2013版高中全程复习方略配套课件：6.5合情推理与演绎推理（北师大版.ppt

1、第五节合情推理与演绎推理三年21考高考指数:1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用；2.了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理；3.了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异.1.归纳推理与数列相结合问题是考查重点；2.类比推理、演绎推理是重点，也是难点；3.以选择题、填空题的形式考查合情推理；以选择题或解答题的形式考查演绎推理，题目难度不大，多以中低档题为主.1.推理(1)定义：推理是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的_.(2)分类：推理一般分为_与_两类.思维过程合情推理演绎推理【即时应用】(1)思

2、考：一个推理是由几部分构成的？提示：从结构上说，推理一般由两部分组成，一部分是已知的事实(或假设)叫做前提，一部分是由已知推出的判断，叫做结论.(2)数列2,5,11,20,x,47,中的x等于_.【解析】5-2=3,11-5=6,20-11=9,推出x-20=12，所以x=32.答案：32(3)已知数列1,，,，则3 是第_项.【解析】由题可知该数列的第n项an=,由=3 ，得2n-1=45，n=23.答案：232.合情推理归 纳 推 理类 比 推 理由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的_的推理，或者由个别事实概括出_由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的_，推出另一类对象也

3、具有_定义全部对象都具有这些特征一般结论的推理某些已知特征这些特征的推理归 纳 推 理类 比 推 理由_到_、由_到_的推理由_到_的推理一般步骤特点(1)找出两类事物之间的_或_；(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)(1)通过观察_情况发现某些_；(2)从已知的相同性质中推出一个明确的_(猜想)特殊特殊部分整体个别一般个别相同性质一般性命题相似性一致性【即时应用】(1)判断下列命题是否正确.(请在括号中填“”或“”)(ab)n=anbn与(a+b)n类比，则有(a+b)n=an+bn;()loga(xy)=logax+logay与sin(+)类比，则有si

4、n(+)=sinsin;()(a+b)2=a2+2ab+b2与(a+b)2类比，则有(a+b)2=a2+2ab+b2.()(2)在平面上，若两个正三角形的边长的比为12，则它们的面积的比为14，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为12，则它们的体积的比为_.【解析】(1)错.(a+b)2=a2+2ab+b2a2+b2;错.sin(+)=sincos+cossinsinsin;对.(a+b)2=(a+b)(a+b)=a2+2ab+b2满足向量数量积的运算.(2)两个正四面体的棱长的比为12，则其高之比为12，底面积之比为14，故其体积的比为18.答案：(1)(2)183.演绎推理(1)定

5、义：从_出发，推出_下的结论，我们把这种推理称为演绎推理.(2)特点：演绎推理是由_到_的推理.一般性的原理某个特殊情况一般特殊【即时应用】(1)命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，判断下列说法的真假.(填“真”或“假”)使用了归纳推理()使用了类比推理()使用了演绎推理()(2)判断下列推理过程是否是演绎推理.(请在括号中填“是”或“否”)两条直线平行，同旁内角互补，如果A和B是两条平行直线的同旁内角，则A+B=180 ()某校高三(1)班有55人，(2)班有54人，(3)班有52人，由此得高三所有班级人数超过50人()由平面三角形的性质，推测空间

6、四边形的性质()在数列an中，a1=1,an=(an-1+)(n2,nN+)，由此归纳出an的通项公式()【解析】(1)假：不满足归纳推理的定义；假：不满足类比推理的定义；真：满足演绎推理的定义.(2)是，满足演绎推理定义.不是，使用了归纳推理不是演绎推理.不是，使用了类比推理.不是,使用了归纳推理.答案：(1)假 假 真(2)是 否 否 否归纳推理【方法点睛】归纳推理的特点(1)归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理.(2)归纳推理所得结论不一定正确，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，推广的一般性结论也会越可靠.其结论的正确性往往通过演绎推理来证明.(3)它是一种发现一般性规律的重要

7、方法.【例1】(1)已知：f(x)=,设f1(x)=f(x),fn(x)=fn-1(fn-1(x)(n1且nN+),则f3(x)的表达式为_，猜想fn(x)(nN+)的表达式为_.(2)观察式子：你可以猜出的一个一般性结论是_.(3)设f(x)=，先分别求f(0)+f(1),f(-1)+f(2),f(-2)+f(3)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明.【解题指南】(1)由已知条件及递推关系可推得f2(x),f3(x)及fn(x).(2)由三个等式可推第四，第五个等式，从而得第n个等式即一般结论.(3)由0+1=1,-1+2=1,-2+3=1,以及f(0)+f(1),f(-1)+f(2),f(

8、-2)+f(3)的值可猜想f(x)+f(1-x).【规范解答】(1)由f1(x)=f(x)=得f2(x)=f1(f1(x)=f1()=,f3(x)=f2(f2(x)=f2()=f4(x)=f3(f3(x)=f3()=,故猜想fn(x)=.答案：f3(x)=fn(x)=(2)由前三个等式得13+15+17+19=64=43,21+23+25+27+29=125=53，所以第n个等式的第一个数应为第1+2+(n-1)+1个奇数，即为2+1-1=n(n-1)+1,共有n个奇数，即第n个等式应为n(n-1)+1+n(n-1)+3+n(n-1)+5+n(n-1)+2n-1=n3.即(n2-n+1)+(n

9、2-n+3)+(n2+n-1)=n3.答案：(n2-n+1)+(n2-n+3)+(n2+n-1)=n3(3)f(0)+f(1)=，同理可得：f(-1)+f(2)=,f(-2)+f(3)=.由此猜想f(x)+f(1-x)=.证明：f(x)+f(1-x)【反思感悟】解决与归纳推理有关问题的关键点是找出其中的规律，如第(1)题中通过递推关系得f2(x),f3(x),f4(x)可观察其分子一样，分母变化的是x的系数，故可推出一般结论;第(2)题中的关键问题是第n个等式的左边第一个数是多少，通过观察可看出是第1+2+(n-1)+1个奇数，从而确定其等式关系；第(3)题中规律是0+1=0+1-0,-1+2

10、=-1+1-(-1),-2+3=-2+1-(-2),从而得x+(1-x)的联想，x+(1-x)也可看成-x+1+x，即f(-x)+f(1+x)=也成立.类比推理【方法点睛】1.类比推理的步骤(1)找出两类事物之间的相似性或一致性；(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想).2.类比的方法类比推理的关键是找到合适的类比对象.平面几何中的一些定理、公式、结论等，可以类比到立体几何中，得到类似的结论.一般平面中的一些元素与空间中的一些元素的类比如表所示：平 面空 间点线线面圆球三角形三棱锥角面积周长二面角体积表面积【例2】(2012盐城模拟)已知命题：“若数列an是等比

11、数列，且an0，则数列bn=(nN+)也是等比数列”.类比这一性质，你能得到关于等差数列的一个什么性质？并证明你的结论.【解题指南】等差数列中的和类比等比数列中的积，等差数列中的算术平均数类比等比数列中的几何平均数，故本题中的等比数列的几何平均数应与等差数列的算术平均数类比.【规范解答】类比等比数列的性质，可以得到等差数列的一个性质是：若数列an是等差数列，则数列bn=(nN+)也是等差数列.证明如下：设等差数列an的公差为d,则bn=a1+(n-1),所以数列bn是以a1为首项，为公差的等差数列.【反思感悟】1.在数学中，类比是发现概念、方法、定理和公式的重要手段，数与式、平面与空间、一元与

12、多元、低次与高次、相等与不等、等差与等比之间有不少结论，都是先用类比法猜想，而后加以证明的.2.类比的关键是确定两类对象之间，某些性质的可比性与合理性。演绎推理【方法点睛】演绎推理的理论依据其推理的依据用集合论的观点来讲就是：若集合M的所有元素都具有性质P，S是M的子集，那么S中所有元素都具有性质P.【例3】证明：函数f(x)=-x2+2x在1,+)上是减函数.【解题指南】证明函数的增减性，其理论依据是单调性的定义，若函数满足单调性的定义，则其增减性可得.【规范解答】任取x1,x21,+)，且x11,x1+x22,f(x1)-f(x2)=(x2-x1)(x1+x2-2)0,函数f(x)=-x2

13、+2x在1,+)上是减函数.【反思感悟】演绎推理是证明数学问题的基本推理形式，因此在高考中经常出现，它是由一般到特殊的推理，在前提真实并且推理形式正确的前提下，其结论就必然真实.【易错误区】归纳推理之解答误区【典例】(2011江西高考)观察下列各式：72=49,73=343,74=2401,，则72011的末两位数字为()(A)01 (B)43 (C)07 (D)49【解题指南】需先求出75=16 807,76=117 649，观察后两位发现呈周期变化，周期为4，易得72011的末两位数字.【规范解答】选B.由条件知：75=16 807,76=117 649,77=823 543,观察发现后两

14、位数字呈周期变化，周期为4，又2 011=4502+3,72011的末两位数字是43.【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下误区警示和备考建议：误区警示在解答本题时有两点造成误解：(1)对于给定的式子，只观察式子结果，而不去继续探究下几项式子，从而找不到规律而误解.(2)在继续探究的情况下，运算错误从而导致周期找不到或找错周期而误解.备考建议解决归纳推理的问题，尤其是所求题目无法直接解出，必须寻求其规律找到周期才能解决时，有以下几点易造成误解，在备考时应高度关注.(1)无从下手，不知道此类题目一定会有规律.没有周期性，本题是无法求解的.(2)求解时需要多计算几个式子，从

15、中发现规律，但运算要准确无误方能正确求解.建议在备考中解决类似问题时，一定要注意探求条件中所包含的规律，从而达到解决的目的.1.(2011陕西高考)观察下列等式照此规律，第五个等式应为_.【解析】把已知等式与行数对应起来，则每一个等式的左边的式子的第一个数是行数n，加数的个数是2n-1;等式右边都是完全平方数，行数等号左边的项数则第5行等号的左边有9项，右边是9的平方，所以5+6+5+(25-1)-1=92,即5+6+13=81.答案：5+6+7+8+9+10+11+12+13=81(或5+6+13=81)2.(2012蚌埠模拟)已知a0，不等式x+2，x+3，x+4，可推广为x+n+1，则a

16、的值为_.【解析】由x+1+1,x+2+1，x+3+1.可推广为x+n+1，由此可推知a=nn.答案：nn3.(2012南昌模拟)在RtABC中，ABAC，ADBC于点D，求证：，那么在四面体ABCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由.【解析】如图所示，由ABDCAD及射影定理知图AD2=BDDC，AB2=BDBC，AC2=BCDC，=.又BC2=AB2+AC2，.类比ABAC，ADBC，猜想：四面体ABCD中，AB、AC、AD两两垂直，AE平面BCD，则.图证明：如图，连接BE并延长交CD于点F，连接AF.ABAC，ABAD，AB平面ACD.ABCDEF图而AF 平面ACD，ABAF.在RtABF中，AEBF，.在RtACD中，AFCD，,.