人教版高数选修4-5第2讲：证明不等式的基本方法（学生版）.docx

1、证明不等式的基本方法_教学重点： 掌握比较法、综合法和分析法、反证法和放缩法的方法；教学难点： 理解放缩法的解题及应用。1、比较法：所谓比较法，就是通过两个实数与的差或商的符号（范围）确定与大小关系的方法，即通过“_，_，；或，”来确定，大小关系的方法，前者为作差法，后者为作商法。2、分析法：从求证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件，把证明这个不等式的问题转化为证明这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以判定所证的不等式成立，这种方法叫做分析法。3、综合法：从_的不等式出发，根据不等式的性质及公理推导出欲证的不等式，这种证明方法叫做综合法。4、反证法：从_结论出

2、发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的，这种证明方法叫做反正法.用反证法证明不等式时，必须将命题结论的反面的各种情形一一导出矛盾这里作一简单介绍。反证法证明一个命题的思路及步骤：1）假定命题的结论不成立；2）进行推理，在推理中出现下列情况之一：与已知条件矛盾；与公理或定理矛盾;3）由于上述矛盾的出现，可以断言，原来的假定“结论不成立”是错误的;4）肯定原来命题的结论是正确的。5.放缩法：放缩法就是在证明过程中,利用不等式的_性,作适当的_,证明比原不等式更好的不等式来代替原不等式的证明.放缩法的目的性强,必须恰到好处, 同时在放缩时必须时刻注意放缩的跨度，放

3、不能过头，缩不能不及.否则不能达到目的。类型一： 比较法、分析法和综合法去证明不等式例1. 求证：x2+33x练习1. 已知a,b,m都是正数，并且a a2b3 + a3b2例2. 已知a，b，c是不全相等的正数，求证：练习3. 已知a，b，c都是正数，且a，b，c成等比数列，求证：例3. 求证练习4. 已知a,b,c,dR,求证:ac+bd类型二： 反证法和放缩法证明不等式例4. 若a, b, c, dR+，求证：练习5. 当n2时，求证：例5. 设0a,b,c 0，ab + bc + ca0，abc0，求证：a,b,c01. 设a,b,cR，（1）求证：（2）求证：（3）若a + b =

4、1, 求证：2. a , b, cR, 求证：（1）(2)(3)3. 求证：4. 设x0, y0, ，求证：a 0，且x+y2，则和中至少有一个小于2_基础巩固1. 设a,bR+，求证：2. 证明lg9lg1113. 设a,b,c 0,y0，2x+y=1，求证：6. 求证7. 设、是三角形的边长，求证8. 若abc, 则9.证明 10. 证明11. 已知a, b, c 0, 且a2 + b2 = c2，求证：an + bn cn (n3, nR*)12. 若，证明（ 且）13. 设，求证：14. 对于任意实数、，求证（当且仅当时取等号）15. 已知、，求证能力提升16已知，求证：17. 甲乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m行走，另一半时间以速度n行走；有一半路程乙以速度m行走，另一半路程以速度n行走，如果m n，问：甲乙两人谁先到达指定地点？18. 证明：通过水管放水，当流速相同时，如果水管截面的周长相等，那么截面是圆的水管比截面是正方形的水管流量大19. 已知，求证：020. 若，且，求证：