专题31三角形与新定义综合问题-挑战2023年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘（全国通用）（原卷版）.docx

1、挑战2023年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘（全国通用） 专题31三角形与新定义综合问题【例1】（2022淮安区模拟）我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做底角的邻对（can），如图1，在ABC中，ABAC，底角B的邻对记作canB，这时canB容易知道一个角的大小与这个角的邻对值是一一对应的，根据上述角的邻对的定义，解下列问题：（1）can30 ，若canB1，则B （2）如图2，在ABC中，ABAC，canB，SABC48，求ABC的周长【例2】（2022柯城区校级三模）定义：若三角形的一条边上的高线与这条边相等，则称这个三角形为“标准三角形”如：在ABC，CDAB于点D，ABCD，则AB

2、C为标准三角形【概念感知】判断：对的打“”，错的打“”（1）等腰直角三角形是标准三角形 （2）顶角为30的等腰三角形是标准三角形 【概念理解】若一个等腰三角形为标准三角形，则此三角形的三边长之比为 【概念应用】（1）如图，若ABC为标准三角形，CDAB于点D，ABCD1，求CA+CB的最小值（2）若一个标准三角形的其中一边是另一边的倍，求最小角的正弦值【例3】（2020五华区校级三模）爱好思考的小茜在探究两条直线的位置关系查阅资料时，发现了“中垂三角形”，即两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”如图（1）、图（2）、图（3）中，AM、BN是ABC的中线，AMBN于点P，像ABC这样的三角形

3、均为“中垂三角形”设BCa，ACb，ABc【特例探究】（1）如图1，当PAB45，c时，a ，b ；如图2，当PAB30，c2时，a2+b2 ；【归纳证明】（2）请你观察（1）中的计算结果，猜想a2、b2、c2三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你的结论【拓展证明】（3）如图4，在ABCD中，E、F分别是AD、BC的三等分点，且AD3AE，BC3BF，连接AF、BE、CE，且BECE于E，AF与BE相交点G，AD3，AB3，求AF的长【例4】（2020岳麓区校级二模）定义：在ABC中，若有两条中线互相垂直，则称ABC为中垂三角形，并且把AB2+BC2+CA2叫做ABC的方周长，记作L

4、，即LAB2+BC2+CA2（1）如图1，已知ABC是中垂三角形，BD，AE分别是AC，BC边上的中线，若ACBC，求证：AOB是等腰直角三角形；（2）如图2，在中垂三角形ABC中，AE，BD分别是边BC，AC上的中线，且AEBD于点O，试探究ABC的方周长L与AB2之间的数量关系，并加以证明；（3）如图3，已知抛物线y与x轴正半轴相交于点A，与y轴相交于点B，经过点B的直线与该抛物线相交于点C，与x轴负半轴相交于点D，且BDCD，连接AC交y轴于点E求证：ABC是中垂三角形；若ABC为直角三角形，求ABC的方周长L的值【例5】（2020安徽模拟）通过学习锐角三角函数，我们知道在直角三角形中，

5、一个锐角的大小与两条边长的比值是一一对应的，因此，两条边长的比值与角的大小之间可以相互转化类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做底角的邻对（can），如图（1）在ABC中，ABAC，底角B的邻对记作canB，这时canB，容易知道一个角的大小与这个角的邻对值也是一一对应的根据上述角的邻对的定义，解下列问题：（1）can30 ；（2）如图（2），已知在ABC中，ABAC，canB，SABC24，求ABC的周长一解答题（共20题）1（2022秋如皋市期中）定义：一个内角等于另一个内角两倍的三角形，叫做“倍角三角形”（1）下列三角形一定是“倍角三角形”的有

6、 （只填写序号）顶角是30的等腰三角形；等腰直角三角形；有一个角是30的直角三角形（2）如图1，在ABC中，ABAC，BAC90，将ABC沿边AB所在的直线翻折180得到ABD，延长DA到点E，连接BE若BCBE，求证：ABE是“倍角三角形”；点P在线段AE上，连接BP若C30，BP分ABE所得的两三角形中，一个是等腰三角形，一个是“倍角三角形”，请直接写出E的度数2（2022秋义乌市校级月考）【概念认识】如图所示，在ABC中，若ABDDBEEBC，则BD，BE叫做ABC的“三分线”，其中，BD是“邻AB三分线“，BE是“邻BC三分线”【问题解决】（1）如图所示在ABC中A80，ABC45若A

7、BC的三分线BD交AC于点D求BDC的度数（2）如图所示，在ABC中BP，CP分别是ABC的邻BC三分线和ACB的邻BC三分线，且BPC140求A的度数【延伸推广】（3）在ABC中，ACD是ABC的外角，ABC的三分线所在的直线与ACD的三分线所在的直线交于点P，若Am（m54），ABC54求出BPC的度数（用含m的式子表示）3（2022春石嘴山校级期末）问题情境我们知道：在平面直角坐标系中有不重合的两点A（x1，y1）和点B（x2，y2），若x1x2，则ABy轴，且线段AB的长度为|y1y2|；若y1y2，则ABx轴，且线段AB的长度为|x1x2|拓展现在，若规定：平面直角坐标系中任意不重合

8、的两点M（x1，y1）、N（x2，y2）之间的折线距离为d（M，N）|x1x2|+|y1y2|例如：图中，点M（1，1）与点N（1，2）之间的折线距离d（M，N）|11|+|1（2）|2+35，应用解决下列问题：（1）已知点E（3，2），点F（12），求d（E，F）的值；（2）已知点E（3，1），H（1，n），若d（E，H）6，求n的值；（3）已知点P（3，4），点Q在y轴上，O为坐标系原点，且OPQ的面积是4.5，求d（P，Q）的值4（2022春镇江期末）定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的2倍，我们称这两个角互为“开心角”，这个三角形叫做“开心三角形”例如：在ABC中，A70，B

9、35，则A与B互为“开心角”，ABC为“开心三角形”【理解】（1）若ABC为开心三角形，A144，则这个三角形中最小的内角为 ；（2）若ABC为开心三角形，A70，则这个三角形中最小的内角为 ；（3）已知A是开心ABC中最小的内角，并且是其中的一个开心角，试确定A的取值范围，并说明理由；【应用】如图，AD平分ABC的内角BAC，交BC于点E，CD平分ABC的外角BCF，延长BA和DC交于点P，已知P30，若BAE是开心ABE中的一个开心角，设BAE，求的度数5（2022春崇川区期末）定义：如果三角形的两个内角与满足+2100，那么我们称这样的三角形为“奇妙三角形”（1）如图1，ABC中，ACB

10、80，BD平分ABC求证：ABD为“奇妙三角形”（2）若ABC为“奇妙三角形”，且C80求证：ABC是直角三角形；（3）如图2，ABC中，BD平分ABC，若ABD为“奇妙三角形”，且A40，直接写出C的度数6（2022春亭湖区校级月考）定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到这边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“好点”如图1，ABC中，点D是BC边上一点，连接AD，若AD2BDCD，则称点D是ABC中BC边上的“好点”（1）如图2，ABC的顶点是43网格图的格点，请仅用直尺画出（或在图中直接描出）AB边上的所有“好点”点D；（2）ABC中，BC7，ta

11、nC1，点D是BC边上的“好点”，求线段BD的长；（3）如图3，ABC是O的内接三角形，点H在AB上，连结CH并延长交O于点D若点H是BCD中CD边上的“好点”求证：OHAB；若OHBD，O的半径为r，且r3OH，求的值7（2021秋如皋市期末）【了解概念】定义：如果一个三角形一边上的中线等于这个三角形其中一边的一半，则称这个三角形为半线三角形，这条中线叫这条边的半线【理解运用】（1）如图1，在ABC中，ABAC，BAC120，试判断ABC是否为半线三角形，并说明理由；【拓展提升】（2）如图2，在ABC中，ABAC，D为BC的中点，M为ABC外一点，连接MB，MC，若ABC和MBC均为半线三角

12、形，且AD和MD分别为这两个三角形BC边的半线，求AMC的度数；（3）在（2）的条件下，若MD，AM1，直接写出BM的长8（2021秋顺义区期末）我们定义：在等腰三角形中，腰与底的比值叫做等腰三角形的正度如图1，在ABC中，ABAC，的值为ABC的正度已知：在ABC中，ABAC，若D是ABC边上的动点（D与A，B，C不重合）（1）若A90，则ABC的正度为 ；（2）在图1，当点D在腰AB上（D与A、B不重合）时，请用尺规作出等腰ACD，保留作图痕迹；若ACD的正度是，求A的度数（3）若A是钝角，如图2，ABC的正度为，ABC的周长为22，是否存在点D，使ACD具有正度？若存在，求出ACD的正度

13、；若不存在，说明理由9（2021秋丹阳市期末）梅涅劳斯（Menelaus）是古希腊数学家，他首先证明了梅涅劳斯定理，定理的内容是：如图（1），如果一条直线与ABC的三边AB，BC，CA或它们的延长线交于F、D、E三点，那么一定有1下面是利用相似三角形的有关知识证明该定理的部分过程：证明：如图（2），过点A作AGBC，交DF的延长线于点G，则有，1请用上述定理的证明方法解决以下问题：（1）如图（3），ABC三边CB，AB，AC的延长线分别交直线l于X，Y，Z三点，证明：1请用上述定理的证明方法或结论解决以下问题：（2）如图（4），等边ABC的边长为2，点D为BC的中点，点F在AB上，且BF2AF

14、，CF与AD交于点E，则AE的长为 （3）如图（5），ABC的面积为2，F为AB中点，延长BC至D，使CDBC，连接FD交AC于E，则四边形BCEF的面积为 10（2021秋洪江市期末）从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线（1）如图1，在ABC中，A44，CD是ABC的完美分割线，且ADCD，求ACB的度数；（2）如图2，在ABC中，CD为角平分线，A40，B60，求证：CD为ABC的完美分割线；（3）如图3，ABC中

15、，AC2，BC，CD是ABC的完美分割线，且ACD是以CD为底边的等腰三角形，求完美分割线CD的长11（2021秋石景山区期末）在RtACB中，ACB90，CACB6，点P是线段CB上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作直线lCB交AB于点Q给出如下定义：若在AC边上存在一点M，使得点M关于直线l的对称点N恰好在ACB的边上，则称点M是ACB的关于直线l的“反称点”例如，图1中的点M是ACB的关于直线l的“反称点”（1）如图2，若CP1，点M1，M2，M3，M4在AC边上且AM11，AM22，AM34，AM46在点M1，M2，M3，M4中，是ACB的关于直线l的“反称点”为 ；（2）若点M

16、是ACB的关于直线l的“反称点”，恰好使得ACN是等腰三角形，求AM的长；（3）存在直线l及点M，使得点M是ACB的关于直线l的“反称点”，直接写出线段CP的取值范围12（2021秋鄞州区期末）【问题提出】如图1，ABC中，线段DE的端点D，E分别在边AB和AC上，若位于DE上方的两条线段AD和AE之积等于DE下方的两条线段BD和CE之积，即ADAEBDCE，则称DE是ABC的“友好分割”线段（1）如图1，若DE是ABC的“友好分割”线段，AD2CE，AB8，求AC的长；【发现证明】（2）如图2，ABC中，点F在BC边上，FDAC交AB于D，FEAB交AC于E，连结DE，求证：DE是ABC的“

17、友好分割”线段；【综合运用】（3）如图3，DE是ABC的“友好分割”线段，连结DE并延长交BC的延长线于F，过点A画AGDE交ADE的外接圆于点G，连结GE，设x，y求y关于x的函数表达式；连结BG，CG，当y时，求的值13（2021秋鼓楼区校级期末）定义1：如图1，若点H在直线l上，在l的同侧有两条以H为端点的线段MH、NH，满足12，则称MH和NH关于直线l满足“光学性质”；定义2：如图2，在ABC中，PQR的三个顶点P、Q、R分别在BC，AC、AB上，若RP和QP关于BC满足“光学性质”，PQ和RQ关于AC满足“光学性质”，PR和QR关于AB满足“光学性质”，则称PQR为ABC的光线三角

18、形阅读以上定义，并探究问题：在ABC中，A30，ABAC，DEF三个顶点D、E、F分别在BC、AC，AB上（1）如图3，若FEBC，DE和FE关于AC满足“光学性质”，求EDC的度数；（2）如图4，在ABC中，作CFAB于F，以AB为直径的圆分别交AC，BC于点E，D证明：DEF为ABC的光线三角形；证明：ABC的光线三角形是唯一的14（2021秋丰台区期末）对于平面直角坐标系xOy中的线段AB及点P，给出如下定义：若点P满足PAPB，则称P为线段AB的“轴点”，其中，当0APB60时，称P为线段AB的“远轴点”；当60APB180时，称P为线段AB的“近轴点”（1）如图1，点A，B的坐标分别

19、为（2，0），（2，0），则在P1（1，3），P2（0，2），P3（0，1），P4（0，4）中，线段AB的“轴点”是 ；线段AB的“近轴点”是 （2）如图2，点A的坐标为（3，0），点B在y轴正半轴上，OAB30若P为线段AB的“远轴点”，请直接写出点P的横坐标t的取值范围 15（2022秋长沙期中）概念学习规定：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角开中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这

20、条线段叫做这个三角形的“等角分割线”理解概念：（1）如图1，在RtABC中，ACB90，CDAB，请写出图中两对“等角三角形”概念应用：（2）如图2，在ABC中，CD为角平分线，A40，B60求证：CD为ABC的等角分割线动手操作：（3）在ABC中，若A50，CD是ABC的等角分割线，请求出所有可能的ACB的度数16（2022春华州区期末）阅读下面的材料，然后解答问题：我们新定义一种三角形，两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形（1）理解并填空：根据奇异三角形的定义，请你判断：等边三角形一定是奇异三角形吗？ （填“是”或“不是”）若某三角形的三边长分别为1、2，则该三角形 （填

21、“是”或“不是”）奇异三角形（2）探究：在RtABC，两边长分别是a、c，且a250，c2100，则这个三角形是否是奇异三角形？请说明理由17（2022任城区三模）我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad）如图在ABC中，ABAC，顶角A的正对记作sadA，这时sadA容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的根据上述角的正对定义，解下列问题：（1）sad60 （2）sad90 （3）如图，已知sinA，其中A为锐角，试求sadA的值18（2021柯城区模拟）定义：若三角形的一条边上的高线与这条边相等，则称这个三角形为“等底高三角形”，这条边叫做等底线，这条边上的高

22、叫做等高线如图：在ABC，CDAB于点D，且ABCD，则ABC为等底高三角形，AB叫等底线，CD叫等高线【概念感知】判断：对的打“”，错的打“”（1）等边三角形不可能是等底高三角形 （2）等底高三角形不可能是钝角三角形 【概念理解】若一个等腰三角形为等底高三角形，则此三角形的三边长之比为 【概念应用】（1）若ABC为等底高三角形，等底线长为2，求三角形的周长的最小值（2）若一个等底高三角形的其中一边是另一边的倍，求最小角的正弦值19（2021宁波模拟）在三角形的三边中，若其中两条边的积恰好等于第三边的平方，我们把这样的三角形叫做有趣三角形，这两条边的商叫正度，记为k（0k1）（1）求证：正度为

23、1的有趣三角形必是等边三角形（2）如图，四边形ABCD中，ADBC，BD平分ABC，ACDABC，求证：ABC是有趣三角形（3）如图，菱形ABCD中，点E，F是对角线BD的三等分点，DEDC延长BD到P，使DPBE求证：BCE，FCP，BCP是具有相同正度的有趣三角形20（2021临海市一模）在三角形中，一个角两夹边的平方和减去它对边的平方所得的差，叫做这个角的勾股差（1）概念理解：在直角三角形中，直角的勾股差为 ；在底边长为2的等腰三角形中，底角的勾股差为 ；（2）性质探究：如图1，CD是ABC的中线，ACb，BCa，AB2c，CDd，记ACD中ADC的勾股差为m，BCD中BDC的勾股差为n；求m，n的值（用含a，b，c，d的代数式表示）；试说明m与n互为相反数；（3）性质应用：如图2，在四边形ABCD中，点E与F分别是AB与BC的中点，连接BD，DE，DF，若，且CDBD，CDAD，求的值