四川省成都市第七中学高考一轮复习提升竞赛数学讲义：6函数与方程(1)（含解析）.docx

1、A6.函数与方程(1)一、基础知识1.对于函数我们把使的实数叫做函数的零点.实际上求方程的实数根就是确定函数的零点.2.零点存在性定理：如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线,并且有那么函数在区间内有零点,即存在使得这个也就是方程的根.3.零点存在唯一性定理：如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线,并且有同时在区间上单调,那么函数在区间内有唯一零点,即存在唯一的使得二、典型例题与基本方法1.已知函数在下列区间中,含有的零点的区间是( )A. B. C. D.2.已知函数,则函数的零点个数是 3.设函数与的零点分别为和且满足则称函数与互为“邻零函数”.已知函数与互为“邻零函数”,则实数的

2、取值范围是 4.已知函数且在上单调递减,且关于的方程恰有两个不相等的实数解,则实数的取值范围是 5.已知已知定义在上的函数满足当时,若恰有6个零点,则实数的取值范围是 6.若函数存在三个零点,则实数的取值范围是 7.若关于的方程有实数根,则实数的取值范围为 8.已知函数是定义域为的偶函数,当时,若关于的方程有且仅有8个不同的实数根,则实数的取值范围是 9.函数的图象如图所示,在区间上可找到个不同的数使得,则的取值范围为 10.若关于的方程在区间上有解,求实数的取值范围.11.已知函数如果函数在区间上有零点,求实数的取值范围.12.已知函数若关于的方程有且仅有四个根,其中最大根为求函数的值域.B

3、6.练习 姓名： 1.函数的零点所在区间为( )A. B. C. D.2.的图象和的图象的交点个数是 3.直线与曲线有四个交点,则实数的取值范围为 4.已知函数其中若存在实数使得关于的方程有三个不同的根,则的取值范围是 5.已知关于的方程有三个不同的实数解,则实数的取值范围是 6.已知函数的图象与函数的图象恰有两个交点,则实数的取值范围是 7.设函数且函数(1)求的解析式； (2)若关于的方程在上有两个不同的解,求实数的取值范围. 8.已知二次函数有两个零点和,且有最小值(1)求的解析式；(2)令若证明：在上有唯一零点；若求在上的最大值.A6.函数与方程(1)一、基础知识1.对于函数我们把使的

4、实数叫做函数的零点.实际上求方程的实数根就是确定函数的零点.2.零点存在性定理：如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线,并且有那么函数在区间内有零点,即存在使得这个也就是方程的根.3.零点存在唯一性定理：如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线,并且有同时在区间上单调,那么函数在区间内有唯一零点,即存在唯一的使得二、典型例题与基本方法1.已知函数在下列区间中,含有的零点的区间是( )A. B. C. D.解：先画的图象,可以看出的零点所在的区间大范围是所以选C.2.已知函数,则函数的零点个数是 解：令画出的图象,则的解为 再看,可以从图中看出有两个不同的根, 也有两个不同的根.所以函数的

5、零点个数是4. 3.设函数与的零点分别为和且满足则称函数与互为“邻零函数”.已知函数与互为“邻零函数”,则实数的取值范围是 解：显然则令则所以实数的取值范围是4.已知函数且在上单调递减,且关于的方程恰有两个不相等的实数解,则实数的取值范围是 解：函数在上单调递减,所以解得画图知道得所以实数的取值范围是5.已知已知定义在上的函数满足当时,若恰有6个零点,则实数的取值范围是 解：说明函数的周期为2,画出,在画出当时,我们可以得到当时,我们可以得到一边4个,一边2个.所以实数的取值范围是我们画出的一种情况作示意：6.若函数存在三个零点,则实数的取值范围是 解：令则于是则对应唯一的则对应两个的若时,则

6、当时,则或对于两个当时,则或对于两个所以令于是当时,此时或此时对于两个所以所以实数的取值范围是7.若关于的方程有实数根,则实数的取值范围为 解：由得,即令则则函数在上有零点,所以解得,所以实数的取值范围为8.已知函数是定义域为的偶函数,当时,若关于的方程有且仅有8个不同的实数根,则实数的取值范围是 解：作出函数的图象.令,则关于的方程有且仅有8个不同的实数根,可转化为关于的方程在上有4个不同的实数根,并且关于实数的方程在内有2个不等实根.令,则的图象的对称轴方程为判别式为根据题意,得 解得所以实数的取值范围是9.函数的图象如图所示,在区间上可找到个不同的数使得,则的取值范围为 解：令则可将所求

7、转化为求直线与曲线的交点个数问题.由图可知,可能的交点个数为10.若关于的方程在区间上有解,求实数的取值范围.解：显然所以令则于是所以所以所以实数的取值范围为11.已知函数如果函数在区间上有零点,求实数的取值范围.解：在上有解.即当时,则于是所以令则所以即所以或所以实数的取值范围为12.已知函数若关于的方程有且仅有四个根,其中最大根为求函数的值域.解：由题意,当时,是圆心为半径为1的半圆,当时,故是以2为周期的周期函数,作出图象如图.由图象知,最大根在上.因为联立得由得解得故联立得由得解得再联立 解得由此得又当时,又故的值域为.B6.练习 姓名： 1.函数的零点所在区间为( )A. B. C.

8、 D.解：画图可以知道答案在AB中.所以答案为B.2.的图象和的图象的交点个数是 解：作出和的图象如图所示,由图象知有两个交点.3.直线与曲线有四个交点,则实数的取值范围为 解： 即结合图象知道实数的取值范围为4.已知函数其中若存在实数使得关于的方程有三个不同的根,则的取值范围是 解：由题意画出函数图象如下图,要满足存在实数使得关于的方程有个不同的根,则解得所以的取值范围是5.已知关于的方程有三个不同的实数解,则实数的取值范围是 解：若则无实数解.所以于是结合图象知道所以所以实数的取值范围是6.已知函数的图象与函数的图象恰有两个交点,则实数的取值范围是 解：画出的图象,结合图象知道实数的取值范

9、围是7.设函数且函数(1)求的解析式；(2)若关于的方程在上有两个不同的解,求实数的取值范围. 解：(1)因为且所以因为所以(2)法1 方程为,令则且方程为在有两个不同的解.则两函数图象在内有两个交点.由图知时,方程有两不同解.法2：方程为,令则且方程为在有两个不同的解.设所以所以所以实数的取值范围为.8.已知二次函数有两个零点和,且有最小值(1)求的解析式；(2)令若证明：在上有唯一零点；若求在上的最大值. 解：(1)由题意可得所以的图象关于直线对称,设令则所以(2)由题意得对称轴为所以在上单调递增,上单调递减.又当则所以函数在没有零点,在上有且只有一个零点,所以在上有唯一零点.因为所以当即时,当即时,若,即若,即综上所述,当时当时,