专题5.24 两个或多个二次函数综合专题（专项练习）-2022-2023学年九年级数学下册基础知识专项讲练（苏科版）.docx

1、专题5.24 两个或多个二次函数综合专题（专项练习）一、单选题1已知二次函数如图所示，那么的图像可能是（ ）A BCD2函数yax2bxc的图象如图所示，则选项中函数ya（xb）2c的图象正确的是（）ABCD3在同一平面直角坐标系中，函数yax2b与ybx2ax的图象可能是()ABCD4如果两个不同的二次函数的图象相交，那么它们的交点最多有（）A1 个B2 个C3 个D4 个5如图，在平面直角坐标系中，垂直于x轴的直线分别交抛物线yx2（x0）和抛物线yx2（x0）于点A和点B，过点A作ACx轴交抛物线yx2于点C，过点B作BDx轴交抛物线yx2于点D，则的值为（）ABCD二、填空题6如图，在

2、平面直角坐标系中，坐标原点为O，抛物线ya（x2）21（a0）的顶点为A，过点A作y轴的平行线交抛物线于点B，连接AO、BO，则AOB的面积为_7二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象如图，若|ax2+bx+c|=k有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_三、解答题8已知，点M为二次函数图象的顶点，直线分别交x轴正半轴和y轴于点A，B(1)判断顶点M是否在直线上？并说明理由；(2)如图1，若二次函数图象也经过点A，B，且，结合图象，求x的取值范围；(3)如图2，点A坐标为，点M在内，若点，都在二次函数图象上，试比较与的大小9定义：若二次函数的图象记为，其顶点为，二次函数的图象记为，其顶点为

3、，我们称这样的两个二次函数互为“反顶二次函数”分类一：若二次函数经过的顶点B，且经过的顶点A，我们就称它们互为“反顶伴侣二次函数”(1)所有二次函数都有“反顶伴侣二次函数”是_命题（填“真”或“假”）(2)试求出的“反顶伴侣二次函数”(3)若二次函数与互为“反顶伴侣二次函数”，试探究与的关系，并说明理由(4)分类二：若二次函数可以绕点M旋转180得到二次函数；，我们就称它们互为“反顶旋转二次函数”任意二次函数都有“反顶旋转二次函数”是_命题（填“真”或“假”）互为“反顶旋转二次函数”的对称中心点M有什么特点？如图，互为“反顶旋转二次函数”，点E，F的对称点分别是点Q，G，且轴，当四边形EFQG

4、为矩形时，试探究二次函数，的顶点有什么关系并说明理由10已知抛物线与轴交于点，其关于轴对称的抛物线为：，且经过点和点（1）求抛物线的解析式；（2）将抛物线沿轴向右平移得到抛物线，抛物线与轴的交点记为点和点（在的右侧），与轴交于点，如果满足与相似，请求出平移后抛物线的表达式11在平面直角坐标系中，我们将抛物线通过平移后得到，且设平移后所得抛物线的顶点依次为，这些顶点均在格点上，我们将这些抛物线称为“缤纷抛物线”（k为整数）（1）的坐标为_，直接写出平移后抛物线的解析式为_（用k表示）；（2）若平移后的抛物线与抛物线交于点A，对称轴与抛物线交于点B，若，求整数k的值12如图，抛物线F：的顶点为P，

5、抛物线：与y轴交于点A，与直线OP交于点B过点P作PDx轴于点D，平移抛物线F使其经过点A、D得到抛物线F：，抛物线F与x轴的另一个交点为C当a = 1，b=2，c = 3时，求点C的坐标(直接写出答案)；若a、b、c满足了求b：b的值；探究四边形OABC的形状，并说明理由13在平面直角坐标系中，已知：函数（1）当时，求随增大而增大时，的取值范围；当时，求的取值范围；当时，设的最大值与最小值之差为，当时，求的值（2） 若，连结.当此函数的图象与线段只有两个公共点时，直接写出的取值范围参考答案1C试题分析：根据二次函数的图像可知，开口向上，排除选项D；该二次函数经过点（0,3），不经过（0，0）

6、这点，把A项排除；根据图像平移可以可知，对二次函数向右平移一个单位即可得到图像，可以排除B项，选C是正确的【点拨】1、二次函数的性质2、图像平移2B【分析】先根据yax2+bx+c的图象得到a、b、c的正负情况，从而得到函数ya（xb）2+c的图象的开口方向和顶点坐标所在的位置，分析判断即可得到正确的函数图象解：由yax2+bx+c的图象可得a0，b0，c0，函数ya（xb）2+c，该函数的图象开口向下，顶点坐标为（b，c），且该函数图象的顶点在第一象限，故选：B【点拨】本题考查由二次函数图象判断各项系数的符号，牢记相关知识点是解题关键3D【分析】根据两个函数的开口方向及第一个函数与y轴的交点

7、，第二个函数的对称轴可得相关图象解：A、两个函数的开口方向都向上，那么a0，b0，可得第一个函数的对称轴是y轴，与y轴交于正半轴，第二个函数的对称轴在y轴的左侧，故本选项错误；B、两个函数的开口方向都向下，那么a0，b0，可得第一个函数的对称轴是y轴，与y轴交于负半轴，第二个函数的对称轴在y轴的左侧，故本选项错误；C、D、两个函数一个开口向上，一个开口向下，那么a，b异号，可得第二个函数的对称轴在y轴的右侧，故C错误，D正确故选D【点拨】本题考查二次函数图象的性质，用到的知识点为：二次函数的二次项系数大于0，开口方向向上，小于0，开口方向向下；二次项系数和一次项系数同号，对称轴在y轴的左侧，异

8、号在y轴的右侧；一次项系数为0，对称轴为y轴；常数项是二次函数与y轴交点的纵坐标4B【分析】根据二次函数图像的特点进一步求解即可.解：二次函数的图像为抛物线，两个不同二次函数的图像的交点最多只能有2个，故选：B.【点拨】本题主要考查了二次函数图像的性质与特点，熟练掌握相关概念是解题关键.5C【分析】设A（m，m2），则B（m，m2），根据题意得出C（2m，m2），D（m，m2），即可求得BDmmm，AC2mmm，从而求得解：设A（m，m2），则B（m，m2），ACx轴交抛物线yx2于点C，BDx轴交抛物线yx2于点D，C（2m，m2），D（m，m2），BDmmm，AC2mmm，.故选C【点拨】

9、本题考查了二次函数图象上点的坐标特征.根据特征表示出A、B、C、D点的坐标是解题的关键6【分析】先求得顶点A的坐标，然后根据题意得出B的横坐标，把横坐标代入抛物线，得出B点坐标，从而求得A、B间的距离，最后计算面积即可解：设AB交x轴于C抛物线线ya（x2）21（a0）的顶点为A，A（2，1），过点A作y轴的平行线交抛物线于点B，B的横坐标为2，OC=2把x=2代入得y=-3，B（2，-3），AB=1+3=4，故答案为：4【点拨】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，求得A、B的坐标是解题的关键7k=0或k2【分析】先根据题意画出y|ax2bxc|的图象，即可得出|ax2bxc|k（k0）有两

10、个不相等的实数根时，k的取值范围解：当ax2bxc0，yax2bxc(a0)的图象在x轴上方，此时y|ax2bxc|ax2bxc，此时y|ax2bxc|的图象是函数yax2bxc(a0)在x轴上方部分的图象当ax2bxc0时，yax2bxc(a0)的图象在x轴下方，此时y|ax2bxc|(ax2bxc)，此时y|ax2bxc|的图象是函数yax2bxc(a0)在x轴下方部分与x轴对称的图象yax2bxc(a0)的顶点纵坐标是2，函数yax2bxc(a0)在x轴下方部分与x轴对称的图象的顶点纵坐标是2，y|ax2bxc|的图象如右图观察图象可得当k0时，函数图象在直线y2的上方时，纵坐标相同的点

11、有两个，函数图象在直线y2上时，纵坐标相同的点有三个，函数图象在直线y2的下方时，纵坐标相同的点有四个，若|ax2bxc|k有两个不相等的实数根，则函数图象应该在y2的上边，故k0或k2【点拨】本题考查了二次函数的图象，解题的关键是根据题意画出y|ax2bxc|的图象，根据图象得出k的取值范围8(1)点M在直线上，理由见分析(2)或(3)当时，；当时，；当时，【分析】（1）把抛物线解析式化为顶点式，得到M的坐标是，再把代入，即可求解；（2）先根据直线，求出B点坐标为可求出抛物线解析式，进而得到，再结合图象，即可求解；（3）先求出直线AB的解析式为，可得到点，再由点M在内，可得再由当点C，D关于

12、抛物线的对称轴对称时，可得，即可求解(1)解： ，顶点M的坐标是，把代入，得，点M在直线上；(2)如图1，直线交y轴于点B，B点坐标为又B在抛物线上，解得，二次函数的解析式为，当时，解得，由图象得，当时，x的取值范围是或(3)如图所示，直线与直线AB交于点E，与y轴交于F，m=-1，直线AB的解析式为，联立EF，AB得方程组，解得，点，当x=0时，y=1，点M在内，当点C，D关于抛物线的对称轴对称时，二次函数图象开口向下，顶点M在直线上，当时，；当时，；当时，【点拨】本题主要考查了二次函数的图象和性质，一次函数，熟练掌握二次函数和一次函数的图象和性质，并利用数形结合思想解答是解题的关键9(1)

13、假(2)(3)见分析(4)真；见分析；见分析【分析】（1）根据题意举反例验证求解即可；（2），则“反顶伴侣二次函数”为，再将（2，1）代入求出a值，即可得出解析式；（3）根据题意，分别表示出过顶点坐标的函数解析式，进行相加化简即可得出结果；（4）由旋转的性质，找到对称中心M，可知对于任意二次函数都有“反顶旋转二次函数”；利用A，B坐标求出中点M的坐标，进而得出结论；根据矩形的性质和平行的性质，得出ABy轴，进而得出A，B点的坐标均为（h，h），最后得出结论(1)解：令的顶点坐标A为（1，4），开口向上，则的顶点坐标B为（4，1），此时C1不经过B（4，1），所有二次函数都有“反顶伴侣二次函数”

14、是假命题故答案为：假(2)解：，则“反顶伴侣二次函数”为，由题意，得将（2，1）代入，得，解得a=-1，的“反顶伴侣二次函数”为(3)解：二次函数经过的顶点B，且经过的顶点A，+，得，当h=k时，与任意非零实数；当hk时，=0(4)解：如图A，B的中点为M，对称中心为M，任意二次函数都有“反顶旋转二次函数”故答案为：真；M为A，B的中点，M的坐标为，即M在直线y=x上解：轴，四边形EFQG为矩形，ABy轴，h=k，即A，B的坐标均为（h，h），A，B两点重合在直线y=x上【点拨】本题考查二次函数的性质，以及矩形的性质，读懂题意，理解新定义是解决问题的关键10（1）的解析式为；（2）平移后抛物线

15、的表达式为或.【分析】（1）根据抛物线关于轴对称的原则可以得到均互为相反数，所以可以设：，同时经过点和点，那么也经过点和点，将这两点代入即可求解；（2）首先根据函数图像的平移原则，设抛物线沿轴向右平移个单位得到抛物线，继而写出的解析式，然后分别求出点和点的坐标，再结合与相似，可得DOQ为等腰直角三角形，利用坐标建立方程，求解即可.解：（1）抛物线和抛物线关于轴对称，且：， ： ， 经过点和点， 经过点和点， 把点和点代入：可得：，解得：， ：；（2）设抛物线沿轴向右平移个单位得到抛物线， ：， 的解析式可以表示为：，抛物线与轴的交点为点和点，且在的右侧，抛物线与轴交于点，A（-3，0），C（0

16、，3），AOC为等腰直角三角形，当AOC和DOQ相似时，DOQ为等腰直角三角形，OQ=OD，当点Q在y轴正半轴上时，OQ=OD=OA=OC，解得：a=0（舍）或2，此时：；当点Q在y轴负半轴时，OD=OQ，则，解得：a=-1（舍）或4，此时：；综上：平移后抛物线W3的表达式为：或.【点拨】本题主要考查二次函数的图象变化，以及二次函数和相似三角形的存在性问题，熟练掌握二次函数的图象平移和对称变化规律，同时对相似三角形的存在性进行正确的分类讨论是求解本题的关键.11（1）（6，12），；（2）4或【分析】（1）观察平移后抛物线顶点坐标的特点，然后依据规律即可得到平移后抛物线的解析式；（2）如图1所

17、示：过点作，垂足为，由可知顶点，对称轴为，对称轴与抛物线的交点为，然后求得抛物线的交点，最后依据列方程求解即可；解：（1）抛物线通过平移后得到，的坐标为：（6，12），；（2）如图1所示：过点作，垂足为由可知顶点，对称轴为，对称轴与抛物线的交点为，解得，即，整理得：，解得或或；当时原方程无意义，故不是原方程的根的值为4或【点拨】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了二次函数的顶点式、锐角三角函数的定义、点的坐标与函数解析式的关系，找出抛物线的顶点坐标存在的规律是解答问题（1）的关键，求得点、的坐标是解答问题（2）的关键12解：（1） C（3，0）；（2）抛物线，令=0，则=，

18、A点坐标（0，c）， ，点P的坐标为（） PD轴于D，点D的坐标为（）根据题意，得a=a，c= c，抛物线F的解析式为又抛物线F经过点D（），又，b:b=由得，抛物线F为令y=0，则点D的横坐标为点C的坐标为（） 设直线OP的解析式为点P的坐标为（），点B是抛物线F与直线OP的交点，点P的横坐标为，点B的横坐标为把代入，得点B的坐标为BCOA，ABOC（或BCOA，BC =OA），四边形OABC是平行四边形又AOC=90，四边形OABC是矩形解：（1）先求出抛物线解析式，再根据平移的特征即可得到点C的坐标；（2）根据抛物线顶点坐标的表达式及抛物线与坐标轴的交点坐标的特征即可得到结果；根据抛物线

19、与坐标轴的交点坐标及抛物线与直线OP的交点坐标的特征即可得到结果；13（1）或；或；（2）或或【分析】（1）利用函数图像，直接作答即可；观察函数图像直接作答即可；分、四种情况分类讨论即可；（2）利用两个函数的对称轴都是直线，分类讨论所处的位置，即可得出答案解：（1）或.当时，函数变为 ，函数图像如图所示： 函数的对称轴是直线，所以通过观察图像可以得到当随增大而增大时，的取值范围是：或；通过观察图像可以得到：当时，；当，即时，当时，由图象可知当时，由，得，当时，舍去.综上所述:或；或或，的对称轴为直线：，的对称轴为直线：，由（1）可知：当时，函数与AB有两个交点，一个为（0,2），一个为（），满

20、足条件；当时，函数变为：，此时只有一个交点，不合题意；当时，函数变为：，此时只有一个交点，不合题意；当时，此时的顶点坐标为，与AB无交点；对于函数一直小于0，因此与AB无交点；当时，对于函数来说，当时，有最小值此时，因此函数与AB最多有一个交点，对于函数，当时，有最大值，为，与AB无交点；当时，对于函数来说，因此与AB必有一个交点，只须保证：与AB有一个交点即可，当时，当时，有最大值为，根据对称性可知：此时与AB有两个交点，当时，有三个交点，不合题意；当时，函数变为：，此时与AB共有两个交点；当时：与AB有一个交点，此时函数与AB有两个交点；当时，对于函数：，与AB无交点，当函数过时，得：，解得：，此时与AB有两个交点，当时，与AB有两个交点；综上所述：当或或时，与AB只有两个交点【点拨】本题主要考查了二次函数的图像与性质，利用了数形结合思想，分类讨论思想，牢记图像与性质以及对称轴不确定性的分类讨论思想的利用是解决本题的关键