专题8.5 空间向量及其应用(解析版).docx

1、8.5 空间向量及其应用思维导图知识点总结1.空间向量的有关概念名称定义空间向量在空间中，具有大小和方向的量相等向量方向相同且模相等的向量相反向量方向相反且模相等的向量共线向量(或平行向量)表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量共面向量平行于同一个平面的向量2.空间向量的有关定理(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(a0)，b与a共线的充要条件是存在实数，使ba.(2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使pxayb.(3)空间向量基本定理：如果三个向量e1，e2，e3不共面，那么对空间任一向量p，存在唯

2、一的有序实数组(x，y，z)，使得pxe1ye2ze3.3.空间向量的数量积(1)两向量的数量积：设两个空间非零向量a，b，把|a|b|cosa，b叫作a，b的数量积，记作ab，即ab|a|b|cosa，b.(2)空间向量的坐标表示及其应用设a(x1，y1，z1)，b(x2，y2，z2).向量表示坐标表示数量积abx1x2y1y2z1z2共线ba(a0，R)x2x1，y2y1，z2z1垂直ab0(a0，b0)x1x2y1y2z1z20模|a|夹角a，b(a0，b0)cosa，b4.空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线l1，l2的方向向量分别为e1，e2l1l2e1e2e1e2(R)l1l

3、2e1e2e1e20直线l的方向向量为e，平面的法向量为n，llenen0lenen(R)平面，的法向量分别为n1，n2n1n2n1n2(R)n1n2n1n20常用结论1.在平面中A，B，C三点共线的充要条件是：xy(其中xy1)，O为平面内任意一点.2.在空间中P，A，B，C四点共面的充要条件是：xyz(其中xyz1)，O为空间任意一点.3.向量的数量积满足交换律、分配律，即abba，a(bc)abac成立，但不满足结合律，即(ab)ca(bc)不一定成立.4.在利用xy证明MN平面ABC时，必须说明M点或N点不在平面ABC内.典型例题分析考向一 空间向量的线性运算及共线、共面定理1 (1)

4、(多选)已知平行六面体ABCDABCD，则下列四式中正确的有()A.B.C.D.答案ABC解析如图，作出平行六面体ABCDABCD，可得，则A正确；，则B正确；C显然正确；，则D不正确.(2)(多选)下列说法中正确的是()A.|a|b|ab|是a，b共线的充要条件B.若，共线，则ABCDC.A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，若，则P，A，B，C四点共面D.若P，A，B，C为空间四点，且有(，不共线)，则1是A，B，C三点共线的充要条件答案CD解析由|a|b|ab|，可得向量a，b的方向相反，此时向量a，b共线，反之，当向量a，b同向时，不能得到|a|b|ab|，所以A不正确；若，共线，则

5、ABCD或A，B，C，D四点共线，所以B不正确；由A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，若，因为1，可得P，A，B，C四点共面，所以C正确；若P，A，B，C为空间四点，且有(，不共线)，当1时，即1，可得()，即，所以A，B，C三点共线，反之也成立，即1是A，B，C三点共线的充要条件，所以D正确.感悟提升1.(1)选定空间不共面的三个向量作基向量，并用它们表示出指定的向量，是用向量解决立体几何问题的基本要求.(2)解题时应结合已知和所求观察图形，正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，灵活运用三角形法则及平行四边形法则，就近表示所需向量.2.(1)对空间任一点O，xy，若xy1，则点P，

6、A，B共线.(2)证明空间四点P，M，A，B共面的方法.xy.对空间任一点O，xy或xyz(xyz1)即可.考向二 空间向量的数量积及应用2 如图，正四面体ABCD(所有棱长均相等)的棱长为1，E，F，G，H分别是正四面体ABCD中各棱的中点，设a，b，c，试采用向量法解决下列问题：(1)求的模长；(2)求，的夹角.解(1)因为正四面体ABCD的棱长为1，E，F，G，H分别是正四面体ABCD中各棱的中点，a，b，c，所以()(ba)，c，所以(ba)ac(cab)，所以|2(cab)2(c2a2b22ac2ab2bc)(111211cos 60211cos 60211cos 60)，故|.(2

7、)在正四面体ABCD中，(cab)，|.同理，(bca)，|.所以cos，(ca)2b2(c2a22cab2)(11211cos 601)0，所以与的夹角为90.感悟提升由向量数量积的定义知，要求a与b的数量积，需已知|a|，|b|和a，b，a与b的夹角与方向有关，一定要根据方向正确判定夹角的大小，才能使ab计算准确.3. 如图所示，四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60.(1)求AC1的长；(2)求BD1与AC夹角的余弦值.解(1)记a，b，c，则|a|b|c|1，a，bb，cc，a60，abbcca.|2(abc)2a2b2c2

8、2(abbcca)11126，|1|，即AC1的长为.(2)bca，ab，|，|，(bca)(ab)b2a2acbc1，cos，.AC与BD1夹角的余弦值为.4.(教材改编)如图，M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，且MNON，APAN，则_(用向量，表示).答案解析().考向三 利用空间向量证明(判断)平行与垂直5. 如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ADAB，ABDC，ADDCAP2，AB1，点E为棱PC的中点.证明：(1)BEDC；(2)BE平面PAD；(3)平面PCD平面PAD.证明依题意，以点A为原点建立空间直角坐标系(如图)，可得B(1

9、，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2).由E为棱PC的中点，得E(1，1，1).(1)向量(0，1，1)，(2，0，0)，故0，所以BEDC.(2)因为ABAD，又PA平面ABCD，AB平面ABCD，所以ABPA，PAADA，PA，AD平面PAD，所以AB平面PAD，所以向量(1，0，0)为平面PAD的一个法向量，而(0，1，1)(1，0，0)0，所以BEAB，又BE平面PAD，所以BE平面PAD.(3)由(2)知平面PAD的法向量为(1，0，0)，向量(0，2，2)，(2，0，0)，设平面PCD的一个法向量为n(x，y，z)，则即不妨令y1，可得n(0，1，1)为平

10、面PCD的一个法向量.且n(0，1，1)(1，0，0)0，所以n.所以平面PCD平面PAD.感悟提升1.利用向量法证明(判断)平行、垂直关系，关键是建立恰当的坐标系(尽可能利用垂直条件，准确写出相关点的坐标，进而用向量表示涉及到直线、平面的要素).2.向量证明的核心是利用向量的数量积或数乘向量，但向量证明仍然离不开立体几何的有关定理.6.(2021浙江卷)如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1，M，N分别是A1D，D1B的中点，则()A.直线A1D与直线D1B垂直，直线MN平面ABCDB.直线A1D与直线D1B平行，直线MN平面BDD1B1C.直线A1D与直线D1B相交，直线MN平面ABCD

11、D.直线A1D与直线D1B异面，直线MN平面BDD1B1答案A解析法一以点D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系(图略)，设AB2，则A1(2，0，2)，D(0，0，0)，D1(0，0，2)，B(2，2，0)，所以M(1，0，1)，N(1，1，1)，所以(2，0，2)，(2，2，2)，(0，1，0)，所以4040，所以A1DD1B.又直线A1D与D1B是异面直线，所以直线A1D与D1B异面且垂直，故B，C不正确；因为平面ABCD的一个法向量为n(0，0，1)，所以n0001100，n，所以MN平面ABCD，故A正确；设直线MN与平面BB1D1D所成的角

12、为，因为平面BDD1B1的一个法向量为a(1，1，0)，所以sin |cos，a|，所以直线MN与平面BB1D1D不垂直，故D不正确.故选A.法二连接AD1(图略)，则易得点M在AD1上，且M为AD1的中点，AD1A1D.因为AB平面AA1D1D，A1D平面AA1D1D，所以ABA1D，又ABAD1A，AB，AD1平面ABD1，所以A1D平面ABD1，又BD1平面ABD1，显然A1D与BD1异面，所以A1D与BD1异面且垂直.在ABD1中，由中位线定理可得MNAB，又MN平面ABCD，AB平面ABCD，所以MN平面ABCD.易知直线AB与平面BB1D1D成45角，所以MN与平面BB1D1D不垂

13、直.所以选项A正确.基础题型训练一、单选题1若向量，且与的夹角的余弦值为，则实数等于（）A1BC1或D0或【答案】B【分析】根据空间向量数量积的坐标计算方法即可计算.【详解】由题知，解得故选：B.2已知点，若，四点共面，则（）ABCD【答案】B【分析】由空间向量共面定理，可设，由向量的坐标表示，解方程可得的值【详解】解：由点，1，2，2，0，可得，1，1，若，四点共面，可设，则，解得，所以故选：B3已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（）ABCD【答案】A【分析】根据向量投影的概念，结合向量的数量积计算得出结果.【详解】根据题意， 在上的投影向量可为故选：A.4平面的法向量为(1,2，2)

14、，平面的法向量(2，h，k)，若，则hk的值为()A2B8C0D6【答案】C【分析】因为为共线向量，从而，故【详解】因为共线，故存在实数使得，故，所以，故选C【点睛】空间向量中有三个定理：（1）共线向量基本定理：如果为共线向量，则存在实数使得（2）共面向量基本定理：为不共线向量，若与共面，则存在实数使得，该定理就是平面向量基本定理（3）空间向量基本定理：如果为不共面向量，则对于空间的任意向量，存在唯一的有序实数对，使得该定理和平面向量基本定理有类似的应用即可把空间向量的问题基底化5如图所示，已知，三点不共线，为平面内一定点，为平面外任一点，则下列能表示向量的为（）.ABCD【答案】D【分析】先

15、根据平面内向量的线性运算可得，再根据求解即可.【详解】根据平行四边形法则由图可得，故选：D6如图，棱长为的正四面体的三个顶点分别在空间直角坐标系的坐标轴上，则定点的坐标为ABCD【答案】A【详解】棱长为的正四面体可以放到正方体中，已知D点、O点的连线是正方体的体对角线，故D点坐标为，选A.二、多选题7给出下列命题，其中正确的命题是（）A若 ，则 或B若向量 是向量 的相反向量，则C在正方体 中， D若空间向量 ， ， 满足 ， ，则【答案】BCD【分析】根据向量模长，相等向量，相反向量概念逐项判断真假.【详解】对于选项A：若，即向量与的模相等，但方向不确定，故A错误；对于选项B：相反向量是指大

16、小相等方向相反的两个向量，故B正确；对于选项C：在正方体中，与大小相等，方向相同，故，所以C正确；对于选项D：若 ，则方向相同大小相等，故，若中有零向量结论也正确，所以D正确.故选：BCD.8已知，是空间的三个单位向量，下列说法正确的是（）A若，则B若，两两共面，则，共面C若是空间的一组基底，则也是空间的一组基底D对于空间的任意一个向量，总存在实数，使得【答案】AC【分析】直接利用共线向量和共面向量，向量的基底等基础知识和相关的定义判断四个命题的结论【详解】，都是非零向量，当且时，一定有，故A正确；若，两两共面，可能为空间能作为基底的三个向量，则，不一定共面，故B错误；若，是空间的一组基底，则

17、，不共面，也可以是空间的一组基底，故C正确；对于空间的任意一个向量，总存在实数，使得，需要不共面，故D错误.故选：AC三、填空题9在正方体中，给出以下向量表达式：；.其中能够化简为向量的是_（填序号）.【答案】【分析】根据空间向量的加法、减法运算的几何意义，即可得答案；【详解】中，；中，；中，；中，.故答案为：.【点睛】本题考查空间向量的加法、减法运算的几何意义，考查运算求解能力，属于基础题.10已知向量，若，则_.【答案】8【分析】由题意可知，可得到的值.【详解】， ， ，解得：，.故答案为：8【点睛】本题考查空间向量平行的坐标表示，属于基础知识的考查，基础题型.11在空间直角坐标系中，轴上

18、有一点到已知点和点的距离相等，则点的坐标是_【答案】【分析】由题设及空间两点距离公式列方程求M坐标即可.【详解】设，由题意得，解得，所以的坐标是故答案为：12已知空间三点坐标分别为，点在平面内，则实数的值为_【答案】【分析】根据题意,存在实数使得等式成立,将各点坐标代入,列出方程组求解即可.【详解】点在平面内,存在实数使得等式成立,，解得.故答案为：四、解答题13已知，求证：四边形为平行四边形【答案】证明见解析【分析】根据点的坐标，得到且，即可求解.【详解】由题意，点 可得向量，可得且，所以四边形为平行四边形14已知空间两个动点，求的最小值【答案】2【分析】由空间向量模的坐标运算求得表达式，然

19、后由二次函数性质得最小值【详解】由已知，易知时，15已知平行四边形ABCD从平面AC外一点O引向量，k，k求证：四点E，F，G，H共面.【答案】证明见解析.【分析】根据便可得到，从而得出EFAB，同理HGDC，且有EFHG，这便可判断四边形EFGH为平行四边形，从而得出四点E，F，G，H共面；【详解】证明：如图，；EFAB，且EF|k|AB；同理HGDC，且HG|k|DC，ABDC；EFHG，且EFHG；四边形EFGH为平行四边形；四点E，F，G，H共面.【点睛】本题考查点线面的位置关系，属于基础题.证明平行四边形是证明四点共面的常用方法.16如图，三棱柱中，平面ABC，D，E分别是AC，的中

20、点.（）证明：平面；（）求DE与平面夹角的正弦值.【答案】（）详见解析；（）.【分析】（）根据线面垂直的判断定理，即得；（）建立空间直角坐标系，求得向量和平面的法向量，由向量的数量积公式计算即得.【详解】（）平面ABC，平面ABC，.，.又，平面，平面，平面.（）以C为坐标原点，以为x轴正方向，为y轴正方向，垂直平面ABC向上的方向为z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz，则.所以.设平面的法向量为，则，即，得，令，得，故.设直线DE与平面所成的角为，则.故DE与平面夹角的正弦值为.【点睛】本题考查空间线面的位置关系，向量法求线面角，考查空间想象能力，运算求解能力以及数形结合思想.

21、提升题型训练一、单选题1如图，空间四边形OABC中，点M是OA的中点，点N在BC上，且，设，则x，y，z的值为（）ABCD【答案】C【分析】将表示为以为基底的向量，由此求得的值.【详解】依题意，所以.故选：C.【点睛】本小题主要考查空间中，用基底表示向量，考查空间向量的线性运算，属于基础题.2若构成空间的一个基底，则一定可以与向量，构成空间的另一个基底的是（）ABCD以上都不行【答案】C【分析】根据题意结合空间向量的共面定理即可求解.【详解】解：对A，因为，所以向量与向量，共面，故A错误；对B，因为，所以向量与向量，共面，故B错误；对C，因为构成空间的一个基底，所以向量与和不共面，所以向量与向

22、量，构成空间的一个基底，故C正确；对D，因为C正确，故D错误.故选：C.3已知向量a(1,1,0)，b(1,0,2)，且kab与2ab互相垂直，则k的值是()A1BCD【答案】D【详解】试题分析：由的坐标可得，两向量互相垂直则，即，解得考点：两向量垂直坐标满足的条件4如图，在四棱锥中，平面，底面是正方形，则下列数量积最大的是（）ABCD【答案】B【分析】设，根据线面垂直的性质得，根据向量数量积的定义逐一计算，比较可得答案.【详解】解：设，因为平面，所以，又底面是正方形，所以，对于A，；对于B，；对于C，；对于D，所以数量积最大的是，故选：B.5已知、为空间中不共面的四点，且，若、四点共面，则实

23、数的值是（）ABCD【答案】C【分析】根据空间共面向量的基本定理可设，利用空间向量的线性运算与空间向量的基本定理可得出、的方程组，即可解得实数的值.【详解】因为、四点共面，则存在、，使得，则，所以，所以，三个等式全加可得，解得.故选：C.6已知四面体ABCD中，AB，AC，AD两两互相垂直，则下列结论中，不一定成立的是（）ABCD【答案】C【分析】作出如图的图形，从图形上把各个向量对应的有向线段表示出来，对四个选项进行判别【详解】解：如图，作以为邻边的平行四边形，以为邻边的平行四边形，以为邻边的平行四边形，连接，因为两两互相垂直，所以平行四边形，都为矩形，对于A，因为AB，AC，AD两两互相垂

24、直，且AB，AC，AD相交于同一点，所以平面，所以因为平面，所以，所以，若，则，所以，所以，所以A正确，对于B，因为，四边形为矩形，所以，即，所以B正确，对于C，因为平面，平面，所以，所以，所以，因为与不一定垂直，所以不一定等于零，所以C错误，对于D，因为AB，AC，AD两两互相垂直，且AB，AC，AD相交于同一点，所以平面，平面，平面，平面，平面，平面，所以，所以，所以D正确，故选：C二、多选题7已知为正方体，则下列说法正确的有（）A；B；C与的夹角为；D在面对角线中与直线所成的角为的有8条【答案】ABD【分析】画出图形，利用向量的运算结合正方体的性质逐项判断.【详解】如图所示：A. 由向量

25、的加法运算得，因为 ，所以，故正确；B. 正方体的性质易知，所以，故正确；C. 因为是等边三角形，且 ，所以，则与的夹角为，故错误；D. 由正方体的性质得过的面对角线与直线所成的角都为，这样有4条，然后相对侧面与之平行的对角线还有4条，共8条，故正确；故选：ABD8下列关于空间向量的命题中，正确的是（）A若非零向量，满足，则有B若，是空间的一组基底，且，则 四点共面C任意向量，满足D已知向量，若，则为锐角【答案】ABD【分析】根据向量共线定理判断A；根据判断B；根据数量积的运算律判断C；根据向量夹角公式求解判断D.【详解】解：对于A选项，因为，是非零向量，且满足，故存在实数使得，故，所以，故正

26、确；对于B选项，是空间的一组基底，故三点不共线，所以， 四点共面，故B选项正确；对于C选项，因为，不一定共线，故不一定成立，故C选项错误；对于D选项，当与共线且同向时，有，即，该方程组无解，即与不能共线且同向，故时，为锐角，即时为锐角，故D选项正确.故选：ABD三、填空题9是空间四点，有以下条件：；，能使四点一定共面的条件是_【答案】【分析】利用空间向量共面定理即可判断.【详解】对于，由空间向量共面定理可知四点一定共面，不满足共面定理的条件.故答案为：【点睛】本题考查空间向量共面定理，属于基础题.10已知向量，是三个不共面的非零向量，且，若向量，共面，则_【答案】1【分析】根据向量共面定理设，

27、用待定系数法法解出m、n、【详解】因为向量，共面，所以存在实数m，n，使得，则，则，解得故答案为：111已知在四面体ABCD中，则_【答案】24【分析】由线段的空间关系有，应用向量数量积的运算律及已知条件即可求.【详解】由题设，可得如下四面体示意图，则，又，所以.故答案为：2412如图，在平行六面体中，与交于点，在底面的射影为点，与底面所成的角为，则对角线的长为_【答案】【分析】根据题意可得面，过点作于点，连接，可证明，在直角三角形中根据边角关系可得，可求出，再将两边平方，利用空间向量数量积的运算可求，进而可得的值，即可求解.【详解】连接，由题意可知面，所以即为与底面所成的角，所以，如图过点作

28、于点，连接，因为面，面，所以，因为，所以面，所以，在中，在中，即在中，所以，即，所以，因为，所以，即，同理可得，是的角平分线，所以四边形是菱形，所以，所以，所以，所以，所以，即对角线的长为，故答案为：.四、解答题13空间向量，不共面是否可以推出其中任意两个向量均不平行？【答案】可以【分析】根据空间向量的基底的定义，即可求解.【详解】由题意，空间向量，不共面，可得向量，可以构成一个空间基底，所以其中任意两个向量均不平行.14判断下列点P是否在直线l上：(1)点，直线l经过和两点；(2)点，直线l经过和两点【答案】(1)在l上(2)不在l上【分析】利用向量共线定理判断即可.(1)由题知，易知，所以

29、共线，又因为有公共点P，所以P、A、B三点共线，即点P在直线l上(2)由题知，记，则，显然无解所以不共线，即点P不在直线l上.15如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，点在侧棱上，且（1）求证：平面；（2）设为的中点，求六面体体积【答案】（1）证明见解析；（2）【分析】（1）以点为坐标原点，以，为，轴，建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，以及写出相关的向量的坐标，从而得，由此证明平面；（2）六面体体积为，由此能求出六面体的体积.【详解】（1）如图，以点为坐标原点，以，为，轴，建立空间直角坐标系，则，则，所以，所以，又，所以平面；（2）因为为的中点，所以，点到平面的距离，所以六面体体积为【点睛】本题考查了空间中线面垂直的证明，解答本题关键在于能利用空间向量法，通过求解相关向量，利用向量的数量积计算判断线线垂直，进而得线面垂直.16已知在平行六面体中， BAD=90，BAA=DAA=60，求BD的长【答案】5【分析】利用加减法运算得到，平方，利用数量积运算求得，开方即得所求.【详解】如图所示：，.故答案为：5.