中考数学专题讲练 旋转(解析版).docx

1、旋转一半角模型“半角”旋转模型，经常会出现在等腰直角三角形、正方形中，在一般的等腰三角形中也会有涉及二等腰三角形旋转模型等腰三角形的旋转模型比较多，此模型需要注意的是利用“全等三角形”的性质进行边与角的转化，证明的基本思想“”1一般等腰三角形的旋转2等边三角形的旋转3等腰直角三角形的旋转三对角互补模型四边形对角互补模型多数题目给出的条件会以四边形或三角形等旋转为载体四旋转相似模型共顶点相似的一般三角形模型：如图，图中，得到，则有 一考点：1旋转全等模型；2旋转相似模型；3旋转中的轨迹与最值问题；二重难点：1这类题的关键是找到题目中所给的特殊条件，结合问题所要证明或者求解的边长角度问题，再去选择

2、是要构造旋转全等还是通过已经得到的旋转全等的性质进一步证明 2观察图形发现旋转得到的相似；3通过添加辅助线构造旋转相似或者去挖掘隐含的相似图形 三易错点：1在利用旋转构造全等的时候注意辅助线的做法问题；2构造旋转全等时候一定要有相等边长的条件3全等是相似的一个特例，旋转有时候也会出现全等，注意和旋转全等的区别和联系题模一：旋转与全等例1.1.1 已知四边形ABCD中，AB=BC，ABC=120，MBN=60，MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD，DC（或它们的延长线）于E，F当MBN绕B点旋转到AE=CF时（如图1），易证AE+CF=EF；当MBN绕B点旋转到AECF时，在图2和图3这两种情况

3、下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE，CF，EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明【答案】 图2成立，证明见解析，图3不成立，图3中AE、CF、EF的关系是AECF=EF【解析】 ABAD，BCCD，AB=BC，AE=CF，在ABE和CBF中，ABECBF（SAS）；ABE=CBF，BE=BF；ABC=120，MBN=60，ABE=CBF=30，AE=BE，CF=BF；MBN=60，BE=BF，BEF为等边三角形；AE+CF=BE+BF=BE=EF；图2成立，图3不成立证明图2延长DC至点K，使CK=AE，连接BK，在BAE和BCK中，则BAEBCK，BE=B

4、K，ABE=KBC，FBE=60，ABC=120，FBC+ABE=60，FBC+KBC=60，KBF=FBE=60，在KBF和EBF中，KBFEBF，KF=EF，KC+CF=EF，即AE+CF=EF图3不成立，AE、CF、EF的关系是AECF=EF例1.1.2 （1）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，B=D=90，E、F分别是边BC、CD上的点，且EAF=BAD求证：EF=BE+FD；（2）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，B+D=180，E、F分别是边BC、CD上的点，且EAF=BAD，（1）中的结论是否仍然成立？（3）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，B+ADC=180，E、F

5、分别是边BC、CD延长线上的点，且EAF=BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明【答案】 （1）证明见解析（2）成立（3）EF=BEFD【解析】 （1）延长EB到G，使BG=DF，连接AGABG=ABC=D=90，AB=AD，ABGADFAG=AF，1=21+3=2+3=EAF=BADGAE=EAF又AE=AE，AEGAEFEG=EFEG=BE+BGEF=BE+FD（2）（1）中的结论EF=BE+FD仍然成立（3）结论EF=BE+FD不成立，应当是EF=BEFD证明：在BE上截取BG，使BG=DF，连接AGB+ADC=180，ADF+AD

6、C=180，B=ADFAB=AD，ABGADFBAG=DAF，AG=AFBAG+EAD=DAF+EAD=EAF=BADGAE=EAFAE=AE，AEGAEFEG=EFEG=BEBGEF=BEFD例1.1.3 如图，已知BAD和BCE均为等腰直角三角形，BAD=BCE=90，点M为DE的中点，过点E与AD平行的直线交射线AM于点N（1）当A，B，C三点在同一直线上时（如图1），求证：M为AN的中点；（2）将图1中的BCE绕点B旋转，当A，B，E三点在同一直线上时（如图2），求证：ACN为等腰直角三角形；（3）将图1中BCE绕点B旋转到图3位置时，（2）中的结论是否仍成立？若成立，试证明之，若不成

7、立，请说明理由【答案】 （1）见解析（2）见解析（3）ACN仍为等腰直角三角形【解析】 （1）证明：如图1，ENAD，MAD=MNE，ADM=NEM点M为DE的中点，DM=EM在ADM和NEM中，ADMNEMAM=MNM为AN的中点（2）证明：如图2，BAD和BCE均为等腰直角三角形，AB=AD，CB=CE，CBE=CEB=45ADNE，DAE+NEA=180DAE=90，NEA=90NEC=135A，B，E三点在同一直线上，ABC=180CBE=135ABC=NECADMNEM（已证），AD=NEAD=AB，AB=NE在ABC和NEC中，ABCNECAC=NC，ACB=NCEACN=BCE=

8、90ACN为等腰直角三角形（3）ACN仍为等腰直角三角形证明：如图3，延长AB交NE于点F，ADNE，M为中点，易得ADMNEM，AD=NEAD=AB，AB=NEADNE，AFNE，在四边形BCEF中，BCE=BFE=90FBC+FEC=360180=180FBC+ABC=180ABC=FEC在ABC和NEC中，ABCNECAC=NC，ACB=NCEACN=BCE=90ACN为等腰直角三角形例1.1.4 如图，AEF中，EAF=45，AGEF于点G，现将AEG沿AE折叠得到AEB，将AFG沿AF折叠得到AFD，延长BE和DF相交于点C（1）求证：四边形ABCD是正方形；（2）连接BD分别交AE

9、、AF于点M、N，将ABM绕点A逆时针旋转，使AB与AD重合，得到ADH，试判断线段MN、ND、DH之间的数量关系，并说明理由（3）若EG=4，GF=6，BM=3，求AG、MN的长【答案】 （1）见解析（2）MN2=ND2+DH2；理由见解析（3）AG=12；MN=5【解析】 （1）证明：AEB由AED翻折而成，ABE=AGE=90，BAE=EAG，AB=AG，AFD由AFG翻折而成，ADF=AGF=90，DAF=FAG，AD=AG，EAG+FAG=EAF=45，ABE=AGE=BAD=ADC=90，四边形ABCD是矩形，AB=AD，四边形ABCD是正方形；（2）MN2=ND2+DH2，理由：

10、连接NH，ADH由ABM旋转而成，ABMADH，AM=AH，BM=DH，由（1）BAD=90，AB=AD，ADH=ABD=45，NDH=90，AMNAHN，MN=NH，MN2=ND2+DH2；（3）设AG=BC=x，则EC=x4，CF=x6，在RtECF中，CE2+CF2=EF2，即（x4）2+（x6）2=100，x1=12，x2=2（舍去）AG=12，AG=AB=AD=12，BAD=90，BD=12，BM=3，MD=BDBM=123=9，设NH=y，在RtNHD中，NH2=ND2+DH2，即y2=（9y）2+（3）2，解得y=5，即MN=5题模二：旋转与相似例1.2.1 如图1，点P在正方形

11、ABCD的对角线AC上，正方形的边长是a，RtPEF的两条直角边PE、PF分别交BC、DC于点M、N（1）操作发现：如图2，固定点P，使PEF绕点P旋转，当PMBC时，四边形PMCN是正方形填空：当AP=2PC时，四边形PMCN的边长是_；当AP=nPC时（n是正实数），四边形PMCN的面积是_（2）猜想论证如图3，改变四边形ABCD的形状为矩形，AB=a，BC=b，点P在矩形ABCD的对角线AC上，RtPEF的两条直角边PE、PF分别交BC、DC于点M、N，固定点P，使PEF绕点P旋转，则=_（3）拓展探究如图4，当四边形ABCD满足条件：B+D=180，EPF=BAD时，点P在AC上，PE

12、、PF分别交BC，CD于M、N点，固定P点，使PEF绕点P旋转，请探究的值，并说明理由【答案】 （1）a（2）（3）见解析【解析】 （1）如图2，PMBC，ABBCPMCABC又AP=2PC=，即=PM=a，即正方形PMCN的边长是a当AP=nPC时（n是正实数），=PM=a四边形PMCN的面积=（a）2=（2）如图3，过P作PGBC于G，作PHCD于H，则PGM=PHN=90，GPH=90RtPEF中，FPE=90GPM=HPNPGMPHN由PGAB，PHAD可得，AB=a，BC=b，即=（3）如图4，过P作PGAB，交BC于G，作PHAD，交CD于H，则HPG=DABEPF=BADEPF=

13、GPH，即EPH+HPN=EPH+GPMHPN=GPMB+D=180PGC+PHC=180又PHN+PHC=180PGC=PHNPGMPHN由PGAB，PHAD可得，即由可得，=例1.2.2 数学活动课上，小颖同学用两块完全一样的透明等腰直角三角板ABC、DEF进行探究活动操作：使点D落在线段AB的中点处并使DF过点C（如图1），然后将其绕点D顺时针旋转，直至点E落在AC的延长线上时结束操作，在此过程中，线段DE与AC或其延长线交于点K，线段BC与DF相交于点G（如图2，3）探究1：在图2中，求证：ADKBGD探究2：在图2中，求证：KD平分AKG探究3：在图3中，KD仍平分AKG吗？若平分，

14、请加以证明；若不平分，请说明理由 在以上操作过程中，若设AC=BC=8，KG=x，DKG的面积为y，请求出y与x的函数关系式，并直接写出x的取值范围【答案】 探究1：见解析；探究2：见解析；探究3：KD仍平分AKGy=2x，其中【解析】 探究1，KAD=KDG=DBG=45，KDA+BDG=135BDG+BGD=135，KDA=BGD，ADKBGD；探究2，ADKBGD，点D是线段AB的中点，BD=AD，KAD=KDG=45，ADKDCK，AKD=DKC，KD平分AKG探究3，KD仍平分AKG理由如下：同探究1可得ADKBGD，同探究2可得，ADKDGK，AKD=DKG，KD仍平分AKG；如图

15、，过点D作DMAC于点M，DNKG于点N，由知线段KD平分AKG，DM=DNAC=BC=8，点D是线段AB的中点，KAD=45，DM=DN=4KG=x，SDKG=y=4x=2x，对于图3的情况同理可得y=2x，综上所示，y=2x，其中4x88题模三：旋转中的轨迹与最值问题例1.3.1 如图，点P是平行四边形ABCD对角线BD上的动点，点M为AD的中点，已知AD=8，AB=10，ABD=45，把平行四边形ABCD绕着点A按逆时针方向旋转，点P的对应点是点Q，则线段MQ的长度的最大值与最小值的差为【答案】 185【解析】 如图，作AP1BD垂足为P1，DBA=45，AB=10，P1AB=DBA=4

16、5，AP1=P1B=5，AM=MD=AD=4，当AP1旋转到与射线AD的重合时（点P1与点E重合），ME就是MQ最小值=54，当点P2与B重合时，旋转到与DA的延长线重合时（点P2与点F重合），此时MF就是MQ最大值=AM+AF=14，MQ的最大值与最小值的差=14（54）=185故答案为185例1.3.2 如图，菱形ABCD中，AB=2，C=60，我们把菱形ABCD的对称中心O称作菱形的中心菱形ABCD在直线l上向右作无滑动的翻滚，每绕着一个顶点旋转60叫一次操作，则经过1次这样的操作菱形中心O所经过的路径长为_；经过3n（n为正整数）次这样的操作菱形中心O所经过的路径总长为_（结果都保留）

17、【答案】 ，n【解析】 菱形ABCD中，AB=2，C=60，ABD是等边三角形，BO=DO=1，AO=，第一次旋转的弧长=，第一、二次旋转的弧长和=，第三次旋转的弧长为：3n3=n，故经过3n（n为正整数）次这样的操作菱形中心O所经过的路径总长为：n（+）=n例1.3.3 如图1，点为正方形的中心（1）将线段绕点逆时针方向旋转，点的对应点为点，连结，请依题意补全图1；（2）根据图1中补全的图形，猜想并证明与的关系；（3）如图2，点是中点，是等腰直角三角形，是的中点，绕点逆时针方向旋转角度，请直接写出旋转过程中的最大值【答案】 （1）见解析（2）（3）【解析】 （1）正确画出图形；1分（2）延长

18、交于点，交于点2分为正方形的中心，903分绕点逆时针旋转90角得到904分在和中，.5分+=906分（3）的最大值为8分随练1.1 在中，BD为斜边AC上的中线，将绕点D顺时针旋转()得到，其中点A的对应点为点E，点B的对应点为点F，BE与FC相交于点H.（1）如图1，直接写出BE与FC的数量关系：_;（2）如图2，M、N分别为EF、BC的中点.求证：_;（3）连接BF，CE，如图3，直接写出在此旋转过程中，线段BF、CE与AC之间的数量关系：_.【答案】 （1）；（2）；（3）.【解析】 （1）；（2）证明：如图，为斜边中线，是由旋转得到的，即，且又， ,即连接，取中点，连接、.M为EF中点

19、，G为BF中点，N为BC中点又，为等腰直角三角形，.（3）.随练1.2 在菱形ABCD中，把一个含60角的三角板与这个菱形叠合，使三角板的60角的顶点与点A重合，两边分别落在AB、AC上将三角板绕点A按逆时针旋转，设旋转角为（1）如图，当时，三角板的两边分别与菱形的两边BC、CD相交于点E、F，请你通过观察或测量写出图中现有的两组相等线段(菱形的边和对角线除外)（2）如图，当时，三角板的两边分别与BC、CD的延长线相交于点E、F，你在(1)中得到的结论还成立吗?若成立，请你选择一组加以证明；若不成立，请你说明理由（3）当时，三角板的两边分别与菱形的两边BC、CD相交于点E、F，请你求出这个三角

20、板与这个菱形重合部分的面积【答案】 见解析【解析】 （1），写出两组即可（2）（1）中的结论仍然成立如图，的结论仍然成立证明如下：在菱形ABCD中，又由题意可知，在BAE和CAF中，BAECAF（3）当时，三角板与这个菱形重合部分的面积就是四边形AECF的面积由题意可证BAECAF四边形AECF的面积就是ABC的面积，所求图形的面积为平方单位随练1.3 如图1所示，在正方形ABCD和正方形CGEF中，点B、C、G在同一条直线上，M是线段AE的中点，DM的延长线交EF于点N，连接FM，易证：DM=FM，DMFM（无需写证明过程）（1）如图2，当点B、C、F在同一条直线上，DM的延长线交EG于点N

21、，其余条件不变，试探究线段DM与FM有怎样的关系？请写出猜想，并给予证明；（2）如图3，当点E、B、C在同一条直线上，DM的延长线交CE的延长线于点N，其余条件不变，探究线段DM与FM有怎样的关系？请直接写出猜想【答案】 （1）DM=FM，DMFM（2）DMFM，DM=FM【解析】 （1）如图2，DM=FM，DMFM，证明：连接DF，NF，四边形ABCD和CGEF是正方形，ADBC，BCGE，ADGE，DAM=NEM，M是AE的中点，AM=EM，在MAD与MEN中，MADMEN，DM=MN，AD=EN，AD=CD，CD=NE，CF=EF，DCF=DCB=90，在DCF与NEF中，DCFNEF，

22、DF=NF，CFD=EFN，EFN+NFC=90，DFC+CFN=90，DFN=90，DMFM，DM=FM（2）猜想：DMFM，DM=FM，证明如下：如图3，连接DF，NF，连接DF，NF，四边形ABCD是正方形，ADBC，点E、B、C在同一条直线上，ADCN，ADN=MNE，在MAD与MEN中，MADMEN，DM=MN，AD=EN，AD=CD，CD=NE，CF=EF，DCF=90+45=135，NEF=18045=135，DCF=NEF，在DCF与NEF中，MADMEN，DF=NF，CFD=EFN，CFD+EFD=90，NFE+EFD=90，DFN=90，DMFM，DM=FM随练1.4 已知

23、：在中，点为边的中点，点在上，连结并延长到点,使，点在线段上，且（1）如图，当时，求证：；（2）如图，当时，则线段之间的数量关系为_；（3）在（2）的条件下，延长到，使，连接，若，求的值【答案】 （1）见解析（2）（3）【解析】 该题考查的是四边形综合（1）如图，连结又即ABEDBM（2）与（1）类似可知DBMABE，又，（3）如图2连结AD、EP，ABEDBM又BEP等边三角形即在RtAEB中，的值为随练1.5 在等边的两边，所在直线上分别有两点为外一点，且，探究：当点分别在直线上移动时，之间的数量关系及的周长与等边的周长的关系（1）如图，当点在边上，且时，之间的数量关系式_；此时_（2）如

24、图，当点在边上，且时，猜想（1）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；（3）如图，当点分别在边的延长线上时，若，则_（用表示）【答案】 见解析【解析】 ()BM、NC、MN之间的数量关系此时()猜想：结论仍然成立证明：如图，延长AC至E，使，连结DE，且又ABC是等边三角形，在MBD与ECD中，MBDECD(SAS)，在MDN与EDN中，MDNEDN(SAS)AMN的周长而等边ABC的周长()如图，当M、N分别在AB、CA的延长线上时，若，则（用x、L表示）随练1.6 （1）正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，如图1，请直接猜想并写出AO与CD之间的数量关系：；（2）如图2，

25、将（1）中的BOC绕点B逆时针旋转得到BO1C1，连接AO1，DC1，请猜想线段AO1与DC1的数量关系，并证明你的猜想；（3）如图3，矩形ABCD和RtBEF有公共顶点，且BEF=90，EBF=ABD=30，则=_【答案】 （1）AO=CD理由如下：四边形ABCD为正方形，AO=OC=OD，ODC=OCD=45，DOC=90，AO=CO=CD，故答案为AO=CD；（2）四边形ABCD为正方形，AB=BC，AC=BD，OB=OC，OBC=ABO=45，BOC=90，ABC和OBC都是等腰直角三角形，BOC绕点B逆时针方向旋转得到BO1C1，O1BC1=OBC=45，OB=O1B，BC1=BC，

26、BC1=BO1，1+3=45，2+3=45，1=2，BDC1BAO1，（3）在RtEBF中，cosEBF=在RtABD中，cosABD=，EBF=ABD=30，EBF+FBA=ABD+FBA，即EBA=FBD，AEBFBD，故答案为【解析】 （1）根据正方形的性质得AO=OC=OD，ODC=OCD=45，DOC=90，由勾股定理得到AO与CD之间的数量关系；（2）如图2根据正方形的性质得AB=BC，AC=BD，OB=OC，OBC=ABO=45，BOC=90，得到ABC和OBC都是等腰直角三角形，求出AC=ABBC=BO，得到BD=AB，因为BOC绕点B逆时针方向旋转得到BO1C1，所以O1BC

27、1=OBC=45，OB=O1B，BC1=BC，BC1=BO1，由1+3=45，2+3=45，得到1=2，于是得到BDC1BAO1，求出结论；（3）如图3在RtABD中，cosABD=，在RtEBF中，cosEBF=因为EBF=ABD=30得到=，再由EBF+FBA=ABD+FBA，得到EBA=FBD，AEBFBD，由相似的性质得到解解：（1）AO=CD理由如下：如图1，四边形ABCD为正方形，AO=OC=OD，ODC=OCD=45，DOC=90，AO=CO=CD，故答案为AO=CD；（2）如图2，四边形ABCD为正方形，AB=BC，AC=BD，OB=OC，OBC=ABO=45，BOC=90，A

28、BC和OBC都是等腰直角三角形，BOC绕点B逆时针方向旋转得到BO1C1，O1BC1=OBC=45，OB=O1B，BC1=BC，BC1=BO1，1+3=45，2+3=45，1=2，BDC1BAO1，（3）如图3 在RtEBF中，cosEBF=在RtABD中，cosABD=，EBF=ABD=30，EBF+FBA=ABD+FBA，即EBA=FBD，AEBFBD，故答案为随练1.7 如图，正方形OABC的边长为2，以O为圆心，EF为直径的半圆经过点A，连接AE，CF相交于点P，将正方形OABC从OA与OF重合的位置开始，绕着点O逆时针旋转90，交点P运动的路径长是_【答案】 【解析】 如图点P运动的

29、路径是以G为圆心的弧 ，在G上取一点H，连接EH、FH四边形AOCB是正方形，AOC=90，AFP=AOC=45，EF是O直径，EAF=90，APF=AFP=45，H=APF=45，EGF=2H=90，EF=4，GE=GF，EG=GF=2 ，的长= =随练1.8 已知ABC是等腰直角三角形，AC=BC=2，D是边AB上一动点（A、B两点除外），将CAD绕点C按逆时针方向旋转角得到CEF，其中点E是点A的对应点，点F是点D的对应点（1）如图1，当=90时，G是边AB上一点，且BG=AD，连接GF求证：GFAC；（2）如图2，当90180时，AE与DF相交于点M当点M与点C、D不重合时，连接CM，

30、求CMD的度数；设D为边AB的中点，当从90变化到180时，求点M运动的路径长【答案】 （1）见解析；（2）CMD=135 【解析】 （1）如图1中，CA=CB，ACB=90，A=ABC=45，CEF是由CAD旋转逆时针得到，=90，CB与CE重合，CBE=A=45，ABF=ABC+CBF=90，BG=AD=BF，BGF=BFG=45，A=BGF=45，GFAC（2）如图2中，CA=CE，CD=CF，CAE=CEA，CDF=CFD，ACD=ECF，ACE=CDF，2CAE+ACE=180，2CDF+DCF=180，CAE=CDF，A、D、M、C四点共圆，CMF=CAD=45，CMD=180CM

31、F=135如图3中，O是AC中点，连接OD、CMAD=DB，CA=CB，CDAB，ADC=90，由可知A、D、M、C四点共圆，当从90变化到180时，点M在以AC为直径的O上，运动路径是弧CD，OA=OC，CD=DA，DOAC，DOC=90，的长=当从90变化到180时，点M运动的路径长为随练1.9 如图1，点O是正方形ABCD两对角线的交点，分别延长OD到点G，OC到点E，使OG=2OD，OE=2OC，然后以OG、OE为邻边作正方形OEFG，连接AG，DE（1）求证：DEAG；（2）正方形ABCD固定，将正方形OEFG绕点O逆时针旋转角（0360）得到正方形OEFG，如图2在旋转过程中，当O

32、AG是直角时，求的度数；若正方形ABCD的边长为1，在旋转过程中，求AF长的最大值和此时的度数，直接写出结果不必说明理由【答案】 （1）如图1，延长ED交AG于点H，点O是正方形ABCD两对角线的交点，OA=OD，OAOD，OG=OE，在AOG和DOE中，AOGDOE，AGO=DEO，AGO+GAO=90，GAO+DEO=90，AHE=90，即DEAG；（2）=30；=315【解析】 （1）如图1，延长ED交AG于点H，点O是正方形ABCD两对角线的交点，OA=OD，OAOD，OG=OE，在AOG和DOE中，AOGDOE，AGO=DEO，AGO+GAO=90，GAO+DEO=90，AHE=90

33、，即DEAG；（2）在旋转过程中，OAG成为直角有两种情况：（）由0增大到90过程中，当OAG=90时，OA=OD=OG=OG，在RtOAG中，sinAGO=，AGO=30，OAOD，OAAG，ODAG，DOG=AGO=30，即=30；（）由90增大到180过程中，当OAG=90时，同理可求BOG=30，=18030=150综上所述，当OAG=90时，=30或150如图3，当旋转到A、O、F在一条直线上时，AF的长最大，正方形ABCD的边长为1，OA=OD=OC=OB=，OG=2OD，OG=OG=，OF=2，AF=AO+OF=+2，COE=45，此时=315 作业1 如图1，在ABC中，BAC

34、=90，AB=AC（1）若点M为AC上的任意一点，过M作MNBC于点N，取BM的中点D，连接AD、DM，求证：AD=DN（2）如图2，若M为BC上的任意一点，以线段CM为底边作等腰RtMCN，此时，取BM的中点D，连接AD、DN，则AD与DN有怎样的数量关系？说明理由（3）如图3，在（2）的条件下将RtMNC绕C点旋转任意角度，连接BM，取BM的中点D，再连接AD、DN，则（2）中的结论仍然成立吗，它们之间又有怎样的位置关系？请说明理由【答案】 （1）见解析；（2）AD=DN；（3）AD=DN，ADDN【解析】 （1）证明：解法一：如图1中，延长AD到K，使得DK=AD，连接AN、KN、KM在

35、ADB和KDM中，ADBKDM，AB=KM=AC，BAD=MKD，ABKM，KMC=BAC=90，AB=AC，BAC=90，C=45，MNBC，MNC=90，NMC=45=KMC=C，MN=NC，在ANC和KNM中，ANCKNM，AN=KN，ANC=KNM，KNA=MNC=90AD=DK，DN=AD=DK，即AD=DN解法二：根据直角三角形斜边中线性质，可知AD=BM，DN=BM，由此即可证明（2）如图2中，结论：AD=DN理由：延长AD到K，使得DK=AD，连接AN、KN、KM在ADB和KDM中，ADBKDM，AB=KM=AC，BAD=MKD，ABKM，KMN=B=45，NMC=NCM=AC

36、B=45MN=NC，KMN=ACN=90在ANC和KNM中，ANCKNM，AN=KN，ANC=KNM，KNA=MNC=90AD=DK，DN=AD=DK，即AD=DN（3）如图3中，结论：AD=DN，ADDN理由：延长AD到K，使得DK=AD，连接AN、KN、KM，延长KN交AC于G在ADB和KDM中，ADBKDM，AB=KM=AC，BAD=MKD，ABKM，KGC=BAC=90，ACN+NMG=180，KMN+NMG=180，ACN=NMK，在ANC和KNM中，ANCKNM，AN=KN，ANC=KNM，KNA=MNC=90AD=DK，DN=AD=DK，DNAK，即AD=DNADDN作业2 已知

37、正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EFBD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG（1）求证：EG=CG；（2）将图中BEF绕B点逆时针旋转45，如图所示，取DF中点G，连接EG，CG问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；（3）将图中BEF绕B点旋转任意角度，如图所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论（均不要求证明）【答案】 （1）见解析（2）成立（3）见解析【解析】 本题利用了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质、全等三角形的判定和性质（1）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可证

38、出CG=EG（2）结论仍然成立，连接AG，过G点作MNAD于M，与EF的延长线交于N点；再证明DAGDCG，得出AG=CG；再证出DMGFNG，得到MG=NG；再证明AMGENG，得出AG=EG；最后证出CG=EG（3）结论依然成立还知道EGCG（1）证明：四边形ABCD是正方形，DCF=90，在RtFCD中，G为DF的中点，CG=FD，同理，在RtDEF中，EG=FD，CG=EG（1） （1）中结论仍然成立，即EG=CG证法一：连接AG，过G点作MNAD于M，与EF的延长线交于N点在DAG与DCG中，AD=CD，ADG=CDG，DG=DG，DAGDCG（SAS），AG=CG；在DMG与FNG

39、中，DGM=FGN，FG=DG，MDG=NFG，DMGFNG（ASA），MG=NG；EAM=AEN=AMN=90，四边形AENM是矩形，在矩形AENM中，AM=EN，在AMG与ENG中，AM=EN，AMG=ENG，MG=NG，AMGENG（SAS），AG=EG，EG=CG证法二：延长CG至M，使MG=CG，连接MF，ME，EC，在DCG与FMG中，FG=DG，MGF=CGD，MG=CG，DCGFMGMF=CD，FMG=DCG，MFCDAB，EFMF在RtMFE与RtCBE中，MF=CB，MFE=EBC，EF=BE，MFECBEMEF=CEBMEC=MEF+FEC=CEB+CEF=90，MEC为

40、直角三角形MG=CG，EG=MC，EG=CG（3）（1）中的结论仍然成立理由如下：过F作CD的平行线并延长CG交于M点，连接EM、EC，过F作FN垂直于AB于N由于G为FD中点，易证CDGMFG，得到CD=FM，又因为BE=EF，易证EFM=EBC，则EFMEBC，FEM=BEC，EM=ECFEC+BEC=90，FEC+FEM=90，即MEC=90，MEC是等腰直角三角形，G为CM中点，EG=CG，EGCG作业3 在ABC中，ACB=90，A45，点O为AB中点，一个足够大的三角板的直角顶点与点O重合，一边OE经过点C，另一边OD与AC交于点M（1）如图1，当A=30时，求证：MC2=AM2+

41、BC2；（2）如图2，当A30时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请说明理由；如果不成立，请写出你认为正确的结论，并说明理由；（3）将三角形ODE绕点O旋转，若直线OD与直线AC相交于点M，直线OE与直线BC相交于点N，连接MN，则MN2=AM2+BN2成立吗？答：_（填“成立”或“不成立”）【答案】 （1）见解析；（2）不成立；（3）成立【解析】 （1）证明：如图1，过A作AFAC交CO延长线于F，连接MF，ACB=90，BCAF，BOCAOF，O为AB中点，OA=OB，AF=BC，CO=OF，MOC=90，OM是CF的垂直平分线，CM=MF，在RtAMF中，由勾股定理得：MF2=AM2+

42、AF2=AM2+BC2，即MC2=AM2+BC2；（2）还成立，理由是：如图2，过A作AFAC交CO延长线于F，连接MF，ACB=90，BCAF，BOCAOF，OA=OB，AF=BC，CO=OF，MOC=90，OM是CF的垂直平分线，CM=MF，在RtAMF中，由勾股定理得：MF2=AM2+AF2=AM2+BC2，即MC2=AM2+BC2；（3）成立作业4 在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，将COD绕点O按逆时针方向旋转得到C1OD1，旋转角为（090），连接AC1、BD1，AC1与BD1交于点P（1）如图1，若四边形ABCD是正方形请直接写出AC1 与BD1的数量关系和位置关系

43、（2）如图2，若四边形ABCD是菱形，AC=6，BD=8，判断AC1与BD1的数量关系和位置关系，并给出证明；（3）如图3，若四边形ABCD是平行四边形，AC=6，BD=12，连接DD1，设AC1=kBD1，请直接写出k的值和AC12+（kDD1）2的值【答案】 （1）AC1BD1（2）AC1=BD1， AC1BD1，理由见解析（3）AC12+（kDD1）2=36【解析】 （1）AC1=BD1，AC1BD1；理由：如图1，四边形ABCD是正方形，OC=OA=OD=OB，ACBD，AOB=COD=90，COD绕点O按逆时针方向旋转得到C1OD1，OC1=OC，OD1=OD，COC1=DOD1，O

44、C1=OD1，AOC1=BOD1=90+AOD1，在AOC1和BOD1中 ，AOC1BOD1（SAS）；AC1=BD1，AOB=90，OAB+ABP+OBD1=90，OAB+ABP+OAC1=90，APB=90，则AC1BD1；故AC1 与BD1的数量关系是：AC1=BD1；AC1 与BD1的位置关系是：AC1BD1；（2）AC1=BD1，AC1BD1理由：四边形ABCD是菱形，OC=OA=AC，OD=OB=BD，ACBDC1OD1由COD绕点O旋转得到，O C1=OC，O D1=OD，CO C1=DO D1O C1=OA，O D1=OB，AO C1=BO D1，AO C1BOD1O AC1=

45、OB D1又AOB=90，O AB+ABP+OB D1=90O AB+ABP+O AC1=90APB=90AC1BD1AO C1BOD1，即AC1=BD1，AC1BD1（3）如图3，与（2）一样可证明AOC1BOD1，k=；COD绕点O按逆时针方向旋转得到C1OD1，OD1=OD，而OD=OB，OD1=OB=OD，BDD1为直角三角形，在RtBDD1中，BD12+DD12=BD2=144，（2AC1）2+DD12=144，AC12+（kDD1）2=36作业5 在学习了图形的旋转知识后，数学兴趣小组的同学们又进一步对图形旋转前后的线段之间、角之间的关系进行了探究（一）尝试探究如图1，在四边形AB

46、CD中，AB=AD，BAD=60，ABC=ADC=90，点E、F分别在线段BC、CD上，EAF=30，连接EF（1）如图2，将ABE绕点A逆时针旋转60后得到ABE（AB与AD重合），请直接写出EAF=_度，线段BE、EF、FD之间的数量关系为_（2）如图3，当但点E、F分别在线段BC、CD的延长线上时，其他条件不变，请探究线段BE、EF、FD之间的数量关系，并说明理由（二）拓展延伸如图4，在等边ABC中，E、F是边BC上的两点，EAF=30，BE=1，将ABE绕点A逆时针旋转60得到ABE（AB与AC重合），连接EE，AF与EE交于点N，过点A作AMBC于点M，连接MN，求线段MN的长度【答

47、案】 解：（一）（1）：，BE+DF=EF（2）BEDF=EF（二）MN=【解析】 解：（一）（1）如图2，将ABE绕点A逆时针旋转60后得到ABE，则1=2，BE=DE，AE=AE，BAD=60，EAF=30，1+3=30，2+3=30，即FAE=30EAF=FAE，在AEF和AEF中，AEFAEF（SAS），EF=EF，即EF=DF+DE，EF=DF+BE，即线段BE、EF、FD之间的数量关系为BE+DF=EF，故答案为：30，BE+DF=EF；（2）如图3，在BE上截取BG=DF，连接AG，在ABG和ADF中，ABGADF（SAS），BAG=DAF，且AG=AF，DAF+DAE=30，B

48、AG+DAE=30，BAD=60，GAE=6030=30，GAE=FAE，在GAE和FAE中，GAEFAE（SAS），GE=FE，又BEBG=GE，BG=DF，BEDF=EF，即线段BE、EF、FD之间的数量关系为BEDF=EF；（二）如图4，将ABE绕点A逆时针旋转60得到ABE，则AE=AE，EAE=60，AEE是等边三角形，又EAF=30，AN平分EAF，ANEE，直角三角形ANE中，在等边ABC中，AMBC，BAM=30，且BAE+EAM=30，又MAN+EAM=30，BAE=MAN，BAEMAN，即，MN=作业6 探索绕公用顶点的相似多边形的旋转：（1）如图1，已知：等边和，根据_（

49、指出三角形的全等或相似），可得到与的大小关系为：_（2）如图2，正方形和正方形，求：的值；（3）如图3，矩形和矩形，求：的值【答案】 （1）全等，相等；（2）；（3）【解析】 解：（1）如图1，和都是等边三角形，在和中，；（2）如图2，四边形和四边形都是正方形，（3）连接、，如图3，四边形和四边形都是矩形，作业7 如图，边长为6的等边三角形ABC中，E是对称轴AD上的一个动点，连接EC，将线段EC绕点C逆时针转60得到FC，连接DF则在点E运动过程中，DF的最小值是（ ）A 6B 3C 2D 1.5【答案】D【解析】 取线段AC的中点G，连接EG，如图所示ABC为等边三角形，且AD为ABC的对

50、称轴，CD=CG=AB=3，ACD=60，ECF=60，FCD=ECG在FCD和ECG中，FCDECG（SAS），DF=GE当EGBC时，EG最小，点G为AC的中点，此时EG=DF=CD=作业8 已知等边ABC边长为2，放置在如图的水平桌面上，将ABC水平向右作无滑动翻滚，使ABC首次落回开始的位置，则等边ABC的中心O经过的路径长为_【答案】 【解析】 如图，过点C作CDAB于D，则CD一定经过点O，CD= BC=，OC=CD=，根据等边三角形的性质，BCD= ACB=60=30，每一次翻滚中心O旋转的角度为：180230=120，等边三角形翻滚3次翻滚一周，点O旋转的角度为：1203=36

51、0，中心O经过的路径长是：2OC=2=，故答案为：作业9 已知，点O是等边ABC内的任一点，连接OA，OB，OC（1）如图1，已知AOB=150，BOC=120，将BOC绕点C按顺时针方向旋转60得ADCDAO的度数是；用等式表示线段OA，OB，OC之间的数量关系，并证明；（2）设AOB=，BOC=当，满足什么关系时，OA+OB+OC有最小值？请在图2中画出符合条件的图形，并说明理由；若等边ABC的边长为1，直接写出OA+OB+OC的最小值【答案】 （1）90；OA2+OB2=OC2；证明见解析（2）=120，OA+OB+OC有最小值；图形见解析【解析】 （1）AOB=150，BOC=120，

52、AOC=360120150=90，将BOC绕点C按顺时针方向旋转60得ADC，OCD=60，D=BOC=120，DAO=360AOCOCDD=90，故答案为：90；线段OA，OB，OC之间的数量关系是OA2+OB2=OC2，如图1，连接OD，BOC绕点C按顺时针方向旋转60得ADC，ADCBOC，OCD=60，CD=OC，ADC=BOC=120，AD=OB，OCD是等边三角形，OC=OD=CD，COD=CDO=60，AOB=150，BOC=120，AOC=90，AOD=30，ADO=60，DAO=90，在RtADO中，DAO=90，OA2+OB2=OD2，OA2+OB2=OC2；（2）当=12

53、0时，OA+OB+OC有最小值如图2，将AOC绕点C按顺时针方向旋转60得AOC，连接OO，AOCAOC，OCO=ACA=60，OC=OC，OA=OA，AC=BC，AOC=AOCOC O是等边三角形，OC=OC=OO，COO=COO=60，AOB=BOC=120，AOC=AOC=120，BOO=OOA=180，四点B，O，O，A共线，OA+OB+OC=OA+OB+OO=BA时值最小；AOB=BOC=120，AOC=120，O为ABC的中心，四点B，O，O，A共线，BDAC，将AOC绕点C按顺时针方向旋转60得AOC，AC=AC=BC，AB=2BD，在RtBCD中，BD=BC=，AB=，当等边A

54、BC的边长为1时，OA+OB+OC的最小值AB=作业10 如图1，已知线段，点B关于直线AC的对称点是点D，点E为射线CA上一点，且，连接DE，BE（1）依题意补全图1，并证明：BDE为等边三角形；（2）若，点C关于直线BD的对称点为点F，连接FD、FB将CDE绕点D顺时针旋转度（）得到，点E的对应点为，点C的对应点为点如图2，当时，连接证明：；如图3，点M为DC中点，点P为线段上的任意一点，试探究：在此旋转过程中，线段PM长度的取值范围？【答案】 （1）如图1，证明见解析；（2）见解析；【解析】 （1）补全图形，如图1所示；证明：由题意可知：射线CA垂直平分BD又EBD是等边三角形（2）证明

55、：如图2：由题意可知，又点C与点F关于BD对称四边形BCDF为正方形，由（1）BDE为等边三角形又是由旋转得到的，EDF（SAS）线段PM的取值范围是：设射线CA交BD于点O，I：如图3（1）当DC，MP，D、M、P、C共线时，PM有最小值此时，II：如图3（2）当点P与点重合，且P、D、M、C共线时，PM有最大值此时，线段PM的取值范围是：作业11 在矩形ABCD中，点P在AD上，将三角板的直角顶点放在点P处，三角板的两直角边分别能与AB、BC边相交于点E、F，连接EF（1）如图，当点E与点B重合时，点F恰好与点C重合，求此时PC的长；（2）将三角板从（1）中的位置开始，绕点P顺时针旋转，当

56、点E与点A重合时停止，在这个过程中，请你观察、探究并解答：的大小是否发生变化？请说明理由；直接写出从开始到停止，线段EF的中点所经过的路线长【答案】 （1）（2）的大小不变【解析】 该题考察的是图形的旋转（1）如图1在矩形ABCD中，ABPDPC，即（2）的大小不变理由：过点F作于点G，如图2四边形ABFG是矩形APEGFP 在RtEPF中，即的值不变的大小不变取EF的中点Q，连接BQ，PQ，PB，如图3，点Q为EF的中点，点Q在线段PB的垂直平分线上如图4，当点E在点B处时，点Q在BC中点处；当点E在点A处时，点Q在PB的中点处根据三角形中位线定理得所以从开始到停止，线段EF的中点Q所经过的路线长为