初三-第01讲-菱形-教案.docx

1、第01讲 菱形 温故知新我们之前学习了平行四边形，下面简单的回顾一下：1、四边形平行四边形四边形 2、平行四边形的性质：边： 角： 对角线：3、我们又学习了哪种特殊的平行四边形？满足什么条件即可？它相比平行四边形而言，特殊在哪？智慧乐园探究活动：让我们一起通过折纸、剪纸的方法得到菱形。我们一起这样做的：将一张长方形的纸对折、再对折，然后沿图中的虚线剪下，打开即可.观察得到的菱形，猜想菱形有什么性质？边：菱形的两组对边分别平行。（这是平行四边形具有的性质）菱形的四条边都相等。（这是菱形特有的性质，如何进行证明呢？）角：菱形的两组对角分别相等。菱形的邻角互补。对角线：菱形的对角线互相平分、垂直，且

2、每条对角线平分一组对角。知识要点一菱形的定义与性质1、定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。注意：（1）菱形必须满足两个条件：一是平行四边形；二是一组邻边相等。二者必须同时具备，缺一不可。（2）菱形的定义既是菱形的基本性质，也是菱形的基本判定方法。 2、性质： （1）菱形的四条边都相等； （2）菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角； （3）菱形具有平行四边形的一切性质； （4）菱形是轴对称图形，对称轴是两条对角线所在直线； （5）利用菱形的性质可证线段相等，角相等； （6）菱形的面积计算： 菱形的面积等于底乘高；菱形的面积等于对角线乘积的一半，对角线互相垂直的四边形的面积

3、都可以用两条对角线乘积的一半来进行计算。 典例分析例1、菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）A对边相等 B对角相等C对角线互相平分 D对角线互相垂直【解析】选D例2、如图，四边形ABCD是菱形，AC=8，DB=6，DHAB于H，则DH等于（）A BC5 D4【解析】选A例3、如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若AB=2，ABC=60，则BD的长为（） A2 B3 C D2【解析】选：D例4、如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AC=8，BD=6，过点O作OHAB，垂足为H，则点O到边AB的距离OH等于（）A2 B C D【解析】四边形ABCD是菱形，AC=8

4、，BD=6，BO=3，AO=4，AOBO，AB=5OHAB，AOBO=ABOH，OH=，故选D例5、如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个锐角为60的菱形，剪口与折痕所成的角a的度数应为30或60【解析】四边形ABCD是菱形，ABD=ABC，BAC=BAD，ADBC，BAC=60，BAD=180ABC=18060=120，ABD=30，BAC=60剪口与折痕所成的角a的度数应为30或60故答案为30或60例6、如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC=8，BD=6，OEBC，垂足为点E，则OE=【解析】四边形ABCD为菱形，ACBD，OB=OD=BD=3

5、，OA=OC=AC=4，在RtOBC中，OB=3，OC=4，BC=5，OEBC，OEBC=OBOC，OE=故答案为例7、如图，在菱形ABCD中，点E为AB的中点，请只用无刻度的直尺作图（1）如图1，在CD上找点F，使点F是CD的中点；（2）如图2，在AD上找点G，使点G是AD的中点【解析】如图所示：学霸说：（1）菱形具有平行四边形的一切性质；（2）菱形的四条边都相等；（3）菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；（4）掌握菱形的性质和三角形中位线定理。 举一反三1、如图，菱形ABCD的周长为24cm，对角线AC、BD相交于O点，E是AD的中点，连接OE，则线段OE的长等于（）A

6、3cm B4cm C2.5cm D2cm【解析】菱形ABCD的周长为24cm，AB=244=6cm，对角线AC、BD相交于O点，OB=OD，E是AD的中点，OE是ABD的中位线，OE=AB=6=3cm故选A2、如图，在菱形ABCD中，BAD=120，点E、F分别在边AB、BC上，BEF与GEF关于直线EF对称，点B的对称点是点G，且点G在边AD上若EGAC，AB=6，则FG的长为3【解析】四边形ABCD是菱形，BAD=120，AB=BC=CD=AD，CAB=CAD=60，ABC，ACD是等边三角形，EGAC，AEG=AGE=30，B=EGF=60，AGF=90，FGBC，2SABC=BCFG，

7、2（6）2=6FG，FG=3故答案为33、如图，菱形ABCD中，E是对角线AC上一点（1）求证：ABEADE；（2）若AB=AE，BAE=36，求CDE的度数【解析】（1）证明：四边形ABCD是菱形，AB=AD，CAB=CAD，在ABE和ADE中，ABEADE（SAS）；（2）解：AB=AE，BAE=36，AEB=ABE=，ABEADE，AED=AEB=72，四边形ABCD是菱形，ABCD，DCA=BAE=36，CDE=AEDDCA=7236=36知识要点二菱形的判定 判定的方法：1、（定义法）：有一组邻边相等的平行四边形是菱形；2、（对角线）：对角线互相垂直的平行四边形是菱形；3、（边）：四

8、条边相等的四边形是菱形。注意：（1）判定菱形时，一定要明确前提条件是从“四边形”出发的，还是从“平行四边形”出发的；（2）判定菱形的方法：若用对角线进行判定：先证明四边形是平行四边形，再证明对角线互相垂直，或直接证明四边形的对角线互相垂直平分；若用边进行判定：先证明四边形是平行四边形，再证明一组邻边相等，或直接证明四边形的四边都相等。 典例分析例1、如图，将ABC沿BC方向平移得到DCE，连接AD，下列条件能够判定四边形ACED为菱形的是（）AAB=BC BAC=BCCB=60 DACB=60【解析】将ABC沿BC方向平移得到DCE，ACED，四边形ACDE为平行四边形，当AC=BC时，则DE

9、=EC，平行四边形ACED是菱形故选：B例2、如图，在ABCD中，对角线AC与BD交于点O，若增加一个条件，使ABCD成为菱形，下列给出的条件不正确的是（）AAB=AD BACBDCAC=BD DBAC=DAC【解析】选C例3、如图，已知ABC，AB=AC，将ABC沿边BC翻转，得到的DBC与原ABC拼成四边形ABDC，则能直接判定四边形ABDC是菱形的依据是（）A一组邻边相等的平行四边形是菱形B四条边相等的四边形是菱形C对角线互相垂直的平行四边形是菱形D对角线互相垂直的平分四边形是菱形【解析】选B例4、如图，分别以直角ABC的斜边AB，直角边AC为边向ABC外作等边ABD和等边ACE，F为A

10、B的中点，DE与AB交于点G，EF与AC交于点H，ACB=90，BAC=30给出如下结论：EFAC；四边形ADFE为菱形；AD=4AG；FH=BD；其中正确结论的是（）A BC D【解析】正确，正确；不正确；正确，选：C例5、如图，四边形ABCD是轴对称图形，且直线AC是对称轴，ABCD，则下列结论：ACBD；ADBC；四边形ABCD是菱形；ABDCDB其中正确的是（只填写序号）【解析】因为l是四边形ABCD的对称轴，ABCD，则AD=AB，1=2，1=4，则2=4，AD=DC，同理可得：AB=AD=BC=DC，所以四边形ABCD是菱形根据菱形的性质，可以得出以下结论：所以ACBD，正确；AD

11、BC，正确；四边形ABCD是菱形，正确；在ABD和CDB中，ABDCDB（SSS），正确故答案为：例6、如图，在ABC中，ACB=90，D，E分别为AC，AB的中点，BFCE交DE的延长线于点F（1）求证：四边形ECBF是平行四边形；（2）当A=30时，求证：四边形ECBF是菱形【解析】证明：（1）D，E分别为边AC，AB的中点，DEBC，即EFBC又BFCE，四边形ECBF是平行四边形（2）ACB=90，A=30，E为AB的中点，CB=AB，CE=ABCB=CE又由（1）知，四边形ECBF是平行四边形，四边形ECBF是菱形 举一反三1、如图，四边形ABCD中，对角线相交于点O，E、F、G、H

12、分别是AD、BD、BC、AC的中点，要使四边形EFGH是菱形，则四边形ABCD需满足的条件是（）AAB=AD BAC=BDCAD=BC DAB=CD【解析】选：D2、如图，已知AD是ABC的角平分线，点E、F分别是边AC、AB的中点，连接DE、DF，要使四边形AEDF称为菱形，还需添加一个条件，这个条件可以是AB=AC、B=C或AE=AF（答案不唯一）【解析】由题意知，可添加：AB=AC则三角形是等腰三角形，由等腰三角形的性质知，顶角的平分线与底边上的中线重合，即点D是BC的中点，DE，EF是三角形的中位线，DEAC，DFAB，四边形AEDF是平行四边形，AB=AC，点E，F分别是AB，AC的

13、中点，AE=AF，平行四边形AEDF为菱形故答案为：AB=AC、B=C或AE=AF（答案不唯一）3、如图，在ABC中，ACB=90，BC的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，F在DE上，并且AF=CE（1）求证：四边形ACEF是平行四边形；（2）当B满足什么条件时，四边形ACEF是菱形？请回答并证明你的结论【解析】（1）ED是BC的垂直平分线，EB=EC，EDBC，3=4，ACB=90，FEAC，1=5，2与4互余，1与3互余，1=2，AE=CE，又AF=CE，ACE和EFA都是等腰三角形，5=F，2=F，在EFA和ACE中，EFAACE（AAS），AEC=EAF，AFCE，四边形ACEF是

14、平行四边形；（2）当B=30时，四边形ACEF是菱形证明如下：B=30，ACB=90，1=2=60，AEC=60，AC=EC平行四边形ACEF是菱形课堂闯关 初出茅庐 l 建议用时：10分钟1、如图，在菱形ABCD中，AC=8，BD=6，则ABD的周长等于（）A18 B16 C15 D14【解析】选B2、如图，菱形ABCD的两条对角线相交于点O，若AC=6，BD=4，则菱形ABCD的周长是（）A24 B16C2 D4【解析】选：D3、某校的校园内有一个由两个相同的正六边形（边长为2.5m）围成的花坛，如图中的阴影部分所示，校方先要将这个花坛在原有的基础上扩建成一个菱形区域如图所示，并在新扩充的

15、部分种上草坪，则扩建后菱形区域的周长为（）A20m B25mC30m D35m【解析】如图，花坛是由两个相同的正六边形围成，FGM=GMN=120，GM=GF=EF，BMG=BGM=60，BMG是等边三角形，BG=GM=2.5（m），同理可证：AF=EF=2.5（m）AB=BG+GF+AF=2.53=7.5（m），扩建后菱形区域的周长为7.54=30（m），故选：C4、如图，两个完全相同的三角尺ABC和DEF在直线l上滑动，可以添加一个条件，使四边形CBFE为菱形，下列选项中错误的是（）ABD=AE BCB=BFCBECF DBA平分CBF【解析】选：A5、如图，D、E、F分别是ABC的边AB

16、、BC、AC的中点若四边形ADEF是菱形，则ABC必须满足的条件是（）AABAC BAB=ACCAB=BC DAC=BC【解析】选B6、如图，在菱形ABCD中，AB=4，线段AD的垂直平分线交AC于点N，CND的周长是10，则AC的长为6【解析】如图，四边形ABCD是菱形，AB=4，AB=CD=4，MN垂直平分AD，DN=AN，CND的周长是10，CD+CN+DN=CD+CN+AN=CD+AC=10，AC=6，故答案为：6 优学学霸 l 建议用时：15分钟1、如图，已知ABC的顶点B、C为定点，A为动点（不在直线BC上），B是点B关于直线AC的对称点，C是点C关于直线AB的对称点，连接BC、C

17、B、BB、CC（1）猜想线段BC与CB的数量关系，并证明你的结论；（2）当点A运动到怎样的位置时，四边形BCBC为菱形？这样的位置有几个？请用语言对这样的位置进行描述（不用证明）；（3）当点A在线段BC的垂直平分线（BC的中点及到BC的距离为的点除外上运动时，判断以点B、C、B、C为顶点的四边形的形状，画出相应的示意图（不用证明）【解析】（1）猜想：BC=CBB是点B关于直线AC的对称点，AC垂直平分BBBC=BC，同理BC=BC，BC=CB（2）要使BCBC是菱形根据菱形的性质，对角线互相垂直平分B是点B关于直线AC的对称点，C是点C关于直线AB的对称点AC垂直平分BBAB垂直平分CC，BB

18、、CC应该同时过A点BAC=90，只要ABAC即可满足要求，这样的位置有无数个（3）如图，当A是BC的中点时，没有形成四边形当A到BC的距离为时，ABCACB=30，BAD=CAD=60，BBA=BBA=BAD=30，CCA=CCA=CAD=30，BBC=BCB=BBC=60，当A到BC的距离为时，BBC是等边三角形当BC的中点及到BC的距离为的点除外时，BOC=BOC，OB=OC，OB=OC，OBC=OCB=OBC=OCB，BCBC，BC不平行CBBC=CB，四边形BCBC为等腰梯形2、已知等腰ABC中，AB=AC，AD平分BAC交BC于D点，在线段AD上任取一点P（A点除外），过P点作EF

19、AB，分别交AC，BC于E，F点，作PMAC，交AB于M点，连接ME（1）求证：四边形AEPM为菱形；（2）当P点在何处时，菱形AEPM的面积为四边形EFBM面积的一半？【解析】（1）证明：EFAB，PMAC，四边形AEPM为平行四边形AB=AC，AD平分CAB，CAD=BAD，BAD=EPA，CAD=EPA，EA=EP，四边形AEPM为菱形（2）解：P为EF中点时，S菱形AEPM=S四边形EFBM四边形AEPM为菱形，ADEM，ADBC，EMBC，又EFAB，四边形EFBM为平行四边形作ENAB于N，则S菱形AEPM=EPEN=EFEN=S四边形EFBM考场直播1、【2016春深圳】如图，A

20、BCD是一张平行四边形纸片，要求利用所学知识作出一个菱形，甲、乙两位同学的作法如下：则关于甲、乙两人的作法，下列判断正确的 （）A仅甲正确 B仅乙正确 C甲、乙均正确 D甲、乙均错误【解析】选：C2、【2015春深圳】能够判定一个四边形是菱形的条件是（）A对角线互相垂直平分 B对角线互相平分且相等C对角线相等且互相垂直 D对角线互相垂直【解析】选A3、【2016深圳】如图，菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且AC=8，BD=6，则菱形ABCD的高DH=4.8【解析】在菱形ABCD中，ACBD，AC=8，BD=6，OA=AC=8=4，OB=BD=6=3，在RtAOB中，AB=5，DHA

21、B，菱形ABCD的面积=ACBD=ABDH，即68=5DH，解得DH=4.8，故答案为：4.8套路揭密：（1）考查菱形的判定、平行四边形的判定矩形的判断等知识，解题的关键是记住这些知识灵活解决问题，所有中考常考题型；（2）考查菱形的对角线互相垂直平分的性质，勾股定理，根据菱形的面积的两种表示方法列出方程是解题的关键。自我挑战l 建议用时：30分钟 1、如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E为BC的中点，则下列等式中一定成立的是（）AAB=BE BAC=2ABCAB=2OE DAC=2OE【解析】选C2、如图所示，在菱形ABCD中，BAD=70，AB的垂直平分线交对角线AC于点

22、F，垂足为E，连接DF，则CDF等于（）A75 B70C60 D55【解析】选A3、如图，菱形ABCD中，A=60，周长是16，则菱形的面积是（）A16 B16C16 D8【解析】选D4、如图，等边ABC沿射线BC向右平移到DCE的位置，连接AD，BD，则下列结论：AD=BC=CE；BD，AC互相平分；四边形ACED是菱形；四边形ABED的面积为AB2其中正确的个数是（）A4个 B3个 C2个 D1个【解析】正确，选A5、如图，下列选项中能使平行四边形ABCD是菱形的条件有（）ACBD BAAD AB=BC AC=BDA BC D【解析】选：A6、在ABC中，点D，E，F分别是边BC，CA，A

23、B的中点，使四边形AFDE为菱形，应添加的条件是AF=AE（添加一个条件即可）【解析】添加AF=AE，点D，E，F分别是边BC，CA，AB的中点，DFAC，DEAB，四边形AFDE为平行四边形，AF=AE，四边形AFDE为菱形，故答案为：AF=AE7、如图，在菱形ABCD中，E，F分别是AD，BD的中点，若EF=2，则菱形ABCD的周长是16【解析】E，F分别是AD，BD的中点，EF为ABD的中位线，AB=2EF=4，四边形ABCD为菱形，AB=BC=CD=DA=4，菱形ABCD的周长=44=16故答案为168、如图，在四边形ABCD中，ABCD，点E、F在对角线AC上，且ABF=CDE，AE=CF（1）求证：ABFCDE；（2）当四边形ABCD满足什么条件时，四边形BFDE是菱形？为什么？【解析】（1）证明：ABCD，BAC=DCAAE=CF，AE+EF=CF+EF，即AF=CE在ABF和CDE中，又ABF=CDE，ABFCDE（AAS）；（2）解：当四边形ABCD满足AB=AD时，四边形BEDF是菱形理由如下：连接BD交AC于点O，如图所示：由（1）得：ABFCDE，AB=CD，BF=DE，AFB=CED，BFDEABCD，AB=CD，四边形ABCD是平行四边形又AB=AD，平行四边形ABCD是菱形BDACBF=DE，BFDE，四边形BEDF是平行四边形，四边形BEDF是菱形