思想专题之数形结合（2）-沪教版（上海）高中数学2019-2020学年高三数学二轮复习教案（教育机构专用）.doc

1、沪教版（上海）高中数学2019-2020学年度高三数学二轮复习思想专题之数形结合思想教学目标 认识一些常见的数形结合题目的类型，并能熟练掌握用数形结合思想解决有关函数、方程、不等式、数列及解析几何问题 【解读：数形结合题型往往更多的出现在选择、填空题中，要求学生掌握一些常见的数形结合的题型，并且掌握用数形结合的方法去解决这些有关函数、方程、不等式、数列及解析几何的问题】知识梳理 1、 数形结合思想：所谓的数形结合，就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数含义，又揭示其几何意义，使数量关系和空间形式巧妙、和谐地结合起来，并充分利用这种“结合”，寻找解题思路，使问题得到解决，数形结

2、合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。2、 数形结合思想常用来解决的一些问题有哪些？答：1构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围；2构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围；3构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系；4构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式；5构建立体几何模型研究代数问题；来源:学科网ZXXK6构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题；7构建方程模型，求根的个数；8研究图形的形状、位置关系、性质等。【解读：在讲解此块内容时，可以让学生自己回忆一些曾经做过的数形结合类的题目，并且询问学生是

3、如何解决的，同时一起回顾在用数形结合思想中所要用到的一些数学公式和定理，巩固学生的数学基础知识；对于这部分内容学生一般是回答不完整的，对于学生没有想到的可以在讲解完本专题之后，再由老师和学生一起把它补充完整】 典例精讲 例1. （） 已知函数是定义在上的奇函数，当时的图像如下图所示，那么不等式的解集是（ ）分析：函数定义在上，并且是奇函数，根据奇函数图像性质可知在上的图像如图所示，若使，只需与异号，即图像应分别分布在轴上下两侧，由图可知，有三个部分符合条件，即 【这个问题充分考察了函数的性质与数形结合思想的完美结合，注意作图的正确性】例2. （）已知，则方程的实根个数为（ ）个 个 个 个 分

4、析：判断方程的根的个数就是判断函数图像与的交点个数，画出两个函数的图像，易知两图像只有两个交点，故方程有两个实数根，选 【求根的个数问题也是高考常考的一种题目类型，在讲解这个问题时，一定要帮助学生回顾常见的函数图像的画法，只有把函数图像画对了才能继续往下做】例3. （）如果实数满足则的最大值为（ ） 分析：等式有明显的几何意义，它表示坐标平面上的一个圆，圆心为，半径为（如图），而则表示圆上的点与坐标原点的连线的斜率。如此以来，该问题可转化为如下几何问题：动点在以为圆心，以为半径的圆上移动，求直线的斜率的最大值，由图可见，当在第一象限，且与圆相切时，的斜率最大，经简单计算，得最大值为 【此题是一

5、个典型的数形结合思想在解析几何问题中的应用，如果等式、代数式的结构蕴含着明显的几何特征，就要考虑用数形结合的思想方法来解题，即所谓的几何法求解，比较常用的有：两点连线的斜率；两点之间的距离；为直角三角形的三边对于这类问题一定要帮助学生回顾这些公式，并掌握如何使用】例4. （）已知直线与曲线恰有一个公共点，求的取值范围。 分析：曲线是单位圆的右半圆，是直线在轴上的截距。（如图）由数形结合易知：直线与曲线相切时，由图形并结合题意可得：或 【求参数的取值范围问题一直是考试常考的题型，此类问题一定要注意图像画的要准确，同时要考虑的全面，注意极端位置的取舍】例5. （）方程的实根分别为，则 分析：本题直

6、接求解不好求，观察题目，联想原函数和反函数的图像性质进行数形结合，令互为反函数，其图像关于对称，设即 【本题利用了原函数与反函数的图像和性质，在讲解过程中要帮助学生复习与之相关的一些性质】例6. （）设，求的值。分析：设如图所示，则且来源:学科网ZXXK所以，即 【本题把共轭复数的性质与复平面上的向量表示、代数运算的几何意义都表现了出来，讲解本题时一定要先和学生回顾复数的有关性质及几何意义】课堂检测1. （）已知方程有个不相等的实根，则实数的取值范围。 解：作出的图像，画直线，由图像知当时，方程有4个不相等的实数根 2. （）方程的根的个数（ ）个 个 个 个分析：分别作出两个函数图像，易知有

7、个交点 3. （）求函数的值域。分析：利用斜率公式转化成两点的斜率问题，作出图像易知： 这就是函数的值域来源:Z*xx*k.Com4. （）函数与的图像恰有两个公共点，则实数的取值范围是（ ）来源:学科网ZXXK 分析： 画出的图象 情形1： 情形2：5. （）若复数，则的最大值为 分析：表示以原点为圆心，以为半径的圆，即满足的复数对应的点在圆上移动，（如下图）而表示复数与对应的两点的距离 来源:学|科|网Z|X|X|K由图形，易知，该距离的最大值为6. （）若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是 分析：表示倾斜角为，纵截距为的直线方程，而则表示以为圆心，以为半径的圆在轴上方的部分（包括圆与轴的交点），如下图所示，显然，欲使直线与半圆有两个不同的交点，只需直线的纵截距，即 回顾总结 常见的应用数形结合思想的题目类型有哪些？在运用数形结合思想时我们需要注意的地方是？【答案：函数图像的交点问题、方程的实数根的个数问题、求特定函数的值域的问题、一元二次方程根的分布问题、复数相关的求值问题等。 准确画出满足题目条件的函数的图像是重中之中，同时还要注意特殊位置的取舍问题】