专题4.1 比例线段（知识讲解）-2022-2023学年九年级数学上册基础知识专项讲练（浙教版）.docx

1、专题4.1 比例线段（知识讲解）【学习目标】1.了解两条线段的比和比例线段的概念；2.能根据条件写出比例线段；3.会运用比例线段解决简单的实际问题.【要点梳理】要点一：线段的比：如果选用同一长度单位量得两条线段a、b长度分别是m、n，那么就说这两条线段的比是a:b=m:n ，或写成注意：(1)两线段是几何图形，可用它的长度比来确定；(2)度量线段的长，单位多种，但求比值必需在同一长度单位下比值一定是正数，比值与采用的长度单位无关.(3)表示方式与数字的比表示类同，但它也可以表示为AB:CD.要点二：成比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:b=c:

2、d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段要点三：比例的基本性质： 要点四：几个重要的比例定理：【典型例题】类型一、线段的比1如图所示，有矩形ABCD和矩形，AB8cm，BC12cm，4cm，6cm(1)求和；(2)线段，AB，BC是成比例线段吗？【答案】(1)，(2)线段，AB，BC是成比例线段【分析】（1）根据已知条件，代入和，即可求得结果；（2）根据和的值相等，即可判断线段AB，AB，BC，BC是成比例线段解：(1)AB8cm，BC12cm，AB4cm，BC6cm ，(2)由（1）知 ，；，线段AB，AB，BC，BC是成比例线段【点拨】本题考查了比例线段，知道成比例线段的条件是解题

3、的关键【变式1】（1）若=，求代数式的值；（2）已知=0，求代数式的值【答案】（1） （2） 【分析】（1）先把原式化为，进而可得出结论；（2）直接利用已知得出，进而代入原式求解解：（1）=，；（2）设=k，则，=【点拨】本题考查了比例式的性质，解题的关键是正确用k表示a、b、c【变式2】在中，；在中，求与之比，与之比【答案】，【分析】在直角ABC中，利用勾股定理求得AC的值，然后根据在同一长度单位下，两条线段的长度的比叫做这两条线段的比求解即可解：如图，在RtABC中，根据勾股定理知，AC10cm，则，【点拨】本题考查了勾股定理的应用在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边

4、长的平方也考查了两条线段的比的求法类型二、比例的性质2已知x，求x的值【答案】或2【分析】分两种情况讨论：当a+b+c0，当a+b+c0，再进行计算即可解：若a+b+c0，则a+b-c，b+c-a，c+a-b，此时，x-1，若a+b+c0，则，综上所述，x的值为-1或2【点拨】本题考查的是比例的基本性质，掌握“比例的等比性质”是解本题的关键【变式1】已知：，且，求的值【答案】24【分析】由已知条件设a=2k，则b=3k，c=4k，根据等式得到关于k的方程，解方程求得k，即求得a、b、c的值，从而可求得代数式的值解：a：b：c=2：3：4，设a=2k，则b=3k，c=4k2a+3b-2c=15，

5、4k+9k-8k=15，解得：k=3，a=6，b=9，c=12，a-2b+3c=6-18+36=24【点拨】本题考查了比例关系，解方程及求代数式的值，由比例关系设a=2k，则b=3k，c=4k是关键【变式2】已知，求的值【答案】1【分析】设k，则ab3k，bc4k，ca5k，把三式相加得到a+b+c=6k，再利用加减消元法可计算出a=2k，b=k，c=3k，然后把a=2k，b=k，c=3k代入中进行分式的化简求值即可解：设k，则ab3k，bc4k，ca5k，三式相加得a+b+c=6k 用式分别减去上述三个式子，可得出解得a2k，bk，c3k，所以1【点拨】本题考查了比例的性质，掌握设比法求值是

6、解题关键类型三、比例中项3已知线段a、b满足a：b3：2，且a2b28（1）求a、b的值（2）若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值【答案】（1）a12，b8；（2）x4【分析】（1）利用，可设，则，然后解出的值即可得到、的值；（2）根据比例中项的定义得到，即，然后根据算术平方根的定义求解解：（1）设，；（2）是的比例中项，是线段，【点拨】本题考查了比例线段，解题的关键是掌握对于四条线段、，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如（即，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段注意利用代数的方法解决较为简便【变式1】已知a，b，c是ABC的三边，满足，且（1）求a，b

7、，c的值（2）若线段x是线段a、b的比例中项，求x【答案】（1），；（2）【分析】（1）根据，且，根据比例的性质可得a，b，c的值；（2）根据比例中项的性质求解即可解：（1），且，（2）线段x是线段a、b的比例中项，【点拨】本题考查了比例的性质和比例中项，熟悉相关性质是解题的关键【变式2】已知线段a4cm，线段b7cm，线段c是线段a，b的比例中项，求线段c的长.【答案】线段c的长为2cm【分析】根据比例中项的定义，成比例线段，构建方程即可解决问题解：线段c是线段a，b的比例中项，ab=c2，a=4cm，b=7cm，c0，c=2cm故线段c的长为2cm【点拨】本题考查比例中项的定义，解题的关键

8、是熟练掌握基本知识，利用成比例线段性质列出等式，属于中考常考题型类型四、成比例线段4已知三条线段长分别为1cm，cm，2cm，请你求出一条线段，使得它的长与前面三条线段能够组成比例线段 【答案】cm、cm、cm【分析】根据添加的线段长度，进行分情况讨论解：设这条线段长xcm，若四条线段的长度大小为：x，1，2时，解得：；若四条线段的长度大小为： 1，x，2时，解得：；若四条线段的长度大小为： 1，x，2时，解得：；若四条线段的长度大小为： 1，2 ，x时，解得：；综上所述，线段长度为cm、cm或cm【点拨】本题考查成比例线段的求法，分类讨论是关键【变式1】如图，在中，且，求的长【答案】【分析】

9、利用比例线段得到，然后根据比例性质求解：，即，【点拨】本题考查了比例线段、比例的性质，解题的关键是掌握对于四条线段、，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如（即，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段【变式2】若P在线段AB上，点Q在AB的延长线上，且，求PQ的长【答案】24【分析】根据，分别求出BP，BQ的长，两者相加即可求出PQ的长.解：设AP3x，BP2x，AB10，ABAPBP3x2x5x，即5x10，x1，AP6，BP4.，可设BQy，则AQABBQ10y，解得y20，PQPBBQ42024.【点拨】本题考查了比例线段、两点间的距离等知识，运用好线段之间的比例关系是解答本题的关键