2013届高考文科数学总复习（第1轮）广西专版课件：9.11球.ppt

1、第九章直线、平面、简单几何体19.9 球考点搜索球面、球体的概念，球的截面性质地球的经纬度，球面距离球的表面积和体积高考高考猜想1.考查有关球的表面积、体积和球面距离等的计算.2.考查球的截面问题的分析与计算.2 1.与定点的距离_的点的集合,叫做球体,简称球,定点叫做球心,定长叫做球的半径,与定点距离_的点的集合叫做球面.2.用一个平面截一个球,所得的截面是_,且球心与截面圆心的连线_截面.3.设球心到截面的距离为d,球半径为R,截面圆半径为r,则三者的关系是_.等于或小于定长等于定长一个圆垂直于R2=r2+d234.球面被_的平面截得的圆叫做大圆，被_的平面截得的圆叫做小圆.5.经过球面上

2、两点的大圆在这两点间的_的长度,叫做这两个点的球面距离.6.过球面上一点从北极到南极的半个大圆,与子午面所成的_的度数就是这个 点 的 经 度;过 球 面 上 一 点 的 球 半 径 与_所成的角的度数就是这个点的纬度.经过球心不经过球心一段劣弧二面角赤道面47.半径为R的球的体积是V=_，表面积是S=_.盘点指南：等于或小于定长；等于定长；一个圆；垂直于；R2=r2+d2;经过球心；不经过球心；一段劣弧；二面角；赤道面；;111211125长方体的一个顶点上三条棱长为3、4、5，且它的八个顶点都在一个球面上，这个球的表面积是()A.B.C.D.解：设球的半径为R，则(2R)2=32+42+5

3、2=50，所以R=.所以S球=4R2=50.C6 已知过球面上A、B、C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=2，则球面面积是()A.B.C.D.解：因为AB=BC=CA=2，所以ABC的外接圆半径为r=.设球的半径为R，则所以，所以D7球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的16，经过这3个点的小圆的周长为4，那么这个球的半径为()A.B.C.2D.解法1：设球面上的3个点分别为A，B，C，球心为O.过O作OO平面ABC，O是垂足，则O是ABC的中心，则OA=r=2.又因为AOC=，OA=OC知OA=AC OA,所以OAOA2OA.因为OA=R，所以2R4

4、.因此，排除A、C、D，故选B.解法2：设球面上的3个点分别为A，B，C，球心为O.在正三角形ABC中，ABC的外接圆半径r=2.应用正弦定理，得AB=2rsin60=.因为AOB=，所以侧面AOB是正三角形，得球半径R=OA=AB=.9解法3：设球面上的3个点分别为A，B，C，球心为O.因为正三角形ABC的外接圆半径r=2，故高AD=r=3，D是BC的中点.在OBC中，BO=CO=R，BOC=，所以BC=BO=R，BD=BC=R.在RtABD中，AB=BC=R，所以由AB2=BD2+AD2，得，解得R=.101.球面上有三点A、B、C，其中任意两点间的球面距离都等于大圆周长的，经过这三个点的

5、小圆的周长为4，求这个球的表面积.解：设O为球心，球半径为R，经过A、B、C三点的小圆半径为r.题型1 球的表面积的计算11由已知，2r=4，所以r=2.又因为A、B、C中任意两点的球面距离都是大圆周长的，即，所以AOB=AOC=BOC=.又OA=OB=OC=R，所以AB=BC=AC=R.在ABC中，由正弦定理，得AB=2rsin60=，所以R=，所以S球=4R2=48.12点评：求球的表面积的关键是求球的半径.求半径时，一般是根据截面圆的圆心与球的圆心的连线段、截面圆的弦长、球的半径三者之间的关系，通过解三角形来求得.13如图，A、B、C是表面积为48的球面上三点，AB=2，BC=4，ABC

6、=60，O为球心.求直线OA与截面ABC所成的角的大小.解：连结AC，设O在截面ABC上的射影是O，则O为截面三角形ABC外接圆的圆心，14连结AO，则OAO为直线OA与截面ABC所成的角.设球的半径为R，小圆的半径为r.因为球的表面积为48，所以R=.在ABC中，由余弦定理，得AC2=AB2+BC2-2ABBCcosABC=4+16-16cos60=12由正弦定理，得，即，所以r=2.所以.故所求角的大小为arccos .152.设A、B、C为球面上三点，AC=BC=6，AB=4，球心O到平面ABC的距离等于球半径的一半，求这个球的体积.解：过球心O作OO1平面ABC，则点O1为过点A、B、

7、C的截面圆的圆心，即O1是ABC的外心.连结CO1，延长交AB于M点.题型2 球的体积的计算16因为AC=BC，所以M是AB的中点，且CMAB.设O1M=x.因为O1A=O1C，而，O1C=CM-O1M=所以，解得x=.所以O1A=设球O的半径为R.由已知OO1=R2，OA=R.在RtAO1O中，因为AO2=OO21+AO21，所以解得R=.17所以点评：球的体积是关于半径的函数，故求体积必须先求半径.涉及到截面问题时，一般是化球为圆，再解直角三角形可求得半径.18球面上有三点A、B、C，A和B及A和C之间的球面距离是大圆周长的，B和C之间的球面距离是大圆周长的，且球心到截面ABC的距离是，求

8、球的体积.解：设球心为O，由已知，易得AOB=AOC=，BOC=.过O作ODBC于D，连结AD，再过O作OE AD于E，则OE平面ABC于E，所以OE=.19因为OAOB，OAOC，所以OA平面BOC，所以OAOD.设OA=R,则AB=AC=2R,BC=R，AD=R,OD=R.在RtAOD中，由ADOE=OAOD,得OA=R=1.所以.203.在地球北纬30圈上有A、B两点，点A在西经10，点B在东经110，设地球半径为R，求A、B两点的球面距离.解：如图，设O为球心，C为北纬30圈所在小圆的圆心.由已知，ACB=120，AOC=BOC=60，OA=OB=R，OC平面ABC，所以AC=BC=R

9、sin60=.题型3 球面距离的分析与计算21在ACB中，所以AB=R.在AOB中，所以AOB=arccos().故A、B两点的球面距离是Rarccos().22点评：一般地，求球面上两点A、B间的球面距离的具体步骤是：计算线段AB(公共弦)的长；计算A、B到球心O的张角；计算球的大圆上A、B间的劣弧长.23正三棱锥P-ABC内接于半径为R的球，其底面三顶点在同一个大圆上.某质点从点P出发沿球面运动，经过A、B、C三点后返回P点，求所经路程的最小值.解：设球心为O，据题意，O为正三角形ABC的中心，且PO平面ABC，所以POA=POC=，AOB=BOC=.因为球面上任意两点的球面距离是经过这两

10、点的最短路程，其中P与A、P与C的球面距离是，A与B、B与C的球面距离是，所以所求路程的最小值是24 1.正三棱锥P-ABC的外接球半径为R，两侧棱的夹角为，求这个正三棱锥的侧棱长.解：如图，过点P作PD平面ABC，垂足为D，则D为ABC的中心.延长PD交球面于E，则PE为球的直径.连结AD、AE，则PAAE，ADPE.25设PAD=，则AED=.设正三棱锥P-ABC的侧棱长为a，由已知，从而又AD=PAcos=acos，所以所以在RtPAE中，PA=PEsin=.故这个正三棱锥的侧棱长为 .262.如图，AC是四面体ABCD的外接球直径，BC是经过B、C、D三点的截面圆直径，球心O到截面BC

11、D的距离等于球半径的 .(1)若CBD=60，求异面直线AC和BD的夹角;(2)若BDDC=2，求二面角B-AC-D的大小.27解：(1)过点C作CEDB交球面于E，连结AE，则ACE为所求的角.因为CBD=60，所以BCE=60.取BC的中点O，则O为截面圆圆心.设球O的半径为R，由已知OO=.在RtCOO中所以BC=R.因为BECE，所以CE=BCcos60=.28因为AC是球的直径，所以AEEC.在RtAEC中，.故异面直线AC和BD的夹角为arccos.(2)过点D作DFBC，垂足为F.因为OODF，所以DF平面ABC.过点F作FHAC，垂足为H，连结DH.依据三垂线定理，有DHAC.

12、所以DHF为二面角B-AC-D的平面角.29因为BDDC=2，BC=R，BD2+DC2=BC2，所以则DC=R，所以BD=DC=R.因为DFBC=BDCD,所以因为ADCD，DHAC，所以DHAC=ADCD.30而所以在RtDFH中,sinDHF=，所以DHF=60.故二面角B-AC-D的大小为60.31 3.一个球与底面边长为a的正四棱锥的底面和侧面都相切.若平行于棱锥底面且与球相切的平面截棱锥，所得的截面是一个边长为b的正方形，求这个球的表面积.解：过正四棱锥相对两个侧面的斜高作截面，如图设O为球心，O1、O2分别为截面和底面正方形的中心，球与侧面的一个切点为C.32因为ACOAO1OBCOBO2O，所以AOB=90.又OCAB，由射影定理，得OC2=ACBC.又AC=AO1=，BC=BO2=，所以OC2=，所以S球=4OC2=ab.33 1.球体与球面是两个不同概念.球面是指球的外表面，球体是球面所围成的空间几何体.球面可以看作是将一个半圆绕其直径旋转一周所形成的曲面.2.求球的体积和表面积的关键是求出球半径.通过解三角形或方程思想求半径是常用的方法，但要注意挖掘题设中的隐含条件.343.球面上两点之间的最短路径的长度，就是这两点的球面距离.求球面距离时，先要求出球面上两点对球心的张角，即球心角，再利用弧长公式就可得球面距离35