四川省成都市第七中学高考一轮复习提升竞赛数学讲义：1集合与分类原则（含解析）.docx

1、A1.集合与分类原则一、基础知识1.对任给的一个性质存在一个集合它的元素恰好是具有性质的所有对象,即其中表示“具有性质”.常用的数集2.集合的元素具有三个属性:确定性,互异性,无序性.元素个数为有限的集合称为有限集,元素个数为无限的集合称为无限集.如果集合元素的个数为,记为不含任意元素的集合称为空集,记为3.集合的并交差补运算 4.摩根律5.子集,真子集.个元素集合的子集个数为真子集个数为,非空真子集个数为6.容斥原理：7.集合的划分与覆盖：是的个非空子集,如果(1)(2)则称这些子集是的一个划分,其中每一个子集叫做的一个类,如果只满足(2),则称这些子集是的一个覆盖.8.我们解决一些复杂数学

2、问题时,常常把研究对象的集划分为不重不漏的个类,然后逐类解决.分类原则是不重不漏.实际上不漏是必须的,可以重,但尽量控制.二、典型例题与基本方法1.若集合中只有一个元素,则实数 2.设集合若且则实数的取值范围为 3.已知集合,若,则实数的取值集合为 4.已知集合若则实数的取值范围为 5.称有限集的所有元素的乘积为的“积数”,给定数集则集合的所有含偶数个元素的子集的“积数”之和为 6.已知数集具有性质:对任意其中均有若则 7.设是给定的正整数,集合,记的所有子集分别为对用表示中所有元素的和,规定则时, 8.设表示不超过的最大整数,集合中的元素个数为 9.已知集合,其中表示和中所有不同值的个数.(

3、1)若集合,求证：.(2)是否存在最小值?若存在,求出这个最小值；若不存在,请说明理由?10.对任意的求的值.11.设是大于1的正整数,表示不超过的最大整数,证明：存在一个集合使得(1) (2)12.设是一个由正整数组成的集合,具有如下性质：在中去掉后,剩余的数的算术平均值都是正整数,并且是中的最大元素,求的最大值.B1.练习 姓名： 1.已知集合若则实数的值为 2.已知集合且则实数的取值范围为 3.已知集合则集合且的真子集的个数为 4.已知集合其中且则集合中所有元素的和为 5.已知,若,则实数的取值范围是 6.设集合的所有三元子集记为,又将的元素之和记为则 7.已知集合对于集合的两个非空子集

4、,若则称为集合的一组“互斥子集”.记集合的所有“互斥子集”的组数为(视与为同一组“互斥子集”.)求8.已知数集具有性质对任意的两数中至少有一个属于求的值.A1.集合与分类原则一、基础知识1.对任给的一个性质存在一个集合它的元素恰好是具有性质的所有对象,即其中表示“具有性质”.常用的数集2.集合的元素具有三个属性:确定性,互异性,无序性.元素个数为有限的集合称为有限集,元素个数为无限的集合称为无限集.如果集合元素的个数为,记为不含任意元素的集合称为空集,记为3.集合的并交差补运算 4.摩根律5.子集,真子集.个元素集合的子集个数为真子集个数为,非空真子集个数为6.容斥原理：7.集合的划分与覆盖：

5、是的个非空子集,如果(1)(2)则称这些子集是的一个划分,其中每一个子集叫做的一个类,如果只满足(2),则称这些子集是的一个覆盖.8.我们解决一些复杂数学问题时,常常把研究对象的集划分为不重不漏的个类,然后逐类解决.分类原则是不重不漏.实际上不漏是必须的,可以重,但尽量控制.二、典型例题与基本方法1.若集合中只有一个元素,则实数 解：当时,显然成立,当即所以或2.设集合若且则实数的取值范围为 解：由则则或又若则则或故若则于是实数的取值范围为3.已知集合,若,则实数的取值集合为 解：至少有一个根在内.则令则,于是实数的取值集合为4.已知集合若则实数的取值范围为 解：若则此时若则解得所以实数的取值

6、范围为5.称有限集的所有元素的乘积为的“积数”,给定数集则集合的所有含偶数个元素的子集的“积数”之和为 解：设集合的所有含偶数个元素的子集的积数之和为所有含奇数个元素的子集的积数之和为则于是6.已知数集具有性质:对任意其中均有若则 解:当有即所以故由已知,所以所以即又所以即又所以即故于是7.设是给定的正整数,集合,记的所有子集分别为对用表示中所有元素的和,规定则时, 解：的所有子集共有个,其中每个元素在所有子集中共出现的次数恰好是其它元素构成的子集个数.所以.可以看成2米的木杆,每天取一半,第1天取了1米,剩余1米.第2天取了米,剩余米.第3天取了米,剩余米.第4天取了米,剩余米.第5天取了米

7、,剩余米.第6天取了米,剩余米.6天共取即8.设表示不超过的最大整数,集合中的元素个数为 解：设,则若,则,若,则于是若,则于是若,则于是若,则于是若,则于是因为当,此时可取60个值,当时,此时可取1个值.所以集合共有61个不同的元素.9.已知集合,其中表示和中所有不同值的个数.(1)若集合,求证：.(2)是否存在最小值?若存在,求出这个最小值；若不存在,请说明理由?解：(1) 因为共有项,所以对于集合,任取和,其中当时,不妨设则即当时,若,则矛盾综上,所有的值两两不同,因此(2)不妨设,则可得从而中至少有个不同的数,即取,则即的不同值共有个.因此的最小值为10.对任意的求的值.解：若则因为对

8、称,所以不妨设则所以(1)若则所以(2)若则所以 (3)若则若则所以若则所以综上所述当且仅当时,11.设是大于1的正整数,表示不超过的最大整数,证明：存在一个集合使得(1) (2)证明：因为,则,于是所以设此时 若时,则考虑集合.显然且此时若时,则考虑集合.显然且此时综上所述存在这样的集合12.设是一个由正整数组成的集合,具有如下性质：在中去掉后,剩余的数的算术平均值都是正整数,并且是中的最大元素,求的最大值.解：设的元素为设对于,均有令则对任意的,显然特别地,则也就是即,则也就是即因为所以于是即于是结合所以的最大可能值为.此时的最大可能值为另一方面,若则由知道注意到令此时其所以是中的最大元素

9、.当时, 所以的最大值为43.B1.练习 姓名： 1.已知集合若则实数的值为 解：因为所以于是2.已知集合且则实数的取值范围为 解：,因为所以若即则满足所以此时若即或.当时,不满足当时,满足所以此时若即或此时若则于是的两根为从而,这显然是不可能的.所以此时不存在这样的综上所述实数的取值范围为3.已知集合则集合且的真子集的个数为 解：,则的真子集个数为.4.已知集合其中且则集合中所有元素的和为 解：所以于是,所以和为5.已知,若,则实数的取值范围是 解：若则若则则于是实数的取值范围是6.设集合的所有三元子集记为,又将的元素之和记为则 解：在中集合的每个元素恰好出现次,所以7.已知集合对于集合的两个非空子集,若则称为集合的一组“互斥子集”.记集合的所有“互斥子集”的组数为(视与为同一组“互斥子集”.)求解：任意一个中的元素只能在之一中,每个元素恰好都有3种选择,则这个元素在共有种.若为空集,则每个元素恰好都有2种选择, 则这个元素在共有种.若为空集,则每个元素恰好都有2种选择, 则这个元素在共有种.于是均不空的种数为于是8.已知数集具有性质对任意的两数中至少有一个属于求的值.解：因为,所以所以所以因为所以于是且这个不同的数均属于又所以于是即所以