幻图圆这个项目充分体现了数学的魅力如图是一个最简单的二阶幻圆的模型，要求：内、外两个圆周上的四个数字之和相等；外圆两直径上的四个数字之和相等；则图中外圆周上空白圆圈内填 ，内圆周上空白圆圈内填内应填 【答案】 -1 -7【分析】设外圆空白数字为x,内圆空白数据为y,根据题意可列出关于x、y的方程组求解即可【详解】解：设

57、外圆空白数字为x，内圆空白数据为y，根据题意得：-3+9-5+x=6-1+2+y；x+y+9-1=-5+2+6-3；整理得：x-y=6x+y=-8，解得：x=-1y=-7故答案为-1,-7【点睛】本题考查了有理数的加法运算、二元一次方程组等知识点，根据题意列出一元二次方程组是解答本题的关键【变式8-3】（2023春山东潍坊七年级校考阶段练习）小明和小华在一起玩数字游戏，他们每人取了一张数字卡片，拼成了一个两位数，小明说：“哇！这个两位数的十位数字与个位数字之和恰好是9”他们又把这两张卡片对调，得到了一个新的两位数，小华说：“这个两位数恰好也比原来的两位数大9”那么，你能回答以下问题吗？(1)他

58、们取出的两张卡片上的数字分别是几？(2)第一次，他们拼出的两位数是多少？(3)第二次，他们拼成的两位数又是多少呢？请你好好动动脑筋哟！【答案】(1)他们取出的两张卡片上的数字分别是4、5(2)第一次他们拼成的两位数为45(3)第二次拼成的两位数是54【详解】（1）解：设他们取出的两个数字分别为x、y第一次拼成的两位数为10x+y，第二次拼成的两位数为10y+x根据题意得：x+y=910y+x-9=10x+y，由，得：y-x=1，+得：y=5把y=5代入得：x=4，他们取出的两张卡片上的数字分别是4、5（2）解：根据（1）得：十位数字是4，个位数字是5，所以第一次他们拼成的两位数为45（3）解：

59、根据（1）得，x，y的位置调换，所以十位数字是5，个位数字是，所以第二次拼成的两位数是54【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，找出合适的等量关系是解题的关键【题型9 古代问题】【例9】（2023秋安徽滁州七年级校联考期中）被历代数学家尊为“算经之首”的九章算术是中国古代算法的扛鼎之作九章算术中记载：“今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻一雀一燕交而处，衡适平并燕、雀重一斤问燕、雀一枚各重几何？”译文：“今有5只雀、6只燕，分别聚集而且用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻将一只雀、一只燕交换位置而放，重量相等5只雀、6只燕重量为1斤问雀、燕每1只各重多少斤？”请列方程组解答上面的问题【答案】雀、燕每一只各重219斤、338斤【分析】设雀、燕每1只各重x斤、y斤，根据等量关系：今有5只雀、6只燕，分别聚集而且用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻将一只雀、一只燕交换位置而放，重量相等5只雀、6只燕重量为1斤，列出方程组求解即可【详解】解：设雀、燕每1只各重x斤、y斤根据题意，得4x+y=5y+x5x+6y=1整理，得3x-4y=05x+6y=1解得x=219y=338