奥数拓展第七讲：数与形-数学六年级上册人教版.docx

1、奥数拓展第七讲：数与形-数学六年级上册人教版一、选择题1如图是用同样长的小棒摆成的（每边用1根小棒）。照这种规律继续摆下去，摆成图5要用（）根小棒。A26B43C55D642填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，m的值是（）。042648628422644mA38B52C66D743把同样的小棒按下面的方式摆放，第9个图形需要（）根小棒。A24B27C30D384甲、乙、丙三人行走的速度分别是每分钟60米、80米和100米，甲、乙二人在A地，丙在B地与甲、乙二人同时相向而行，丙和乙相遇后，又经过2分钟和甲相遇。A、B两地之间的距离是（）米。A1880B2108C28805过

2、2个点可以画出1条线段，过3个点可以画3条线段，过10个点可以画（）条线段。A10B54C45D无数条6古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16这样的数称为“正方形数”。从上图中可以发现：任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻的“三角形数”之和，例如413。把“正方形数”36写成两个相邻的“三角形数”之和，正确的是（）。A361026B361224C361521D361620二、填空题7如下图：从图( )可知成立（填序号）。在图中，是15cm，是10cm，图阴影部分的周长是( )cm。8( )。9用同样大小的黑色五角星按如图的方式摆图案

3、，按照这样的规律摆下去，摆第6个图案需要( )个黑色五角星，摆第10个图案需要( )个黑色五角星。10用小棒按照如下图方式摆图形，摆第五个图形需要( )根小棒，第n个图形需要( )根小棒。11如果，依次类推，( )，( )。12“数形结合”是很重要的数学思想，请结合图形填写。图1：图2：1( )( )。图3：1( )( )。( )。13瑞士中学教师巴尔末成功地从光谱数据，中得到巴尔末公式，从而打开了光谱奥妙的大门。请你按这种规律写出第9个数据是( )。14找规律填空并回答、( )、这列数的和越来越接近( )三、解答题15下面每个图中各有多少个绿色小正方形和多少个蓝色小正方形？照这样接着画下去，

4、第6个图形有多少个绿色小正方形和多少个蓝色小正方形？第10个图形呢？你能解释这其中的道理吗？16如果数字1、2、3、4、5、6分别用下图表示：那么左下图表示的数字是（），在右下图中画出表示62的图。17探索规律。（1）观察上面的图，发现：图空白部分小正方形的个数是221221图空白部分小正方形的个数是43图空白部分小正方形的个数是5242（）（）（2）像这样继续排列下去，你会发现一些有趣的规律，请你再写出一道算式：（）。（3）运用规律计算。2021921821721621522212。18如图1，下面是一个小圆围绕正三角形、正方形以及任意正多边形滚动时，小圆圆心轨迹的形状及计算方法。（1）细心

5、观察，认真分析，找出规律。写出小圆围绕大圆滚动一周后，小圆圆心轨迹周长的计算方法。C轨迹（）（）（2）如图2，小圆围绕大圆滚动一周，计算出小圆圆心轨迹的周长。19李乐用吸管和图钉做三角形图案。（如下图，点表示图钉，线段表示吸管）（1）请根据做三角形图案时，三角形与吸管、图钉的数量关系填写下表。三角形个数12345吸管的根数3579（）图钉的数量3456（）（2）照这样做，用36个图钉时做成的图案中有（）个三角形，用了（）根吸管。（3）三角形个数、吸管根数、图钉数量之间有什么关系？选择其中两个，试着写出它们的数量关系。20阅读与思考。(1)根据下图选择：的结果是（）。A等于1B小于1C大于1(2

6、)阅读材料选择：正三角形、正四边形、正五边形当相邻两个顶点的距离越来越小时，这个正多边形就越近似于圆（a表示图形中心点到顶点的距离）。古代九章算术记载，“割之弥细，所失弥少。割之又割，以至于不可割，则与圆合体无所失矣。”横线上的字是指（）时。AalBl0Ca0(3)类似于以上材料的思想，我们称之为“极限思想”。请你结合极限思想思考：俗称万能公式的S（ab）h2能计算圆的面积吗？答：我认为( )。理由是： 。参考答案：1D【分析】根据图形先画出第5个图形，再数一下小棒即可求解。【详解】图5为：摆成图5要用64根小棒。故答案为：D。【点睛】本题考查了数与形结合的规律，主要培养学生的观察能力和总结能

7、力。2D【分析】分析前三个正方形可知，规律为右上和左下两个数的积减去左上等于右下的数，每个正方形中左下角的数比左上角的数大2，右上角的数比左上角的数大4，因此可知第四个图空白分别是左下8，右上是10。【详解】由题意知：空白部分左下是8，右上是10。故答案为：D【点睛】本题主要考查找规律，要求学生通过观察分析归纳发现其中的规律并且应用发现的规律解决问题，解决本题的难点是在于找出空白格的数。3C【分析】通过观察图形发现规律：摆1个三角形需要3根，每增加1个正方形增加3根。第1个图形需要33326（根），第2个图形需要333339（根），第3个图形需要33333412（根），第n个图形需要3（n1）

8、根。【详解】3（91）31030（根）所以第9个图形需要30根。故答案为：C【点睛】在运用数形结合的方法探究数学规律时，一定要把图形和数一一对应。4C【分析】由题意可知，丙和乙相遇后，丙和甲2分钟行驶的路程就是丙和乙相遇时乙比甲多行驶的路程，再求出乙和甲的速度差，根据“追及时间路程差速度差”求出乙从A地到丙和乙相遇地点的时间，最后根据“总路程相遇时间速度和”求出两地之间的距离，据此解答。【详解】丙和乙的相遇时间：（10060）2（8060）1602（8060）1602203202016（分钟）总路程：（80100）16180162880（米）所以，A、B两地之间的距离是2880米。故答案为：C

9、【点睛】本题主要考查了行程问题中的相遇问题和追及问题，求出甲乙两人的路程差是解答题目的关键。5C【分析】如图：2个点，1条线段；3个点，3条线段，3322；4个点，6条线段，6432；5个点，10条线段，10542；规律：点的个数为n（n2），可以画的线段为：条；据此规律，得出过10个点可以画的线段的条数。【详解】规律：点的个数为n（n2），可以画的线段为：条；n10时（条）过10个点可以画45条线段。故答案为：C【点睛】本题是找规律的题型，通过画图发现点数与线段的规律，利用规律解答。6C【分析】观察图形和等式，发现正方形数是1、4、9、16、25、36、49；都是平方数；三角形数是1、3、6

10、、10、15、21、28；相邻两个数的差依次增加1；从“三角形数”中找出哪两个相邻的数相加，和是“正方形数”36即可。【详解】图1：正方形数是4，413图2：正方形数是9，936图3：正方形数是16，16610图4：正方形数是25，251015图5：正方形数是36，361521故答案为：C【点睛】通过数与形的结合，从已知的图形或数据中找到规律，并按规律解题。7 60【分析】（1）图是由4个长是a、宽是b的长方形和一个边长为（ab）的小正方形组成的边长为（ab）大正方形，即大正方形的面积长方形的面积4小正方形的面积；图是由2个长是a、宽是b的长方形、一个边长为a的小正方形和一个边长为b的小正方形

11、组成的边长是（ab）大正方形，即大正方形的面积长方形的面积2边长为a的小正方形的面积边长为b的小正方形的面积；图是由边长为b的小正方形和2个上底是b，下底是a，高是（ab）的梯形组成的边长为a的大正方形。（2）通过观察发现：图阴影部分周长（梯形的上底下底高）2。【详解】由图可知：成立。 由图可知：成立。由图可知：，即成立。图阴影部分周长：60（cm）从图可知成立。图阴影部分的周长是60cm。【点睛】数形结合是学习数学的一种重要的思想方法。运用数形结合的方法，可以帮助理解计算方法，进行计算。8【分析】观察下图可知：一个连加算式，第一个加数是，之后每个加数都是前一个加数的一半，这个算式的结果就是1

12、减去最后一个加数所得的差。即 的和等于1减去最后一个分数。据此先将利用减法的性质化为，再根据以上规律先算括号里面的，再算括号外面的。【详解】【点睛】明确的计算方法是解决此题的关键。可借助图示法理解的计算方法。9 10 16【分析】把图案标上序号，如下：12345图案第1行个数11223第2行个数12233第3行个数11223观察图形发现：（1）第奇数个图案的每行黑色五角星的个数是一样多的，每行有：个黑色五角星，3行则有：个黑色五角星；（2）第偶数个图案的第一、三行的黑色五角星一样多，这两行共有n个黑色五角星，第二行共有（）个，那么一共的个数是：n；因为第6个图案和第10个图案都是偶数，将数据代

13、入，计算出结果即可。【详解】根据分析，第奇数个图案黑色五角星的个数为：；第偶数个图案黑色五角星的个数为：；当n6时，（个）；当n10时，（个）；【点睛】此题考查了数与形的知识，关键能够观察图案每行的数量变化找出规律再解答。10 45 n（1n）【分析】图形是多个三角形组合而成，需要找出新图形小棒的根数，从上向下一层层观察，我们发现第2图比第1图多了2个完全不共用小棒的三角形，第3图比第2图多了3个完全不共用小棒的三角形，1个三角形有三根小棒，先求出每图有几个小棒不共用的三角形，再求棒数即可。自然数1到n依次相加求和时利用下面规律计算。1234n1234（n3）（n2）（n1）n（第一步：加数个

14、数是n个）1n2（n1） 3（n2） 4（n3）（第二步：首尾两项依次相加，加数的个数变成原来的一半）（1n）（1n）（1n）（1n）（第三步：每一项都是（1n），个数是原来加数个数的一半）n（1n）【详解】第1图有1个小棒不共用的三角形，有133根小棒；第2图有123个小棒不共用的三角形，共有（12）39根小棒；第3图有1236个小棒不共用的三角形，共有（123）318根小棒；第5图有1234515个小棒不共用的三角形，共有（12345）345根小棒；第n图有123nn（1n）个小棒不共用的三角形，共有（123n）3n（1n）根小棒。【点睛】考查应用数形结合的方法探索规律。11 24 6.2

15、【分析】观察等式可发现规律，表示从1开始连续个自然数相乘，再求出、时式子的值，最后根据四则运算的顺序求出的值，据此解答。【详解】所以，24，。【点睛】根据题中给出的算式找出新运算的规律是解答题目的关键。12 【分析】把正方形看作单位“1”，图1中，上面涂色部分是，下面涂色部分是，涂色部分一共是。没有涂色部分为，所以涂色部分也可以写成1，即1。图2中，上面涂色部分是，左边下面涂色部分是，右边下面涂色部分是，涂色部分一共是。没有涂色部分为，所以涂色部分也可以写成1，即1。发现规律：用1减去没有涂色部分表示的分数，即可得出这个算式的计算结果。【详解】图1：图2：1图3：11【点睛】通过数与形的结合，

16、发现这组算式的规律，利用规律解答。13【分析】先观察分子：9、16、25、36，分别是32、42、52、62，据此得出第n个数据的分子是（n2）2；再观察分母：5、12、21、32，可分别改写成15、26、37、48，据此得出第n个数据的分母是n（n4），接下来将n9代入即可求出第9个数据。【详解】观察前面四个数据，可得规律是：分子是：32，42，52，62，（n2）2，分母是：15，26，37，48，n（n4），所以第n个数据是所以第9个数据是：。【点睛】本题考查的是探究规律数字字母规律问题，应从仔细观察题中所给的已知数据，找到它们的共同特点入手。14 【详解】略15绿色6个；蓝色18个；绿

17、色10个；蓝色26个；见详解【分析】第1个图形，有1个绿色小正方形，8个蓝色小正方形，8216；第2个图形，有2个绿色小正方形，10个蓝色小正方形，10226；第3个图形，有3个绿色小正方形，12个蓝色小正方形，12236；第4个图形，有4个绿色小正方形，14个蓝色小正方形，14246；规律：第n个图形，有n个绿色小正方形，（2n6）个蓝色小正方形；据此解答。【详解】规律：第n个图形，有n个绿色小正方形，（2n6）个蓝色小正方形。当n6时，有6个绿色小正方形；蓝色小正方形有：2n626612618（个）当n10时，有10个绿色小正方形；蓝色小正方形有：2n6210620626（个）答：照这样接

18、着画下去，第6个图形有6个绿色小正方形和18个蓝色小正方形。第10个图形有10个绿色小正方形和26个蓝色小正方形。道理：从图中发现规律：第n个图形有n个绿色小正方形，（2n6）个蓝色小正方形。【点睛】通过数与形的结合，从已知的图形或数据中找到规律，并按规律解题。1620；画图见详解【分析】观察图形可知，第一列的圆表示1，第二列每个圆表示2，则123，224，前两列填满表示1225，第三列每个圆表示6。同理，前三列填满表示1226323，则第四列每个圆表示24，据此解答。【详解】通过分析，左下图表示的数字是26320；62242622，即在第二列画1个圆，第三列画2个圆，第四列画2个圆，画图如下

19、：【点睛】本题考查数形结合问题。通过分析、计算，明确每列的圆表示的数字是解题的关键。17（1）5；4（2）726276（3）210【分析】观察算式规律可得：相邻两个数的平方差等于这两个数的和，由此按规律解答即可。【详解】（1）524254（2）726276（答案不唯一）（3）202192182172162152221220191817321（201）202212024202210【点睛】此题考查数与形结合的规律，进一步培养学生的观察能力和总结能力。18（1）C大圆；C小圆（2）31.4厘米【分析】（1）观察图形可知：一个小圆围绕正三角形滚动，C轨迹C正三角形C小圆；一个小圆围绕正方形滚动，C轨

20、迹C正方形C小圆；一个小圆围绕正五边形滚动，C轨迹C正五边形C小圆；一个小圆围绕正六边形滚动，C轨迹C正六边形C小圆；发现规律：小圆圆心轨迹的计算方法是“小圆围绕滚动的图形的周长加上小圆的周长”，即C轨迹C图形C小圆，据此规律解答。（2）从图中可知，大圆的直径是6厘米，小圆的半径是2厘米；根据圆的周长公式Cd或C2r，分别求出大圆、小圆的周长，再利用上一题的规律，即可求出小圆围绕大圆滚动一周后，小圆圆心轨迹的周长。【详解】（1）小圆围绕大圆滚动一周后，小圆圆心轨迹周长的计算方法：C轨迹C大圆C小圆。（2）3.14623.14218.8412.5631.4（厘米）答：小圆圆心轨迹的周长是31.4

21、厘米。【点睛】（1）通过数与形的结合，从已知的图形或数据中找到规律，并按规律解题；（2）掌握圆的周长公式的计算方法是解题的关键。19（1）11；7（2）34；69（3）见详解【分析】（1）观察表格中的数据，三角形个数分别是1、2、3、4、，吸管的根数分别是3、5、7、9、，图钉的数量分别是3、4、5、6、；发现规律：三角形的个数每次增加1，则吸管的根数每次增加2，图钉的数量每次增加1；由此规律把表格补充完整。（2）由上一题的规律推出用36个图钉时做成的图案中三角形的个数、吸管的根数。（3）从表格中选择任意两组数据，找出三角形个数、吸管根数、图钉数量之间的关系。【详解】（1）如下表：三角形个数1

22、2345吸管的根数357911图钉的数量34567（2）用36个图钉时做成的图案中有34个三角形，用了69根吸管。（3）选择表格中的第二组、第三组数据；当三角形的个数为2时，吸管的根数为5，5221；图钉的数量为4，422；当三角形的个数为3时，吸管的根数为7，7231；图钉的数量为5，532；得出规律：吸管的根数三角形个数21；图钉的数量三角形个数2。【点睛】通过数与形的结合，从已知的图形或数据中找到规律，并按规律解题。20(1)A(2)B(3) 能 见详解【分析】（1）当这个算式后面的数越来越小，趋于0的时候，这时候图形就变为圆，所以算式的结果等于1。（2）根据题意，当相邻两个顶点的距离越

23、来越小时，这个正多边形就越近似于圆，而相邻两个顶点的距离指的是l，当l0时，即是横线上的字所表示的时候。（3）当（ab）d，hr时，代入到万能公式的S（ab）h2中，即可检测是否能用万能公式的S（ab）h2能计算圆的面积。【详解】（1）1故答案为：A（2）根据分析得，当l0时，这个正多边形就越近似于圆。故答案为：B（3）当（ab）d，hr时，S（ab）h2dr22rr2r2即等于圆的面积，所以万能公式的S（ab）h2能计算圆的面积。答：我认为能计算圆的面积公式，理由是因为通过极限思想可知，这个图形最后会无限接近圆，此时万能公式所求的面积正是圆的面积，所以可用万能公式求出圆的面积。【点睛】此题的解题关键是利用数与形的结合，通过图形与算式的关系，掌握极限思想的应用。