华东师大版八年级上册 13.3 等腰三角形（1） 讲义（无答案）.docx

1、等腰三角形（1）_1、了解等腰三角形的概念；2、掌握等腰三角形的性质；3、培养学习数学的兴趣，应用等腰三角形的性质进行计算和解决生产、生活中的有关问题1三角形三边关系（1）三角形三边关系定理：三角形两边之和_第三边（2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形（3）三角形的两边差_第三边（4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略2. 三角形内角和定理（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角每个三角形都有三个内角，

2、且每个内角均大于_且小于_（2）三角形内角和定理：三角形内角和是_（3）三角形内角和定理的证明证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角在转化中借助平行线（4）三角形内角和定理的应用主要用在求三角形中角的度数 直接根据两已知角求第三个角； 依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角； 在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角3. 三角形的外角性质（1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的_三角形共有_ 个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对（2）三角形的外角性质：三角形的外角和为_ _三角形的一个外角等于和它_

3、 _ _的两个内角的和三角形的一个外角_ _和它不相邻的任何一个内角（3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质将它们转化到一个三角形中去（4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角4等腰三角形的概念与性质（1）等腰三角形的概念有_ _相等的三角形叫做等腰三角形（2）等腰三角形的性质 等腰三角形的相等 等腰三角形的两个底角相等【简称：_ _ _】 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合【简称：_ _ _】（3）在等腰；底边上的高；底边上的中线；顶角平分线以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论参

4、考答案：1.（1）大于 ；（3） 小于2.（1）0 180；（2） 180 3.（1）外角 六；（2）360 不相邻 大于 4.（1）两条边；（2）两腰 等边对等角 三线合一1. 等腰三角形的性质；三角形内角和定理【例1】若等腰三角形底角为72，则顶角为（）【解析】根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质，可以计算其顶角的度数解：等腰三角形底角为72顶角=180（722）=36故选D练1. 等腰三角形一腰上的高与腰长之比为1：2，则等腰三角形顶角的度数为（）A30 B150 C60或120 D30或150【解析】等腰三角形的高相对于三角形有三种位置关系，三角形内部，三角形的外部，三角形的边上根据

5、条件可知第三种高在三角形的边上这种情况不成立，因而应分两种情况进行讨论解：当高在三角形外部时，顶角是150；当高在三角形内部时，顶角是30；所以等腰三角形的顶角的度数为30或150；故选D2. 等腰三角形的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质【例2】如图射线BA、CA交于点A连接BC，己知AB=AC，B=40度那么x的值是（）A80 B60 C40 D100【解析】根据等腰三角形的性质及三角形内角与外角的关系解答即可 解：AB=AC，C=B=40，x=C+B=80故选A总结：本题利用了等边对等角和三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和练2. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30，则

6、顶角的度数为（）A60 B120 C60或150D60或120【解析】等腰三角形的高相对于三角形有三种位置关系，三角形内部，三角形的外部，三角形的边上根据条件可知第三种高在三角形的边上这种情况不成了，因而应分两种情况进行讨论解：当高在三角形内部时（如图1），顶角是60；当高在三角形外部时（如图2），顶角是120故选D练3.如图，ABC中，AB=AC，AD=DE，BAD=20，EDC=10，则DAE的度数为（）A30B40C60D80【解析】先根据三角形外角性质，用C表示出AED，再根据等边对等角和三角形内角和定理，列出等式即可求出C的度数，再求DAE也就不难了解：设C=x，AB=ACB=C=x

7、AED=x+10AD=DE，DAE=AED=x+10根据三角形的内角和定理，得x+x+（20+x+10）=180解得x=50，则DAE=60故选C总结：此题能够根据等腰三角形的性质以及三角形的外角的性质，用同一个未知数表示各角，进一步根据三角形的内角和定理列方程求解3. 等腰三角形的性质；三角形三边关系【例3】已知一个等腰三角形的底边长为5，这个等腰三角形的腰长为x，则x的取值范围是（）A0x Bx Cx D0x10【解析】根据三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边就即可求解 解：因为等腰三角形的两腰相等，差为0，一定小于底边，只需考虑2x5，解得x故选C练4. 一个等腰三角

8、形的两边长分别是2cm、5cm，则它的周长为cm【解析】本题没有明确说明已知的边长那一条是腰长，所以需要分两种情况讨论解：分两种情况讨论腰长为5时，三边为5、5、2，满足三角形的性质，周长=5+5+2=12cm；腰长为2cm时，三边为5、2、2，2+2=45，不满足构成三角形周长为12cm故答案为：12 4 等腰三角形的性质；全等三角形的性质【例4】已知等腰ABC的周长为18cm，BC=8cm，若ABCABC，则ABC中一定有一条边等于（）A7cm B2cm或7cm C5cm D2cm或5cm【解析】分两种情况讨论：（1）若BC为等腰ABC的底边；（2）若BC为等腰ABC的腰解：（1）在等腰A

9、BC中，若BC=8cm为底边，根据三角形周长计算公式可得腰长=5cm；（2）在等腰ABC中，若BC=8cm为腰，根据三角形周长计算公式可得底边长1828=2cmABCABC，ABC与ABC的边长及腰长相等即ABC中一定有一条边等于2或5故选D练5. 已知等腰ABC中，AB=AC，D是BC边上一点，连接AD，若ACD和ABD都是等腰三角形，则C的度数是【解析】ACD和ABD都是等腰三角形，但没有说具体的边相等，所以应分情况讨论（1） AD=BD，DC=AD，那么ADB和ADC是全等三角形，可求得ADC=90，那么C=45；（2）AB=BD，CD=AD，那么B=C=DAC，BAD=BDA=2C，然

10、后用C表示出ABC的内角和，即可求得5C=180，那么C=36解：应分两种情况：（1）AD=BD，DC=AD，那么ADB和ADC是全等三角形，可求得ADC=90，那么C=45；（2）AB=BD，CD=AD，那么B=C=DAC，BAD=BDA=2C，然后用C表示出ABC的内角和，即可求得5C=180，那么C=36故填36或45总结：本题考查了全等三角形的判定和性质及等腰三角形的性质；本题的易错点在于判断此题应分情况讨论，难点在于画出图形，得到各种情况里所求的角的关系5线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质【例5】如图，等腰三角形ABC中，已知AB=AC，A=30，AB的垂直平分线交AC于D，则C

11、BD的度数为【解析】根据三角形的内角和定理，求出C，再根据线段垂直平分线的性质，推得A=ABD=30，由外角的性质求出BDC的度数，从而得出CBD=45解：AB=AC，A=30，ABC=ACB=75，AB的垂直平分线交AC于D，AD=BD，A=ABD=30，BDC=60，CBD=1807560=45故填45总结：此题主要考查线段的垂直平分线的性质和等腰三角形的性质；利用三角形外角的性质求得求得BDC=60是解答本题的关键本题的解法很多，用底角7530更简单些练6在ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得到锐角为50，则B等于【解析】此题根据ABC中A为锐角与钝角分为两种情

12、况，当A为锐角时，B等于70，当A为钝角时，B等于20解：根据ABC中A为锐角与钝角，分为两种情况：当A为锐角时，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得到锐角为50，A=40，B=70；当A为钝角时，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得到锐角为50，1=40，BAC=140，B=C=20故答案为：70或206. 等腰三角形的性质；坐标与图形性质【例6】如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，0）和点B（0，），点C在坐标平面内若以A，B，C为顶点构成的三角形是等腰三角形，且底角为30，则满足条件的点C有个【解析】本题应该分几种情况讨论，已知的边AB可能是底边，也可能是腰当AB是底边时，则

13、点C可能位于AB的两侧，就有两个满足条件的三角形；当AB是腰时再分点A是顶角顶点或点B是顶角顶点，两种情况讨论解：（1）当AB是底边时，则点C可能位于AB的两侧，就有两个满足条件的三角形；（2）当AB是腰时且点A是顶角顶点时，点C一定在经过点B且与AB成30角的直线上，这样的直线有两条，则以点A为圆心AB为半径作弧，与两条直线有两个交点，则可作出两个满足条件的三角形同理当AB是腰且点B是顶角顶点时也有2个满足条件的三角形因此满足条件的点共有6个练7在平面直角坐标系xOy中，已知点P（2，2），点Q在y轴上，PQO是等腰三角形，则满足条件的点Q共有（）A5个 B4个 C3个 D2个【解析】根据题

14、意，画出图形，由等腰三角形的判定找出满足条件的Q点，选择正确答案解：如上图：满足条件的点Q共有（0，2）（0，2）（0，2）（0，4）故选B总结：本题考查了等腰三角形的判定及坐标与图形的性质；利用等腰三角形的判定来解决特殊的问题，其关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，再利用数学知识来求解1如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，A=44，CDAB于D，则DCB等于（）A44 B68 C46 D222如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得ABC为等腰三角形，则点C的个数是（）A6 B7 C8 D93如图，在ABC中，AB=AC，A=36，B

15、D，CE分别为ABC，ACB的角平分线，则图中等腰三角形共有（）A5个 B6个 C7个 D8个4如图，坐标平面内一点A（2，1），O为原点，P是x轴上的一个动点，如果以点P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P的个数为（）A2 B3 C4 D55如图，在ABC中，AD平分BAC，AB=ACBD，则B：C的值是6ABC中，若A=80，B=50，AC=5，则AB=7等腰ABC的两边长为2和5，则第三边长为_1如图所示，矩形ABCD中，AB=4，BC=，点E是折线段ADC上的一个动点（点E与点A不重合），点P是点A关于BE的对称点使PCB为等腰三角形的点E的位置共有（）A2个 B3

16、个 C4个 D5个2如图，在RtABC中，ACB=90，AB=2BC，在直线BC或AC上取一点P，使得PAB为等腰三角形，则符合条件的点P共有（）A4个 B5个 C6个 D7个3如图所示，在ABC中，A=36，C=72，ABC的平分线交AC于D，则图中共有等腰三角形（）A0个 B1个 C2个 D3个4等腰三角形的两边长分别为4和9，则这个三角形的周长为5从一个等腰三角形纸片的底角顶点出发，能将其剪成两个等腰三角形纸片，则原等腰三角形纸片的底角等于度6ABC中，AB=AC，A=36，则B的度数是度7如图，ABC的周长为32，且AB=AC，ADBC于D，ACD的周长为24，那么AD的长为8已知等腰

17、ABC的周长为10，若设腰长为x，则x的取值范围是9如图，矩形纸片ABCD，AB=2，点E在BC上，且AE=EC，若将纸片沿AE折叠，点B恰好落在AC上，则AC的长是10夷陵长江大桥为三塔斜拉桥如图，中塔左右两边所挂的最长钢索AB=AC，塔柱底端D与点B间的距离是228米，则BC的长是米参考答案：当堂检测1.考点：等腰三角形的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质分析：本可先根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出B的度数，进而在RtDCB中，求得DCB的度数解答：解：A=44，AB=ACB=C=68BDC=90DCB=22故本题选D点评：本题主要考查等腰三角形的性质，及三角形内角和定理2

18、考点：等腰三角形的判定专题：分类讨论分析：根据题意，结合图形，分两种情况讨论：AB为等腰ABC底边；AB为等腰ABC其中的一条腰解答：解：如上图：分情况讨论AB为等腰ABC底边时，符合条件的C点有4个；AB为等腰ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个故选：C点评：本题考查了等腰三角形的判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，再利用数学知识来求解数形结合的思想是数学解题中很重要的解题思想3考点：等腰三角形的判定；三角形内角和定理；角平分线的性质分析：由已知条件，根据等腰三角形的性质和判定，角的平分线的性质，三角形内角和等于180得到各个角的度数，应用度数进行判断，答案可得解答：

19、解：设CE与BD的交点为点O，AB=AC，A=36，ABC=ACB，再根据三角形内角和定理知，ABC=ACB=72，BD是ABC的角的平分线，ABD=DBC=ABC=36=A，AD=BD，同理，A=ACE=BCE=36，AE=CE，DBC=36，ACB=72，根据三角形内角和定理知，BDC=1807236=72，BD=BC，同理CE=BC，BOC=1803636=108，ODC=DOC=OEB=EOB=72，ABC，ADB，AEC，BEO，COD，BCE，BDC，BOC都是等腰三角形，共8个故选D点评：本题考查了等腰三角形的性质和判定，角的平分线的性质，三角形内角和定理求解；得到各角的度数是正

20、确解答本题的关键4考点：等腰三角形的判定；坐标与图形性质专题：动点型分析：根据题意，结合图形，分两种情况讨论：OA为等腰三角形底边；OA为等腰三角形一条腰解答：解：如上图：OA为等腰三角形底边，符合符合条件的动点P有一个；OA为等腰三角形一条腰，符合符合条件的动点P有三个综上所述，符合条件的点P的个数共4个故选C点评：本题考查了等腰三角形的判定及坐标与图形的性质；利用等腰三角形的判定来解决实际问题，其关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，再利用数学知识来求解5 考点：全等三角形的判定与性质；三角形内角和定理；等腰三角形的性质专题：压轴题分析：在AC上截取AE=AB，构造两个全等的三角形和等腰

21、三角形，利用三角形内角和外角的关系解答解答：解：在AC上截取AE=AB=X，于是AB=AE又AD平分BACBAD=EAD又AD=ADABDAED1=B，DE=BD=CE=X在等腰三角形DEC中，B=1=2CB：C=2：1或2点评：本题考查了全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理及等腰三角形的性质；解答此题的关键是在AC上截取AE=AB，利用了全等的三角形和等腰三角形的性质和三角形内角和外角的关系6考点：等腰三角形的判定专题：压轴题分析：由已知条件先求出C的度数是50，根据等角对等边的性质求解即可解答：解：A=80，B=50，C=1808050=50，AB=AC=5故填5点评：本题考查了等腰三

22、角形的性质；求出C的度数是解题的关键7考点：等腰三角形的性质分析：先根据等腰三角形两腰相等的性质可得出第三边长的两种情况，再根据两边和大于第三边来判断能否构成三角形，从而求解解答：解：等腰ABC的两边长为2和5，根据等腰三角形两腰相等的性质可知第三边可能是2或52+252，2，5不能构成三角形，舍去5+252，5，5能构成三角形故第三边长为5故填5点评：本题综合考查等腰三角形的性质和三角形的三边关系常常利用两边和大于第三边来判断能否构成三角形家庭作业1 考点：等腰三角形的判定专题：压轴题；分类讨论分析：根据题意，结合图形，分情况讨论：BP为底边；BP为等腰三角形一腰长解答：解：BP为等腰三角形

23、一腰长时，符合点E的位置有2个，是BC的垂直平分线与以B为圆心BA为半径的圆的交点即是点P；BP为底边时，C为顶点时，符合点E的位置有2个，是以B为圆心BA为半径的圆与以C为圆心BC为半径的圆的交点即是点P；以PC为底边，B为顶点时，这样的等腰三角形不存在，因为以B为圆心BA为半径的圆与以B为圆心BC为半径的圆没有交点故选：C点评：本题综合考查等腰三角形的判定，需对知识进行推理论证、运算及探究2 考点：等腰三角形的判定分析：根据等腰三角形的判定，“在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形（简称：在同一三角形中，等边对等角）”分三种情况解答即可解答：解：如图，AB的垂直平分线交AC一点P

24、1（PA=PB），交直线BC于点P2；以A为圆心，AB为半径画圆，交AC有二点P3，P4，交BC有一点P2，（此时AB=AP）；以B为圆心，BA为半径画圆，交BC有二点P5，P2，交AC有一点P6（此时BP=BA）2+（31）+（31）=6，符合条件的点有六个故选C点评：本题考查了等腰三角形的判定；构造等腰三角形时本着截取相同的线段就能作出等腰三角形来，思考要全面，做到不重不漏3 考点：等腰三角形的判定；三角形内角和定理；角平分线的性质专题：压轴题分析：由已知条件，根据等腰三角形的定义及等角对等边先得出ABC的度数，由ABC的平分线交AC于D，得到其它角的度数，然后进行判断解答：解：在ABC中

25、，A=36，C=72ABC=180AC=72=CAB=AC，ABC是等腰三角形BD平分ABC交AC于D，ABD=DBC=36A=ABD=36，ABD是等腰三角形BDC=A+ABD=36+36=72=CBDC是等腰三角形共有3个等腰三角形故选D点评：本题考查了等腰三角形的判定、角平分线的性质及三角形内角和定理；求得各角的度数是正确解答本题的关键4 考点：等腰三角形的性质分析：求等腰三角形的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长求周长；题目给出等腰三角形有两条边长为4cm和9cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形解答：解：（1）若4为腰长，9为底

26、边长，由于4+49，则三角形不存在；（2）若9为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边所以这个三角形的周长为9+9+4=22故填22点评：本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；题目从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去5考点：等腰三角形的性质专题：压轴题分析：根据等腰三角形的性质可得到几组相等的角，再根据三角形外角的性质可得到C与A之间的关系，最后根据三角形内角和定理不难求解解答：解：（1）如图（1），AB=AC，AD=BD=BC，ABC=C=BDC，A=ABD，BDC=2A，

27、ABC=2A，A+ABC+C=180，5A=180，A=36底角C=2A=72；（2）如图（2）AD=BD，BC=CD，设A=，则ABD=，1=2=2，C=3，7=180，=；即C=（180）=，原等腰三角形纸片的底角为72或点评：本题考查等腰三角形的性质，判断出底角与顶角的关系是解题的关6 考点：等腰三角形的性质；三角形内角和定理分析：由已知条件根据等边对等角以及三角形的内角和定理即可求得B的度数解答：解：AB=AC，A=36，B=C=（18036）2=72故填72点评：本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；要掌握等腰三角形的顶角和底角之间的关系：顶角=180底角的2倍7 考点：等腰

28、三角形的性质专题：压轴题分析：由已知条件根据等腰三角形三线合一的性质可得到BD=DC，再根据三角形的周长定义求解解答：解：AB=AC，ADBC，BD=DCAB+AC+BC=32，即AB+BD+CD+AC=32，AC+DC=16AC+DC+AD=24AD=8故填8点评：本题考查等腰三角形的性质；由已知条件结合图形发现并利用AC+CD是ABC的周长的一半是正确解答本题的关键8考点：等腰三角形的性质；解一元一次不等式组；三角形三边关系专题：压轴题分析：本题可根据已知条件得出底边的长为：102x，再根据第三边的长度应是大于两边的差而小于两边的和，即可求出第三边长的范围解答：解：依题意得：102xxx1

29、02x+x，解得x5故填x5点评：本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系及解一元一次不等式组等知识；根据三角形三边关系定理列出不等式，接着解不等式求解是正确解答本题的关键9 考点：翻折变换（折叠问题）；等腰三角形的性质专题：压轴题分析：根据折叠的性质及等边对等角的性质，可得到BAE=EAC=ECA，根据三角形内角和定理即可求得ECA的度数，再根据直角三角形的性质不难求得AC的长解答：解：AE=EC，EAC=ECA，将纸片沿AE折叠，点B恰好落在AC上，BAE=EAC，BAE=EAC=ECA，B+ECA+CAB=180ECA=30AB=2AC=2AB=4故答案为：4点评：本题考查等腰三角形的性质及直角三角形性质和翻折变换等知识；对于翻折变换问题，找准对应的相等关系是正确解答的关键10考点：等腰三角形的性质专题：应用题分析：根据题意，知此三角形是等腰三角形，又等腰三角形底边上的高也是底边上的中线，从而可求得BC的长解答：解：AB=AC，BD=228米，ADBC，BD=CD，BC=2BD=456米故填456点评：本题考查了等腰三角形的性质；能够运用数学知识解决实际问题，在实际问题中找着已知条件是正确解答题目的关键