专题强化四 空间几何体外接球和内接球解题技巧-2021-2022学年高一数学【考题透析】满分计划系列（人教A版2019必修第二册）.docx

1、专题强化四：空间几何体外接球和内接球解题技巧技巧归纳1多面体与球接、切问题求解策略(1)截面法：过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系(2)补形法： “补形”成为一个球内接长方体，则利用4R2a2b2c2求解2球的切、接问题的常用结论(1)长、宽、高分别为a，b，c的长方体的体对角线长等于外接球的直径，即2R.(2)若直棱柱(或有一条棱垂直于一个面的棱锥)的高为h，底面外接圆半径为x，则该几何体外接球半径R满足R2x2.(3)外接球的球心在几何体底面上的投影，即为底面外接圆的圆心(4)球(半径为R)与正方体(棱长为a)有以下三种特殊情形：

2、一是球内切于正方体，此时2Ra；二是球与正方体的十二条棱相切，此时2Ra；三是球外接于正方体，此时2Ra.专题训练一、单选题1正方体的外接球与内切球的表面积之比是（）AB3CD2体积为的正方体的顶点都在同一个球面上，则该球的体积为（）ABCD3我国古代数学名著九章算术中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马如图，四棱锥是阳马，PA=5，AB=3，BC=4，则该阳马的外接球的表面积为（）AB50C100D4如图，在四棱锥中，平面，直线与平面成角则四面体外接球的体积为（）ABCD5过球面上三点的截面和球心的距离是球半径的一半，且则球的体积为（）ABCD6已知是边长为3的等边三角形，三棱锥

3、全部顶点都在表面积为的球O的球面上，则三棱锥的体积的最大值为（）ABCD7一个圆锥的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的内切球的表面积和圆锥的侧面积的比为（）ABCD8正三棱锥的底面是面积为的正三角形，高为，则其内切球的表面积为（）ABCD9已知平面四边形ABCD中，现沿BD进行翻折，使得A到达的位置，连接，此时二面角为150，则四面体外接球的半径为（）ABCD10现有一个侧面展开图为半圆形的圆锥，其内部放有一个小球，当小球体积最大时，该圆锥与小球的体积之比是（）ABCD11某几何体三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为（）ABCD12已知三棱锥中，是边长为2的等边三角形，且平面平面BCD，该

4、三棱锥外接球的表面积为()ABCD13在正方体中，O为底面的中心，E为的中点，若该正方体的棱长为2，则下列结论正确的是（）A平面BDEB平面C平面平面D三棱锥的外接球体积为14已知正方体的棱长为1，以顶点为球心，为半径作一个球，则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于（）ABCD15如图，蹴鞠，又名“蹋鞠”、“蹴球”、“蹴圆”、“筑球”、“踢圆”等，“跳”有用脚蹴、蹋、踢的含义，“鞠”最早系皮革外包、内实米糠的球.因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、蹋、踢皮球的活动，类似今日的足球.2006年5月20日，蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家级非物质文化遗产名录.若将“鞠”的表面视为

5、光滑的球面，已知某“鞠”表面上的四个点A，B，C，D满足cm，cm，cm，则该“鞠”的表面积为（）Acm2B24cm2C27cm2D29cm216已知圆锥的母线长为，侧面展开图的圆心角为，则该圆锥外接球的表面积 为（）AB24CD17如图，在正四棱台中，若半径为的球与该正四棱台的各个面均相切，该球的表面积（）ABCD二、填空题18半径为的球面上有，四点，且直线，两两垂直，若，的面积之和为72，则此球体积的最小值为_19用半径为1的半圆形纸板卷成一个圆锥筒，则该圆锥筒内切球的体积是_.20如图所示的多面体是由一个正方体沿着各棱的中点截去八个三棱锥后剩下的部分，这个多面体的各棱长均为2，则该多面体

6、外接球的表面积为_.21九章算术是我国古代数学名著，书中记载的鳖臑是四个面均为直角三角形的四面体如图所示的为一个鳖臑的正视图和侧视图，已知为直角三角形，且D为BC的中点，为等腰直角三角形，若此鳖臑的体积为，则其外接球的体积为_22已知直四棱柱的所有顶点都在球的球面上，直四棱柱的体积为，则球的半径为_.23在我国古代的数学名著九章算术中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵；将底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马；将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑如图，在堑堵中，鳖臑的体积为，若，则阳马外接球的表面积为_24已知点M，N，P，Q在同一个球面上，若四面体MNPQ体积的最

7、大值为10，则这个球的表面积为_.25我国古代数学名著九章算术把上下两个面平行且均为矩形的六面体称为刍童，已知刍童ABCD中四边形四边形及四边形都是正方形，则刍童ABCD外接球的表面积为_.26如图，在四棱锥中，ABCD为矩形，平面ABCD，点M在AD上，当取得最小值时，则此时四棱锥的外接球面积为_27如图，等腰与矩形所在平面垂直，且，则四棱锥的外接球的表面积为_28已知长方体，点P为空间一点，满足，则四棱锥的外接球的表面积为_参考答案：1B【详解】设正方体的棱长为，则其外接球的半径为，内切球的半径为，所以正方体的外接球与内切球的表面积之比是.故选：B2C【详解】设正方体的棱长为，则该正方体的

8、体积为，该正方体外接球的直径为，所以，所以，该球的体积为.故选：C.3B【解析】【分析】连接AC，BD，交于，取PC中点O，连接，则可证明平面ABCD，即O为该四棱锥的外接球的球心，在中，求得PC的值，进而可求得外接球半径R，代入公式，即可求得答案.【详解】连接AC，BD，交于，取PC中点O，连接，如图所示因为分别为PC，AC的中点，所以，又平面ABCD，所以平面ABCD，所以O到A,B,C,D的距离都相等，又，所以O为该四棱锥的外接球的球心，在中，所以，所以该四棱锥的外接球的半径，所以该阳马的外接球的表面积.故选：B4C【解析】【分析】根据题中线面位置关系，可以确定四面体的外接球球心为线段的

9、中点，再根据题中的数据求解出外接球的半径，最后根据球的体积公式计算体积，即可求解.【详解】由题意，在四棱锥中，平面，可得即为直线与平面所成的角，所以，所以为等腰直角三角形，故，在中，可得，又由，可得，所以，可得，取的中点，可得，即外接球的半径为，所以四面体外接球的体积为.故选：C.5D【解析】【分析】由，求得的外接圆半径为，再由，求得球的半径，即可求解球的体积【详解】因为，所以的外接圆半径为设球半径为，则，所以，故选：D6C【解析】【分析】求出球心到底面ABC的距离和球的半径，从而确定三棱锥的高的最大值为3，利用椎体体积公式求出体积的最大值.【详解】球O的半径为R，则，解得：，由已知可得：，其

10、中球心O到平面ABC的距离为，故三棱锥的高的最大值为3，体积最大值为故选：C7A【解析】【分析】设圆锥的底面半径为，母线长为，圆锥的高为，内切球的半径为，则由题意可得，从而可求得，作出轴截面如图，利用与相似可求出，从而可求出圆锥的内切球的表面积和圆锥的侧面积的比【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为，圆锥的高为，内切球的半径为，其轴截面如图所示，设为内切球球心，因为圆锥的侧面展开图是一个半圆，所以，得，即，所以，所以，因为，所以,所以，得，所以圆锥的内切球的表面积和圆锥的侧面积的比为，故选：A8D【解析】【分析】利用等体积法来求内切球半径，可先画出正三棱锥的图形，由底面积和高可得正三棱锥体积，根

11、据正三角形性质可知边长，结合高可得侧面三角形的高，即可得到正三棱锥表面积，再由得到，进而求解.【详解】如图，为底面正三角形的中心，平面，则正三棱锥的体积为，延长交于，则为的中点，所以，则，所以，所以，所以正三棱锥的表面积为，设内切球半径为，则，即，解得，所以内切球的表面积为，故选：D9C【解析】【分析】取BD的中点E，连接，依题意可得即为二面角的平面角且，即可外接圆的圆心为，设外接圆的圆心为，过点，分别作平面，平面的垂线，交于点，则即为四面体外接球的球心，再利用勾股定理求出外接球的半径即可.【详解】解：取BD的中点E，连接，因为即，所以，即为二面角的平面角，且，所以外接圆的圆心为，设外接圆的圆

12、心为，则，过点，分别作平面，平面的垂线，交于点，则即为四面体外接球的球心.因为二面角的平面角为，即，则.在中，连接，则即为外接球的半径，则，即，故选：C.10A【解析】【分析】根据圆锥侧面展开图为半圆，求得母线与底面半径的关系，利用当小球是圆锥的内切球时，小球体积最大，求得小球的半径，可得答案.【详解】由圆锥侧面展开图为半圆，设圆锥母线为l，底面半径为R，则，所以，可知圆锥轴截面为正三角形，圆锥高为 ,又由当小球是圆锥的内切球时，小球体积最大，轴截面如图示：设此时小球半径为r，则有 ，即，故，所以，故选：A11C【解析】【分析】画出该几何体的直观图后，再去求该几何体外接球的半径，进而求得外接球

13、的表面积.【详解】依据题给三视图，可得该几何体直观图如下设M为BD中点，则，平面平面由，可知为直角三角形，又由平面平面，可知三棱锥外接球球心位于直线上，设三棱锥外接球半径为R，则，解之得则三棱锥外接球的表面积为故选：C12B【解析】【分析】可将三棱锥DABC补为正三棱柱，根据正三棱柱外接球求法即可得结果【详解】如图，根据几何关系，可将三棱锥DABC补为正三棱柱ABCEFD，则三棱锥的外接球为该正三棱柱的外接球，设、分别为该正三棱柱上、下底面外接圆圆心，则外接球球心为中点O，根据正弦定理得等边三角形EFD外接圆半径，则外接球半径，则外接球表面积为故选：B13B【解析】【分析】作图，由可判断A；根

14、据为等腰三角形和勾股定理可证明平面，然后可判断B；由平面可判断C；由墙脚型可补形成长方体可得外接球半径，然后可判断D.【详解】解：如图，对于A选项，易知从而平面BDE，所以OC不可能与平面BDE平行，故A选项错误；对于B选项，易知，所以又，故，所以平面而，所以平面，故B选项正确；对于C选项，易知平面，而AD与平面BDE相交，所以平面BDE不可能与平面垂直，故C选项错误；对于D选项，设三棱锥的外接球半径为R，则，从而，所以，故D选项错误故选：B14A【解析】【分析】球面与正方体的六个面都相交，所得的交线分为两类：一类在顶点A所在的三个面上；另一类在不过顶点A的三个面上，且均为圆弧，分别求其长度可

15、得结果.【详解】如图，球面与正方体的六个面都相交，所得的交线分为两类：一类在顶点A所在的三个面上，即面面和面上；另一类在不过顶点A的三个面上，即面、面和面上.在面上，交线为弧且在过球心A的大圆上，因为，则,同理，所以，故弧EF的长为，而这样的弧共有三条.在面上，交线为弧FG且在距球心为1的平面与球面相交所得的小圆上，此时，小圆的圆心为B，半径为,，所以弧FG的长为,这样的弧也有三条.于是，所得的曲线长为故选：A.15D【解析】【分析】由于，所以可以把四点放到长方体的四个顶点上，则该长方体的体对角线就是“鞠”的直径，求出体对角线长，从而可求出该“鞠”的表面积【详解】因为“鞠”表面上的四个点A，B

16、，C，D满足cm，cm，cm，所以可以把四点放到长方体的四个顶点上，则该长方体的体对角线就是“鞠”的直径，设该长方体的长、宽、高分别为，“鞠”的半径为，则，由题意得,所以，即，所以该“鞠”的表面积为，故选：D16C【解析】【分析】由圆锥侧面展开图的圆心角可构造方程求得圆锥底面半径，在中，利用勾股定理可构造关于圆锥外接球半径的方程，解方程求得，根据球的表面积公式即可求得结果.【详解】设圆锥的底面半径为，由题意得：，解得：.如图，是圆锥的一条母线，由圆锥的性质知其外接球的球心在上，连接，设圆锥的外接球的半径为，则，则，即，解得：，圆锥的外接球的表面积为.故选：C.17C【解析】【分析】作正棱台的轴

17、截面.设内切球的半径为，利用勾股定理得到，解得，从而可求出该球的表面积.【详解】如图，作该正棱台的轴截面.其中E，F，M，N分别是AB，CD，的中点，H，K是MN，EF的中点，G是内切球的球心，H，K是内切球和上、下底面的切点，Q是内切球和侧面的切点，内切球的半径为，由正棱台的结构可以得到，易得，且，所以，即，解得，从而可知该球的表面积.故选：C.18【解析】【分析】设，则有，以、为邻边可构造一个长方体，此时可知，然后由可得答案.【详解】设，则有，以、为邻边可构造一个长方体，此时可知由可得所以，即，当且仅当时等号成立，此球体积的最小值为故答案为：19【解析】【分析】根据题意得圆锥的母线长是1，

18、根据半圆的弧长等于圆锥底面周长，得到圆锥底面的半径，再利用轴截面的性质，结合三角形的面积等于三角形的周长乘以三角形内切圆半径的一半，求得圆锥内切球的半径，利用球的体积公式求得结果.【详解】圆锥筒的母线长是1.设圆锥筒的底面半径是，内切球的半径是，则，.由，.故该圆锥筒内切球的体积是，故答案为：.20【解析】【分析】把该多面体补形为正方体，则正方体的棱长为，正方体的中心即为多面体的外接球球心，求得球心到多面体顶点的距离即为所求外接球的半径，由球体的表面积公式可求得答案.【详解】解：把该多面体补形为正方体，如下图所示，则正方体的棱长为，正方体的中心即为多面体的外接球球心，球心到多面体顶点的距离为，

19、所求外接球的半径，其表面积.故答案为：.21【解析】【分析】先画出鳖臑的直观图，再依据该直观图的结构特征求得其外接球的半径，进而求得其外接球的体积.【详解】由正视图和侧视图可知该鳖臑的直观图如图所示，Q为ON的中点，平面OMN设，则，所以该鳖臑的体积为由，得因为其外接球的直径为，所以外接球的体积为故答案为：22【解析】【分析】首先利用余弦定理求出，从而得到，即可求出底面四边形的面积，再根据柱体的体积公式求出直四棱柱的高，再求出底面四边形外接圆的半径，最后根据外接球的半径计算可得；【详解】解： 如图，因为，由余弦定理可得，因为，所以，由于，四点共圆，所以，又可知为等边三角形，则.而直四棱柱的体积

20、为，故直四棱柱的高.又四边形外接圆半径，故球的半径为.故答案为：23【解析】【分析】阳马(四棱锥)所在的三棱柱为直三棱柱，则两个几何体的外接球是同一个球，则求直三棱柱外接球半径即可.由等体积法得出三棱锥的体积为2，并由此求出直三棱柱的高，根据几何关系找到外接球球心，求出外接球半径即可求其表面积【详解】阳马(四棱锥)所在的三棱柱为直三棱柱，则两个几何体的外接球是同一个球由于三棱锥与三棱锥等底同高，这两个三棱锥的体积相等，即三棱锥的体积为2，的面积为，如图，分别为直三棱柱上下底面外接圆圆心，则中点O为外接球球心，OB即为外接球半径R，Rt的外接圆半径为，则，阳马外接球的表面积为故答案为：24【解析

21、】【分析】由三个边长可知，垂直，可知球心的位置在过中点与面垂直的直线上，作出图形，利用直角三角形得到关于半径的方程，即可得解【详解】设四面体外接球半径为 ,由题意，故 ,故，则球心在过中点与面垂直的直线上，当四面体MNPQ体积的最大值时，可知其高恰好过球心，如图：由四面体的最大体积为10，即 ,可得，在中，得，该球的表面积为：，故答案为：25【解析】【分析】先判断出球心的位置，然后计算出球的半径，从而求得球的表面积.【详解】取AD中点E，BC中点F，设是的中点，在梯形中，由于是的中点，所以，所以，所以是等边三角形，所以是梯形外接圆的圆心，同理可证得是梯形外接圆的圆心.刍童可看作直四棱柱，四边形

22、与四边形外接圆圆心连线的中点就是刍童ABCD外接球的球心，所以EF中点O就是刍童ABCD外接球的球心，该球半径，所以刍童ABCD外接球的表面积故答案为：26【解析】【分析】由取得最小值时，可设，利用几何关系求得，由,即可求出，此时将四棱锥补成长方体即可求出其外接球的半径，最后可求出外接球的表面积.【详解】将平面翻折使平面与平面共面，如下图所示连接交于点,此时取得最小值，由，可知，设，由，可知,即，则，又，即，解得，设四棱锥的外接球为,即,解得,故,故答案为：.27【解析】【分析】连接，交于点，取的中点，连接，则由已知可得平面，连接，然后利用已知条件可求出，从而可得点为四棱锥的外接球的球心，从而可求出其表面积【详解】连接，交于点，取的中点，连接，因为，所以，因为等腰与矩形所在平面垂直，平面平面，所以平面，连接，则因为等腰和矩形中，所以，所以，所以，所以，所以点为四棱锥的外接球的球心，则球的半径为所以四棱锥的外接球的表面积为，故答案为：28【解析】【分析】先由和判断出点为和的交点，连接，其交点为，进而得到球心在上，由勾股定理求出半径，即可求解.【详解】取的中点，的中点，连接，由得即，所以，故点在直线上，由，所以点在直线上，故点为和的交点，易知点为和的中点，连接，其交点为，连接，则，设四棱锥的外接球球心为，则在上，设球的半径为，则，解得.故球的表面积为.故答案为：.