专题39 几何图形模型胡不归问题专项训练（解析版）.docx

1、专题39 几何图形模型胡不归问题专项训练（解析版）一选择题1（2022南山区模拟）如图，在RtABC中，ACB90，A30，则AB2BC请在这一结论的基础上继续思考：若AC2，点D是AB的中点，P为边CD上一动点，则AP+12CP的最小值为（）A1B2C3D2思路引领：过C作CEAB于E，过点P作PFEC于F，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和等边三角形的性质得出PF=12CP，再由AP+12CPAP+PFAE，结合勾股定理求出AE即可解：过C作CEAB于E，过点P作PFEC于F，ACB90，点D是AB的中点，CD=12ABAD，CAB30，B60，BCD为正三角形，DCE30，PF=

2、12CP，AP+12CPAP+PFAE，CAB30，AC2，CE=12AC1，AE=AC2CE2=3，AP+12CP的最小值为3故选：C总结提升：本题主要考查了含30直角三角形中，30所对的直角边等于斜边一半，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，解决此题的关键是作出垂线CE和PF，将12CP转化为PF2（2022平南县二模）如图，在等边ABC中，AB6，点E为AC中点，D是BE上的一个动点，则CD+12BD的最小值是（）A3B33C6D3+3思路引领：如图，过点C作CFAB于点F，过点D作DHAB于点H，则CD+DHCF，先解直角三角形可求出CF，再由直角三角形的性质得DH=12BD，进而可

3、得CD+12BD=CD+DH，从而可得CD+12BD的最小值解：如图，过点C作CFAB于点F，过点D作DHAB于点H，则CD+DHCF，ABC是等边三角形，AB6，AABC60，AFBF3，CFAFtan60=33，点E是AC的中点，DBH60230，在RtBDH中，DH=12BD，CD+12BD=CD+DH33，CD+12BD的最小值为：33故答案为：B总结提升：本题主要考查解直角三角形，等边三角形的性质、垂线段最短等知识，解题关键是将CD+12BD转化成CD+DH3（2022春覃塘区期中）如图，在菱形ABCD中，ABC60，E是边BC的中点，P是对角线BD上的一个动点，连接AE，AP，若A

4、P+12BP的最小值恰好等于图中某条线段的长，则这条线段是（）AABBAECBDDBE思路引领：由菱形的性质可得DBC=12ABC30，可得PF=12BP，可得AP+12BPAP+PF，由垂线段最短，可求解解：如图，过点P作PFBC于点F，四边形ABCD是菱形，DBC=12ABC30，且PFBC，PF=12BP，AP+12BPAP+MP，当点A，点P，点F三点共线且垂直BC时，AP+PF有最小值，AP+12BP最小值为AE故选：B总结提升：本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，最短路径问题，熟练运用菱形的性质是本题的关键4（2022春新罗区校级月考）如图，ABC中，ABAC10，BEAC于点

5、E，BE2AE，D是线段BE上的一个动点，则CD+55BD的最小值是（）A25B45C55D10思路引领：过点D作DHAB，垂足为H，过点C作CMAB，垂足为M，在RtABE中，利用勾股定理求出AE，BE的长，再证明DH=55BD，从而可得CD+55BDCD+DH，然后再由垂线段最短即可解答解：过点D作DHAB，垂足为H，过点C作CMAB，垂足为M，BEAC，AEB90，BE2AE，AB10，AE2+BE2AB2，5AE2100，AE25或AE25（舍去），BE2AE45，sinABE=AEAB=2510=55，AA，AEBAMC90，ABAC，AEBAMC（AAS），CMBE45，在RtBH

6、D中，DHBDsinABE=55BD，CD+55BDCD+DH，CD+DHCM，CD+55BD45，CD+55BD的最小值是：45，故选：B总结提升：本题考查了胡不归问题，等腰三角形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键5（2021秋澄海区期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数yx2+3x4的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，若P是x轴上一动点，点Q（0，2）在y轴上，连接PQ，则PQ+22PC的最小值是（）A6B2+322C2+32D32思路引领：过P作PHBC，过Q作QHBC再由PH=22PC得PQ+22PCPQ+PH，根据垂线段最短可知，PQ+PH的最

7、小值为QH，求出QH即可解：连接BC，过P作PHBC，过Q作QHBC，令y0，即x2+3x40，解得x4或1，A（1，0），C（4，0），OBOC4，BOC90，PCH45，PHPCsin45=22PCPQ+22PCPQ+PH，根据垂线段最短可知，PQ+PH的最小值为QH，BQOB+OQ4+26，QBH45，QHsin45BQ32，PQ+22PC的最小值为32故选：D总结提升：本题考查胡不归问题，二次函数的性质，等腰直角三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是将求PQ+22PC的最小值转化为求PQ+PH的最小值属于中考选择题中的压轴题6（2022秋任城区校级期末）如图，ABC中，AB

8、AC15，tanA2，BEAC于点E，D是线段BE上的一个动点，则CD+55BD的最小值是（）A35B65C53D10思路引领：如图，作DHAB于H，CMAB于M由tanA=BEAE=2，设AEa，BE2a，利用勾股定理构建方程求出a，再证明DH=55BD，推出CD+55BD=CD+DH，由垂线段最短即可解决问题解：如图，作DHAB于H，CMAB于MBEAC，AEB90，tanA=BEAE=2，设AEa，BE2a，则有：225a2+4a2，a245，a35或35（舍弃），BE2a65，ABAC，BEAC，CMAB，CMBE65（等腰三角形两腰上的高相等），DBHABE，BHDBEA，sinDB

9、H=DHBD=AEAB=55，DH=55BD，CD+55BD=CD+DH，CD+DHCM，当点H与M重合，且C，D，H共线时，CD+DH的值最小，CD+55BD的最小值为线段CM的长，CD+55BD的最小值为65故选：B总结提升：本题考查解直角三角形，等腰三角形的性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，用转化的思想思考问题，属于中考常考题型7（2022邗江区二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=49x2+83x与x轴的正半轴交于点A，B点为抛物线的顶点，C点为该抛物线对称轴上一点，则3BC+5AC的最小值为（）A24B25C30D36思路引领：连接OB，过C点作CMOB于M

10、点，过A点作ANOB于N点，抛物线的对称轴与x轴交于点D，先求出抛物线与坐标轴的交点坐标，继而得出BD、OA、OD，再证明OBDCBM，OBDOAN，进而可得3BC+5AC5MC+5AC5（AC+CM），当A、C、M三点共线，且三点连线垂直OB时，AC+CM最小，根据ANOA=BDOB求出AN，AC+CM最小值即为AN，则问题得解解：连接OB，过C点作CMOB于M点，过A点作ANOB于N点，抛物线的对称轴与x轴交于点D，如图，令y0，得方程49x2+83x=0，解得：x10，x26，A点坐标为（6，0），即OA6，将y=49x2+83x配成顶点式得：y=49(x3)2+4，B点坐标为（3，4）

11、，BD4，OD3，CMOB，ANOB，BMCANO90，根据抛物线对称轴的性质可知BDOA，BDO90，在RtBDO中，利用勾股定理得OB=OD2+BD2=32+42=5，OBDCBM，BDOBMC90，OBDCBM，同理可证得OBDOAN，BCMC=BOOD，ANOA=BDOB，BCMC=BOOD=53，即3BC5MC，3BC+5AC5MC+5AC5（AC+CM），当A、C、M三点共线，且三点连线垂直OB时，AC+CM最小，AC+CM最小值为AN，如图所示，ANOA=BDOB，AN=BDOBOA=456=245，AC+CM最小值245，即3BC+5AC5（AC+CM）24故选：A总结提升：本

12、题考查了求抛物线与坐标轴的交点和抛物线顶点的坐标、相似三角形的判定与性质、垂线段最短等知识，利用三角形相似得出3BC5MC，进而得出3BC+5AC5（AC+CM）是解答本题的关键8（2021锦州二模）如图所示，菱形ABCO的边长为5，对角线OB的长为45，P为OB上一动点，则AP+55OP的最小值为（）A4B5C25D35思路引领：如图，过点A作AHOC于点H，过点P作PFOC于点F，连接AC交OB于点J利用面积法求出AH，再证明PF=55OP，利用垂线段最短，可得结论解：如图，过点A作AHOC于点H，过点P作PFOC于点F，连接AC交OB于点J四边形OABC是菱形，ACOB，OJJB25，C

13、J=OC2OJ2=52(25)2=5，AC2CJ25，AHOC，OCAH=12OBAC，AH=1245255=4，sinPOF=PFOP=CJOC=55，PF=55OP，AP+55OPAP+PF，AP+PFAH，AP+55OP4，AP+55OP的最小值为4，故选：A总结提升：本题考查胡不归问题，菱形的性质，垂线段最短，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型二填空题9（2022春广陵区期末）如图，在菱形ABCD中，ABAC10，对角线AC、BD相交于点O，点M在线段AC上，且AM2，点P为线段BD上的一个动点，则MP

14、+12PB的最小值是 思路引领：过P点作PHBC于H，过M点作MNBC于N，如图，根据菱形的性质得到ABBC，BO平分ABC，AOBD，再判断ABC为等边三角形得到ABCACB60，则OBC30，所以PH=12BP，则MP+12PBMP+PH，所以MP+PH的最小值为MN的长，然后利用含30度角的直角三角形三边的关系求出MN即可解：过P点作PHBC于H，过M点作MNBC于N，如图，四边形ABCD为菱形，ABBC，BO平分ABC，AOBD，ABAC10，ABACBC10，ABC为等边三角形，ABCACB60，OBC30，PH=12BP，MP+12PBMP+PH，当M、P、H共线时，MP+PH的值

15、最小，即MP+PH的最小值为MN的长，AM2，CM1028，在RtMNC中，MCN60，CN=12CM4，MN=3CN43，即MP+12PB的最小值为43故答案为：43总结提升：本题考查了胡不归问题：利用垂线段最短解决最短路径问题，把12PB转化为PH是解决问题的关键也考查了菱形的性质和等边三角形的性质10（2022春武汉期末）如图，ABCD中A60，AB6，AD2，P为边CD上一点，则3PD+2PB最小值为 思路引领：由直角三角形的性质可得DH=12DP，HP=3DH=32DP，则当点H，点P，点H三点共线时，HP+PB有最小值，即3PD+2PB有最小值，即可求解解：如图，过点P作PHAD，

16、交AD的延长线于H，四边形ABCD是平行四边形，ABCD，ACDH60，HPAD，DPH30，DH=12DP，HP=3DH=32DP，3PD+2PB2（32PD+PB）2（HP+PB），当点H，点P，点H三点共线时，HP+PB有最小值，即3PD+2PB有最小值，此时：BHAH，A60，ABP30，AH=12AB3，BH=3AH33，则3PD+2PB最小值为63，故答案为：63总结提升：本题考查了胡不归问题，平行四边形的性质，直角三角形的性质，构造直角三角形是解题的关键11（2022春江汉区月考）如图，ABC中，ABAC10，A30BD是ABC的边AC上的高，点P是BD上动点，则32BP+CP的

17、最小值是 思路引领：过点P作PEAB于点E，先在RtABD中求出ABD及BD，再在RtBPE中利用sin60得到32BP+CP=EP+CP，当当C、P、E三点在同一直线上，且CEAB时其取得最小值，最小值为CE，计算即可求出结果解：过点P作PEAB于点E，在RtABD中，ABD180903060，BD=12AB=5，在RtBPE中，sin60=EPBP=32，EP=32BP，32BP+CP=EP+CP，当C、P、E三点在同一直线上，且CEAB时32BP+CP=EP+CP取得最小值ABAC10，BDAC，CEAB，CEBD5，32BP+CP=EP+CP的最小值为5故答案为5总结提升：此题是胡不归

18、模型，涉及到等腰三角形的性质，直角三角形的性质、锐角三角函数等，解题关键是将32BP+CP转化成EP+CP12（2022江北区开学）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=33x3分别交x轴、y轴于A、B两点，若C为x轴上的一动点，则2BC+AC的最小值为 思路引领：先求出点A，点B坐标，由勾股定理可求AB的长，作点B关于OA的对称点B，可证ABB是等边三角形，由直角三角形的性质可得CH=12AC，则2BC+AC2（BC+CH），即当点B，点C，点H三点共线时，BC+CH有最小值，即2BC+AC有最小值，由直角三角形的性质可求解解：一次函数y=33x3分别交x轴、y轴于A、B两点，点A（3，0）

19、，点B（0，3），AO3，BO=3，AB=AO2+OB2=9+3=23，如图，作点B关于OA的对称点B，连接 AB，BC，过点C作CHAB于H，OBOB=3，又AOBB，BB23，ABAB23，BCBC，ABBBBA，ABB是等边三角形，AOBB，BAO30，CHAB，CH=12AC，2BC+AC2（BC+12AC）2（BC+CH），当点B，点C，点H三点共线时，BC+CH有最小值，即2BC+AC有最小值，此时，BHAB，ABB是等边三角形，BHAH=3，BBH30，BH=3BH3，2BC+AC的最小值为6，故答案为：6总结提升：本题是胡不归问题，考查了一次函数的性质，等边三角形的判定和性质，

20、直角三角形的性质，确定点C的位置是解题的关键13（2021秋缙云县期末）如图，在直角坐标系中，点M的坐标为（0，2），P是直线y=3x在第一象限内的一个动点（1）MOP （2）当MP+12OP的值最小时，点P的坐标是 思路引领：（1）设P（t，3t），过点P作PHx轴交于H，由tanPOH=3，则POH60，即可求MOP30；（2）作M点关于直线y=3x的对称点M，过M作MNy轴交于N，连接MM，则有MP+12OPMP+NPMN，此时MP+12OP的值最小解：（1）设P（t，3t），过点P作PHx轴交于H，OHt，PH=3t，tanPOH=PHOH=3，POH60，MOP30，故答案为：30；

21、（2）作M点关于直线y=3x的对称点M，过M作MNy轴交于N，连接MM，MPMP，MOP30，NP=12OP，MP+12OPMP+NPMN，此时MP+12OP的值最小，MMOP，MOP30MG=12OM，M（0，2），MG1，MM2，OMG60，MN1，ON1，P（33，1），故答案为：P（33，1）总结提升：本题考查胡不归问题，熟练掌握胡不归问题的解题方法，轴对称求最短距离的方法，直角三角形的性质是解题的关键14（2022马鞍山一模）如图，AC垂直平分线段BD，相交于点O，且OBOC，BAD120（1）ABC （2）E为BD边上的一个动点，BC6，当AE+12BE最小时BE 思路引领：（1）

22、根据垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质即可求得ABC；（2）作A关于OB的对称点A，过A作AGAB于G，过点E作EFAB于F，将12BE转化为EF，再根据AE+12BEAE+FEAG，设AG与OB交于E，BE即为当AE+12BE最小时的BE，求出BE即可解：（1）AC垂直平分线段BD，ABAC，ABDADB，BAD120，ABD（180120）230，OBOC，OBOC，OBC45，ABC30+4575，故答案为：75；（2）作A关于OB的对称点A，过A作AGAB于G，过点E作EFAB于F，ABO30，ABO30，FE=12BE，AE+12BEAE+FEAG，设AG与OB交于E，BE即为当A

23、E+12BE最小时的BE，BC6，OBC45，OBOCBCcos45=32，cosABO=OBBA=32BA=32，BA=26，ABA60，ABAB，ABA为等边三角形，BG=12BA=6，cosABO=BGBE=6BE=32，BE22故答案为：22总结提升：本题主要考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，锐角三角函数解三角形，解决此题的关键是作出垂线EF和AG，将12BE转化为EF15（2021秋福清市期末）如图，ABC为等边三角形，BD平分ABC，ABC的面积为3，点P为BD上动点，连接AP，则AP+12BP的最小值为 思路引领：过A作AFCB于E，过点P作PEBC于E，故PE=12BP

24、，故AP+12BPAP+PEAF，求出AF即可解：过A作AFCB于E，过点P作PEBC于E，ABC为等边三角形，BD平分ABC，DBC30，PE=12BP，AP+12BPAP+PEAF，ABC的面积为3，34AC2=3，AC2，12BCAF=3，AF=3，AP+12BP的最小值为3故答案为：3总结提升：本题主要考查了含30角的直角三角形中，30所对的直角边等于斜边一半，作出垂线PE，得到PE=12BP是解决本题的关键16（2021秋亭湖区期末）如图，在平面直角坐标系中，ACB90，A30，点A（3，0），B（1，0）根据教材第65页“思考”栏目可以得到这样一个结论：在RtABC中，AB2BC请

25、在这一结论的基础上继续思考：若点D是AB边上的动点，则CD+12AD的最小值为 思路引领：作射线AG，使得BAG30，过D作DEAG于E，过C作CFAG于F，故DE=12AD，故CD+12ADCD+DECF，求出CF即可解：作射线AG，使得BAG30，过D作DEAG于E，过C作CFAG于F，DE=12AD，CD+12ADCD+DECF，A（3，0），B（1，0）AB4，ACB90，A30，BC=12AB2，AC=AB2BC2=23，CAGCAB+BAG60，AF=12AC=3，CF=AC2AF2=3，CD+12AD的最小值为3故答案为：3总结提升：本题主要考查了含30直角三角形中，30所对的直

26、角边等于斜边一半，作出射线AG，使得BAG30是本题的关键17（2021秋宜兴市期末）如图，在ABC中，ACB90，A30，点C沿BE折叠与AB上的点D重合连接DE，请你探究：BCAB=12；请在这一结论的基础上继续思考：如图，在OPM中，OPM90，M30，若OM2，点G是OM边上的动点，则PG+12MG的最小值为 思路引领：由折叠的性质可得ADBD，BCBD，则有AB2BC；作P点关于OM的对称点P，作PNPM交于N点，交OM于G点，PG+12MG=PG+GNPN，此时PG+12MG的值最小，求出PN的长即为所求解：ACB90，A30，ABC60，点C沿BE折叠与AB上的点D重合，DBEC

27、BE30，AABE，BDEC90，ADBD，BCBD，AB2BC，BCAB=12，作P点关于OM的对称点P，作PNPM交于N点，交OM于G点，PGPG，M30，NG=12GM，PG+12MG=PG+GNPN，此时PG+12MG的值最小，OM2，在RtOPM中，OP=12OM1，PM=3，在RtPDM中，PD=12PM=32，PP=3，P30，PN=32，在RtPPN中，PN=32，PG+12MG的最小值为32，故答案为：12，32总结提升：本题是图形的折叠变换，熟练掌握折叠的性质，直角三角形的勾股定理，正确作出辅助线利用轴对称求路线最短是解题的关键18（2021秋汕尾期末）如图，在平面直角坐标

28、系中，二次函数yx22x+c的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B（0，3），若P是x轴上一动点，点D（0，1）在y轴上，连接PD，则C点的坐标是 ，2PD+PC的最小值是 思路引领：过点P作PJBC于J，过点D作DHBC于H根据2PD+PC=2（PD+22PC）=2（DP+PJ），求出DP+PJ的最小值即可解决问题解：过点P作PJBC于J，过点D作DHBC于H二次函数yx22x+c的图象与y轴交于点B（0，3），c3，二次函数的解析式为yx22x3，令y0，x22x30，解得x1或3，A（1，0），C（3，0），OBOC3，BOC90，OBCOCB45，D（0，1），OD1，BD4，DH

29、BC，DHB90，DHBDsin4522，PJCB，PJC90，PJ=22PC，2PD+PC=2（PD+22PC）=2（DP+PJ），DP+PJDH，DP+PJ22，DP+PJ的最小值为22，2PD+PC的最小值为4故答案为：（3，0），4总结提升：本题考查胡不归问题，二次函数的性质，等腰直角三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是将求2PD+PC得最小值转化为求2（DP+PJ）的最小值属于中考选择题中的压轴题19（2021秋南海区期末）如图，ABC中ABAC，A（0，8），C（6，0），D为射线AO上一点，一动点P从A出发，运动路径为ADC，点P在AD上的运动速度是在CD上的53倍

30、，要使整个运动时间最少，则点D的坐标应为 思路引领：过B点作BHAC交于H点，交AO于D点，连接CD，设P点的运动时间为t，在CD上的运动速度为v，t=1v（AD53+CD），只需AD53+CD最小即可，再证明ADHACO，可得DH=AD53，则当B、D、H点三点共线时，此时t有最小值，再由BDOADH，求出OD即可求坐标解：过B点作BHAC交于H点，交AO于D点，连接CD，ABAC，BDCD，设P点的运动时间为t，在CD上的运动速度为v，点P在AD上的运动速度是在CD上的53倍，t=AD53v+CDv=1v（AD53+CD），AHDAOC90，ADHACO，ADAC=DHCO，A（0，8），

31、C（6，0），OC6，OA8，AC10，AD10=DH6，DH=AD53，t=1v（DH+CD），当B、D、H点三点共线时，t=1vBH，此时t有最小值，BDOADH，DBOOAC，BDOADH，DOBO=OCAO，即DO6=68，DO=92，D（0，92），故答案为：（0，92）总结提升：本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离和胡不归求最短距离的方法，三角形相似的判定及性质是解题的关键20（2022无棣县一模）如图，在平面直角坐标系中，直线yx+4的图象分别与y轴和x轴交于点A和点B若定点P的坐标为（0，63），点Q是y轴上任意一点，则12PQ+QB的最小值为 思路引领：过点P作

32、直线PD与y轴的夹角OPD30，作B点关于y轴的对称点B，过B点作BEPD交于点E、交y轴于点Q，12PQ+QBQE+BQBE，此时12PQ+QB取最小值，求出BE即可解：过点P作直线PD与y轴的夹角OPD30，作B点关于y轴的对称点B，过B点作BEPD交于点E、交y轴于点Q，BEPD，OPE30，QE=12PQ，BQBQ，12PQ+QBQE+BQBE，此时12PQ+QB取最小值，OPD30，POD90，PD2OD，ODP60，P的坐标为（0，63），PO63，OD2+（63）2（2OD）2，OD6，直线yx+4的图象分别与y轴和x轴交于点A和点B，A（0，4），B（4，0），OB4，OB4，

33、BD10，BEPD，ODP60，EBD30，DE=12BD5，BE=BD2DE2=10252=53，12PQ+QB取最小值为53，故答案为：53总结提升：本题考查胡不归求最短路径，熟练掌握胡不归求最短距离的方法，通过构造直角三角形及特殊角，将12PQ+QB的系数12进行转化是解题的关键21（2022春梁溪区校级期中）如图，ABCD中，DAB30，AB8，BC3，P为边CD上的一动点，则PB+12PD的最小值等于 思路引领：过点P作AD的垂线交AD延长线于点E，根据四边形ABCD是平行四边形，可得ABCD，所以EDPDAB30，得EP=12DP，要求PB+12PD的最小值，即求PB+EP的最小值

34、，当点B、P、E三点共线时，PB+EP取最小值，最小值为BE的长，根据30度角所对直角边等于斜边的一半即可求出PB+12PD的最小值解：如图过点P作AD的垂线交AD延长线于点E，四边形ABCD是平行四边形，ABCD，EDPDAB30，EP=12DP，要求PB+12PD的最小值，即求PB+EP的最小值，当点B、P、E三点共线时，PB+EP取最小值，最小值为BE的长，在RtABE中，EAB30，AB8，BE=12AB4故答案为：4总结提升：本题考查了平行四边形的性质，解决本题的关键是掌握30度角所对直角边等于斜边的一半22（2022秋江夏区校级期末）如图在ABC中B45AB4点P为直线BC上一点当

35、BP+2AP有最小值时，BAP的度数为 思路引领：以BC为边，作CBF30，过点P作PHBF于H，则BP+2AP2（12BP+AP）=12（PH+AP），故当A、P、H三点共线时，PH+AP最小，从而解决问题解；如图，以BC为边，作CBF30，过点P作PHBF于H，PH=12BP，BP+2AP2（12BP+AP）=12（PH+AP），当A、P、H三点共线时，PH+AP最小，过点A作AGBF于G，交BC于P，在RtABG中，ABG30+4575，BAG15，当BP+2AP有最小值时，BAP的度数为15，故答案为：15总结提升：本题主要考查了含30角的直角三角形的性质，胡不归问题，垂线段最短等知识

36、，根据题意，作辅助线，将BP+2AP的最下值转化为12AG的长是解题的关键23（2022东阳市开学）如图：二次函数y=32x2+3x+92的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧）与y轴交于点C，顶点为点D（1）在抛物线的对称轴上找一点P，使BPCP的值最大时，则点P的坐标为 ；（2）在抛物线的对称轴上找一点P，使PA+1010PD的值最小时，则点P的坐标为 思路引领：（1）设点C关于直线x1的对称点为C，直线BC与对称轴的交点即为点P；（2）如图，连接AD，DB，过点Z作AFBD于点F，对称轴交x轴于点E，连接AP，过点P作PHBD于点H，设AF交DE于点T求出点T的之比，证明PH=10

37、10PD，把问题转化为垂线段最短即可解决问题解：（1）y=32（x1）2+6，抛物线的对称轴为直线x1，顶点（1，6），令y0，32（x1）2+60，解得x1或3，A（1，0），B（3，0），令x0，得到y=92，C（0，92），设点C关于直线x1的对称点为C，则C（2，92），直线BC与对称轴的交点即为点P，设直线BC的解析式为ykx+b，则3k+b=02k+b=92，k=92b=272，直线BC的解析式为y=92x+272，当x1时，y9，P（1，9）故答案为：（1，9）；（2）如图，连接AD，DB，过点Z作AFBD于点F，对称轴交x轴于点E，连接AP，过点P作PHBD于点H，设AF交DE

38、于点TD（1，6），B（3，0），A（1，0），ADDB=22+62=210，TAEEDB，tanTAEtanEDB=13，ETAE=13，ET=23，T（1，23），PHDPsinEDB=1010PD，PA+1010PDAP+PHAF，当点P与点T重合时，PA+1010PD的值最小，此时P（1，23）故答案为：（1，23）总结提升：本题考查胡不归问题，二次函数的性质，垂线段最短，解直角三角形等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题24（2021秋北碚区校级期末）如图，在菱形ABCD中，BAD120，CD4，M，N分别是边AB，AD的动点，满足AMDN，连接CM、

39、CN，E是边CM上的动点，F是CM上靠近C的四等分点，连接AE、BE、NF，当CFN面积最小时，12BE+AE的最小值为 思路引领：连接MN、AC，由菱形ABCD的性质和BAD120得到ABADCD、BACDACADC60，从而得到ADC和ABC为等边三角形，然后得到ACDC，然后结合AMDN得证AMCDNC，得到CMCN、DCNACM，从而得到MCN60，得到CMN为等边三角形，由点F是CM上靠近点C的四等分点得到SCFN=14SCMN，所以CMN的面积最小时，CFN的面积也最小，从而有当CN和CM最短，即CNAD、CMAB时CFN的面积最小，取BE的中点为点G，连接MG，由ABC为等边三角

40、形和CMAB得到点M是AB的中点、AEBE，进而有MG=12AE=12BE，所以12BE+AE=32AE，最后由点E是CM上的动点，得到AE的最小值即为AM的长度，从而求得结果解：如图，连接MN、AC，四边形ABCD是菱形，BAD120，ABADCD，BACDACADC60，ADC和ABC为等边三角形，ACDC，ACD60，AMDN，AMCDNC（SAS），CMCN，DCNACM，MCNMCA+ACNDCN+ACNACD60，CMN为等边三角形，点F是CM上靠近点C的四等分点，SCFN=14SCMN，CMN的面积最小时，CFN的面积也最小，SCMN=34CM2，当CN和CM长度最短时，SCMN

41、的面积最小，即CNAD，CMAB时CFN的面积最小，取BE的中点为点G，连接MG，ABC为等边三角形，CMAB，点M是AB的中点，AEBE，MG=12AE=12BE，12BE+AE=12AE+AE=32AE，点E是CM上的动点，AME90，AE的最小值即为AM的长度，CD4，AM=12AB2，（12BE+AE）最小值=3223，故答案为：3总结提升：本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、垂线段最短、等边三角形的面积，将求三角形CFN的面积最小值转化为CM和CN的最小值是解题的关键25（2022郧西县模拟）如图，在ABC中，A90，C30，AB2，若D是BC边上的

42、动点，则2AD+DC的最小值为 思路引领：变形2AD+CD2（AD+12CD），在BC的下方作BCL30，作DECL，则DE=12CD，进而求得解：如图，在RtABC中，AB2，C30，AC=ABtan30=23，在BC的下方作BCL30，作AFCL于F，作DECL于E，DECDsin 30=12CD，AFACsinACL2332=3，AD+12CD=AD+DEAEAF，当D点在D时，（AD+12CD）最小AF3，2AD+CD2（AD+12CD）最小236，故答案是6总结提升：本题考查了“胡不归“问题，即PA+kPB问题，关键构造出k或1k26（2022贡井区模拟）如图，ABC中，ABAC10

43、，tanA2，BEAC于点E，D是线段BE上的一个动点，则CD+55BD的最小值是 思路引领：如图，作DHAB于H，CMAB于M由tanA=BEAE=2，设AEa，BE2a，利用勾股定理构建方程求出a，再证明DH=55BD，推出CD+55BDCD+DH，由垂线段最短即可解决问题解：如图，作DHAB于H，CMAB于MBEAC，AEB90，tanA=BEAE=2，设AEa，BE2a，则有：100a2+4a2，a220，a25或25（舍弃），BE2a45，ABAC，BEAC，CMAB，CMBE45（等腰三角形两腰上的高相等）DBHABE，BHDBEA，sinDBH=DHBD=AEAB=55，DH=5

44、5BD，CD+55BDCD+DH，CD+DHCM，CD+55BD45，CD+55BD的最小值为45故答案为45总结提升：本题考查解直角三角形，等腰三角形的性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，用转化的思想思考问题，属于中考常考题型27（2022秋电白区期末）如图，ABAC，A（0，15），C（1，0），D为射线AO上一点，一动点P从A出发，运动路径为ADC，在AD上的速度为4个单位/秒，在CD上的速度为1个单位/秒，则整个运动时间最少时，D的坐标为 思路引领：如图，作DHAB于H，CMAB于M，交AO于D运动时间t=AD4+CD1=AD4+CD，由AHDAOB，推出DH=14

45、AD，可得14AD+CDCD+DH，推出当C，D，H共线且和CM重合时，运动时间最短解：如图，作DHAB于H，CMAB于M，交AO于D运动时间t=AD4+CD1=AD4+CD，ABAC，AOBC，BOOC1，A（0，15），C（1，0），ABAC，AOBC，OBOC1，ABAC=OA2+OB2=15+1=4，DAHBAO，DHAAOB90，AHDAOB，ADAB=DHOB，DH=14AD，14AD+CDCD+DH，当C，D，H共线且和CM重合时，运动时间最短，12BCAO=12ABCM，CM=152，AM=AC2CM2=42(152)2=72，AD4MD，设MDm，则AD4m，则有：16m2m

46、2=494，m=71530或71530（舍弃），AD=141515，D（0，1515），故答案为（0，1515）总结提升：本题考查勾股定理，相似三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题三解答题（共3小题）28（2021秋梅江区校级期末）抛物线yx2+bx+c交x轴于点A（3，0），交y轴于点B（0，3）（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点P是线段AB上方抛物线上一动点，当PAB的面积最大值时，求出此时P点的坐标；（3）点Q是线段AO上的动点，直接写出12AQ+BQ的最小值为 思路引领：（1）用待定系数法求函数的解析式即可；（2）过

47、点P作PGy轴交AB于点G，设P（t，t2+2t+3），则G（t，t+3），则SPAB=32（t32）2+278，再由此求解即可；（3）作OAK30，过点B作BKAK交于K点，交x轴于点Q，则12AQ+BQBK，求出BK的长即可解：（1）将点A（3，0），B（0，3）代入yx2+bx+c，9+3b+c=0c=3，解得b=2c=3，yx2+2x+3；（2）设直线AB的解析式为ykx+m，3k+m=0m=3，解得k=1m=3，yx+3，过点P作PGy轴交AB于点G，设P（t，t2+2t+3），则G（t，t+3），PGt2+2t+3+t3t2+3t，SPAB=123（t2+3t）=32（t32）2+

48、278，当t=32时，PAB的面积有最大值278，此时P（32，154）；（3）作OAK30，过点B作BKAK交于K点，交x轴于点Q，OAK30，QK=12AQ，12AQ+BQQK+QBBK，BKABOA90，BQOAQK，BOQOAK30，OB3，OQ=3，BQ23，OA3，AQ33，QK=12（33）=3232，BK23+3232=332+32，12AQ+BQ的最小值为332+32，故答案为：332+32总结提升：本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，胡不归求最短距离的方法是解题的关键29（2022春九龙坡区校级月考）在ABC中，A45，点D是边AB上一动点，连接CD

49、（1）如图1，若ADC30，将线段CD绕着D逆时针旋转90得到ED，连接CE若CE12，求AD的长；（2）如图2，过点C作CFAB于F，当点D在线段BF上时，将线段CD绕着D逆时针旋转90得到ED，连接CE，过点E作EGAC交AB于点G求证：AG2DF；（3）如图3，若ABC15，AB3+33，将线段CD绕着D逆时针旋转120得到ED，连接CE请直接写出DE+12BD的最小值思路引领：（1）过点C作CHAB交于点H，先求出CD62，在RtCDH中，求出CH32，DH36，在RtACH中，求出AHHC32，即可得ADAH+DH32+36；（2）过E点作EKAB交于点K，证明EDKDCF（AAS）

50、，可得DKCF，EKDF，根据A45，推导DKAF，再由GEAC，推导出GDKF，即可证明AG2DF；（3）过点C作CFAB交于F点，过点B作ABG30，过点D作DMBG交于点M，过点C作CNBG交于点N，当DE+12BDCN时，DE+12BD有最小值；过A作AQBC交延长线于点Q，设CQx，则AC2x，AQ=3x，在RtACF中，AFCF=2x，利用ABC的面积求出BC=3+3332，在等腰直角三角形BCN中求出CN=22BC=3+3，即可得DE+12BD的最小值是3+3（1）解：过点C作CHAB交于点H，由旋转可知，DECD，CDE90，CE12，CD62，在RtCDH中，ADC30，CH

51、32，DH36，在RtACH中，A45，AHHC32，ADAH+DH32+36；（2）证明：过E点作EKAB交于点K，由旋转可知，DECD，CDE90，EDK+FDCFDC+DCF，EDKDCF，EDKDCF（AAS），DKCF，EKDF，A45，CFAF，DKAF，GEAC，EGKA45，GKEKDF，GDKF，DFDK+KFAF+GD，AG2DF；（3）解：过点C作CFAB交于F点，过点B作ABG30，过点D作DMBG交于点M，MD=12BD，CDED，DE+12BDDE+MDCD+MDCM，过点C作CNBG交于点N，当DE+12BDCN时，DE+12BD有最小值；过A作AQBC交延长线于

52、点Q，BAC45，ABC15，ACQ60，设CQx，则AC2x，AQ=3x，在RtACF中，AFCF=2x，ABCFBCAQ，（3+33）2xBC3x，解得BC=3+3332，CBN45，CN=22BC=3+3，DE+12BD的最小值是3+3总结提升：本题考查几何变换的综合应用，熟练掌握三角形全等的判定及性质，直角三角形的性质，勾股定理，胡不归求最短距离的方法是解题的关键30（2022秋碑林区校级期末）问题提出（1）如图1，在等腰直角ABC中，BAC90，ABAC，P为高AE上的动点，过点P作PHAC于H，则PHAP的值为 ；问题探究（2）如图2，在平面直角坐标系中，直线y=3x+23与x轴、

53、y轴分别交于点 A、B若点P是直线AB上一个动点，过点P作PHOB于H，求OP+PH的最小值问题解决（3）如图3，在平面直角坐标系中，长方形OABC的OA边在x轴上，OC在y轴上，且B（6，8）点D在OA边上，且OD2，点E在AB边上，将ADE沿DE翻折，使得点A恰好落在OC边上的点A处，那么在折痕DE上是否存在点P使得22EP+AP最小，若存在，请求最小值，若不存在，请说明理由思路引领：（1）证明PHA是等腰直角三角形，即得PHAP=12=22；（2）作O关于直线AB的对称点K，过K作KHy轴于H，交AB于P，作KTx轴于T，连接AK，由y=3x+23得OA2，OB23，AB=OA2+OB2

54、=4，即得ABO30，OAB60，根据O，K关于直线AB对称，有AKOA2，OABKAB60，OPKP，可知K，P，H共线时，OP+PH最小，最小值为KH的长，求出KHOT3，即得答案；（3）以E为顶点，ED为一边，在ED右侧作DEM45，过P作PGEM于G，过A作AGEM于G，交ED于P，作AHED于H，由DEM45，PGEM，得EPG是等腰直角三角形，PG=22EP，故当A，P，G共线时，PG+AP最小，即22EP+AP最小，此时P与P重合，G与G重合，22EP+AP的最小值为AG的长度，再根据已知求出AG即可解：（1）BAC90，ABAC，C45，AE为高，AEC90，EAC45，PHA

55、C，PHA90，PHA是等腰直角三角形，PHAP=12=22；故答案为：22；（2）作O关于直线AB的对称点K，过K作KHy轴于H，交AB于P，作KTx轴于T，连接AK，如图：在y=3x+23中，令x0得y23，令y0得x2，OA2，OB23，AB=OA2+OB2=4，OA=12AB，ABO30，OAB60，O，K关于直线AB对称，AKOA2，OABKAB60，OPKP，KAT60，OP+PHKP+PH，AKT30，K，P，H共线，此时OP+PH最小，最小值为KH的长，在RtAKT中，AT=12AK=1221，OTOA+AT2+13，HOTOTKKHO90，四边形HOTK是矩形，KHOT3，O

56、P+PH最小值为3；（3）在折痕DE上存在点P，使得22EP+AP最小，理由如下：以E为顶点，ED为一边，在ED右侧作DEM45，过P作PGEM于G，过A作AGEM于G，交ED于P，作AHED于H，如图：DEM45，PGEM，EPG是等腰直角三角形，PG=22EP，22EP+APPG+AP，当A，P，G共线时，PG+AP最小，即22EP+AP最小，此时P与P重合，G与G重合，22EP+AP的最小值为AG的长度，四边形OABCB是长方形，B（6，8），OA6，OD2，ADOAOD4，将ADE沿DE翻折，使得点A恰好落在OC边上的点A处，ADAD4，OD=12AD，OAD30，ODA60，ADEADE（180ODA）260，DAH30，AED30，DH=12AD2，AH=3DH23，DE2AD8，PEG45，PGE90，PGE是等腰直角三角形，EPG45，APH45，APH是等腰直角三角形，PHAH23，AP=2AH26，PEDEDHPH8223=623，PG=22PE326，AGAP+PG26+326=6+32，22EP+AP的最小值为6+32总结提升：本题考查一次函数的综合应用，涉及等腰直角三角形的性质，含30角的直角三角形，胡不归问题等，解题的关键是掌握胡不归问题的解决方法