专题4.8 实数（知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（苏科版）.docx

1、专题4.8 实数（知识梳理与考点分类讲解）【知识点1】有理数与无理数有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数.要点提醒：（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式.（2）常见的无理数有三种形式：含类.看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111.带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如.【知识点2】实数有理数和无理数统称为实数.1.实数的分类按定义分：实数按与0的大小关系分：实数2.实数与数轴上的点一一对应.数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.【知识点3】实数大小的比较对

2、于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总是比左边的点表示的实数大.正实数大于0，负实数小于0，两个负数，绝对值大的反而小.【知识点4】实数的运算有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数.当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用.【考点一】有理数与无理数【例1】（2023秋江苏泰州七年级校联考阶段练习）把下列各数填入相应的数集内 正数集合： 无理数集合：分数集合： 非负整数集合：【答案】；【分析】有理数与无理数统称实数，实

3、数分为正实数，0，负实数，整数与分数统称有理数，0与正整数是非负整数，根据概念逐一填入即可解：，正数集合： 无理数集合：分数集合：非负整数集合：【点拨】本题考查的是实数的分类与概念，熟记实数的分类是解本题的关键【举一反三】【变式1】（2022秋广东河源八年级统考期中）实数，（每两个3之间依次多一个1）中，无理数的个数是（）A2个B3个C4个D5个【答案】C【分析】无理数就是无限不循环小数，有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数，由此即可判定选择项解：实数，（每两个3之间依次多一个1）中，是无理数的有：，（每两个3之间依次多一个1），无理数的个数是4

4、个，故选：C【点拨】本题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数如，（每两个1之间依次多1个0）等形式，熟记无理数的定义是解题的关键【变式2】（2023秋福建漳州八年级统考阶段练习）有一个数值转换器，原理如下：若把实数a代入数值转换器，恰好经过4次代入数值的程序运算，最终输出的数值是，则 【答案】256【分析】根据算术平方根的定义、有理数和无理数的定义，把第4次的程序运算输出的数值代入计算即可解：第4次的程序运算输出的数值是所代入的数值为2，第3次的程序运算输出的数值是2所代入的数值为，第2次的程序运算输出的数值是4所代入的数值为，第1次的程序运算输出的

5、数值是16所代入的数值为，符合题意，故答案为：256【点拨】本题考查算术平方根的定义、有理数和无理数的定义，熟练掌握算术平方根的定义、有理数和无理数的定义是解题的关键【考点二】实数的性质【例2】（2023春吉林松原七年级校考阶段练习）已知x、y都是实数，且，求的平方根【答案】【分析】先根据算术平方根的意义求出x的值，进而求出y的值，然后求出的值，再求平方根即可解：根据题意得，和互为相反数， 16的平方根是【点拨】本题考查了算术平方根和平方根的意义，以及相反数的定义，由算术平方根的意义得出，是解答本题的关键【举一反三】【变式1】（2021春安徽合肥七年级合肥市第四十二中学校考阶段练习）下列各组数

6、中互为相反数的是（）A与B与C与D与【答案】A【分析】根据算术平方根、立方根的定义结合相反数的定义逐项判断即得答案.解：A、，2与互为相反数；B、，所以；C、与互为倒数；D、；故选：A.【点拨】本题考查了算术平方根和立方根的定义，熟练掌握二者的概念、正确判断是关键.【变式2】（2023春湖北孝感七年级校考期中）（1）在数轴上离原点距离是的点表示的数是 ； （2）若，则的值是 ；（3） 的相反数是 【答案】 或/或 /【分析】（1）根据绝对值的意义，即可求解；（2）根据平方根的定义解方程，即可求解；（3）根据相反数的定义，即可求解解：（1）在数轴上离原点距离是的点表示的数是；故答案为：（2），解

7、得：或，故答案为：或（3）的相反数是，故答案为：【点拨】本题考查了实数的性质，实数与数轴，平方根的定义，熟练掌握以上知识是解题的关键【考点三】实数的大小比较与估算【例3】（2023秋江西九江八年级统考阶段练习）“作差法”是数学中常用的比较两个数大小的方法，若，则；若，则；若，则.例如：比较与1的大小由“作差法”得，请根据上述方法解答以下问题：（1）的整数部分是_，小数部分是_；（2）比较与的大小【答案】（1）3，；（2）【分析】（1）估算出范围，从而得到答案；（2）根据例题提供的作差法，即可得到答案（1）解：，的整数部分是3，小数部分是，故答案为：3，；（2）解：由“作差法”得，【点拨】本题考

8、查了无理数的估算，实数的大小比较，解题的关键是正确估算出和的范围【举一反三】【变式1】（2023秋浙江七年级专题练习）已知，那么约等于（）ABCD【答案】A【分析】根据无理数的估算，求一个数的算术平方根的计算方法即可求解解：，故选：【点拨】本题主要考查无理数的估算，掌握其估算方法解题的关键【变式2】（2023秋广东佛山七年级校考阶段练习）比较大小： （填“”或“”号）【答案】【分析】先估算，再进行比较即可解：，故答案为：【点拨】此题考查了实数比较大小，熟练掌握估算知识是解本题的关键【考点四】无理数的整数部分与小数部分的运算【例4】（2022春安徽亳州七年级校考阶段练习）已知的小数部分为，的小数

9、部分为，求：（1）的值；（2）的值【答案】（1）1；（2）【分析】（1）先估算的大小，求得m、n的值，即代数式的值可求；（2）代入，再利用同底数幂的乘法得到，把代入即可求解（1）解：，；（2）解：，【点拨】本题主要考查了估计无理数的大小，同底数幂的乘法，求得m、n的值是解题的关键【举一反三】【变式1】（2022广东潮州统考一模）如图，数轴上有三个点，点表示的数为2，点表示的数为，且，则点表示的数的整数部分为（）A1B2C3D4【答案】A【分析】利用数轴上两点的距离求出，进而求得点C表示的数，再利用无理数的估算求解即可解：由题意，得，点C表示的数为，即，点表示的数的整数部分为1，故选：A【点拨】

10、本题考查数轴上两点的距离、无理数的估算、不等式的性质，正确得到点C表示的数是解答的关键【变式2】（2023春安徽合肥七年级校考期中）已知a，b是两个连续的正整数，则的值为 【答案】7【分析】估算出，得到，即可得到答案解：，故答案为：7【点拨】此题考查了无理数的估算，熟练掌握无理数估算的方法是解题的关键【考点五】实数的混合运算【例5】（2022春湖南长沙七年级校考阶段练习）计算：（1）；（2）【答案】（1）9；（2）【分析】（1）先将乘方，立方根，算术平方根化简，再进行计算即可；（2）先将立方根，绝对值，算术平方根化简，再进行计算即可（1）解：；（2）解：【点拨】本题主要考查了实数的混合运算，解

11、题的关键熟练掌握算术平方根和立方根的化简方法，以及实数混合运算的运算顺序和运算法则【举一反三】【变式1】（2023秋全国八年级专题练习）如图，数轴上表示1，的点分别为A，B，点A是的中点，则点C所表示的数是（ ）ABCD【答案】C【分析】根据中点得，然后从点向左平移即可；解：点A是的中点，点C所表示的数为：故选：C【点拨】本题考查了无理数与数轴的关系、线段的中点性质等知识点，中点性质的运用是解题关键【变式2】（2023秋山东枣庄八年级校联考阶段练习）若，则 【答案】【分析】根据三个非负数的和为0，必须每个数都为0，就能得出三个一元一次方程，即可求出的值解：，故答案为：【点拨】本题考查了对非负数

12、的性质，立方根，二次根式的性质等知识点的运用，主要考查学生能否熟练地运用这些性质和法则进行计算【考点六】实数的混合运算的实际应用与规律题【例6】（2023全国八年级假期作业）如图，是张大爷的一块小菜地，已知CD是中AB边上的高，求BD的长（结果保留根号）【答案】【分析】先在RtACD中根据勾股定理求出AD的长，进而可知BC的长，再在RtBCD中，根据勾股定理求出BD的长即可.解：CD是中AB边上的高，ACD和BCD都是直角三角形.在RtACD中，,，在RtBCD中，.【点拨】本题主要考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理并能正确的计算是解题的关键.【举一反三】【变式1】（2023春黑龙江佳木斯八年级

13、校联考期中）如图，将1、三个数按图中方式排列，若规定表示第排第列的数，则与表示的两个数的积是（）1第一排第二排1第三排11第四排 第四列第三列第二列第一列ABCD1【答案】B【分析】观察数列可得，每三个数一循环，根据有序数对的表示方法，可得有序数对表示的数，根据实数的运算，可得答案解：由题意可得：每三个数一循环，1、，则前7排共有个数，在排列中是第个数，表示的数正好是第10轮的最后一个，即表示的数是，前2014排共有个数，而，表示的数正好是第676369轮的第一个数，即表示的数是1，与表示的两个数的积是，故选：B【点拨】本题考查了数字的变化类，实数的运算，根据题意得出每三个数一循环是解题的关键【变式2】（2023春广东梅州七年级统考期末）如图，四边形均为正方形，其中正方形面积为图中阴影部分面积为，正方形面积为 【答案】18【分析】先设出正方形边长，再分别求出它们的边长，即可求解解：设正方形ABCD的边长为a，正方形CEFG的边长为b，阴影面积为，故答案为：18【点拨】本题考查了实数运算的实际应用，解题关键是正确求出正方形的边长并且表示出阴影面积